精品解析：广东省佛山市南海区桂城中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试卷

桂城中学2024-2025学年度下学期高二级第一次段考 数学试卷 命题人：杜桂忠 审题人：郭丽姬 2025年3月 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将答题卡上交. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3. 函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列排序正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 已知公比为的等比数列的前项和为，命题，命题：对恒成立，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知数列，满足，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 7. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 8. 设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. 是数列中的最大值 D. 若，则最大为 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下函数求导正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 设，则． 10. 已知复数均不为0，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知数列的前项和为，数列的前项和为，则下列选项正确的是（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列是等比数列 C. 数列的通项公式为 D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列的前项和为，则的值为________． 13. 已知定义在上的函数，则曲线在点处的切线方程是______． 14. 已知a，b，，且，，，则a，b，c的大小关系是______.（用“<”号连接）． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知公差不为0的等差数列满足，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）数列满足，求的前项和． 16. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和. 17. 已知，如图四棱锥中，底面为菱形，，，平面，E是BC中点，F是PC上一点，且. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的余弦值. 18. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线的斜率为，求实数的值； （2）讨论函数的单调性． 19. 已知等比数列的前项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 桂城中学2024-2025学年度下学期高二级第一次段考 数学试卷 命题人：杜桂忠 审题人：郭丽姬 2025年3月 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将答题卡上交. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，由交集的概念即可得解. 【详解】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 2. 函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均变化率的计算可得即可根据瞬时变化率的计算公式求解. 【详解】函数在区间上的平均变化率为 在时的瞬时变化率为， 所以，解得． 故选：B． 3. 函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列排序正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的变化率和导数的几何意义进行判断. 【详解】因为、分别是函数在、处的切线斜率， 由图可知， 又，， 所以， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关导数的几何意义的问题，正确解题的关键是理解函数的变化率和导数的几何意义. 4. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由得，结合，得，由此即可得解. 【详解】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. 5. 已知公比为的等比数列的前项和为，命题，命题：对恒成立，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列通项公式写出，再结合充分必要条件的定义即可判断. 【详解】由等比数列的通项公式可知， 当时，可得到，即充分性成立； 反之，若，如，不符合，所以必要性不成立. 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 6. 已知数列，满足，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算出的前4项，得到的周期，从而得到答案. 【详解】，，，，……， 故为周期数列，一个周期为3， 故. 故选：C 7. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由于是常数，对求导，得， 将代入导函数得，整理得. 8. 设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. 是数列中的最大值 D. 若，则最大为 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意可确定，根据可判断A；根据等比数列的性质结合可判断B；根据数列是递减数列，且，判断C；再根据的公式，结合，，判断D即可. 【详解】对A，∵，，，且数列为等比数列， ∴，，∴， 因为，∴，故A正确； 对B，∵，∴，故B正确； 对C，因为等比数列的公比，，所以数列是递减数列， 因为，，所以是数列中的最大项，故C错误； 对D，， 因为，，， 故，，，故，即， 故最大为，故D正确． 故选：C． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下函数求导正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 设，则． 【答案】AC 【解析】 【分析】直接由导数的求导法则依次判断即可. 【详解】A选项：，正确；B选项：，错误； C选项：，正确；D选项：，错误. 故选：AC. 10. 已知复数均不为0，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】设出、，结合复数的运算、共轭复数定义及复数的模的性质逐个计算即可得. 【详解】设、； 对A：设，则， ，故A错误； 对B： ，又，即有，故B正确； 对C：，则， ，，则， 即有，故C正确； 对D： ， ， 故，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知数列的前项和为，数列的前项和为，则下列选项正确的是（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列是等比数列 C. 数列的通项公式为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】借助，结合等比数列定义可得A、B；由等比数列性质可得C；裂项求和后可得D. 【详解】对A、B：由，则， 故，又， 故数列是以为首项，为公比的等比数列，故A错误、B正确； 对C：，则，故C正确； 对D：， 则，故D正确. 故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列的前项和为，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分别求得，，，结合，列出方程，即可求解. 【详解】由等比数列的前项和为， 可得，，， 所以，解得，经检验符合题意. 故答案为：. 13. 已知定义在上的函数，则曲线在点处的切线方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，进而可得切线方程. 【详解】令，得．对求导，得， 所以，故曲线在点处的切线方程为． 故答案为：. 14. 已知a，b，，且，，，则a，b，c的大小关系是______.（用“<”号连接）． 【答案】 【解析】 【分析】由题意构造函数，求导研究其单调性，根据题目中的等式，对应函数值的大小，可得答案. 【详解】构造函数， 当时，单调递减， 当时，单调递增， ， ， ， 因为，所以，即， 而，b，，所以， 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知公差不为0的等差数列满足，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）数列满足，求的前项和． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用等比中项列式求出公差，进而求出通项公式. （2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和即得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由成等比数列，得，而， 则，又，解得， 所以的通项公式是. 【小问2详解】 由（1）得， 所以. 16. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式及前项和公式列方程组求解即可. （2）根据错位相减法及等比数列的前项和公式求解即可. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为，则前项和为. 所以，即， 解得，，所以. 因此数列的通项公式为. 【小问2详解】 . ， ， 所以 ， 即， 所以. 17. 已知，如图四棱锥中，底面为菱形，，，平面，E是BC中点，F是PC上一点，且. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1） 连接AC. 底面为菱形，， 是正三角形，是BC中点， ，又， ，又平面， 平面，， 又平面，平面， 又平面， 平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先得,,即证得平面,进而证得结论. （2）以AE，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立坐标系,设,根据向量法求二面角余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，AE，AD，AP两两垂直， 以AE，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，， ，， 而， 且， 设平面的法向量， ，取时，， . 设平面的法向量为， 设二面角为 ，因为为锐角，所以， 所以二面角的平面角的余弦值为. 18. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线的斜率为，求实数的值； （2）讨论函数的单调性． 【答案】（1）或 （2） 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【解析】 【分析】（1）由可得； （2）由题意，对实数分类，，，进而可得. 【小问1详解】 由于，故， 解得或． 【小问2详解】 首先有． 若，则在上递减； 若，则对有， 对有． 所以在上单调递减，在上单调递增； 若，则对有， 对有． 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 19. 已知等比数列的前项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在请说明理由. 【答案】（1）； （2）不存在，理由如下： 由（1）得，， 在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列，则， 即，则， 假设在数列中存在3项（其中成等差数列）成等比数列， 则，，即， 因为成等差数列，所以，所以， 即，即， 联立解得，与题设矛盾， 故在数列中不存在3项（其中成等差数列）成等比数列. 【解析】 【分析】（1）退位作差得到公比，令求得，进而得到数列的通项公式； （2）反证法，假设存在，由等差中项性质得到，等比中项性质得到，联立解得，与题设矛盾，假设不成立，则不存在. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， ，时，，两式相减得， 即，所以， 令得，即，解得， 所以. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $