河南省南阳市第一中学校2024-2025学年高一下学期第二次月考数学试题

null第 1 页 共 8 页 南阳一中高一年级第二次月考数学参考答案 1．B 2．答案：B 解析：由题意,得 πcos sin1 cos 1 2         , πsin cos1 sin 1 2         , 则与  终边相同的是 π 1 2  . 3．A 根据正弦定理 sin sin a c A C  ， 得 3 1 πsin sin 6 A  ， 解得 3sin 2 A  . 4．A 由 sin | cos | 0x x  , 可得 sin 0x  , 再由 (0, 2π)x ,可得 π( )0,x , 当 π 2 x  时, sin 1x  , cos 0x  显然成立; 当 π0 2 x  时,由sin cosx x ,即 tan 1x  ,可得 π π 4 2 x  ; 当 π π 2 x  时, sin cosx x  ,即有 sin 1 cos x x   , 则 tan 1x   ,解得 π 3 2 4 x   , 综上可得 π 3π( , ) 4 4 x . 5．D 因为 ( )f x 的定义域是 31, 2       , 对于函数 (sin 2 )f x ，有 31 sin 2 2 x   ，可得 2π 7π2 π 2 2 π ( ) 3 3 k x k k    Z ，解得 π 7ππ π ( ) 3 6 k x k k    Z ， 因此，函数 (sin 2 )f x 的定义域为 π 7ππ, π ( ) 3 6 k k k      Z . 第 2 页 共 8 页 6．A 因为CD DA   ，所以 1 2 AD AC   ，即 2AC AD   ，又 2 3 AP AB AC     ， 所 以 2 2 3 AP AB AD     ，因为点 P是线段 BD上一点，即 B、P、D三点共线， 所以 2 2 1 3   ，解得 1 6   . 7．B 解析：根据题意, 2 2AB AO AB     ,即 2 2 2 cos ,AB AO AB AO AB AO AB          ,所以 1cos , 2 AO AB AO AB      ,可得向量 AO  在向量 AB  上的投影为 AB  的一半,可分析出点 O 在边 AB的中垂线上,同理可得,点 O在边 AC的中垂线上,所以点 O为该三角形的外心 8．B 设 c ma nb     ，因为 1 1cos , 1 1 2 2 a b a b a b            ， 又 1a c b c        ，即     1 1 2 1 1 2 a c a ma nb m n b c b ma nb m n                           ， 解得 2 3 m n  ，所以 2 2 3 3 c a b     ， 所以 2 24 2 2 1 4 2 32 9 3 3 2 9 3 c a a b b            9．BD 因为   π π π π 5πcos 2 cos 2 sin 2 sin 2 3 3 2 3 6 g x x x x x                                    对于 A：将函数   πsin 2 4 f x x      图象上的点向右平移 π 12 个单位长度, 得 π πsin 2 sin 2 12 4 2 π 1 y x x                  ,故 A 错误; 对于 B：将函数   πsin 2 4 f x x      图象上的点向右平移 17π 24 个单位长度, 得 17π π 7π 7π 5πsin 2 sin 2 sin 2 2 π sin 2 24 4 6 6 6 y x x x x                                   ,故 B 正 确; 对于 C：将函数   πsin 2 4 f x x      图象上的点向左平移 7π 12 个单位长度, 第 3 页 共 8 页 得 7π π 17πsin 2 sin 2 12 4 12 y x x                  ,故 C 错误; 对于 D：将函数   πsin 2 4 f x x      图象上的点向向左平移 7π 24 个单位长度, 得 7π π 5πsin 2 sin 2 24 4 6 y x x                  ,故 D 正确. 10．ABD 由题意，  1, 3CA   ，  1, 3CB  ，  2,0AB  ， 则 2AB CA CB      ， 即 ABC△ 为等边三角形， 则 ABC△ 是锐角三角形，故 A 正确； 因为CA  在CB  上的投影向量为  1, 3 1 31 , 2 2 2 CA CB CB CB CB                 ，故 B 正确； 对于 C 选项：因为点 D为线段 AB中点，所以  0,1D ， 所以  0, 3CD  ，又  1, 3BC    ， 所以 3CD BC     ，故 C 错误； 对于 D 选项：设  ,E x y ，则  1 ,1EA x y     ， 若四边形 ABCE为平行四边形， 则 EA CB   ，即    1 ,1 1, 3x y    ， 即 1 1 1 3 x y       ， 解得 2 1 3 x y      ， 所以  2,1 3E   ，故 D 正确. 11．BCD 选项 A， 1// 2 1 1 2 a b t t          ，A 选项错误；选项 B， 2( 1, 1) ( 1) 1 1a b t t          ，当 1t   时取等号，B 选项正确； 第 4 页 共 8 页 2( 3,1 ) ( 1) 9a b t t          ， 根据 2 2( 1) 9 ( 1) 1t t      ，解得 2t  ，C 选项正确； D 选项， a 与b  的夹角为钝角， 则 2 0a b t      ，且两个向量不能反向共线，注意到 A 选项， 1 2 t   时， 2a b    ，于是 2t  且 1 2 t   . 12．2� 3 13．1 因为   10 2 f  ，所以 1sin 2   ，因为 π0 2   ，所以 π 6   ， 所以 π( ) sin( ) 6 f x x  ，因为  f x 在 π0, 3      单增， π π, 3 2      上单减， 所以 π 3 x  是 ( )f x 的最大值点，所以  π π π 2 π 3 6 2 k k    Z ， 所以  1 6k k   Z ，因为  f x 在 π0, 3      单增， π π, 3 2      上单减， 所以单调区间长度大于等于 π 3 ，所以 π π 3  ， 且 0  ，所以0 3  ，所以 1  . 