椭圆达标测试卷-2025届高三数学一轮复习

椭圆达标测试卷-2025学年高三数学下学期一轮复习题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若边长为整数的正方形的四个顶点均在椭圆上，则的焦距为（   ） A．2 B． C． D． 2．已知，椭圆与双曲线的离心率分别为，，若，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知点P为椭圆上任意一点，直线与交于A，B两点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知椭圆的两个焦点为，，，点为上一点，若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的一个焦点坐标为，则实数（    ） A．1 B． C．2 D．4 6．已知离心率为的椭圆的左、右焦点分别为、，点为第一象限内椭圆外一点，且，，线段交椭圆于，设，则（    ） A． B． C． D． 7．已知，为上一点，且．动点满足为线段上一点，满足，则下列说法中不正确的是（    ） A．若，则为线段的中点 B．当时，的面积为 C．点到距离之和的最大值为5 D．的正切值的最大值为 8．法国数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆，称这个圆为该椭圆的蒙日圆，其圆心为椭圆的中心，半径为椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根．在圆上存在点P，使得过点P能作椭圆的两条相互垂直的切线，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知椭圆上有个不同的点为其右焦点，若是公差的等差数列，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 10．已知曲线，则下列选项正确的是（    ） A．若为椭圆，则 B．若为双曲线，则 C．若，则的离心率为 D．若，则的一个顶点为 11．设为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，点为定点，而点在椭圆上，且位于第一象限，若，则（    ） A． B． C．当的面积为时，的方程为 D．当轴时，的离心率 三、填空题 12．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数的值为 . 13．平面上动点满足，则点的轨迹方程为 . 14．已知椭圆：的左、右焦点分别是，，过点的直线与椭圆交于，两点.若，且，则椭圆的离心率为 . 四、解答题 15．已知椭圆的离心率为，点在E上，直线与E交于A，B两点，点A关于轴的对称点为C，O为坐标原点. (1)求E的方程； (2)求的面积. 16．已知椭圆的离心率为，且点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若A，B为椭圆C上的两点，且满足，求证：直线过定点． 17．如图，已知曲线，曲线的左、右焦点分别是，，且是曲线的焦点，点P是与在第一象限内的公共点且，过的直线l分别与曲线和交于点和． (1)求点的坐标及曲线的方程； (2)若与面积分别是，，求的最小值． 18．已知椭圆方程，椭圆上有三个点，，． (1)求椭圆的标准方程，并求椭圆的离心率： (2)设是椭圆上的动点，且直线关于直线对称，求直线的斜率. 19．已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右焦点，分别为椭圆的上､下顶点，且. (1)求椭圆的方程； (2)已知过的直线与椭圆交于两点，且直线不过椭圆四个顶点. （i）设的面积分别为，若，求的最大值； （ii）若在轴上方，为的角平分线，求直线的方程. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】由题意根据对称性得点在上，代入的方程得，利用椭圆焦距的定义求解即可. 【详解】由对称性可知，正方形的四个顶点必在直线上，由于椭圆在y轴上的两顶点间的距离为2， 所以正方形的边长只能为1，因此点在上，代入的方程得，解得， 故，所以的焦距为. 故选：B 2．C 【分析】利用椭圆、双曲线的离心率及关系列式，求出的关系即可求得渐近线方程. 【详解】由，得，则，整理得，即， 双曲线的渐近线方程为，即. 故选：C 3．B 【分析】由，结合椭圆焦半径的取值范围即可求解； 【详解】   ，即的圆心，半径为， 化为，可得直线l过定点， 椭圆方程中，，，，，则圆心为椭圆的右焦点， 线段为的直径(除去直线与圆M相交的直径）， 连接，因此， 点为椭圆上任意一点，则，， 即，所以， 故选：B. 4．C 【分析】利用椭圆定义得出，在中利用余弦定理可得的值即可. 【详解】且，则， 因，，则在中利用余弦定理可得， ，解得， 又，则. 故选：C 5．C 【分析】根据给定条件及椭圆标准方程形式，列式计算得解. 【详解】由椭圆的一个焦点坐标为，得. 故选：C 6．B 【分析】利用平面向量数量积推导出，连接，设，可得，求出的值，在中，利用余弦定理可求出的值，即可得出的值. 【详解】连接，如下图所示： 因为， 则， 所以，， 设，由椭圆的定义可得，且， 由余弦定理可得， 由余弦定理可得， 即，解得， 即，， 因为，故. 故选：B. 7．B 【分析】建立平面直角坐标系，将条件中的边长关系转化成坐标运算，得到动点的轨迹是圆，动点的轨迹是椭圆，利用圆和椭圆的性质可求解判断A，C，D；结合余弦定理和三角形面积公式可求出的面积，判断出B错误. 【详解】    以为原点建立如图所示平面直角坐标系，则， 设，由知，，化简得，即动点在以点为圆心，半径为2的圆上， 对于A，由知在线段中垂线上，所以当时，为线段的中点，故A正确； 对于B，当时，在中利用余弦定理得， 又因为，所以，所以的面积为，故B错误； 对于C，因为， 根据椭圆的定义，点在以为焦点的椭圆上，且长轴长焦距，短轴长. 所以，当点D在椭圆的右顶点时，即A，M，D三点共线时等号成立，取得最大值5，故C正确； 对于D，易知，根据椭圆焦点三角形的性质可知，当最大时，在椭圆的上或下顶点， 此时为最大值，故D正确． 故选：B. 8．B 【分析】根据蒙日圆的定义得到点P在上，从而得到圆与圆有交点，然后列不等式求解即可. 【详解】因为过点P的椭圆两条切线相互垂直， 所以两切线的交点P在该椭圆的蒙日圆上， 由题意得椭圆的蒙日圆方程为． 因为点P在圆上，则圆与圆有交点， 即两圆相切或相交， 则，解得． 故选：B． 9．AB 【分析】利用椭圆上点到焦点距离的最值，由等差数列通项公式计算可得结果. 【详解】根据可知， 利用椭圆性质可得的最大值为，最小值为， 因此可得，因为，可得，即； 所以的可能取值为，. 故选：AB 10．BD 【分析】根据题设方程所表示的曲线列不等式求参数范围判断A、B；代入的值得到具体曲线，由方程可求离心率或顶点可判断C、D. 【详解】对于A：若曲线表示椭圆，则， 解得，故A错误； 对于B：若曲线表示双曲线，则，解得或，即，故B正确； 对于C：若，则，，离心率，故C错误； 对于D：若，则，焦点在轴上，令得，，顶点为，故D正确. 故选：BD. 11．ACD 【分析】由椭圆方程表示出焦点坐标，结合题意，利用距离公式，可得A的正误；由圆的性质，可得B的正误；由三角形的面积与平行求得动点坐标，联立方程求得参数，可得CD的正误； 【详解】 由，则，，， 由，，则，解得，故A正确； 易知，则， 易知等边的外接圆圆心，半径，则圆， 以为圆心，以为半径作圆，则圆， 两式相减得，解得，即， 若，易知点为圆与圆的交点，显然交点坐标不符合题意，故B错误； 设，则的面积，解得, 由椭圆，则，代入圆的方程， 可得，易知为该方程的解， 化简可得， 分解因式可得，解得或， 当时，； 当时，，舍去，故C正确； 由轴，则，由圆，则，即， 点代入椭圆，可得，整理可得，解得， 当时，， 当时，，舍去， 所以，故D正确. 故选：ACD. 12．1 【分析】首先确定，即可得到焦点在轴，然后可得椭圆的焦点，列方程求解． 【详解】双曲线，则，所以双曲线的焦点在轴上， 所以，又，故解得． 故答案为：1． 13． 【分析】求出点到定点与的距离之和，根据与之间距离即可求解. 【详解】由满足知点到定点与的距离之和为10， 又与之间距离为， 根据椭圆定义可知该点的轨迹是椭圆， 其中, 轨迹方程为. 故答案为：. 14． 【分析】先设，再结合椭圆定义及垂直关系得出即可求出离心率. 【详解】设，则，，， 所以. 在中，，所以， 解得，所以，， 所以， 所以离心率. 故答案为：. 15．(1)； (2). 【分析】（1）根据离心率及点在椭圆上求椭圆参数，即可得方程； （2）设，B，则，联立椭圆与直线并应用韦达定理、三角形面积公式可得，结合向量数量积的坐标表示化简即可得结果. 【详解】（1）由椭圆的离心率为，得，即， 由点在上，得，联立解得，b， 所以的方程为. （2）设，B，则， 由，消去并整理得， ，，， ， 所以的面积为. 16．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）首先根据椭圆的离心率和椭圆上一点的坐标求出椭圆的标准方程； （2）分直线斜率不存在和存在两种情况进行讨论，利用向量垂直的性质得到关于参数的方程，进而求出直线所过的定点. 【详解】（1）因为椭圆C离心率为，所以，    又因为点在椭圆C上，所以，解得，，    椭圆C的标准方程为： （2）①当斜率不存在时，设的方程为， 则，，，， 因为，所以，    因为，所以，    所以，解得或（舍）；    ②当斜率存在时，设的方程为， 联立消去y得，    即， 设，则，， ，，    因为，所以， 即，    代入化简得， 即，    当时，，此时方程为，过定点，舍去；    当时，，此时方程为，过定点．    综上，直线过定点．    17．(1)，的方程是 (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义求出点的横坐标，再代入抛物线方程即可求出点的坐标，再将点的坐标代入椭圆方程求出，即可求出椭圆方程； （2）设直线的方程为，，将直线方程分别与抛物线方程和椭圆方程联立，利用韦达定理求出，，求出点到直线的距离，再求出的表达式，进而可得出答案. 【详解】（1）由题意得，曲线的准线为， 设，据题意有，则， 因为在曲线上， 所以，得， 因为点在第一象限， 所以， 因为点在椭圆上及是的焦点， 所以，解得：， 所以的方程是； （2）由题意知直线的斜率不为零， 设直线的方程为，， 则点到直线的距离， 联立，消得， 由恒成立，得， 则， 所以， 联立，消得， 由恒成立，得， 则， 所以 ， 则 ， 令，则， 则， 由双勾函数的性质可得函数在上单调递增， 所以在上单调递增， 又因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 18．(1)方程为,离心率为； (2) 【分析】（1）将两点代入椭圆方程解方程即可求得椭圆方程和离心率； （2）设直线的方程并与椭圆联立，解得两点的坐标表示，即可求得的斜率. 【详解】（1）根据题意将代入椭圆方程可得，解得； 再代入点坐标，可得，可得； 所以， 因此椭圆的标准方程为，离心率为. （2）如下图所示： 因为两点关于轴对称，且直线关于直线对称，所以直线的斜率均存在，且互为相反数， 即； 设，则直线的方程为， 联立，可得， 显然是该方程的根，所以，可得； 即 因为， 同理可得， 可知 因此直线的斜率为. 19．(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据题目所给的条件，求出即可； （2）（i）设，由已知可得，根据点在椭圆上，可得，可求得最大值；（ii）设，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，由题意可得，设直线的方程为：，联立方程组，由根与系数的关系可得，求解即可. 【详解】（1）由题意知，， 椭圆方程为， （2）（i）设， 则， ， ，，， 又在椭圆上，， ，，即， ， ， ， ； （ii）设，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， ，直线的倾斜角为， ，， 又， ， 由题意的斜率不为0，设直线的方程为：， 由，得， 设， 则，又， ， 即， 整理得， ，， 的方程为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$