精品解析：2025年黑龙江省哈尔滨市巴彦县华山乡中学中考数学模拟试卷（三）

2025年黑龙江省哈尔滨市巴彦县华山乡中学中考数学模拟试卷（三） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 室内温度，室外温度，则室内温度比室外温度高（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 4. 某企业年产值9850000万元，将9850000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图使用五个相同的立方体搭成的几何体，其主视图是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为的直径，为的切线，连接交于点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位所得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 分式方程的解为（　　） A. x＝﹣ B. x＝ C. x＝ D. x＝ 9. 吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上，家到公园、公园到学校的距离分别为400m，600m．他从家出发匀速步行8min到公园后，停留4min，然后匀速步行6min到学校，设吴老师离公园的距离为y（单位：m），所用时间为x（单位：min），则下列表示y与x之间函数关系的图象中，正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（ ） A. B. C. D. 4 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 11. 在函数中，自变量x的取值范围是______． 12. 计算：﹣=__． 13. 因式分解：_____________ ． 14. 不等式组的解集为_______________. 15. 抛物线的顶点坐标为______． 16. 定义： 若x， y满足 ，且（t为常数），则称点为“和谐点”．若是“和谐点”，则____ 17. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分，若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是__________． 18. 一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是______度． 19. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为_______． 20. 如图，边长为6的正方形中，M为对角线上的一点，连接并延长交于点P．若，则的长为____________． 三、解答题：本题共7小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图1，点P是线段上与点A，点B不重合的任意一点，在的同侧分别以A，P，B为顶点作，其中与的一边分别是射线和射线，的两边不在直线上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段为等联线． 如图2，在的方格纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，为端点在格点的已知线段．请在图图6中用四种不同连接格点的方法，作出以线段为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹． 23. 某校组织全校800名学生开展安全教育，为了解该校学生对安全知识的掌握程度，现随机抽取40名学生进行安全知识测试，并将测试成绩（百分制）作为样本数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． ①将样本数据分成5组：，，，，，并制作了如图所示的不完整的频数分布直方图； ②在这一组的成绩分别是：80，81，83，83，84，85，86，86，86，87，88，89． 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）抽取的40名学生成绩的中位数是___________； （3）如果测试成绩达到80分及以上为优秀，试估计该校800名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有多少人？ 24. 某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度，在建筑物附近有一斜坡，坡长米，坡角，小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为，在D处测得建筑物顶端A的仰角为．（已知点A，B，C，D在同一平面内，B，C在同一水平线上） （1）求点D到地面的距离； （2）求该建筑物的高度． 25. 今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵． （1）求该班的学生人数； （2）这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元．购买这批树苗的总费用没有超过5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？ 26. 已知：在中，都是直径，E、F分别在上，且，连接、 （1）如图1，求证：； （2）如图2，延长交于H，G在上，连接，，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，延长交于N，连接交于M，若M为的中点，，求线段的长． 27. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴于A、B两点，点A的坐标为，点B的坐标为 （1）求b、c的值； （2）如图1，点C为该抛物线的顶点，连接交y轴于点D，连接，点E在线段上，连接，求点E的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，点F在线段上，点H在点C的右侧，连接，连接交线段于点G，若，，的面积等于的面积的，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年黑龙江省哈尔滨市巴彦县华山乡中学中考数学模拟试卷（三） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 室内温度，室外温度，则室内温度比室外温度高（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据题意列出算式，然后根据有理数的减法法则计算即可． 【详解】解：根据题意得， 即室内温度比室外温度高， 故选：B． 2. 下列各式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案． 【详解】解：A、3mn−3n，无法计算，故此选项错误； B、，故此选项错误； C、，正确； D、，故此选项错误； 故选C． 【点睛】此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 3. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心；根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故A符合题意； B、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故B不符合题意； C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意； D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意． 故选：A 4. 某企业年产值9850000万元，将9850000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，据此进行表示即可，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解： 故选：B 5. 如图使用五个相同的立方体搭成的几何体，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：主视图是从物体的正面看得到的视图，从正面看：共两层，上边一层最右边有1个正方形，下边一层有3个正方形． 故选D． 【点睛】本题考查简单组合体的三视图． 6. 