14．2 使用极化恒等式 15．(1) AB a b       ， 2 8BC a b    ，  3CD a b     2 8 3BD BC CD a b a b             ，  2 8 3 3 5 5a b a b a b AB             AB  、 BD  共线， 又它们有公共点 B， A、B、D三点共线. (2) ka b    与 a kb   反向共线， 存在实数 ( 0)   ，使  ka b a kb      ， 即 ka b a kb        ，    1k a k b       . a   、b  是不共线的两个非零向量， 第 5 页 共 8 页 0 1 0 k k        ， 2 1 0k   ， 1k   ， 0  ， 1k   . 16．（1）因为 ( ) (2 ) 8a b a b       ， 所以 7 2cos 8  ， 所以 1cos 2   ． 因为 0 180   ， 所以 60  ． （2） 2 2| | ( )a b a b      2 22a a b b       因为 | | 2,| | 1a b   ， 1| || | cos60 2 1 1 2 a b a b          ， 所以 2| | 4 2 1 7a b      ， 所以 | | 7a b   ． 17．(1)由 2DB DC    ， 得 (2 2 ) 2 2AB AD AC AD AD AC            ， 所以 1 2 3 3 AD AB AC     . (2)由 AE AB   ， AF AC   ， 易得 1 2 3 3 AD AB AC     ， 0, 0   ， 得 1 2 33 AA ED AF       ， 又 D、E、F三点共线，因此 1 2 1 3 3    ， 则 1 22 (2 )( ) 3 3           4 4 4 4 82 3 3 3 3 3 3 3                ， 第 6 页 共 8 页 当且仅当 4 3 3      ， 即 42 3    时取等号， 所以 2  取最小值 8 3 . 18．（1）将  f x 的图象向右平移 π 2 个单位长度后， 得到 π π πsin 2 sin 2 2 6 3 y x x                   的图象， 再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 ，纵坐标不变， 得到 πsin 2 2 3 y x       的图象，所以   πsin 2 2 3 g x x       . （2）因为 π 5π 18 6 x   ，所以 4π π 4π2 9 3 3 x    .  g x k  ，即 πsin 2 2 3 x k        在区间 π 5π, 18 6     上有且只有两个实数解， 于是函数 πsin 2 3 y x      与 2y k   的图象在区间 π 5π, 18 6     上有且只有两个交点， 4π 4πsin sin 9 9        ， 4π π π 3π 3sin sin π sin sin 3 3 3 9 2             ， 3π 4π π0 9 9 2    ，所以 4π 4πsin sin 9 3       . 画出 πsin 2 3 y x      在区间 π 5π, 18 6     上的图象如下图所示， 第 7 页 共 8 页 所以 3 2 1 2 k     ，所以 3 2 3 2 k     ， 33 2 2 k    . 所以实数 k的取值范围是 33, 2 2         . 19．（1）函数 π( ) 2sin(2 ) 6 f x x  的最小正周期 2π | 2 | T   ， 因为 1 2( ) ( ) ( )f x f x f x  ， 1 2 min π| | 2 x x  ，所以函数 ( )f x 的最小正周期 πT  ， 所以 2π π | 2 | T    ， 0＞ ，解得 1  ， π( ) 2sin(2 ) 6 f x x  ， 令 π π2 π 6 2 x k   ，（ k Z ），解得 π π 6 2 kx   ，（ k Z ）， 所以函数 ( )f x 的图像的对称轴为 π π 6 2 kx   （ k Z ） （2）由题意可知 π π( ) 2sin(2 ) 1 6 3 g x x     ， 因为 π 3 x  是 ( )g x 的一个零点，所以 π 2π π π( ) 2sin( ) 1 0 3 3 6 3 g       ，所以 π π 1sin( ) 3 6 2     ， 所以 1 π π 7π 2 π 3 6 6 k    ，（ 1k Z ）或 2 π π 11π 2 π 3 6 6 k    ，（ 2k Z ）， 所以 13 6k   ，（ 1k Z ）或 25 6k   ，（ 2k Z ）， 又 0 5  ，所以 3  ，所以 5π( ) 2sin(6 ) 1 6 g x x   ， 当 π 17π 9 36 x  时， π 5π6 2π 6 6 x    ，设 5π6 6 t x  ，则 π[ 2π] 6 t  ， ， 则原式可化为 ( ) 2sin 1h t t  ， 即 ( ) 1 2siny h t t   的图像在区间 π[ 2π] 6  ， 内与水平 第 8 页 共 8 页 直线 1y a  的图像有3个不同的交点， 作出 2siny t 在 π[ 2π] 6  ， 上的图像如下图所示， 所以当 1 1 0a    时，即 0 1a  时， 2siny t 与 1y a  恰有3个不同的交点， 所以实数 a的取值范围为[01]，， 设 2siny t 与 1y a  的3个不同的交点分别为 1t ， 2t ， 3t （ 1 2 3t t t  ）， 则 1 2 πt t  ， 2 3 3πt t  ，所以 1 2 32 4πt t t   ，即 1 2 3 5π 5π 5π(6 ) 2 (6 ) (6 ) 4π 6 6 6 x x x       ， 整理得 1 2 3 11π2 9 x x x   .