精品解析：2025年四川省内江市第一中学九年级中考一模考试数学试题

2025年初中数学一模考试 考试时间：120分钟； 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 A卷（共100分） 一、单选题（共36分） 1. 2019的相反数是( ) A. B. C. D. 2. 用科学记数表示0.00 001 08，其结果是( )． A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 一个不透明的口袋里有5个除颜色外完全相同的球，其中3个红球、2个白球．下列说法错误的是（ ） A. 摸出1个球是红球的概率是 B. 一次摸出2个球都是白球的概率是 C. 一次摸出4个球至少有2个是红球 D. 一次摸出2个球都是红球的概率是 5. 函数中自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 6. 为了大力宣传节约用电，某小区随机抽查了10户家庭的月用电量情况，统计如下表，关于这10户家庭的月用电量说法正确的是（　　） 月用电量（度） 25 30 40 50 60 户数 1 2 4 2 1 A. 平均数是20.5 B. 众数是4 C. 中位数是40 D. 这10户家庭月用电量共205度 7. 如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，若∠C＝30°，则∠BOD的度数是（　　） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 8. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（　　） A. B. 1 C. 或3 D. 或1 9. 如图是二次函数的图象，使成立的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 10. 已知：菱形中，，，与交于点，点为上一点，以为对称轴，折叠，使点的对应点恰好落在边上，则的长为（ ） A. B. C. D. 11. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共20分） 13. 把多项式分解因式结果是______． 14. 已知a、b是方程的两根，则的值为__________． 15. 已知圆锥的侧面积为8πcm2，侧面展开图的圆心角为45°，该圆锥的母线长为____cm． 16. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1的图象l与y轴交于点C，A1的坐标为（1，0），点B1在直线l上，且A1B1平行于y轴，连接CA1、OB1交于点P1，过点A1作A1B2∥OB1交直线l于点B2，过点B1作B1A2∥CA1交x轴于点A2，A1B2与B1A2交于点P2，……，按此进行下去，则点P2019的坐标为_____． 三、解答题（共104分） 17. 计算： 18. 如图，在和中，，，，点在线段上，，交于点，连结． （1）求证：平分． （2）若，求的值． 19. “阳光体育”运动关乎每个学生未来的幸福生活，今年五月，我市某校开展了以“阳光体育我是冠军”为主题的一分钟限时跳绳比赛，要求每个班选2﹣3名选手参赛，现将80名选手比赛成绩（单位：次/分钟）进行统计．绘制成频数分布直方图，如图所示． （1）图中a值为　　． （2）将跳绳次数在160～190的选手依次记为A1、A2、…An，从中随机抽取两名选手作经验交流，请用树状图或列表法求恰好抽取到的选手A1和A2的概率． 20. 如图，山坡上有一座古塔，为了测量古塔的高度，从点B处看塔顶P的仰角为，向前移动到达C点，从点处看塔顶的仰角为． （1）求点D与塔顶P的距离； （2）若在点D处看塔底E的仰角为，且测得点E到塔中心F的距离为．求古塔的高度（参考数据：，，，，结果精确到米）． 21. 一次函数与反比例函数的图像在第一象限交于A,B两点，其中． （1）求反比例函数表达式； （2）结合图像，直接写出时，x的取值范围； （3）若把一次函数的图像向下平移b个单位，使之与反比例函数的图像只有一个交点，请直接写出b的值． B卷（共60分） 四、填空题 22. 已知，则的值是_____ 23. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝120°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为_____． 24. 已知为抛物线与轴交点的横坐标，则的值为___________________． 25. 如图，在三角形ABC中，∠BAC＝90°，AC＝12，AB＝10，D是AC上一动点，以AD为直径的⊙O交BD于点E，则线段CE的最小值是___． 五、解答题（共36分） 26. 某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米；当每千克售价为6元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量与每千克售价（元）满足一次函数关系． （1）请直接写出y与x的函数关系式； （2）超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？ （3）当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 27. 如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上． （1）试说明CE是⊙O的切线； （2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB； （3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长． 28. 