精品解析：2025年河南省郑州市九年级中考一模数学试题

郑州市2025年中招第一次适应性测试 数学试题卷 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 检测4个篮球，其中超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数．从轻重的角度看，下列数据更接近标准的是（ ） A. 2.5 B. 0.7 C. +3.2 D. +0.8 2. 图①是古代必备的粮食度量用具叫“斗”，图②是它的示意图，则该“斗”的三视图中图形相同的是（ ） 图① 图② A. 主视图与俯视图 B. 左视图与主视图 C. 左视图与俯视图 D. 左视图、主视图、俯视图均相同 3. 截至2025年2月26日，中国动画电影《哪吒之魔童闹海》累计票房超过亿元人民币，跃居全球动画票房榜首．数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 5. 如图，在等腰中，，点是边上的中点，，交于点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 某中学为了解七年级学生一分钟仰卧起坐的成绩，对随机选取的30名七年级学生进行了测试．将完成的次数x按照，，，分组，如图所示．已知该校七年级共有600名学生，则其中一分钟仰卧起坐的次数超过40的人数大约是（ ） A. 100 B. 240 C. 260 D. 340 7. 如图，点，，，在上，若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 硫酸钠是一种无机化合物，在工业、农业、食品、医疗等多个领域发挥重要作用．硫酸钠在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 当温度为时，硫酸钠在水中溶解度为0 B. 硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 C. 时，温度每升高，硫酸钠溶解度的增加量不相同 D. 要使硫酸钠的溶解度不低于，温度应控制在 9. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做整点．如图，过整点A，B，C有一条圆弧，如果一条直线与这条圆弧相切于点B，则这条直线可以经过（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 10. 已知抛物线经过点，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 关于x的一元二次方程有实数根，则a的值可以是 _____（写出一个即可）． 12. 如图，某地铁站的进站口共有3个检票闸机，若甲、乙两人各随机选择一个闸机检票进站，则甲、乙两人从相邻的闸机检票进站的概率是______． 13. 如图，直线l经过正方形的中心O，分别与和相交于点E和点F，交的延长线于点G，正方形的面积是16，若，则的面积为______． 14. 分解因式______；若a是整数，则一定能被整数k（k是一位整数）整除，整数k的最大值是______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴上方一动点，且，以点为直角顶点构造等腰直角三角形，当线段取最大值时，的长度为______，点的坐标为______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 小明家安排家庭旅行，计划从某汽车租赁公司租借一辆电动汽车，使用时间为一天，往返行程为，该公司有A，B，C三种型号的电动汽车，每辆车每天的费用分别为360元、450元、600元．小明为了选择合适型号的汽车，进行网络调查，获得了这三种型号汽车充满电后行驶里程的数据，如图所示． 小明对数据进行分析，得到三种型号汽车的续航里程的统计量如下表所示． 型号 平均数（） 中位数（） 众数（） 方差（） A 200 200 205 37.5 B 216 215 220 31.5 C 227.5 227.5 225 28.75 小明既想尽可能的避免行程中充电耽误时间，又想减少租车费用，应租借哪种型号的电动汽车？请结合统计图、统计量等信息综合分析，并给出合理的建议． 18. 如图，在四边形中，，，相交于点O，． （1）找出图中与相等的角，并说明理由． （2），请用无刻度的直尺和圆规作菱形，点E，F分别在边，上（保留作图痕迹，不写作法）． 19. 如图，点在反比例函数的图象上，当时，过点分别作轴、轴的垂线，垂足为点；过点分别作轴、轴的垂线，垂足为点，，交于点，四边形的面积为． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）求与的函数关系式； （3）随着的增大，四边形的面积如何变化？请简要说明理由． 20. 如图，，，，是上的四个点，，交于点，，． （1）求的长； （2）若要使，需要添加一个条件．请从“条件：“”，条件：是的直径”，“条件：”中选择添加一个你认为正确的条件，并写出相应的证明过程． 21. 小亮坚持体育锻炼，并用某种健身软件进行记录．小亮周六进行了两组运动，第一组安排30个深蹲，20个开合跳，健身软件显示消耗热量34千卡；第二组安排20个深蹲，40个开合跳，健身软件显示两组运动共消耗热量70千卡． （1）小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗多少热量？ （2）小亮想设计一个10分钟的锻炼组合，只进行深蹲和开合跳两个动作，且深蹲的数量不少于开合跳的数量．每个深蹲用时4秒，每个开合跳用时2秒，小亮安排多少个深蹲消耗的热量最多？ 22. 综合与实践：制作无盖正三棱柱纸盒 如图1，正方形纸片的边长为12，在正方形内部作等边三角形，连接． （1）求证：． （2）如图2，在等边三角形的三个角处分别截去一个彼此全等的四边形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒（纸盒厚度忽略不计）． ①该纸盒的高为x，用含x的代数式表示该纸盒底面的边长，并确定x的取值范围． ②该纸盒的侧面积是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，请说明理由． 23. 如图1，在矩形中，，连接与重合，将绕点顺时针方向旋转，连接，． （1）旋转过程中一定是等腰三角形的三角形有______，的值为______． （2）当点落在对角线所在直线上时，求的长． （3）连接，试探究能否构成以为直角边的，若能，直接写出线段的长；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郑州市2025年中招第一次适应性测试 数学试题卷 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 检测4个篮球，其中超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数．从轻重的角度看，下列数据更接近标准的是（ ） A. 2.5 B. 0.7 C. +3.2 D. +0.8 【答案】B 【解析】 【分析】根据正负数的意义，绝对值最小的即为最接近标准的． 【详解】解：∵0.7＜0.8＜2.5＜3.2， ∴从轻重的角度来看，最接近标准的是记录为-0.7的． 故选B． 【点睛】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 2. 图①是古代必备的粮食度量用具叫“斗”，图②是它的示意图，则该“斗”的三视图中图形相同的是（ ） 图① 图② A. 主视图与俯视图 B. 左视图与主视图 C. 左视图与俯视图 D. 左视图、主视图、俯视图均相同 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，熟知三视图的特点是解答的关键．根据简单几何体的三视图解答即可． 【详解】解：该几何体的三视图如图所示： 由三视图可知，左视图与主视图相同， 故选：B． 3. 截至2025年2月26日，中国动画电影《哪吒之魔童闹海》累计票房超过亿元人民币，跃居全球动画票房榜首．数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，熟练掌握“把一个大于的数表示成的形式（其中大于或等于且小于，是正整数）”是解题关键． 按照科学记数法的定义即可求解． 【详解】解：亿． 故选：C． 4. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法及幂的乘方，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据同底数幂的乘除法及幂的乘方可进行求解． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故不符合题意； B、，计算正确，故符合题意； C、，原计算错误，故不符合题意； D、，原计算错误，故不符合题意； 故选B． 5. 如图，在等腰中，，点是边上的中点，，交于点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质等知识，先根据等边对等角求出，然后根据三角形内角和定理求出，再根据三线合一的性质求出，最后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，点是边上的中点， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6. 某中学为了解七年级学生一分钟仰卧起坐的成绩，对随机选取的30名七年级学生进行了测试．将完成的次数x按照，，，分组，如图所示．已知该校七年级共有600名学生，则其中一分钟仰卧起坐的次数超过40的人数大约是（ ） A. 100 B. 240 C. 260 D. 340 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，利用样本估计总体，根据题意找出所需数据是解题关键．用校七年级学生人数乘以样本中一分钟仰卧起坐的次数超过40的人数所占百分比，即可求解． 【详解】解：（人）， 即其中一分钟仰卧起坐的次数超过40的人数大约是340， 故选：D． 7. 如图，点，，，在上，若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了弧、弦、圆心角、圆周角的关系，掌握弧、弦、圆心角、圆周角的关系是解题关键． 根据弧、弦、圆心角、圆周角的关系逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，，该选项正确，但不符合题意； B、，，，，该选项正确，但不符合题意； C、由已知条件无法判断，故无法判断，故该选项错误，但符合题意； D、由B选项得，，该选项正确，但不符合题意． 故选：C． 8. 硫酸钠是一种无机化合物，在工业、农业、食品、医疗等多个领域发挥重要作用．硫酸钠在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 当温度为时，硫酸钠在水中溶解度为0 B. 硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 C. 时，温度每升高，硫酸钠溶解度的增加量不相同 D. 要使硫酸钠的溶解度不低于，温度应控制在 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了溶解度曲线的解读与应用，解题的关键是结合题目给出的温度与溶解度对应数据，逐一验证选项中关于溶解度概念、变化趋势、变化量及特定溶解度对应温度范围的描述是否正确． 根据图中提供的核心数据分析各选项即可． 【详解】解：A、题目未给出时硫酸钠的溶解度数据，且固体物质的溶解度一般不为，此选项不符合题意； B、由数据可知，时溶解度为，时溶解度为，说明温度升高到一定程度后，硫酸钠的溶解度反而减小，并非随温度升高而增大，此选项不符合题意； C、时，溶解度曲线为非线性变化（多数固体溶解度曲线并非直线），因此温度每升高，溶解度的增加量不相同，此选项符合题意； D、时溶解度为，时溶解度为，但无法确定之后溶解度是否仍不低于，且题目未明确“仅满足”，此选项不符合题意； 故选：C． 9. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做整点．如图，过整点A，B，C有一条圆弧，如果一条直线与这条圆弧相切于点B，则这条直线可以经过（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了切线的性质以及垂径定理和坐标与图形的性质，得出时，，即得出点的坐标是解决问题的关键．根据垂径定理的性质得出圆心所在位置，再根据切线的性质得出，时E点的位置即可． 【详解】解：连接，作，的垂直平分线，交格点于点，则点就是所在圆的圆心， ∴三点组成的圆的圆心为：， ∵只有时，与圆相切， 此时，，且， ∴， ∴，则点的坐标为：， 延长，可知过点，， ∴点与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：，，． 故选：C． 10. 已知抛物线经过点，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据抛物线，得出抛物线开口向上，有最低点，求出对称轴为，当或当时，，得出离对称轴越远，函数值越大，结合，得出点离对称轴要比点离对称轴远，，得出，则点在对称轴的左边，点在对称轴的右边，得出不等式求解，综合得出答案即可． 【详解】解：∵抛物线经过点，， ∴抛物线开口向上，有最低点，对称轴为， 当或当时，， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴点离对称轴要比点离对称轴远，， ∴， ∴点在对称轴的左边，点在对称轴的右边， ∴， 解得：， 综上所述，， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 关于x的一元二次方程有实数根，则a的值可以是 _____（写出一个即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型． 由于方程有实数根，则其根的判别式，由此可以得到关于a的不等式，解不等式就可以求出a的取值范围，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ， 解上式得． ∴的任意实数． ∴a的值可以是1（答案不唯一）． 故答案为：1（答案不唯一）． 12. 如图，某地铁站的进站口共有3个检票闸机，若甲、乙两人各随机选择一个闸机检票进站，则甲、乙两人从相邻的闸机检票进站的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键；先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到甲、乙两人从相邻闸机检票进站的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设三个闸口分别用A、B、C表示，列表格如下： A B C A B C 由表格可知，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人从相邻的闸机检票进站的结果有4种， 甲、乙两人从相邻的闸机检票进站的概率为， 故答案为：． 13. 如图，直线l经过正方形的中心O，分别与和相交于点E和点F，交的延长线于点G，正方形的面积是16，若，则的面积为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键。 如图：连接，根据正方形的性质以及已知条件可证明可得，进而得到,再证明，根据相似三角形的性质列比例式可得，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵正方形的中心O，面积是16， ∴，， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴，即,解得：， ∴的面积为. 故答案为：1. 14. 分解因式______；若a是整数，则一定能被整数k（k是一位整数）整除，整数k的最大值是______． 【答案】 ①. ②. 6 【解析】 【分析】此题考查了因式分解以及应用，先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可，然后得到，，是三个连续的整数，进而求解即可． 【详解】解： ； ∵a是整数， ∴，，是三个连续的整数 ∴能被，，，整除 ∴整数k的最大值是6． 故答案为：，6． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴上方一动点，且，以点为直角顶点构造等腰直角三角形，当线段取最大值时，的长度为______，点的坐标为______． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】此题考查了等腰直角三角形的性质， 全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握判定与性质是解题的关键． 以为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形，连接，证明，则有，由，当三点共线时，有最大值，即的长度最大值为，过轴于点，然后根据等腰三角形的性质和勾股定理即可求出点的坐标． 【详解】解：如图，以为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形，连接， 由题意得：， ，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 由， ∴当三点共线时，有最大值， 即的长度最大值为， 如图，过轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：，． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据开立方运算法则、零指数幂的运算法则、负数指数幂的运算法则解答即可； （2）根据分式的混合运算法则解答即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查了开立方运算法则、零指数幂的运算法则、负数指数幂的运算法则，分式的混合运算法则，熟记对应法则是解题的关键． 17. 小明家安排家庭旅行，计划从某汽车租赁公司租借一辆电动汽车，使用时间为一天，往返行程为，该公司有A，B，C三种型号的电动汽车，每辆车每天的费用分别为360元、450元、600元．小明为了选择合适型号的汽车，进行网络调查，获得了这三种型号汽车充满电后行驶里程的数据，如图所示． 小明对数据进行分析，得到三种型号汽车的续航里程的统计量如下表所示． 型号 平均数（） 中位数（） 众数（） 方差（） A 200 200 205 37.5 B 216 215 220 31.5 C 227.5 227.5 225 28.75 小明既想尽可能的避免行程中充电耽误时间，又想减少租车费用，应租借哪种型号的电动汽车？请结合统计图、统计量等信息综合分析，并给出合理的建议． 【答案】选择B型号汽车，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了调查与统计的相关知识，掌握平均数，中位数，众数，方差的计算及意义是解题的关键． 根据平均数，中位数，众数，方差进行决策即可． 【详解】解：A型号汽车的平均里程、中位数和众数均低于， 且只有的车辆能达到行程要求，故不建议选择； B，C型号汽车的平均里程、中位数和众数都超过， 其中B型号汽车有符合行程要求，很大程度上可以避免行程中充电耽误时间，C型号汽车的方差虽然比B型号汽车小，但相差不大， 且B型号汽车比C型号汽车更经济实惠， ∵小明既想尽可能的避免行程中充电耽误时间，又想减少租车费用， ∴建议选择B型号汽车． 18. 如图，在四边形中，，，相交于点O，． （1）找出图中与相等的角，并说明理由． （2），请用无刻度的直尺和圆规作菱形，点E，F分别在边，上（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1），见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图一复杂作图，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结合平行线的性质，全等三角形的判定证明，则，进而可得四边形为平行四边形，从而可得结论． （2）作线段的垂直平分线，分别交，于点，，连接，即可． 【小问1详解】 证明：．理由如下： ， ， 在与中， ， ∴ ， ∴四边形为平行四边形， ， ； 【小问2详解】 如图，菱形即为所求． ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵垂直平分， ∴，且经过点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， 则四边形即为所求． 19. 如图，点在反比例函数的图象上，当时，过点分别作轴、轴的垂线，垂足为点；过点分别作轴、轴的垂线，垂足为点，，交于点，四边形的面积为． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）求与的函数关系式； （3）随着的增大，四边形的面积如何变化？请简要说明理由． 【答案】（1） （2） （3）S逐渐增大，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象与几何图形的综合，矩形的判定和性质，掌握反比例函数图象的性质是关键． （1）点在反比例函数图象上，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意得到，四边形、四边形、四边形、四边形为矩形，由代入计算即可求解； （3）根据，结合反比例函数图象的性质判定即可． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数图象上， 代入解析式得，， ∴， ∴反比例函数解析式为． 【小问2详解】 解：根据题意，轴，轴，轴，轴， ∴四边形、四边形、四边形、四边形为矩形， ∵，则， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：S逐渐增大，理由如下： ∵，， ∴随着m增大，减小，则S逐渐增大． 20. 如图，，，，是上的四个点，，交于点，，． （1）求的长； （2）若要使，需要添加一个条件．请从“条件：“”，条件：是的直径”，“条件：”中选择添加一个你认为正确的条件，并写出相应的证明过程． 【答案】（1）； （2）选择条件：，见解析． 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先由等腰三角形的性质得出，再根据圆周角定理得，故有，证明，再通过相似三角形的性质即可求解； （）条件：：，由，则，根据等腰三角形的性质得出，则，从而求解；选择条件：是的直径，由圆周角定理得，证明，通过相似三角形的性质和勾股定理则求出，从而求解；选择条件：，要使，则需是的直径，题意没有说明． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 选择条件：， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 选择条件：是的直径，如图， 由圆周角定理得， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 选择条件：，如图， ∵， ∴， ∴， ∴是的直径， 要使，则需是的直径，题意没有说明， 故选择条件：不能证明． 21. 小亮坚持体育锻炼，并用某种健身软件进行记录．小亮周六进行了两组运动，第一组安排30个深蹲，20个开合跳，健身软件显示消耗热量34千卡；第二组安排20个深蹲，40个开合跳，健身软件显示两组运动共消耗热量70千卡． （1）小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗多少热量？ （2）小亮想设计一个10分钟的锻炼组合，只进行深蹲和开合跳两个动作，且深蹲的数量不少于开合跳的数量．每个深蹲用时4秒，每个开合跳用时2秒，小亮安排多少个深蹲消耗的热量最多？ 【答案】（1）小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗0.8千卡，0.5千卡热量 （2）100个 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组，不等式，一次函数求最值，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗x千卡，y千卡热量，由此列式求解即可； （2）设小亮安排a个深蹲，则安排开合跳的个数为，由题意得到，设消耗的热量为W千卡，由此列式，根据一次函数求最值的计算方法即可求解． 【小问1详解】 解：设小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗x千卡，y千卡热量， 由题意得：， 解得：， 答：小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗0.8千卡，0.5千卡热量． 【小问2详解】 解：设小亮安排a个深蹲，则安排开合跳的个数为：， 由题意得：， 解得：， 设消耗的热量为W千卡， 则， ∵， ∴W随a的增大而减小， ∴当时，即取得最大值为：， 答：小亮安排100个深蹲消耗的热量最多． 22. 综合与实践：制作无盖正三棱柱纸盒 如图1，正方形纸片的边长为12，在正方形内部作等边三角形，连接． （1）求证：． （2）如图2，在等边三角形的三个角处分别截去一个彼此全等的四边形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒（纸盒厚度忽略不计）． ①该纸盒的高为x，用含x的代数式表示该纸盒底面的边长，并确定x的取值范围． ②该纸盒的侧面积是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）①，② 【解析】 【分析】（1）根据正方形，等边三角形的性质证明，即可求解； （2）①如图所示，作的角平分线交于点，作的角平分线交于点，两角平分线交于点，则，由含30度角的直角三角形的性质得到，，则，同理得到，由此即可求解； ②纸盒侧面积存在最大值，设纸盒侧面积为y，则，结合二次函数求最值的计算方法即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形为正方形 ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：①如图所示，作的角平分线交于点，作的角平分线交于点，两角平分线交于点，则， ∴，则， ∴， 同理，， ∴， 由题意可得，， ∴， ∴， ∴纸盒底面边长为：； ②纸盒侧面积存在最大值，设纸盒侧面积为y， 则， 当时，y取得最大值． 【点睛】本题主要考查正方形，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，二次函数求最值的计算方法，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 23. 如图1，在矩形中，，连接与重合，将绕点顺时针方向旋转，连接，． （1）旋转过程中一定是等腰三角形的三角形有______，的值为______． （2）当点落在对角线所在直线上时，求的长． （3）连接，试探究能否构成以为直角边的，若能，直接写出线段的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1）， （2）的长为或 （3）能，或，理由见详解 【解析】 【分析】（1）根据矩形，旋转的性质即可得到是等腰三角形，再证，得到，即可求解； （2）根据题意，分类讨论：第一种情况，如图所示，点在上时，；第二种情况，如图所示，点在延长线时，，，即；根据勾股定理，相似三角形的判定和性质即可求解； （3）分类讨论：第一种情况，如图所示，，是以为直角边的三角形，由等腰三角形的判定和性质，勾股定理得到，，由此列式可解；第二种情况，如图所示，，是以为直角边的三角形，根据等腰三角形的判定和性质得到四边形是矩形，由此即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∵与重合， ∴， ∴将绕点顺时针方向旋转时，， ∴是等腰三角形， ∵旋转， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：第一种情况，如图所示，点在上时， ∴，，， ∴， 在中，， 由（1）可得，， ∴； 第二种情况，如图所示，点在延长线时， ∴， 在中，， ∵， ∴，即， ∴； 综上所述，的长为或； 【小问3详解】 解：能，或，理由如下， 第一种情况，如图所示，，是以为直角边的三角形， 由（1）可得，，， ∴设， ∵旋转， ∴， ∴是等腰三角形， 过点作于点，交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，，点是中点， ∴， 在中，， ∴， 整理得，， 解得，（负值舍去）， ∴； 第二种情况，如图所示，，是以为直角边的三角形， ∵与重合， ∴， ∴，是等腰三角形， ∴， 过点作与点， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 综上所述，能构成以为直角边的，线段的长为或． 【点睛】本题主要考查矩形的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，中位线的判定和性质等知识的综合，掌握相似三角形的判定和性质，数形结合，分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $