精品解析：海南省琼海市嘉积中学2024-2025学年八年级下学期第一次大练习数学试题

嘉积中学2024-2025学年度第二学期第一次大练习 八年级数学科试题 （时间：100分钟 满分：120分） 欢迎你参加这次测试，祝你取得好成绩！ 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 若，则计算的正确结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 将代入计算即可． 【详解】解：， ， 故选：B ． 2. 一个正比例函数的图象经过点，下面哪个点还在该函数图像上（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键．先求出正比例函数的解析式，再对所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：令正比例函数的解析式为 ， 则， 解得， 所以正比例函数的解析式为． 将代入得，所以A选项不符合题意． 将 代入得， ，所以B选项符合题意． 将 代入得， ，所以C选项不符合题意． 将代入得， ，所以D选项不符合题意． 故选：B． 3. 的三边为a，b，c，不能判断 为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定，涉及勾股定理的逆定理、三角形的内角和等知识，根据所给的条件，结合勾股定理逆定理、三角形内角和定理逐项判断即可作答． 【详解】解：A．∵ ∴设，，， ∴ ∴ 是直角三角形，故A选项不符合题意； B．∵， ∴可设，，， ∴， ∴ 是直角三角形，故B选项不符合题意； C．∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ 是直角三角形，故C选项不符合题意； D．∵， ∴最大角， ∴ 不是直角三角形，故D选项符合题意， 故选：D． 4. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点B的坐标为，则对角线的长为（　　） A. B. C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键； 本题由坐标系中点到原点的距离计算公式求出的长，然后根据矩形的性质对角线相等，即可求解； 【详解】解：连接，如图： ， ∵顶点B的坐标为， ∴， ∵四边形 是矩形， ∴； 故选：A； 5. 已知点在第三象限，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查判断一次函数经过的象限，先判断a、b的符号，再进一步即可得出结果． 【详解】解：∵点在第三象限， ∴， ∴， ∴一次函数经过第一、二、四象限， 故选：C． 6. 如图，平行四边形的对角线， 相交于点，点，分别是线段 ，的中点．若， 的周长是，则 的长为（ ） A. 12 B. 6 C. 3 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理和平行四边形的性质，解答本题需要用到：平行四边形的对角线互相平分，三角形中位线的判定定理及性质．根据，可得出，继而求出，判断 是 的中位线即可得出 的长度． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴ ，， 又∵， ∴， ∵ 的周长是， ∴， ∵点，分别是线段 ，的中点， ∴ 是 的中位线， ∴． 故选 7. 现如今，路上随处可见骑手送外卖．已知骑手甲和骑手乙在同一餐饮店等餐，且均送往距离餐饮店米远的同一小区，由于出餐时间不同，甲出发2分钟后乙再出发（假设甲、乙两骑手在骑行过程中都是匀速行驶）．甲、乙两骑手之间的距离y（单位：米）与骑手甲行驶的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 甲的平均速度大于乙的平均速度 B. 乙出发后用了8分钟追上甲 C. 当乙追上甲时，乙距离小区米 D. 当乙到达小区时，甲距离小区 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意和函数图象中的数据可以逐一判断，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想． 【详解】解：由题图可知，甲先出发2分钟，骑行了600米，8分钟时乙追上甲， ∴乙的平均速度大于甲的平均速度，故A选项不符合题意； 乙出发后用了（分钟）追上甲，故B选项不符合题意； （米/分钟）， ， 解得：（米/分钟）， 当乙追上甲时，骑行了（米）， ∴此时乙距离小区（米），故C选项不符合题意； 乙骑行米所用时间为（分钟）， 则当乙到达小区时，甲骑行了（米）， ∴当乙到小区时，甲与小区的距离为（米），故D选项符合题意； 故选：D． 8. 点在直线上，则大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是掌握一次函数的增减性（当时，随 的增大而减小）． 先判断一次函数的增减性，再比较自变量的大小，进而得出函数值的大小关系． 【详解】解：对于直线，其中，根据一次函数的性质，当时，随 的增大而减小． ，则三个自变量的大小关系为． 因为随 的增大而减小，所以对应的函数值的大小关系为（自变量越大，函数值越小）． 故选：A． 9. 如图，正方形的对角线相交于点，点在 边上，点在 上，过点作，垂足为，若 ，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到．证明，可得，再利用等腰直角三角形即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵ ， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故选：B． 10. 在平面直角坐标系内，直线与直线交于点，点的横坐标为，则关于 的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，函数图像交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 先求出点的坐标，即可得到答案． 【详解】解：直线与直线交于点，点的横坐标为， ， 关于 的方程组的解是， 故选：A ． 11. 若一次函数的图象不经过第三象限，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，先根据一次函数的图象不经过第三象限可得一次函数的图象经过第二、四象限或一次函数的图象经过第一、二、四象限，分两种情况进行计算即可得到答案．解题的关键是掌握：一次函数（ 、 为常数，，当， 时，图象经过一、二、三象限；当， 时，图象经过一、三、四象限；当， 时，图象经过一、二、四象限；当， 时，图象经过二、三、四象限． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第三象限， ∴一次函数的图象经过第二、四象限或一次函数的图象经过第一、二、四象限， 当一次函数的图象经过第二、四象限时， 得：，解得：； 当一次函数的图象经过第一、二、四象限时， 得：，解得：； 综上所述， 的取值范围是：． 故选：B． 12. 如图，点的坐标分别为，点为坐标平面内一点，，点 为线段的中点，连接 ，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查线段对称求最大值，中位线的判定和性质，勾股定理，理解线段最大值的取值方法，掌握轴对称求最大值，中位线的判定和性质，勾股定理的运用是解题的关键． 如图所示，以点 为圆心，以为半径画圆，作点 关于轴的对称点，可得， 是的中位线，当 取最大值时，的值也最大，即点三点共线时，有最大值，则 的最大值，在 中，根据勾股定理可得的值，由此可求出的值，即可求解． 【详解】解：如图所示，以点 为圆心，以为半径画圆，作点 关于轴的对称点， ∵， ∴，， ∵，点在上，且点 为线段的中点， ∴ ，且点是的中点， ∴， 当 取最大值时，的值也最大，即点三点共线时，有最大值，则 的值最大， 在 中，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共3小题，每小题3分，共9分） 13. 如图，在 中，，点在边上，； ，则等于 _______ ． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理；设，则，则在中，由勾股定理建立方程组，即可求解． 【详解】解：设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）． 故答案为13． 14. 如图，已知点，直线与两坐标轴分别交于A，B两点 点D，E分别是OB，AB上的动点，则 周长的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】作点C关于OB的对称点 ，作点C关于AB的对称点，连接，交AB于点E，交OB于点D，此时 周长最小，可以证明这个最小值就是线段，根据勾股定理可求 周长的最小值． 【详解】如图，作点C关于OB的对称点，作点C关于AB的对称点，连接，交AB于点E，交OB于点D， 直线与两坐标轴分别交于A，B两点 点，点 ，且， ， 点C关于OB的对称点， ∴, 点C关于AB的对称点， ∴AC=，∠BAO=∠=45°， ∴=90°， 点 由轴对称的性质，可得CE=，CD=D， 当点，点E，点D，点共线时， 的周长=CD+CE+DE=+DE+D=， 此时 的周长最小， 在Rt△中，. 的周长最小值为 故答案为 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，轴对称-最短问题等知识，解题的关键是利用对称性找到点D、点E位置，属于中考常考题型． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线与 轴交于点 ，与轴交于点 ，将沿 轴向左平移2个单位得到，则图中阴影部分的面积为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与坐标交点，一次函数的平移，熟练掌握一次函数的平移，以及求一次函数与坐标轴交点的坐标是解题的关键．先求出一次函数与坐标轴交点 和 的坐标，再利用平移求出直线的解析式，求出其与坐标轴交点和 的坐标，再求面积即可． 【详解】解：如图， 当 时，， 则， 当时，， 解得： ， 则， ∵将沿 轴向左平移2个单位得到， ∴直线 向左平移2个单位得到直线，且， 则直线的解析式为， 时，， 则， ∴． 故答案为： 三、解答题（本大题共7小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）解不等式组 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，求一元一次不等式组解集，熟练掌握实数运算法则和不等式的解法是解题关键． （1）利用实数的混合运算法则和顺序进行计算即可； （2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式的解集公共部分即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： 解不等式①，得：， 解不等式②，得： ， 不等式组的解集为． 17. 水果成熟愁煞人，政府帮忙销四方．某市果农种植的甲、乙两种水果，成熟后受季节气温影响急于销售，政府帮忙联系到水果经销商王老板，为了解决果农之忧，王老板决定每次都从该市果农处购进甲、乙两种水果进行销售．为了感谢王老板，果农对甲种水果的批发价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按40元/千克的价格批发出售．设王老板购进甲种水果x千克，付款y元，与 之间的函数关系如图所示： （1）求出当 和时，y与x之间的函数表达式； （2）若王老板计划一次性购进甲、乙两种水果共120千克，且甲种水果不少于乙种水果的，乙种水果不少于35千克，如何分配甲、乙两种水果的购进量，才能使王老板付款总金额W（元）最少？ 【答案】（1） （2）当购进甲种水果85千克，购进乙种水果35千克时，能使王老板付款总金额最少 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用和一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据题意函数图象中的数据，可以分别求得 和时，y与x之间的函数关系式； （2）设购进甲种水果m千克，则购进乙种水果为千克，根据题意列出不等式组得到，然后利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：当 时，设y与x之间的函数表达式为 ， 则，解得， 即当 时，y与x之间的函数表达式为， 当时，设y与x之间的函数表达式为， 由题意得，解得， 即当时，y与x之间的函数表达式为， 由上可得，y与x之间的函数表达式为． 【小问2详解】 解：设购进甲种水果m千克，则购进乙种水果为千克， 由题意得， ， 则， ∴当时，W取得最小值． 所以当购进甲种水果85千克，购进乙种水果35千克时，能使王老板付款总金额最少． 18. 已知：如图，在 中，E，F分别是 和的中点． （1）求证：四边形 是平行四边形； （2）连接，当与满足怎样关系时，四边形 为矩形，并说明理由． 【答案】（1）详见解析 （2）当时，四边形 为矩形，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的判定即可得证； （2）补充条件为，结合点E为 的中点，利用三线合一性质可得 ，由（1）得四边形 为平行四边形，利用矩形的判定即可得证． 本题考查了平行四边形的性质与判定、矩形的判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定，矩形的判定是解题的关键． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ， ，F分别是和的中点， ，， ， 又， 四边形 为平行四边形． 【小问2详解】 解：当时，四边形 为矩形，理由如下： 如图， ，点E为 的中点， ， ， 由（1）得，四边形 为平行四边形， 四边形 为矩形． 19. 某校为庆祝建党100周年， 举行“青春心向党，奋进新征程”为主题答题比赛，赛后整理参赛同学的成绩，并制作成图表如下： 分数段 频数 频率 30 m 60 n 20 请根据以上图表提供的信息，解答下列问题： （1）表中m和n所表示的数分别为： ________，________； （2）请补全频数分布直方图； （3）如果比赛成绩80分以上（含80分）可以获得奖励，那么获奖率是多少？ 【答案】（1）90， （2）图见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表、频数分布直方图，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． （1）先根据 分数段求出本次参赛同学的总人数，再利用 分数段的频率乘以本次参赛同学的总人数即可得 的值；利用 分数段的频数除以本次参赛同学的总人数即可得 的值； （2）根据 的值补全频数分布直方图即可得； （3）利用比赛成绩80分以上（含80分）的同学人数除以本次参赛同学的总人数即可得． 【小问1详解】 解：本次参赛同学的总人数为（人）， 则， ， 故答案为：90， ． 【小问2详解】 解：由（1）可知分数段在 的频数为90， 补全频数分布直方图如下： 【小问3详解】 解： 答：获奖率是 ． 20. 阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读，然后完成后面的任务． 关于“分母有理化”的研究报告 博学小组 研究对象：利用分母有理化求二次根式的值 研究思路：利用分母有理化的概念将二次根式进行化简，再求值． 研究方法：利用概念——法则的方式进行研究 研究内容：【两个概念】 （1）在二次根式中，将两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，则称这两个代数式互为有理化因式，如 的有理化因式为，的有理化因式是． （2）在解决分母含有二次根式的问题时，我们可以给分子、分母同乘以分母的有理化因式，这样把分母中的根号化去，这种方式称为分母有理化，如：． 【概念理解】 （1）的有理化因式是__________． （2）后分母有理化的结果为__________． 任务： （1）直接写出研究报告中“______”处空缺的部分分别是__________、__________． （2）利用分母有理化比较与的大小． （3）计算：． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了利用分母有理化的概念将二次根式进行化简． （1）根据有理化因式的定义求解； （2）现将与分母有理化，在进行比较即可； （3）利用分母有理化计算即可． 【小问1详解】 解： ； ． 的有理化因式是；后分母有理化的结果为． 【小问2详解】 ， ． ， ． 【小问3详解】 ． 21. 已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA、EC． （1）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC； （2）若点P在线段AB上，如图2，当点P为AB的中点时，判断△ACE的形状，并说明理由； （3）在（1）的条件下，将正方形ABCD固定，正方形BPEF绕点B旋转一周，设AB=4，BP=a，若在旋转过程中△ACE面积的最小值为4，请直接写出a的值． 【答案】 （1）如图1中， ∵四边形ABCD和四边形BPEF是正方形， ∴AB=BC，BP=BF，∴AP=CF， 在△APE和△CFE中，， ∴△APE≌△CFE， ∴EA=EC； （2）△ACE是直角三角形， 理由如下：如图2中， ∵P为AB的中点，∴PA=PB， ∵PB=PE，∴PA=PE，∴∠PAE=45°， 又∵∠BAC=45°， ∴∠CAE=90°，即△ACE是直角三角形； （3）a=1． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定定理证明△APE≌△CFE，根据全等三角形的性质证明结论； （2）根据正方形的性质、等腰直角三角形的性质解答； （3）连接BD、AC交于点O．点E的运动轨迹是以B为圆心，a为半径的圆，则当点E在对角线BD上时，△ACE的面积最小， 根据×AC×OE=4，得到OE=，即可求出BE=2–=，进而求出 a=1． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图3，连接BD、AC交于点O． ∵点E的运动轨迹是以B为圆心，a为半径的圆， ∴当点E在对角线BD上时，△ACE的面积最小， ∵×AC×OE=4，∴OE=， ∵BE=2–=，∴a=1． 【点睛】属于四边形综合题，考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的判定等，难度较大. 22. 如图，四边形 是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上， ，点E在边上，点N的坐标为 ，过点N且平行于y轴的直线与 交于点M．现将纸片折叠，使顶点C落在上，并与上的点G重合，折痕为 ． （1）求点G的坐标，并求直线 的解析式； （2）若直线平行于直线 ，且与长方形 有公共点，请直接写出n的取值范围． （3）设点P为x轴上的点，是否存在这样的点P，使得以为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）G的坐标为，直线 的解析式为；（2）；（3）P的坐标为或或 或 【解析】 【分析】（1）由图形折叠的不变性可得OG的长度，从而可求NG的长度，可得G的坐标；利用待定系数法代入G的坐标，可得直线 的解析式； （2）结合图形，分别求出直线过点M、A时n的值，可得n的取值范围； （3）依据等腰三角形性质的定义，将两腰相等的情况分为三类，分别求解即可． 【详解】解：（1）由折叠的性质可知，， 由勾股定理得，， ∴点G的坐标为， 设直线 的解析式为 ， 将代入 ，得， ∴直线 的解析式为； （2）∵直线平行于直线 ， ，即直线 的解析式为， 当直线 经过点时，， 解得，， 当直线 经过点 时，， 解得，， ∴直线 与长方形 有公共点时，， （3）①当时， 若点P在原点左侧，点P的坐标为， 若点P在原点右侧，点P的坐标为， ②当时， ， ， ， ∴点P的坐标为 ， ③当时， 可得， 在中，，即， 解得，，点P的坐标为， 综上所述，以为顶点的三角形为等腰三角形时， 点P的坐标为或或或． 【点睛】本题利用图形折叠的不变性，考查了一次函数解析式的求法及一次函数图像的平移，同时考查了等要三角形的定义及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握考查内容并利用数形结合的思想求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉积中学2024-2025学年度第二学期第一次大练习 八年级数学科试题 （时间：100分钟 满分：120分） 欢迎你参加这次测试，祝你取得好成绩！ 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 若，则计算的正确结果是（ ） A. B. C. D. 2. 一个正比例函数的图象经过点，下面哪个点还在该函数图像上（ ） A. B. C. D. 3. 的三边为a，b，c，不能判断为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点B的坐标为，则对角线的长为（　　） A. B. C. 5 D. 4 5. 已知点在第三象限，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，平行四边形的对角线， 相交于点，点，分别是线段 ，的中点．若， 的周长是，则 的长为（ ） A. 12 B. 6 C. 3 D. 8 7. 现如今，路上随处可见骑手送外卖．已知骑手甲和骑手乙在同一餐饮店等餐，且均送往距离餐饮店米远的同一小区，由于出餐时间不同，甲出发2分钟后乙再出发（假设甲、乙两骑手在骑行过程中都是匀速行驶）．甲、乙两骑手之间的距离y（单位：米）与骑手甲行驶的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 甲的平均速度大于乙的平均速度 B. 乙出发后用了8分钟追上甲 C. 当乙追上甲时，乙距离小区米 D. 当乙到达小区时，甲距离小区 米 8. 点在直线上，则大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形的对角线相交于点，点在 边上，点在 上，过点作，垂足为，若 ，，则 的长为（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系内，直线与直线交于点，点的横坐标为 ，则关于 的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 11. 若一次函数的图象不经过第三象限，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，点的坐标分别为，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接 ，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共3小题，每小题3分，共9分） 13. 如图，在中，，点在边上，； ，则等于 _______ ． 14. 如图，已知点，直线与两坐标轴分别交于A，B两点 点D，E分别是OB，AB上的动点，则 周长的最小值是______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将沿轴向左平移2个单位得到，则图中阴影部分的面积为______________． 三、解答题（本大题共7小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）解不等式组 17. 水果成熟愁煞人，政府帮忙销四方．某市果农种植的甲、乙两种水果，成熟后受季节气温影响急于销售，政府帮忙联系到水果经销商王老板，为了解决果农之忧，王老板决定每次都从该市果农处购进甲、乙两种水果进行销售．为了感谢王老板，果农对甲种水果的批发价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按40元/千克的价格批发出售．设王老板购进甲种水果x千克，付款y元，与之间的函数关系如图所示： （1）求出当 和时，y与x之间的函数表达式； （2）若王老板计划一次性购进甲、乙两种水果共120千克，且甲种水果不少于乙种水果的，乙种水果不少于35千克，如何分配甲、乙两种水果的购进量，才能使王老板付款总金额W（元）最少？ 18. 已知：如图，在 中，E，F分别是 和的中点． （1）求证：四边形 是平行四边形； （2）连接，当与满足怎样关系时，四边形 为矩形，并说明理由． 19. 某校为庆祝建党100周年， 举行“青春心向党，奋进新征程”为主题答题比赛，赛后整理参赛同学的成绩，并制作成图表如下： 分数段 频数 频率 30 m 60 n 20 请根据以上图表提供的信息，解答下列问题： （1）表中m和n所表示的数分别为： ________，________； （2）请补全频数分布直方图； （3）如果比赛成绩80分以上（含80分）可以获得奖励，那么获奖率是多少？ 20. 阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读，然后完成后面的任务． 关于“分母有理化”的研究报告 博学小组 研究对象：利用分母有理化求二次根式的值 研究思路：利用分母有理化的概念将二次根式进行化简，再求值． 研究方法：利用概念——法则的方式进行研究 研究内容：【两个概念】 （1）在二次根式中，将两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，则称这两个代数式互为有理化因式，如 的有理化因式为，的有理化因式是． （2）在解决分母含有二次根式的问题时，我们可以给分子、分母同乘以分母的有理化因式，这样把分母中的根号化去，这种方式称为分母有理化，如：． 【概念理解】 （1）的有理化因式是__________． （2）后分母有理化的结果为__________． 任务： （1）直接写出研究报告中“______”处空缺的部分分别是__________、__________． （2）利用分母有理化比较与的大小． （3）计算：． 21. 已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA、EC． （1）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC； （2）若点P在线段AB上，如图2，当点P为AB的中点时，判断△ACE的形状，并说明理由； （3）在（1）的条件下，将正方形ABCD固定，正方形BPEF绕点B旋转一周，设AB=4，BP=a，若在旋转过程中△ACE面积的最小值为4，请直接写出a的值． 22. 如图，四边形 是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上， ，点E在边上，点N的坐标为 ，过点N且平行于y轴的直线与 交于点M．现将纸片折叠，使顶点C落在上，并与上的点G重合，折痕为 ． （1）求点G的坐标，并求直线 的解析式； （2）若直线平行于直线 ，且与长方形 有公共点，请直接写出n的取值范围． （3）设点P为x轴上的点，是否存在这样的点P，使得以为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $