精品解析：吉林省四平市实验中学2024-2025学年高一下学期第一次月考（3月）数学试题

四平市实验中学2024-2025学年下学期第一次月考 高一年级数学 命题人：刘沥丹 审题人：王微 本试卷共4页.考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．答题时请按要求用笔． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，且，则m= A. −8 B. −6 C 6 D. 8 2. 设是平面内一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 3. 在中，斜边长为2，O是平面外一点，点P满足，则等于（ ） A. 2 B. 1 C. D. 4 4. 已知，，，则（ ） A. A、B、D三点共线 B. A、B、C三点共线 C. B、C、D三点共线 D. A、C、D三点共线 5. 设，向量且，则（ ） A. B. C. D. 6. 在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，．则△ABC的形状为( ) A. 正三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 7. 在中，为边上的中线，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知点P是边长为2的菱形内的一点(包含边界)，且，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知平行四边形的三个顶点，则第四个顶点的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 10. 由下列条件解三角形问题中，对解的情况描述正确的是（ ） A. ，有两解 B. ，有两解 C. ，有两解 D. ，有一解 11. 已知两个向量和满足，，与的夹角为，若向量与向量的夹角为钝角，则实数可能的取值为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且，则向量在向量上投影向量为______． 13. 已知的角A，B，C的对边分别为，若，，，则______． 14. 如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，若，则________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量． （1）求向量的坐标； （2）求+向量的模． 16. 在中，内角所对的边分别为，，，已知已知. （1）求角的大小； （2）若，，求的值； （3）若，判断的形状． 17. 已知， （1）求的值； （2）求与的夹角. 18. 的内角的对边分别为，已知. （1）求角； （2）若，且的面积为，求的周长. 19. 如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛粗距都为，与小岛相距为，小岛对小岛与的视角为钝角，且. （1）求小岛与小岛之间的距离； （2）四个小岛所形成四边形的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 四平市实验中学2024-2025学年下学期第一次月考 高一年级数学 命题人：刘沥丹 审题人：王微 本试卷共4页.考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．答题时请按要求用笔． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，且，则m= A. −8 B. −6 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】由已知向量的坐标求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案． 【详解】∵，又， ∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝8． 故选D． 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题． 2. 设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】判断每个选项中的向量是否共线，即可判断出答案. 【详解】由于是平面内的一个基底，故不共线， 和不共线，故A能构成基底， 和共线，故B不能构成基底， 和不共线，故C能构成基底， 根据向量的加减法法则可知和不共线，故D能构成基底， 故选：B 3. 在中，斜边长为2，O是平面外一点，点P满足，则等于（ ） A. 2 B. 1 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的减法可得，从而可得为斜边的中线，即可求解． 【详解】解：， ，， 为斜边的中线，． 故选：B． 4. 已知，，，则（ ） A. A、B、D三点共线 B. A、B、C三点共线 C. B、C、D三点共线 D. A、C、D三点共线 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的加法法则，得到，从而可得结论. 【详解】，，， ，，与共线， 因为两向量有一个公共点B，、B、D三点共线，故A正确． 由，，可得， 所以不存在使得，故A、B、C三点不共线，故B不正确； 由，，可得， 所以不存在使，故B、C、D三点不共线，故C不正确； 因为，， 所以， 又，可得， 所以不存在使，故A、C、D三点不共线，故D不正确； 故选：A. 5. 设，向量且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用垂直关系求出，再利用向量夹角的坐标表示求得答案. 【详解】由向量且，得，则， 所以. 故选：B 6. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．则△ABC的形状为( ) A. 正三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简已知条件可得B，故可判断三角形形状. 【详解】由知，， ∴＝， ，， ， ∴， ∵在△ABC中，， ∴， ∵，∴， 即△ABC为直角三角形． 故选：C． 7. 在中，为边上的中线，且，则（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用为边上的中线，得到，再结合，得到，运用向量的加减及数乘等运算把表示为与的线性关系 【详解】如图所示： ∵为边上的中线 ∴， ∵ ∴ ∴ 故选：A 8. 已知点P是边长为2的菱形内的一点(包含边界)，且，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图建系，可求得A,B,C,D的坐标，设，则可得的表达式，根据x的范围，即可求得答案. 【详解】如图，建立平面直角坐标系，则. 设，则，故， 即的取值范围是. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知平行四边形的三个顶点，则第四个顶点的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，利用平行四边形的性质以及共线向量，即可求解. 【详解】根据题意，，，， 要使四个点能构成平行四边形，则只需满足或或， 经过验证可得，，满足，不满足. 故选：ABC. 10. 由下列条件解三角形问题中，对解的情况描述正确的是（ ） A. ，有两解 B. ，有两解 C. ，有两解 D. ，有一解 【答案】BD 【解析】 【分析】ABC选项，根据得到三角形有一解，由得到三角形有两解，D选项，由余弦定理得到唯一，故三角形有一解. 【详解】对A：由知，，所以三角形有一解，A错误； 对B：由，即，所以三角形有两解，B正确； 对C：由，即，故三角形为直角三角形，有一解，C错误； 对D：， 由余弦定理得，唯一，已知两边及其夹角知三角形有一解，D正确. 故选：BD． 11. 已知两个向量和满足，，与的夹角为，若向量与向量的夹角为钝角，则实数可能的取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，，且不能共线，再求解即可得实数的取值范围，进而得答案. 【详解】解：因为，，与的夹角为， 所以， 因为向量与向量的夹角为钝角， 所以，且不能共线， 所以，解得， 当向量与向量共线时，有，即，解得， 所以实数的取值范围， 所以实数可能的取值为A，D 故选：AD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且，则向量在向量上的投影向量为______． 【答案】 【解析】 【分析】由投影向量计算公式即可求解. 【详解】由条件可得： 向量在向量上的投影向量为， 故答案为： 13. 已知的角A，B，C的对边分别为，若，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】应用正弦定理计算求解. 【详解】因为， 由正弦定理得， 所以. 故答案为： 14. 如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，若，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题可用表示，后由B，P，N三点共线可得答案. 【详解】． 因为N为线段AC上靠近A点三等分点，所以． 又B，P，N三点共线，所以，． 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15 已知向量． （1）求向量的坐标； （2）求+向量的模． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标运算求得正确答案. （2）先求得，然后求得的模. 【小问1详解】 依题意，向量， ， . 【小问2详解】 由于， 所以. 16. 在中，内角所对的边分别为，，，已知已知. （1）求角的大小； （2）若，，求的值； （3）若，判断的形状． 【答案】（1）； （2）； （3）正三角形． 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出的大小作答. （2）代入给定等式计算作答. （3）根据已知条件可得，再结合（1）确定三角形的形状作答. 【小问1详解】 在中，由及余弦定理得，而， 所以. 【小问2详解】 由，及，得， 所以. 【小问3详解】 由及，得，则，由（1）知， 所以为正三角形. 17. 已知， （1）求的值； （2）求与的夹角. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由化简求出，再由可求得结果， （2）先求出，，然后利用向量的夹角公式求解即可 【小问1详解】 因为，， 所以，，得， 所以 【小问2详解】 因为， ， 所以， 因为， 所以， 即与的夹角为 18. 的内角的对边分别为，已知. （1）求角； （2）若，且的面积为，求的周长. 【答案】（1）或； （2）当时，周长为；当时，周长为； 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和三角变换求出角；（2）利用余弦定理求出，即可求出周长. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得：，所以可化为：. 因为，所以，所以. 因为，所以或. 【小问2详解】 因为的面积为，所以,即，解得：. 由余弦定理得：. 当时， 有，所以，解得：符合题意， 所以的周长为. 当时， 有，所以，解得：符合题意， 所以的周长为. 19. 如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛粗距都为，与小岛相距为，小岛对小岛与的视角为钝角，且. （1）求小岛与小岛之间的距离； （2）四个小岛所形成的四边形的面积. 【答案】（1）；（2）18平方 【解析】 【分析】（1）由已知求出，在中运用余弦定理，即可求出； （2）由四点共圆，可得，在中用余弦定理求出，由三角形面积公式分别求出面积，即可求出结论. 【详解】解：（1）∵，且角为钝角， ∴， 中，由余弦定理得： ， ∴， ∴， 解得或（舍）. ∴小岛与小岛之间的距离为； （2）∵，，，四点共圆，∴角与角互补， ∴，， 在中，由余弦定理得：， ∴， ∴. 解得（舍）或. ∴ . ∴四个小岛所形成的四边形的面积为18平方. 【点睛】本题考查余弦定理解三角形以及求三角形面积，考查计算能力，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$