如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，连接，，直线交抛物线的对称轴于点，若点是直线上方抛物线上一点，且，求点的坐标； （3）若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中数学一模考试 考试时间：120分钟； 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 A卷（共100分） 一、单选题（共36分） 1. 2019的相反数是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数，直接可得结论． 【详解】解：2019的相反数是. 故选． 【点睛】本题考查了相反数的意义．理解的相反数是，是解决本题的关键． 2. 用科学记数表示0.00 001 08，其结果是( )． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示方法即可写出. 【详解】0.00 001 08= 故选B. 【点睛】此题主要考查科学记数法的表示，解题的关键是熟知科学记数法的表示方法. 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同底数幂的乘除运算法则，合并同类项法则以及幂的乘方运算法则分别计算可得出答案． 【详解】解：A、a2•a3=a5，故此选项错误； B、a3与a2不是同类项，不能合并，故此选项错误； C、a8÷a4=a4，故此选项错误； D、（-a3）2=a6，故此选项正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了整式的运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 4. 一个不透明的口袋里有5个除颜色外完全相同的球，其中3个红球、2个白球．下列说法错误的是（ ） A. 摸出1个球是红球的概率是 B. 一次摸出2个球都是白球的概率是 C. 一次摸出4个球至少有2个是红球 D. 一次摸出2个球都是红球的概率是 【答案】D 【解析】 【分析】根据概率公式解答即可． 【详解】A选项：摸出1个球是红球的概率是，说法正确，与题意不符； 一次摸出2个球的情况有：红1、红2；红1、红3；红1、白1；红1、白2；红2、红3；红2、白1；红2、白2；红3、白1；红3、白2；白1、白2共十种情况，其中一次摸出2个球都是白球的情况有1种，∴一次摸出2个球都是白球的概率是，故B选项说法正确，与题意不符；一次摸出2个球都是红球的情况有三种，故一次摸出2个球都是红球概率是，故D选项说法错误，符合题意；∵白球有2个，∴一次摸出4个球最少有2个是红球，故C选项说法正确，与题意不符． 故选D． 【点睛】本题考查了概率公式，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 5. 函数中自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求自变量的取值范围，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：且； 故选：D． 6. 为了大力宣传节约用电，某小区随机抽查了10户家庭的月用电量情况，统计如下表，关于这10户家庭的月用电量说法正确的是（　　） 月用电量（度） 25 30 40 50 60 户数 1 2 4 2 1 A. 平均数是20.5 B. 众数是4 C. 中位数是40 D. 这10户家庭月用电量共205度 【答案】C 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算公式、众数与中位数的定义即可得． 【详解】解：A、这组数据的平均数是，则此项错误； B、40出现的次数最多，出现了4次，则众数是40，则此项错误； C、把这些数从小到大排列，最中间两个数的平均数是，则中位数是40，此项正确； D、这10户家庭月用电量共（度），则此项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了加权平均数、众数与中位数，熟记定义和公式是解题关键． 7. 如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，若∠C＝30°，则∠BOD的度数是（　　） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据同圆中同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍求出∠AOD=60°，然后根据等弧所对的圆心角相等即可求出∠BOD的度数． 【详解】如图，连接AO， ∵∠C=30°， ∴∠AOD=60°， ∵直径CD⊥弦AB， ∴， ∴∠BOD=∠AOD =60°， 故选：D． 【点睛】此题考查了垂径定理，圆周角定理，等弧所对的圆心角相等，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 8. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（　　） A. B. 1 C. 或3 D. 或1 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，列出方程，解之可得答案． 【详解】解：根据题意，得：，得， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握：一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根． 9. 如图是二次函数的图象，使成立的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象写出直线y=1以及上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知，-1≤x≤3时，y≥1． 故选：A 【点睛】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 10. 已知：菱形中，，，与交于点，点为上一点，以为对称轴，折叠，使点的对应点恰好落在边上，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】欲求的长，需要找出与相关联的（或转化为求）．经过观察发现．则，只需求出长即可进一步解出的长度． 【详解】是菱形， ， ， ， 由拆叠可知， ，， ， ， ， ， 故选A． 【点睛】本题考查了菱形的性质、轴对称图形的性质、三角形相似的判定及性质，找到已知线段长与所求线段长的比例关系是解本题的关键． 11. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数值代入即可． 【详解】解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件， ∴可列方程为：， 故选：A． 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般． 12. 如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形逆时针旋转后，再证明三角形全等，最后根据性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】将绕点逆时针旋转至， ∵四边形是正方形， ∴，， 由旋转性质可知：，，， ∴， ∴点三点共线， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是能正确作出旋转，再证明三角形全等，熟练利用性质求出角度． 二、填空题（共20分） 13. 把多项式分解因式结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式分解得到结果，即可做出判断． 【详解】解： = = 故答案为： 【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 14. 已知a、b是方程的两根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，用因式分解法解一元二次方程，得到a、b的值为1，，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ∴a、b的值为1，， ∴， 故答案为：． 15. 已知圆锥的侧面积为8πcm2，侧面展开图的圆心角为45°，该圆锥的母线长为____cm． 【答案】8 【解析】 【分析】圆锥的母线就是展开图扇形的半径，根据扇形的面积进行求解． 【详解】解： ， 解得：r=8，即圆锥的母线长为8cm． 故答案为：8． 16. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1的图象l与y轴交于点C，A1的坐标为（1，0），点B1在直线l上，且A1B1平行于y轴，连接CA1、OB1交于点P1，过点A1作A1B2∥OB1交直线l于点B2，过点B1作B1A2∥CA1交x轴于点A2，A1B2与B1A2交于点P2，……，按此进行下去，则点P2019的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分别求出An（2n﹣1，0），Bn（2n﹣1，2n），可知Pn+1是直线AnBn+1与直线An+1Bn的交点，因此分别求出直线AnBn+1与直线An+1Bn的解析式，联立方程即可求出Pn+1的坐标，即可求解； 【详解】解：A1（1，0），A2（3，0），A3（7，0），…，An（2n﹣1，0）， B1（1，2），B2（3，4），B3（7，8），…，Bn（2n﹣1，2n）， ∴直线AnBn+1与直线An+1Bn的解析式为： y＝2x﹣2n+1+2，y＝﹣x+2n+1+1， ∴Pn+1， ∴P2019； 故答案为. 【点睛】本题考查一次函数图象及性质，探索规律；根据作图规律求出An（2n﹣1，0），Bn（2n﹣1，2n）的坐标，将点Pn的坐标转化直线交点的坐标是解题的关键． 三、解答题（共104分） 17. 计算： 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，原式分别根据零指数幂运算法则，特殊角三角函数值，绝对值代数意义，负整数指数幂以及立方根的意义化简各项后再进行计算即可． 【详解】解： ． 18. 如图，在和中，，，，点在线段上，，交于点，连结． （1）求证：平分． （2）若，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴， 又∵， ∴， ∴， 即平分． （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定； （1）先证明，得出，由得出，可得，即可得证； （2）根据等边对等角以及三角形内角和定理，得出，进而证明，得出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，，， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 19. “阳光体育”运动关乎每个学生未来的幸福生活，今年五月，我市某校开展了以“阳光体育我是冠军”为主题的一分钟限时跳绳比赛，要求每个班选2﹣3名选手参赛，现将80名选手比赛成绩（单位：次/分钟）进行统计．绘制成频数分布直方图，如图所示． （1）图中a值为　　． （2）将跳绳次数在160～190的选手依次记为A1、A2、…An，从中随机抽取两名选手作经验交流，请用树状图或列表法求恰好抽取到的选手A1和A2的概率． 【答案】（1）4；（2） 【解析】 【分析】（1）观察直方图可得：a=80﹣8﹣40﹣28=4； （2）画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽取到的选手A1和A2的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：（1）根据题意得：a=80﹣8﹣40﹣28=4， 故答案为4； （2）画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，恰好抽取到的选手A1和A2的有2种情况，∴恰好抽取到的选手A1和A2的概率为：=． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率以及直方图的知识．熟练掌握概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 20. 如图，山坡上有一座古塔，为了测量古塔的高度，从点B处看塔顶P的仰角为，向前移动到达C点，从点处看塔顶的仰角为． （1）求点D与塔顶P的距离； （2）若在点D处看塔底E的仰角为，且测得点E到塔中心F的距离为．求古塔的高度（参考数据：，，，，结果精确到米）． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，三角函数的定义，熟练运用三角函数求出，的值是解题的关键， （1）根据，，可得，利用等腰三角形的判定定理“等角对角边”即可得到，从而即可得到答案； （2）过点作的垂线，分别交的延长线于点，在中易得的长，在中，根据三角函数可得的长，进而即可得到的高度． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， 答：点D与塔顶P的距离为． 【小问2详解】 解：过点作的垂线，分别交的延长线于点，如图 ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：古塔的高度为． 21. 一次函数与反比例函数的图像在第一象限交于A,B两点，其中． （1）求反比例函数表达式； （2）结合图像，直接写出时，x的取值范围； （3）若把一次函数的图像向下平移b个单位，使之与反比例函数的图像只有一个交点，请直接写出b的值． 【答案】（1） （2）或 （3）1或9 【解析】 【分析】（1）将代入得，，则，将代入得，可得，，进而可得反比例函数表达式； （2）联立，整理得，，可求满足要求的解或，将代入得，，则，然后数形结合求不等式的解集即可； （3）由题意知，平移后的解析式为，联立得，，整理得，，由图像只有一个交点，可得，计算求解然后作答即可． 【小问1详解】 解：将代入得，， ∴， 将代入得，， 解得，， ∴反比例函数表达式为； 【小问2详解】 解：联立，整理得，， ∴， 解得，或， 经检验，或是原分式方程的解， 将代入得，， ∴， ∴由图像可知，的解集为或； 【小问3详解】 解：由题意知，平移后的解析式为， 联立得，，整理得，， ∵图像只有一个交点， ∴， 解得，或， ∴b的值为1或9． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，一次函数解析式，反比例函数解析式，图像法求不等式的解集，一次函数的平移，一元二次方程根的判别式等知识．熟练掌握反比例函数与一次函数综合，一次函数解析式，反比例函数解析式，不等式的解集，一次函数的平移，一元二次方程根的判别式是解题的关键． B卷（共60分） 四、填空题 22. 已知，则的值是_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，将变最后整体代入计算即可形为，再把变形为，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴ ． 故答案为： 23. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝120°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为_____． 【答案】30° 【解析】 【分析】连接OC、CD，由切线的性质得出∠OCP＝90°，由圆内接四边形的性质得出∠ODC＝180°−∠A＝60°，由等腰三角形的性质得出∠OCD＝∠ODC＝60°，求出∠DOC＝60°，由直角三角形的性质即可得出结果． 【详解】如图所示：连接OC、CD， ∵PC是⊙O的切线， ∴PC⊥OC， ∴∠OCP＝90°， ∵∠A＝120°， ∴∠ODC＝180°−∠A＝60°， ∵OC＝OD， ∴∠OCD＝∠ODC＝60°， ∴∠DOC＝180°−2×60°＝60°， ∴∠P＝90°−∠DOC＝30°； 故填：30°． 【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握切线的性质是解题的关键． 24. 已知为抛物线与轴交点的横坐标，则的值为___________________． 【答案】1 【解析】 【分析】求出时x的值，设，可得，，然后代入计算即可． 【详解】解：当时，即， 可得：或， 解得：，， 不妨设， 则，， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程． 25. 如图，在三角形ABC中，∠BAC＝90°，AC＝12，AB＝10，D是AC上一动点，以AD为直径的⊙O交BD于点E，则线段CE的最小值是___． 【答案】8 【解析】 【分析】连接AE，可得∠AED＝∠BEA＝90°，从而知点E在以AB为直径的⊙Q上，继而知点Q、E、C三点共线时CE最小，根据勾股定理求得QC的长，即可得线段CE的最小值． 【详解】解：如图，连接AE，则∠AED＝∠BEA＝90°， ∴点E在以AB为直径的⊙Q上， ∵AB＝10， ∴QA＝QB＝5， 当点Q、E、C三点共线时，QE＋CE＝CQ（最短）， 而QE长度不变，故此时CE最小， ∵AC＝12， ∴QC＝， ∴CE＝QC−QE＝13−5＝8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了圆周角定理和勾股定理的综合应用，解决本题的关键是确定E点运动的轨迹，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题． 五、解答题（共36分） 26. 某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米；当每千克售价为6元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量与每千克售价（元）满足一次函数关系． （1）请直接写出y与x的函数关系式； （2）超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？ （3）当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 【答案】（1） （2）6元 （3）当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，该函数经过点，y与x的函数关系式为，将代入，求出k和b的值，即可得出y与x的函数关系式； （2）根据总利润=每千克利润×销售量，列出方程求解即可； （3）设利润为w，根据总利润=每千克利润×销售量，列出w关于x的函数表达式，再根据二次函数的性质， 即可解答． 【小问1详解】 解∶ 根据题意可得，该函数经过点， 设y与x的函数关系式为， 将代入得： ，解得：， ∴y与x的函数关系式为， 【小问2详解】 解；根据题意可得：， ∴， 整理得：， 解得：， ∵售价不低于成本价且不超过每千克7元， ∴每千克售价定为6元时，利润可达到1800元； 【小问3详解】 解：设利润为w， ， ∵，函数开口向下， ∴当时，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w有最大值，此时， ∴当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程和函数关系式，熟练掌握二次函数的性质． 27. 如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上． （1）试说明CE是⊙O的切线； （2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB； （3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长． 【答案】（1）证明见试题解析；（2）AB=；（3）． 【解析】 【详解】解：（1）连接OC，如图1，∵CA=CE，∠CAE=30°， ∴∠E=∠CAE=30°，∠COE=2∠A=60°， ∴∠OCE=90°， ∴CE是⊙O的切线； （2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC， 如图2，由题可得CH=h，在Rt△OHC中，CH=OC•sin∠COH， ∴h=OC•sin60°=OC，∴OC==， ∴AB=2OC=； （3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF， 如图3，则∠AOF=∠COF=∠AOC=（180°﹣60°）=60°， ∵OA=OF=OC，∴△AOF、△COF是等边三角形， ∴AF=AO=OC=FC，∴四边形AOCF是菱形， ∴根据对称性可得DF=DO，过点D作DH⊥OC于H，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°， ∴DH=DC•sin∠DCH=DC•sin30°=DC， ∴CD+OD=DH+FD． 根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，此时FH=OF•sin∠FOH=OF=6，则OF=，AB=2OF=， ∴当CD+OD的最小值为6时，⊙O的直径AB的长为． 考点：1．圆的综合题；2．等腰三角形的性质；3．等边三角形的判定与性质；4．菱形的判定与性质；5．锐角三角函数的定义；6．特殊角的三角函数值． 28. 如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，连接，，直线交抛物线的对称轴于点，若点是直线上方抛物线上一点，且，求点的坐标； （3）若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或； （3）或或或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得的坐标，根据勾股定理的逆定理得出是等腰三角形，进而根据得出，连接，设交轴于点，则得出是等腰直角三角形，进而得出，则点与点重合时符合题意，，过点作交抛物线于点，得出直线的解析式为，联立抛物线解析式，即可求解； （3）勾股定理求得，根据等腰三角形的性质，分类讨论解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点和点， ∴ 解得： ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 由，当时，，则 ∵，则，对称轴为直线 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 当时，，则 ∴ ∴ ∴是等腰三角形， ∴ 连接，设交轴于点，则 ∴是等腰直角三角形， ∴，， 又 ∴ ∴ ∴点与点重合时符合题意， 如图所示，过点作交抛物线于点， 设直线的解析式为，将代入得， 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：， ∴ 综上所述，或； 【小问3详解】 解：∵，， ∴ ∵点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，设其中 ∴， ①当时，，解得：或 ②当时，，解得： ③当时，，解得：或（舍去） 综上所述，或或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，面积问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $