精品解析：吉林省长春市二道区2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试题

九年级数学学科试题 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是一元二次方程的一个解，则的值为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2 3. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 要使，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，直线、与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图①是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图②是它的侧面示意图，与相交于点O，，根据图②中的数据可得x的值为（ ） A. 1 B. 0.96 C. 0.8 D. 1.2 8. 2021年我国新增高效节水灌溉面积188万，如果要使2021年至2023年三年新增高效节水灌溉面积总和为622.28万，设2022年、2023年两年新增高效节水灌溉面积年均增长率为x，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 若（x、y、z均不为零），则______． 10. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是____． 11. 在一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，小明在袋中放入个黑球（每个球除颜色外其余都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，则袋中红球约有______个． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在的延长线上，与关于点位似．若，点的坐标为，则点的坐标为______． 13. 如图，在正方形中，点F是边上一点（不与点C和点D重合），连结，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点H，连结．给出下面四个结论： ①；②；③等于； ④当点F是边的中点时，点H是边的中点． 上述结论中，正确结论的序号有______． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 14. 计算：． 15. 解方程： 16. 某大型商场为回馈新老顾客，进行有奖促销活动．活动规定：每购买500元的商品即可获得一次转动转盘（如图）的机会，转盘指针停在哪个区域（若指针恰好停在分割线上，则重转一次，直到指针指向某一区域为止）就可以得到该区域相应金额的代金券，其中质地均匀的转盘被平分为一等奖100元，二等奖50元和谢谢参与三个区域．若顾客甲获得了两次转动转盘的机会，请用列表或画树状图的方法，求他一共获得100元代金券的概率． 17. 学校课外生物小组的试验园地是长米、宽米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为平方米，求小道的宽？ 18. 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线与河垂直，接着再过点S且与垂直的直线a上选择适当的点T，确定与过点Q且垂直的直线b的交点R．如果测得，，，求河的宽度． ​ 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，在边上找到一点M，连结，使； （2）在图②中，在边上找到一点M，连结，使； （3）在图③中，在边上找到一点M，连结，使． 20. 在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题．实践报告如表： 活动课题 测量两幢楼楼顶之间的距离 活动工具 测角仪、皮尺等 测量过程 【步骤一】如图，在楼和楼之间竖直放置测角仪，其中测角仪的底端与两楼的底部，在同一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内； 【步骤二】利用测角仪测出楼顶的仰角为，楼顶的仰角为； 【步骤三】利用皮尺测出米，米． 解决问题 根据以上数据计算两幢楼楼顶，之间的距离． 参考数据 根据以上信息计算两幢楼楼顶，之间的距离．（结果精确到） 21. 【综合与实践】如图①，在矩形中，，，点分别在边，上，连接，相交于点，．若，则______； 【类比探究】小明同学在学习时遇到这样一个问题： 如图②，在平行四边形中，，，点分别在边，上，连接，相交于点，．求证：． 小明发现，以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．通过等腰三角形和平行四边形的性质可证明．再利用相似三角形的性质即可得到问题的答案．下面是小明的部分证明过程： 证明：如图③，以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接． ， , ∵四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ． 请你补全余下的证明过程． 【拓展迁移】如图④，在四边形中，，，，，点在边上，为的中点，连接，相交于点．若，则的长为______． 22. 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以，把代入已知方程， 得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式） （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为______． （2）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程根小1，则所求方程为______． （3）已知关于x的一元二次方程（）有两个实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 23. 如图，在中，，，．动点从点出发，沿折线方向向终点运动，点在边上的速度为每秒个单位长度，在边上的速度为每秒个单位长度，点不与点和点重合．过点向边作垂线段，垂足为点，以、为邻边作平行四边形，连结．设点的运动时间为秒（）． （1）边的长度为______； （2）当点在边上运动时． ①若与相似，求出的值； ②若是以为腰的等腰三角形，求出t的值； （3）作直线，当直线将平行四边形分成面积比为的两部分时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学学科试题 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的识别，涉及最简二次根式判定方法：①被开方数不含能开得尽的因式或因数；②被开方数不含分母，从这两个方面逐项验证即可得到答案，熟记最简二次根式的判定方法是解决问题的关键． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 2. 若是一元二次方程的一个解，则的值为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，理解并掌握一元二次方程的解的概念及计算是关键． 根据题意，把代入计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的一个解， ∴， 解得，， 故选：C ． 3. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先把常数移到右边，再两边加上一次项系数一半的平方，把左边变成完全平方式即可，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 配方得，， 即， 故选：． 4. 要使，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握以上知识及计算是关键． 根据二次根式有意义的条件得到，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， 故选：B ． 5. 如图，，直线、与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例成为解题的关键．根据平行线分线段成比例，由得到，然后根据比例性质求即可解答． 【详解】解：∵， ，即， 解得：． 故选：C． 6. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，余弦函数；由勾股定理得，由余弦函数的定义得，即可求解；理解余弦函数的定义是解题的关键． 【详解】解：，，， ， ， 故选：C． 7. 如图①是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图②是它的侧面示意图，与相交于点O，，根据图②中的数据可得x的值为（ ） A. 1 B. 0.96 C. 0.8 D. 1.2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，过点作于点，交于点，再根据证明，再根据相似三角形的性质得到，进行解答即可． 【详解】解：如图所示：过点作于点，交于点，则 ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故选：D． 8. 2021年我国新增高效节水灌溉面积188万，如果要使2021年至2023年三年新增高效节水灌溉面积总和为622.28万，设2022年、2023年两年新增高效节水灌溉面积年均增长率为x，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，分别用2021年的高效节水灌溉面积表示出2022年、2023年的高效节水灌溉面积，利用总高效节水灌溉面积为622.28万列出方程即可． 【详解】解：根据题意可得：． 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 若（x、y、z均不为零），则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，根据已知条件可设，则，，将其代入所求式子，计算即可． 【详解】解：∵（x、y、z均不为零）， ∴设，则，， ∴． 故答案为：． 10. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是根据方程有实数根的情况求参数，根据方程有实数根，则根的判别式，即可列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵有实数根， ∴， ∴． 故答案为：． 11. 在一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，小明在袋中放入个黑球（每个球除颜色外其余都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，则袋中红球约有______个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，设袋中红球约有个，由题意可得，据此即可求解，掌握随着实验次数的增大时，事件出现的频率稳定在事件发生的概率附近是解题的关键． 【详解】解：设袋中红球约有个， 由题意得，， 解得， ∴袋中红球约有个， 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在的延长线上，与关于点位似．若，点的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，掌握位似图形的性质求出相似比是关键． 根据位似得到，则，由点的坐标，即点在第三象限，即可求解． 【详解】解：∵与关于点位似，， ∴， ∴， ∵，点在第三象限， ∴， ∴， 故答案为： ． 13. 如图，在正方形中，点F是边上一点（不与点C和点D重合），连结，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点H，连结．给出下面四个结论： ①；②；③等于； ④当点F是边的中点时，点H是边的中点． 上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】先由正方形的性质得，运用假设，推导是的角平分线，结合题干没提及是的角平分线，即可判断①；先由正方形的性质得，借助勾股定理得出，结合，证明，则，即可判定②③，再运用点F是边的中点，设，根据勾股定理得出，，故，则，再证明，列式运算，即可作答． 【详解】解：∵四边形和都是正方形， ∴， ∴， ∴， 假设， 则， 此时是的角平分线， 即当是的角平分线，， 题干没提及是的角平分线，则①的说法是不正确的； ∵四边形和都是正方形， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 即 ∵， ∴， 故②的说法是正确的； ∵四边形是正方形， ∴， 由②得，， ∴， 故③的说法是正确的； ∵四边形和都是正方形， ∴， ∵点F是边的中点， ∴设 ∴， 在中， ， 在中， ， ∴， 在中， ， ∵在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点H是边的中点． 故④的说法是正确的； 故答案为：②③④ 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的定义，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． 运用乘法公式，二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 15. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用公式法求解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式以及求根公式，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 解得：． 16. 某大型商场为回馈新老顾客，进行有奖促销活动．活动规定：每购买500元的商品即可获得一次转动转盘（如图）的机会，转盘指针停在哪个区域（若指针恰好停在分割线上，则重转一次，直到指针指向某一区域为止）就可以得到该区域相应金额的代金券，其中质地均匀的转盘被平分为一等奖100元，二等奖50元和谢谢参与三个区域．若顾客甲获得了两次转动转盘的机会，请用列表或画树状图的方法，求他一共获得100元代金券的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是利用画树状图或列表法求解随机事件的概率，先画树状图得到所有都可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意，树状图如下： ∴所有可能的结果数有个，符合条件的结果数有个； ∴P（一共获得100元代金券）． 17. 学校课外生物小组的试验园地是长米、宽米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为平方米，求小道的宽？ 【答案】小道的宽为2米 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的实际应用，读懂题意，找到等量关系，准确列方程是解题的关键．设小道的宽为x米，由题意：使种植面积为平方米，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解∶设小道的宽为米，则把阴影部分分别移到矩形的上边和左边可得矩形的长为米，宽为米， 依题意得∶， 整理，得， 解得：或(不合题意舍去)． 故小道的宽为2米． 18. 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线与河垂直，接着再过点S且与垂直的直线a上选择适当的点T，确定与过点Q且垂直的直线b的交点R．如果测得，，，求河的宽度． ​ 【答案】河的宽度为 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 答：河的宽度为． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，在边上找到一点M，连结，使； （2）在图②中，在边上找到一点M，连结，使； （3）在图③中，在边上找到一点M，连结，使． 【答案】（1）如图①中，点M即为所求； （2）如图②中，点M即为所求； （3） 如图③中，点M即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图应用与设计作图，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定． （1）作于点M即可； （2）根据，推出，由此作出点M即可； （3）根据，推出，由此作出点M即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题．实践报告如表： 活动课题 测量两幢楼楼顶之间的距离 活动工具 测角仪、皮尺等 测量过程 【步骤一】如图，在楼和楼之间竖直放置测角仪，其中测角仪的底端与两楼的底部，在同一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内； 【步骤二】利用测角仪测出楼顶的仰角为，楼顶的仰角为； 【步骤三】利用皮尺测出米，米． 解决问题 根据以上数据计算两幢楼楼顶，之间的距离． 参考数据 根据以上信息计算两幢楼楼顶，之间的距离．（结果精确到） 【答案】两幢楼楼顶，之间的距离约为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，矩形的判定与性质，过作，交于点，交于点，过作于点，根据题意得四边形是矩形，由测量步骤可得：四边形是矩形，则米，米，米，在中，，，则米，从而求出米，最后由勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作，交于点，交于点，过作于点， ∴，， ∴四边形是矩形， 由测量步骤可得：四边形是矩形， ∵米，米， ∴米，米， ∴米， ∴米， ∵， ∴， ∴米， 在中，，， ∴（米）， ∴（米）， 在中，由勾股定理得：（米）， 答：两幢楼楼顶，之间的距离约为米． 21. 【综合与实践】如图①，在矩形中，，，点分别在边，上，连接，相交于点，．若，则______； 【类比探究】小明同学在学习时遇到这样一个问题： 如图②，在平行四边形中，，，点分别在边，上，连接，相交于点，．求证：． 小明发现，以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．通过等腰三角形和平行四边形的性质可证明．再利用相似三角形的性质即可得到问题的答案．下面是小明的部分证明过程： 证明：如图③，以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接． ， , ∵四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ． 请你补全余下的证明过程． 【拓展迁移】如图④，在四边形中，，，，，点在边上，为的中点，连接，相交于点．若，则的长为______． 【答案】（1）； （2）证明：如图③，以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接， ∵， ∴, ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴． （3） 【解析】 【分析】[综合与实践]根据题意，证明，得，代入求值即可； [类比探究]根据题意证明，得即可求解； [拓展迁移]如图所示，延长作延长线的垂线，垂足为点，则，运用含30度角的直角三角形性质，勾股定理得到，如图所示，过点作的平行线，交延长于点，以点为圆心，以为半径画弧交于点，连接，则四边形是平行四边形，，，可证是等边三角形，得到，再证明，得到，即可求解． 【详解】解：[综合与实践] ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； [类比探究]略 [拓展迁移] ∵， ∴，， 如图所示，延长作延长线的垂线，垂足为点，则， ∴，， ∵，点是的中点， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， 如图所示，过点作的平行线，交延长于点，以点为圆心，以为半径画弧交于点，连接，则四边形是平行四边形，，， ∵四边形是平行四边形， ∴，且， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键． 22. 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以，把代入已知方程， 得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式） （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为______． （2）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程根小1，则所求方程为______． （3）已知关于x的一元二次方程（）有两个实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题目中给出的利用方程根的代换求新方程的方法，并应用“换根法”解决问题． （1）设所求方程的根为y，则，得到，然后代入求解即可； （2）设所求方程的根为y，则，得到，然后代入求解即可； （3）设所求方程的根为y，则，得到，然后代入求解即可． 【小问1详解】 设所求方程的根为y，则， 所以 把代入，得． 化简得； 【小问2详解】 设所求方程的根是y，则，所以， 把代入方程，得， 化简，得； 【小问3详解】 设所求方程的根为y，则， 所以 把代入，得． 化简得． 23. 如图，在中，，，．动点从点出发，沿折线方向向终点运动，点在边上的速度为每秒个单位长度，在边上的速度为每秒个单位长度，点不与点和点重合．过点向边作垂线段，垂足为点，以、为邻边作平行四边形，连结．设点的运动时间为秒（）． （1）边的长度为______； （2）当点在边上运动时． ①若与相似，求出的值； ②若是以为腰的等腰三角形，求出t的值； （3）作直线，当直线将平行四边形分成面积比为的两部分时，直接写出的值． 【答案】（1）8 （2）①或；②或 （3）或 【解析】 【分析】（1）在中，由勾股定理即可求解； （2）①第一种情况，如图所示，若时，则，得，；第二种情况，如图所示，，则点在线段上，证，设，则，再证，得到，则，所以，由此即可求解； ②第一种情况，如图所示，，第二种情况，如图所示，，过点作于点，运用相似三角形的判定和性质求解即可； （3）第一种情况，当点在上时，由题意得到，则，证，得；第二种情况，如图所示，当点在上时，设点在上运动的时间为秒，设与交于点，过点作，交于点，过点作于点，同理得到，，，即，则，证，得到，代入求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ①第一种情况，如图所示，若时，则， ∴， ∴， 解得，； 第二种情况，如图所示，，则点在线段上， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴设，则， ∵， ∴，即， 解得，， ∴， ∴， 解得，； 综上所述，或； ②第一种情况，如图所示，， 同理，设，则， ∴， 解得，， ∴， ∴， 解得，； 第二种情况，如图所示，，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∴， 解得，； 综上所述，或； 【小问3详解】 解：第一种情况，当点在上时， 在中，，， 如图所示，设与交于点， ∵直线将平行四边形分成面积比为的两部分， ∴， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴， 解得，； 第二种情况，如图所示，当点在上时，设点在上运动的时间为秒，设与交于点，过点作，交于点，过点作于点， ∴，则， ∴，， ∵直线将平行四边形分成面积比为的两部分， ∴同理可得，，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查勾股定理，平行四边形的性质，等腰三角形的定义，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质，数形结合分析，分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $