精品解析：四川省乐山第一中学校2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷

乐山一中高2026届高二（下）3月月考数学测试卷 命题人：段华 梁波 审题人：段华 梁波 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 在等差数列中，，则（ ） A. 12 B. 28 C. 24 D. 35 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列性质得，再利用等差数列前n项和公式计算即可. 【详解】等差数列中，，故，所以. 故选：B. 【点睛】本题考查了等差数列的性质与其前n项和公式，属于基础题. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，可得，再利用导数的定义求解即可. 【详解】因为函数， 所以，则， 故 ， 故选：B. 3. 设等差数列的前项和分别是，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列前n项和公式及求解. 【详解】因为等差数列，的前n项和分别是， 所以. 故选：B 4. 已知等比数列的首项，公比，则（ ） A. 50 B. 35 C. 55 D. 46 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出通项公式，再根据下标和性质及对数的运算法则计算可得. 【详解】∵是等比数列，公比，∴， ∴， ∴； 故选：C. 5. 已知数列，，，，成等差数列，数列，，，，成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的性质得．由等比数列的性质得．由此计算可得选项. 【详解】解：由-1，，，，-4成等差数列得． 由-1，，，，-4成等比数列得． 又等比数列的所有奇数项同号，所以，所以． 故选：C. 6. 著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，…，满足，，则是斐波那契数列中的（ ）. A. 第2022项 B. 第2023项 C. 第2024项 D. 第2025项 【答案】C 【解析】 【分析】将所求关系式中的“1”换为，再利用即得． 【详解】因为， 所以 . 故选：C． 7. 设函数的导函数，则数列的前n项和是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，根据导数，求解的值，得到数列，即可求解数列的和. 【详解】由题意，函数，则， 又由，所以，即，所以， 所以， 所以的前n项和为，故选A. 【点睛】本题主要考查了导数的运算及数列的裂项求和问题，其中解答中根据函数的导数，求解数列的通项公式，再由裂项法求解数列的和是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 8. “泥居壳屋细莫详，红螺行沙夜生光．”是宋代诗人欧阳修对鹦鹉螺的描述，美丽的鹦鹉螺呈现出螺旋线的迷人魅力．假设一条螺旋线是用以下方法画成（如图）：△ABC是边长为1的正三角形，曲线分别以A、B、C为圆心，为半径画的弧，曲线称为螺旋线，然后又以A为圆心，为半径画弧......如此下去，则所得螺旋线的总长度为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据弧长公式知CA1,A1A2,A2A3…A3n−2A3n−1,A3n−1A3n的长度分别为：, ,…,， 化简得：,2×,3×,…,3n×,此数列是为首项为公差,项数为3n的等差数列,则根据等差数列的求和公式得Sn=3n×+×=n(3n+1)π，此时n=1，易得所得螺旋线的总长度为. 故选A 二、多选题（每题6分，共18分，多选得0分，少选得部分分） 9. 已知等差数列的前项和为，且，，，则（ ） A. 数列是递增数列 B. C. 当时，最大 D. 当时，的最大值为14 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据等差数列性质、前项和公式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】在等差数列中，， ，，，， 公差，数列是递减数列，A错误； ，，B正确； ，，数列是递减数列， 当时，最大，C正确； ，，， ，， 当时，n的最大值为14，D正确． 故选：BCD 10. （多选）已知函数的导数为，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】结合“巧值点”的定义，逐个求解是否有解即可. 【详解】对于A: ，令，得或，有“巧值点”，A满足； 对于B: ，令，得，有“巧值点”，B满足； 对于C: ，令，结合，的图象，知方程有解，有“巧值点”，C满足； 对于D: ，令，得，与矛盾，没有“巧值点”，D不满足. 故答案为：ABC. 11. 设，在数列中，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】CD 【解析】 【分析】将选项中的、值代入题中式子，判断数列类型，根据数列类型求解即可． 【详解】对于A：当，时，即， 又，则，所以，又，则， 所以，即数列的奇数项相等都等于，偶数项也相等都等于，所以，故A错误； 对于B：当，时，，即．因为， 所以是以为首项，为公差的等差数列，则，所以，故B错误； 对于C：当，时，，所以， 因为，所以是首项为，公比为的等比数列，则，故C正确； 对于D：当，时，，则，即． 因为，所以，所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，即，故D正确； 故选：CD 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 若数列的通项公式是，则该数列的前100项之和为______. 【答案】100 【解析】 【分析】根据通项公式可知相邻奇数项与偶数项两项之和为常数，分组求和即可. 【详解】因为，所以，，，， 所以该数列的前100项之和为. 故答案为：100 13. 已知函数，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】对原函数求导得，令，得到方程，解出即可. 【详解】，令， 则，即， 解得 故答案为：2 . 14. 我国南北朝时期一部数学著作张丘建算经卷中，第22题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月共织九匹三丈”其白话意译为：“现有一善织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织了5尺布，现在一个月按30天计算共织布390尺”则每天增加的数量为______ 尺，设该女子一个月中第n天所织布的尺数为，则______ ． 【答案】 ①. ②. 52 【解析】 【分析】根据题意得：等差数列的前30项和为390，首项，设公差为d，代入等差数列的前n项和公式，求出d，再求. 【详解】解：依题意等差数列的前30项和为390，首项，设公差为d， 所以，解得， 所以． 故答案为：，52． 【点睛】本题考查等差数列的前n项和公式，等差数列的通项公式，考查计算能力，分析解决问题的能力．本题解题的关键在于建立等差数列模型，得等差数列的前30项和为390，首项，设公差为d，进而根据等差数列相关知识计算即可,属于基础题． 四、解答题（15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分，共77分） 15. 等比数列中，． （1）求的通项公式； （2）记为的前项和．若，求． 【答案】（1）或 . （2）. 【解析】 【详解】分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n项和，解方程可得m． 详解：（1）设的公比为，由题设得． 由已知得，解得（舍去），或． 故或． （2）若，则．由得，此方程没有正整数解． 若，则．由得，解得． 综上，． 点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题． 16. 已知函数． （1）分别求出的导数； （2）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接求即可； （2）根据可得答案． 【小问1详解】 因为， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以，解得. 17. 设数列的前项和为．已知． （1）求通项公式； （2）设数列，求的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，先求，当时，由即可求解. （2）由，分和即可求. 【小问1详解】 由，当时，，，解得， 当时，由有， 所以，即，所以数列是以首项为1，公比为的等比数列， 所以； 【小问2详解】 因为， 当时，，， 当时，， ， 所以. 18. 已知函数，数列满足 （1）证明数列为等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，求； （3）对于（2）中的，若存在，使不等式成立，求实数k的最大值． 【答案】（1）证明： 因为函数，所以， 则，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则有，即， 故数列的通项公式为； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）得出递推关系再取倒数，构造等比数列即可； （2）利用分组求和以及等比数列求和公式即可； （3）化简得出，利用作差法判断数列的增减性，进而得出最大值即可. 【小问1详解】 证明略，通项公式为； 【小问2详解】 由（1）可知：， 则 【小问3详解】 由（2）可知：，所以化简为， 因为，所以由，得， 设，则， 由二次函数性质可知：当时，函数是减函数， ，于是有时，， 所以，因此， 存在，使得成立， 则有，因此实数k的最大值． 19. 已知数列的前项和为,且点在函数上，且（）． （1）求的通项公式； （2）数列 满足，求数列的前项和； （3）记数列的前项和为，设，证明：. 【答案】（1）； （2）； （3）证明:∵,∴数列的前项和为， ∵, ∵， ∴， 即. 当时，， 综上，命题得证. 【解析】 【分析】（1）由点在函数上，得：，求出的通项公式，再由即可求出的通项公式； （2）由且，由数列的裂项相减法，即可求出数列的前项和； （3）由，求出数列的前项和为，又，然后利用不等式的放缩法求解，即可证明所求结论． 【详解】（1）由点在函数上，得： （ⅰ）当时，. （ⅱ）当时，，∴． 又∵， ∴. （2）∵且， ∴…① …② 由①-②得：， ， 整理得：. （3）略. 【点睛】思路点晴：本题考查了数列的通项公式，考查了数列的求和，关键是会用数列的裂项相减法，考查了数列与不等式的综合，会用不等式的放缩法求解，考查了学生的计算能力，是难题．在（1）中主要考查数列的前项和与数列的通项公式之间关系，即利用进行求解,在（2）中根据其特征即等差数列乘等比数列的形式利用错位相减法求和；在（3）中 ，主要考查了放缩法与裂项相消求和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乐山一中高2026届高二（下）3月月考数学测试卷 命题人：段华 梁波 审题人：段华 梁波 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 在等差数列中，，则（ ） A. 12 B. 28 C. 24 D. 35 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. 6 D. 3. 设等差数列的前项和分别是，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知等比数列的首项，公比，则（ ） A. 50 B. 35 C. 55 D. 46 5. 已知数列，，，，成等差数列，数列，，，，成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 6. 著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，…，满足，，则是斐波那契数列中的（ ）. A. 第2022项 B. 第2023项 C. 第2024项 D. 第2025项 7. 设函数的导函数，则数列的前n项和是（ ） A. B. C. D. 8. “泥居壳屋细莫详，红螺行沙夜生光．”是宋代诗人欧阳修对鹦鹉螺的描述，美丽的鹦鹉螺呈现出螺旋线的迷人魅力．假设一条螺旋线是用以下方法画成（如图）：△ABC是边长为1的正三角形，曲线分别以A、B、C为圆心，为半径画的弧，曲线称为螺旋线，然后又以A为圆心，为半径画弧......如此下去，则所得螺旋线的总长度为 A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分，多选得0分，少选得部分分） 9. 已知等差数列的前项和为，且，，，则（ ） A. 数列是递增数列 B. C. 当时，最大 D. 当时，的最大值为14 10. （多选）已知函数的导数为，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是（ ） A. B. C. D. 11. 设，在数列中，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 若数列的通项公式是，则该数列的前100项之和为______. 13. 已知函数，则__________. 14. 我国南北朝时期一部数学著作张丘建算经卷中，第22题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月共织九匹三丈”其白话意译为：“现有一善织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织了5尺布，现在一个月按30天计算共织布390尺”则每天增加的数量为______ 尺，设该女子一个月中第n天所织布的尺数为，则______ ． 四、解答题（15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分，共77分） 15. 等比数列中，． （1）求的通项公式； （2）记为的前项和．若，求． 16. 已知函数． （1）分别求出的导数； （2）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求的值． 17. 设数列的前项和为．已知． （1）求通项公式； （2）设数列，求的前项和． 18. 已知函数，数列满足 （1）证明数列为等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，求； （3）对于（2）中的，若存在，使不等式成立，求实数k的最大值． 19. 已知数列的前项和为,且点在函数上，且（）． （1）求的通项公式； （2）数列 满足，求数列的前项和； （3）记数列的前项和为，设，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $