湖北省华中科技大学附属中学2023-2024学年高一上学期十月月考数学试题

华科附中2023级高一年级十月月考 数学试卷参考答案及评分标准 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.B【解析】由可知，，因为，所以或， ①当时，得或（舍），则，解得或（舍），此时，符合题意，此时； ②当时，得或（舍），则，解得或（舍），此时，符合题意，此时.综上所述：.故选：B 2.D【解析】命题“”为真命题,则对恒成立，所以，故，所以命题“”为真命题的充分不必要条件需要满足是的真子集即可，由于是的真子集，故符合，故选：D 3.D【解析】第一种策略：设每次购买这种物品的数量均为，则平均价格为，故A不正确；第二种策略：设每次购买这种物品所花的钱为， 第一次能购得该物品的数量为，第二次能购得该物品的数量为，则平均价格为，B错误；因为， 所以，C错误，D正确.故选：D. 4.B【解析】对于，，如果时，，故不符合题意； 对于，因为，当且仅当，即时取等号，故正确； 对于，因为， 当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，故错误； 对于，，当且仅当即此时无解，这表明最小值取不到，故错误．故选：． 5.C【解析】由题可得和是方程的两个根，且， ，解得，则， 则函数图象开口向下，与轴交于.故选：C. 6.C【解析】设幂函数的解析式为，因为该幂函数的图象经过点，所以，即，解得，即该幂函数的解析式为，其定义域为，为偶函数，且在上为减函数.故选：C． 7.A【解析】 ，所以函数R上单调递减； ，因为在上递减，且，所以，因为在上递减，且，所以， 所以，因为函数R上单调递减，所以<<，即故选：A. 8.B【解析】因为，则，则，又因为表示不大于的最大整数，所以不等式的解集为：，因为所求的时不等式成立的充分不必要条件，所以只要求出不等式解集的一个非空真子集即可，选项中只有⫋.故选：B. 二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.CD【解析】若，则，故选项A错误； 因为若，所以，若，则，故选项B错误； 因为，所以，所以，故选项C正确； 若，则，又因为，所以根据不等式的同向可加性，得，故选项D正确；故选：CD. 10.ABC【解析】选项A：命题“”的否定是“”， A为假命题； 选项B：由基本不等式可知当时，，当且仅当时等号成立，故充分性成立，当时，满足，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，B为假命题； 选项C：由解得或，所以二次函数的零点为和，C为假命题； 选项D：若，则或，充分性不成立，若，则，必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，D为真命题，故选：ABC. 11.ACD【解析】设，，则是增函数，且，又函数在上单调递增，在上单调递减，因此在上单调递增，在上单调递减，故A正确，B错误；，故C正确；，，因此的最小值是，故D正确．故选:ACD． 12.AD【解析】不妨令 ，对任意都有在上单调递增，对所有恒成立，对所有恒成立， 对所有恒成立，令 故只需解之：故选：AD 三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13.【解析】由不等式，可得，结合分式不等式的解法，可得，即不等式的解集为.故答案为：. 14.【解析】根据题意得，解得， 所以实数的取值范围是.故答案为： 15.3【解析】一元二次不等式对一切实数都成立， 当时，不能保证恒成立，不符合题意； 当时，要满足，由此， ，，得：， 则， 即时，取等号，故答案为：3． 16. ; 【解析】令，如图，全集被划分成三个部分， 中的任意一个元素只能在集合之一中，有3种方法， 则这个元素在集合中，每个元素均有3种选择，故共有种选择方法， 其中为空集的种数为为空集的种数为，均为空集的种数为1种，则均为非空子集的种数为，因当且仅当时，与为同一组“互斥子集”，而，满足的与不是同一组“互斥子集”， 于是得集合的所有“互斥子集”的组数为， 其中. 故答案为：， 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17.（1）原式， ， ，..............................................................................................................................5分 （2）∵， ∴ ∵，∴，∴，..............................7分 又∵，....................................................................................9分 ∵，∴，∴.......................................................10分 18.（1）：实数满足，解得， 当时，：，解得， ∵p和q至少有一个为真，∴或，∴， ∴实数的取值范围为；..........................................................................................6分 （2）∵，由，解得，即：， ∵是的充分不必要条件， ∴（等号不同时取），∴，..............................................................12分 19.（1）是二次函数，且的解集是 可设在区间上的最大值是 由已知，得 ..........................................................................4分 （2）由（1）知，开口向上，对称轴为 ①当，即时，在上是单调递减， ②当时，在上是单调递减 ③当，即时，在对称轴处取得最小值 则....................................................................................12分 20.（1）因为体育馆前墙长为米，地面面积为，所以体育馆的左右两侧墙的长度均为米，设甲工程队报价为元， 所以， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元；.......................5分 （2）根据题意可知对任意的恒成立，即对任意的恒成立，所以对任意的恒成立，因为， ， 当且仅当，即时等号成立，所以， 故当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功．........12分 21.（1）函数为奇函数．理由如下： 令，则，得， 令，则， 所以，则是上的奇函数．............................................4分 （2）在上单调递减，理由如下： 设， 因为，，，所以，， 所以，即 因此在上单调递减.....................................................................................8分 （3）， 因为， 所以．..........................................................................................12分 22.（1）由定义可知，当关于的方程在内有实数根，则函数是上的平均值函数，由，得， 解得或（舍去）， ∴是上的平均值函数，5是它的均值点...........................6分 （2）∵是上的平均值函数，∴关于的方程在内有实数根.由， 得，解得或，又， ∴必为均值点，即.解得， 故所求实数的取值范围是(......................................................................12分 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023级高一年级十月月考 数学试题 考试时间：2023年10月17日 试卷满分：150分 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合，若，则（  ） A．1 B．0 C． D．无法确定 2．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 3．购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱一定.假设连续两天购买该物品，第一天物品的价格为，第二天物品的价格为，且，则以下选项正确的为（  ） A．第一种方式购买物品的单价为 B．第二种方式购买物品的单价为 C．第一种方式购买物品所用单价更低 D．第二种方式购买物品所用单价更低 4．下列函数中最小值为的是（  ） A． B．当时， C．当时， D． 5．若不等式的解集为，则函数的图象可以为（    ） A． B． C． D． 6．已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（    ） A． B． C．D． 7．已知函数，记，则大小关系是（  ） A． B． C． D． 8．函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如．那么不等式成立的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．已知，则下列结论正确的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．下列命题为假命题的是（    ） A．命题“”的否定是“” B．“”是“”的充分必要条件 C．二次函数的零点为和 D．“”是“”的必要不充分条件 11.定义在上的函数，则下列结论中正确的是（　　） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是 C．的最大值是 D．的最小值是 12．已知是定义在区间上的奇函数，且，若时，有．若对所有恒成立，则实数m的取值范围可能是（    ） A． B． C． D． 三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．不等式的解集为 . 14．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 . 15．已知关于的一元二次不等式在实数集上恒成立，且，则的最小值为 16．已知集合，对于集合的两个非空子集，若，则称为集合的一组“互斥子集”.记集合的所有“互斥子集”的组数为（当且仅当时，与为同一组“互斥子集”），则 ， . 四、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．分别计算下列数值： （1）； （2）已知，，求. 18．已知：实数满足，：实数满足（其中）. (1)若，且和至少有一个为真，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 19．已知是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值是. （1）求的解析式； （2）设函数在上的最小值为，求的表达式. 20．某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为米． (1)当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ (2)现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围． 21．定义在上的函数满足：①对任意都有；②当，. （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）判断函数在上的单调性，并说明理由； （3）若，试求的值. 22．定义：如果函数在定义域内给定区间上存在（），满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点.如是上的平均值函数，0就是他的均值点. （1）判断函数在区间上是否为平均值函数？若是，求出它的均值点；若不是，请说明理由； （2）若函数是区间上的平均值函数，试确定实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$