如图，为的直径，为的切线，连接交于点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由切线的性质定理，得到，由，求出，由等腰三角形的性质，得到，由三角形外角的性质得到，即可求出的度数． 【详解】解：为的切线， 半径， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 7. 抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位所得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移，根据二次函数图像的平移规律即可解答． 掌握函数图像的平移规律“左加右减，上加下减”是解答本题的关键． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后， 得到的新的抛物线的解析式为：． 故选：B． 8. 分式方程的解为（　　） A. x＝﹣ B. x＝ C. x＝ D. x＝ 【答案】B 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】方程两边同时乘以，去分母得：解得：x＝，经检验x＝是分式方程的解．故选B． 【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 9. 吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上，家到公园、公园到学校的距离分别为400m，600m．他从家出发匀速步行8min到公园后，停留4min，然后匀速步行6min到学校，设吴老师离公园的距离为y（单位：m），所用时间为x（单位：min），则下列表示y与x之间函数关系的图象中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据吴老师离公园的距离以及所用时间可判断． 【详解】解：吴老师家出发匀速步行8min到公园，表示从(0，400)运动到(8，0)； 在公园，停留4min，然后匀速步行6min到学校，表示从(12，0)运动到(18，600)； 故选：C． 【点睛】本题考查函数的图象，解题的关键是正确理解函数图象表示的意义，明白各个过程对应的函数图象． 10. 如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由作图可知平分，设与交于点O，与交于点R，作于点Q，根据角平分线的性质可知，进而证明，推出，设，则，解求出．利用三角形面积法求出，再证，根据相似三角形对应边成比例即可求出． 【详解】解：如图，设与交于点O，与交于点R，作于点Q， 矩形中，， ， ． 由作图过程可知，平分， 四边形是矩形， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ． ． ， ． ，， ， ，即， 解得． 故选A． 【点睛】本题考查角平分线的作图方法，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，涉及知识点较多，有一定难度，解题的关键是根据作图过程判断出平分，通过勾股定理解直角三角形求出． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 11. 在函数中，自变量x的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，根据分式中分母不为0，得到，即可求解． 【详解】解：根据题意：， 得 故答案为：． 12. 计算：﹣=__． 【答案】 【解析】 【分析】先将二次根式化简，然后合并同类二次根式即可． 【详解】原式=3-2 =． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，解答本题得关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． 13. 因式分解：_____________ ． 【答案】 【解析】 【详解】解：x3-4x2+4x =x（x2-4x+4） =x（x-2）2． 故答案为：x（x-2）2． 【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用． 14. 不等式组的解集为_______________. 【答案】x＞3 【解析】 【详解】解： 由（1）得：x≥1； 由（2）得：x＞3，∴原不等式的解集为：x＞3．故答案为x＞3． 15. 抛物线的顶点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，对于二次函数，其顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 16. 定义： 若x， y满足 ，且（t为常数），则称点为“和谐点”．若是“和谐点”，则____ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质等知识， 读懂题意，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据“和谐点”的定义得到，，整理得到，解得，（不合题意，舍去），即可得到答案 【详解】若是“和谐点”，则， 则，， ∴， 即，解得，（不合题意，舍去）， ∴， 故答案为：． 17. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分，若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】用树状图把所有情况列出来，即可求出． 【详解】 总共有12种组合， 《论语》和《大学》的概率， 故答案为：． 【点睛】此题考查了用树状图或列表法求概率，解题的关键是熟悉树状图或列表法，并掌握概率计算公式． 18. 一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是弧长的计算，设扇形的圆心角为，根据弧长公式列式计算即可． 【详解】解：设扇形的圆心角为， 由题意得：， 解得：， 故答案为：． 19. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为_______． 【答案】或或 【解析】 【分析】连接，根据已知条件可得，进而分类讨论即可求解． 【详解】解：连接，取的中点，连接，如图所示， ∵在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴ ∴， ∴ ∴， 如图所示，当点在上时，此时，则旋转角的度数为， 当点在的延长线上时，如图所示，则 当在的延长线上时，则旋转角的度数为，如图所示， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形， ∴ 即是直角三角形， 综上所述，旋转角的度数为或或 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 20. 如图，边长为6的正方形中，M为对角线上的一点，连接并延长交于点P．若，则的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据正方形的性质、三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，继而得到，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后利用勾股定理、含角的直角三角形的性质求解即可得． 【详解】∵边长为6的正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 解得∶， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握正方形的性质是解题关键． 三、解答题：本题共7小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值．先约分，再进行同分母的减法运算得到原式，然后根据特殊角的三角函数值得到，然后把a的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 22. 如图1，点P是线段上与点A，点B不重合的任意一点，在的同侧分别以A，P，B为顶点作，其中与的一边分别是射线和射线，的两边不在直线上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段为等联线． 如图2，在的方格纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，为端点在格点的已知线段．请在图图6中用四种不同连接格点的方法，作出以线段为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹． 【答案】 图形如图所示答案不唯一 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是理解题意正确作出图形． 根据定义结合网格特点，画出图形即可． 【详解】略 23. 某校组织全校800名学生开展安全教育，为了解该校学生对安全知识的掌握程度，现随机抽取40名学生进行安全知识测试，并将测试成绩（百分制）作为样本数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． ①将样本数据分成5组：，，，，，并制作了如图所示的不完整的频数分布直方图； ②在这一组的成绩分别是：80，81，83，83，84，85，86，86，86，87，88，89． 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）抽取的40名学生成绩的中位数是___________； （3）如果测试成绩达到80分及以上为优秀，试估计该校800名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有多少人？ 【答案】（1）补全的频数分布直方图如下图所示， ； （2）82 （3）估计该校800名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有人． 【解析】 【分析】（1）根据总人数减去其他组的人数求得的人数，即可补全直方图； （2）根据中位数为第20、21个数据的平均数，结合直方图或分布表可得； （3）用样本估计总体即可得． 【小问1详解】 解：(人)， 【小问2详解】 解：∵， ∴第20、21个数为81、83； ∴抽取的40名学生成绩的中位数是； 故答案为：82； 【小问3详解】 解：由题意可得：（人）， 答：估计该校800名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有人． 【点睛】本题考查频数分布直方图、中位数，用样本估计总体，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 24. 某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度，在建筑物附近有一斜坡，坡长米，坡角，小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为，在D处测得建筑物顶端A的仰角为．（已知点A，B，C，D在同一平面内，B，C在同一水平线上） （1）求点D到地面的距离； （2）求该建筑物的高度． 【答案】（1）5米 （2）米 【解析】 【分析】（1）过点D作，根据坡角的概念及含直角三角形的性质分析求解； （2）通过证明，然后解直角三角形分析求解． 【小问1详解】 解：过点D作， 由题意可得， ∴在Rt中，， 即点D到地面的距离为5米； 【小问2详解】 如图， 由题意可得，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴在Rt中，，即， 解得， 在Rt中，，即， 解得， 答：该建筑物的高度为15米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角、坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 25. 今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵． （1）求该班的学生人数； （2）这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元．购买这批树苗的总费用没有超过5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？ 【答案】（1）该班的学生人数为45人 （2）至少购买了甲树苗80棵 【解析】 【分析】（1）设该班的学生人数为x人，根据两种方案下树苗的总数不变列出方程求解即可； （2）根据（1）所求求出树苗的总数为155棵，设购买了甲树苗m棵，则购买了乙树苗棵树苗，再根据总费用不超过5400元列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设该班的学生人数为x人， 由题意得，， 解得， ∴该班的学生人数为45人； 【小问2详解】 解：由（1）得一共购买了棵树苗， 设购买了甲树苗m棵，则购买了乙树苗棵树苗， 由题意得，， 解得， ∴m得最小值为80， ∴至少购买了甲树苗80棵， 答：至少购买了甲树苗80棵． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程，找到不等关系列出不等式是解题的关键． 26. 已知：在中，都是直径，E、F分别在上，且，连接、 （1）如图1，求证：； （2）如图2，延长交于H，G在上，连接，，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，延长交于N，连接交于M，若M为的中点，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：，，， ， ， ， ， ； （2） 证明：， ， ， ， ， ， ， ， 为直径 ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）证明，得出，则可得出结论； （2）证明，再证明，即可得出； （3）连接，证明，得出，设，则，得出，求出，作于L，由勾股定理可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接， 是的直径， ， 由（2）知， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ，， 作于L， ，， ， ， ， 【点睛】本题主要考查了圆与三角形的综合，考查了圆周角定理及其推论，弧弦之间的关系，垂径定理，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解决问题的关键． 27. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴于A、B两点，点A的坐标为，点B的坐标为 （1）求b、c的值； （2）如图1，点C为该抛物线的顶点，连接交y轴于点D，连接，点E在线段上，连接，求点E的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，点F在线段上，点H在点C的右侧，连接，连接交线段于点G，若，，的面积等于的面积的，求的面积． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把代入得到，解方程组即可得到结论； （2）由（1）知，抛物线的解析式为，得到顶点，求得直线的解析式：，得到，求得直线的解析式，设，解方程即可得到结论； 作于T，延长交y轴于W连接，作于R，得到，，求得，，作于M，作于N，根据同高三角形的面积比等于底边比，结合平行线分线段成比例，得到，证明，求出，推出四边形是矩形，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到的面积即可． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 由（1）知，抛物线的解析式为， ， 顶点， ； 设直线的解析式为：， 则：，解得：， 直线的解析式为， ∴当时，， ； ∵点B的坐标为， ，， ∴， ∴， 同法可得：直线的解析式：， 设， ， 解得，不符合题意，舍去， ； 【小问3详解】 作于T，延长交y轴于W，连接，作于R， ∵，，， ， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ， 由（2）可知，为的中点， ∴， 作于M，作于N， 的面积的面积的， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ∵，， ∴， ∴， ， ∴， ， ∵，， ∴， 四边形是矩形， ∵，，， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得， ， ∵四边形是矩形， ∴轴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 的面积． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积公式，勾股定理，矩形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，正确地找出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $