精品解析：河北省承德市部分学校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

2024-2025年度高一3月联考 数学试题 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 以下说法中正确的是（ ） A. 两个具有公共起点的向量，一定是共线向量 B. 两个向量不能比较大小，它们的模也不能比较大小 C. 单位向量都是共线向量 D. 向量与向量的长度相等 2. 已知 ，则（ ） A. B. C. D. 3. 为了得到函数的图象，只要把的图象上所有的点（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 4. 函数取得最大值时，（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，则取得最小值时的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，且，则下列说法错误的是（ ） A. 是第四象限角 B. C. D. 8. 点是所在平面内一点，，则的最小值为（ ） A. 25 B. 30 C. 60 D. 80 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正六边形中，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 向量与向量是平行向量 11. 对于函数，下列说法中正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在上单调递增 C. 函数图象的一条对称轴是 D. 函数在上有个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，则___________. 13. 如图所示，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若，，则的值为__________． 14. 当时，曲线与的交点个数为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，，． （1）求的值； （2）求的值． 16. 如图，在矩形中，，点为线段上的动点，与的交点为. （1）求； （2）若点为的中点，求. 17. 已知向量，且与的夹角为. （1）求； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 18. 已知函数. （1）求的图象的对称中心、对称轴及的单调递增区间； （2）当时，求的最值； （3）当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围. 19. 设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：.试求解下列问题. （1）已知向量满足，求的值； （2）在平面直角坐标系中，已知点，求的值； （3）已知向量，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025年度高一3月联考 数学试题 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 以下说法中正确的是（ ） A. 两个具有公共起点的向量，一定是共线向量 B. 两个向量不能比较大小，它们的模也不能比较大小 C. 单位向量都是共线向量 D. 向量与向量的长度相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的定义、向量模的定义、共线向量的定义逐一判断即可. 【详解】共起点不代表共线，向量的方向是由起点和终点共同决定的，故A错误； 向量既有大小又有方向，因此两个向量不能比较大小，而它们的模是表示它们的有向线段的长度，是非负实数，可以比较大小，故B错误； 单位向量指的是模长为1的向量，方向有无数种情况，故C错误； 向量与向量的长度相等，故D正确. 故选：D. 2. 已知 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平方的方法求得正确答案. 【详解】由两边平方得， 即. 故选：C 3. 为了得到函数的图象，只要把的图象上所有的点（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象平移的规则推导即可. 【详解】由题意，所以将的图象上所有的点向右平移个单位长度，即可得到的图象. 故选：A. 4. 函数取得最大值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数得，且，根据取得最大值时，得，利用诱导公式化简即可求解. 【详解】根据辅助角公式，其中， 可得，， 则，， 所以， 当时，取得最大值， 此时，移项可得， 可得， 所以， 故选：A. 5. 已知向量，则取得最小值时的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由于向量的坐标，求得向量的坐标，利用坐标求向量的模长，计算化简可得，即可求解. 【详解】因为， 所以， 则 故当时，取得最小值. 故选：C. 6. 如图，在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等式变形得出，由已知等式结合平面向量的线性运算可得出关于的表达式，利用平面向量数量积的运算性质可得出的值. 【详解】因为，所以，，化简可得， 因为，即，可得， 故. 故选：C. 7. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，且，则下列说法错误的是（ ） A. 是第四象限角 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出的值，可判断C选项；求出点的坐标，可判断A选项；根据余弦函数的单调性可判断B选项；求出的值，可判断D选项. 【详解】因为，即点， 由题意结合任意角的三角函数的定义可知，， 则，故，即点， 对于A选项，为第四象限角，A对； 对于B选项，因为， 且函数在上为增函数，且， 所以，，B错； 对于C选项，因为，C对； 对于D选项，因为为第四象限角， 则，D对. 故选：B. 8. 点是所在平面内一点，，则的最小值为（ ） A. 25 B. 30 C. 60 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，设，由求解. 【详解】由题意建立如图所示平面直角坐标系： 则，设， 所以， ， ， 当时， 的最小值为30， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据二倍角公式、两角差的正弦公式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，，A选项正确. B选项， ，B选项错误. C选项，，C选项错误. D选项，，D选项正确. 故选：AD 10. 如图，在正六边形中，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 向量与向量是平行向量 【答案】AD 【解析】 【分析】由平面向量加、减法的运算，结合平行向量的定义以及向量模的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，，，由正六边形的性质可知，即，故A正确； 对于B，，，故B错误； 对于C，根据平行四边形法则有，与共线但方向相反，故C错误； 对于D，根据平行四边形法则有，与方向相同，故D正确. 故选：AD. 11. 对于函数，下列说法中正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在上单调递增 C. 函数图象的一条对称轴是 D. 函数在上有个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用函数周期性的定义结合图象可判断A选项；利用正弦型函数的单调性可判断B选项；利用函数对称性的定义可判断C选项；当时，解方程，可判断D选项. 【详解】对于A选项，易知函数的定义域为， 因为 ，作出函数的图象如下图所示： 所以，函数的最小正周期为，A对； 对于B选项，当时，，则， 此时，， 因为函数在上为增函数，故函数在上单调递减，B错误； 对于C选项，因为 ， 所以，函数的一条对称轴为直线，C对； 对于D选项，由，解得， 当时，，可得， 解得，所以，函数在上有个零点，D对. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，则___________. 【答案】3 【解析】 【分析】由，可得，即可求出，再分子分母同时除以即可求解. 【详解】因为，所以，， 所以. 故答案为：3. 13. 如图所示，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若，，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得 ,所以. 14. 当时，曲线与的交点个数为___________. 【答案】7 【解析】 【分析】分别画出与在上的函数图象，根据图象判断即可. 【详解】与在上的函数图象如图所示： 由图象可知，两个函数图象交点的个数为7个. 故答案为：7. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用平方关系、和角的正弦公式求值. （2）利用平方关系、诱导公式及和角的余弦公式求值. 【小问1详解】 由，得，而，则， 所以. 【小问2详解】 由，得，而，则， 所以 . 16. 如图，在矩形中，，点为线段上的动点，与的交点为. （1）求； （2）若点为的中点，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的运算律，结合向量的加法运算，计算求解即可； （2）建系，求得向量坐标，由向量的坐标运算即可求解. 【小问1详解】 因为，所以 . 【小问2详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示平面直角坐标系， 可得.则. 若为的中点，则，故， 又由，则. 17. 已知向量，且与的夹角为. （1）求； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量夹角坐标运算求得，再利用模长公式求解即可； （2）由数量积大于0且两向量不同向列不等式求解. 【小问1详解】 向量，可得，且. 因为与的角为，可得， 解得，所以， 则， 所以. 【小问2详解】 由向量， 可得， 由，解得， 当向量与共线时，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 18. 已知函数. （1）求的图象的对称中心、对称轴及的单调递增区间； （2）当时，求的最值； （3）当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】（1），， （2）取得最小值；取得最大值2 （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换化简的表达式，结合正弦函数的性质，即可求得答案； （2）由于，确定，结合正弦函数的最值，即可求得答案； （3）化简，参数分类，可得，令，则求在上的最小值，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意，得， 令，解得， 所以函数图象的对称中心为； 令，解得， 所以函数图象的对称轴方程为； 由，得， 所以的单调通增区间为. 【小问2详解】 当时，，所以， . 当，即时，函数取得最小值； 当，即时，函数取得最大值2； 【小问3详解】 由题意得时，有解， 而此时，即有解，只需要即可， ， 令，则在上单调递减， 所以当时，，即，所以的取值范围是. 19. 设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：.试求解下列问题. （1）已知向量满足，求的值； （2）在平面直角坐标系中，已知点，求的值； （3）已知向量，求的最小值. 【答案】（1）2 （2）7 （3）16 【解析】 【分析】（1）借助新定义计算即可得； （2）借助所给定义及三角函数间得关系，计算可得，代入数据计算可得； （3）由，代入数据，结合基本不等式计算即可得. 【小问1详解】 由已知，得， 设的夹角为，由，可得，即， 又，所以， 所以； 【小问2详解】 设，则，， 设的夹角为，则， ， 所以， 又， 所以. 【小问3详解】 由（2）得， 故， ， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值是16. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $