精品解析：新疆维吾尔自治区巴楚县第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题（尖子班、强化班）

巴楚县第一中学2024-2025学年第二学期 高二年级 尖子班、强化班月考 数学试卷 考试时间：90分钟 班级：___________姓名：______________ 考号：___________ 一、单选题（每道题5分，共40分） 1. 在等差数列中，若，则的值为（ ） A. 18 B. 15 C. 12 D. 9 2. 已知等比数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列的前项和为，若，则 （ ） A. 30 B. 55 C. 80 D. 110 4. 已知函数，则（ ） A. 6 B. 3 C. D. 5. 下列求导运算正确的是 A. B. C. D. 6. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 正项等比数列中，是与的等差中项，若，则（ ） A. 4 B. 8 C. 32 D. 64 8. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.那么请问此人前两天所走的里程为（ ） A 189里 B. 216里 C. 288里 D. 192里 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知是单调递减的等比数列，若，前3项和，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列结论正确是（ ） A. B. C. 若，则 D. 11. 记数列的前项和为，且，则（ ） A. B. 数列是公差为1的等差数列 C. 数列是公比为4的等比数列 D. 数列的前2025项和为 三、填空题（每道题5分，共15分） 12. 记为等差数列前n项和，若，，则________. 13. 在正项等比数列中，为其前项和，若，，则的值为______. 14. 若曲线在处的切线也是曲线的切线，则实数_________． 四、简答题（共77分，15题13分，16题15分，17题16分，18题16分，19题17分） 15. 求下列函数的导数： （1） （2） （3） （4） （5） （6）y = tanx 16. 已知数列是由正数组成的等比数列，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和． 17. 已知函数（，）的图象过点，且． （1）求，的值； （2）求曲线过点切线方程． 18. 已知等差数列满足：，，其前项和为. （1）求及； （2）若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和. 19. 已知曲线. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求曲线过原点的切线方程及切点坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 巴楚县第一中学2024-2025学年第二学期 高二年级 尖子班、强化班月考 数学试卷 考试时间：90分钟 班级：___________姓名：______________ 考号：___________ 一、单选题（每道题5分，共40分） 1. 在等差数列中，若，则的值为（ ） A. 18 B. 15 C. 12 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列的下标和性质求出，再化简，即可得出答案. 【详解】在等差数列中，， 则. 故选：D. 2. 已知等比数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】推导出，再利用等比中项的性质可求得的值. 【详解】设等比数列的公比为，则， 由等比中项的性质可得，故. 故选：B. 3. 已知等差数列的前项和为，若，则 （ ） A. 30 B. 55 C. 80 D. 110 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的项的性质，由条件求得，再根据等差数列求和公式化简计算即得. 【详解】因是等差数列，故，解得， 则. 故选：B. 4. 已知函数，则（ ） A. 6 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，通过赋值法求得代入，即可得. 【详解】因为， 所以， 令，得， ∴， 所以，故 故选：D. 5. 下列求导运算正确的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：；；．故选B． 考点：本题考查导数的运算. 6. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，结合已知条件，即得答案. 【详解】由，得， 故由，得， 故选：B 7. 正项等比数列中，是与的等差中项，若，则（ ） A. 4 B. 8 C. 32 D. 64 【答案】D 【解析】 【分析】依题意是与的等差中项，可求出公比，进而由求出，根据等比中项求出的值. 【详解】由题意可知，是与的等差中项， 所以，即， 所以，或（舍）， 所以， ， 故选：D. 8. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.那么请问此人前两天所走的里程为（ ） A. 189里 B. 216里 C. 288里 D. 192里 【答案】C 【解析】 【分析】每天走的路程可看成一个公比为的等比数列，利用等比数列的求和公式可求出等比数列的首项，从而得到等比数列的通项公式，选出正确答案. 【详解】由题意，记每天走的路程为是公比为的等比数列， 又由，解得， 所以，则 故前两天所走路程为： 故选：C 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知是单调递减的等比数列，若，前3项和，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】设等比数列公比为，由已知条件得，解得，再使用等比数列的通项公式及数列求和公式求解即可. 【详解】由题意，设等比数列公比为， 则，解得或， 由因为数列为单调递减的等比数列， 所以， 所以， . 故选：AD. 10. 下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据求导公式分析判断即可求得结果. 【详解】，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 故选：AD. 11. 记数列的前项和为，且，则（ ） A. B. 数列是公差为1的等差数列 C. 数列是公比为4的等比数列 D. 数列的前2025项和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用给定的前项和求出，再结合等差数列、等比数列定义及并项求和法逐项判断. 【详解】由，，得，而满足上式， 因此数列的通项公式为， 对于A，，A正确； 对于B，，，数列是公差为的等差数列，B错误； 对于C，，，数列是公比为4的等比数列，C正确； 对于D，令，，数列前2025项和为 ，D正确. 故选：ACD 三、填空题（每道题5分，共15分） 12. 记为等差数列的前n项和，若，，则________. 【答案】95 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出，再利用等差数列的求和公式即可得到答案. 【详解】因数列为等差数列，则由题意得，解得， 则. 故答案为：. 13. 在正项等比数列中，为其前项和，若，，则的值为______. 【答案】35 【解析】 【分析】由等比数列的前ｎ项和的性质得也是等比数列,运算即可． 【详解】因为正项等比数列中，为其前项和，则也是等比数列．且，，所以，则，则． 故答案为：． 14. 若曲线在处的切线也是曲线的切线，则实数_________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用导数的几何意义得到斜率，进而写出切线方程，再联立方程组，令判别式为，得到，求解参数即可. 【详解】令，则，故切点为， 设切线斜率为，而，则， 则曲线在处的切线方程为， 由题意得曲线在处切线也是曲线的切线， 联立方程组，， 得到，则，解得. 故答案为：2 四、简答题（共77分，15题13分，16题15分，17题16分，18题16分，19题17分） 15. 求下列函数的导数： （1） （2） （3） （4） （5） （6）y = tanx 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 【解析】 【分析】根据求导公式及求导法则运算即可得解. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 【小问4详解】 因为， 所以 . ． 【小问5详解】 因为， 所以 【小问6详解】 . 16. 已知数列是由正数组成的等比数列，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的通项公式联立两个方程即可求得结果. （2）根据题干中的条件先求出，再用分组求和即可求得结果. 小问1详解】 设等比数列的公比为，由， 得，∵是由正数组成的等比数列，则，， 则，解得或（舍），又，所以， 解得，所以 【小问2详解】 ， 所以 17. 已知函数（，）的图象过点，且． （1）求，的值； （2）求曲线过点的切线方程． 【答案】（1），． （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，由， 可得，联立即可得解； （2）由可设曲线上的切点为，利用导数的几何意义可得切线斜率为，利用点斜式可得切线方程，带入点，即可得解. 【小问1详解】 因为函数的图象过点，所以①． 又，，所以②， 由①②解得，． 【小问2详解】 由（1）知， 设所求切线在曲线上的切点为，则， 所以切线方程为， 又切线过点，所以， 可得， ， ，解得， 所以切点为，切线方程为． 故曲线过点的切线方程为． 18. 已知等差数列满足：，，其前项和为. （1）求及； （2）若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由等比中项求出，进而求出等差数列的首项与公差，再用公式法写出其通项公式和前n项和. （2）先求等比数列的前n项和，数列的前n项和即为. 【小问1详解】 是等差数列， ， 数列的公差，首项， ，. ，为所求. 【小问2详解】 令，由题意有； 数列是以1为首项，3为公比的等比数列 其前n项和， ，数列的前n项和 故为所求. 19. 已知曲线. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求曲线过原点的切线方程及切点坐标. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）经过判断发现是曲线上的点且为切点，求出函数的导函数，把代入导函数中即可求出切线的斜率，根据求出的斜率和已知点的坐标写出切线方程即可； （2）设出切线的切点坐标，把设出的切点的横坐标代入导函数中即可表示出切线方程的斜率，根据设出的切点坐标和表示出的斜率写出切线方程，把原点代入切线方程中化简可求出切点的横坐标，把横坐标代入曲线方程即可求出切点的纵坐标，且得到切线的斜率，根据斜率和切点坐标写出切线的方程即可. 【小问1详解】 ， 在点处的切线的斜率为， 切线的方程为，即； 【小问2详解】 设切点为,， 则直线的斜率为， 直线的方程为， 又直线过点， ， 整理得，， ， ， ． 直线的方程为，切点坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$