精品解析：陕西省宝鸡市凤翔区2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试题

八年级教学素养测评（五） 数学 下册第一章第̃二章第4节 注意事项：共120分，考试时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的，请把正确答案的代号填在下表中） 1. 下列各式中，是不等式的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列不等式中，一定成立的是（ ） A. B. C. D. 1 4. 如图，在中，是角平分线，于点，，则点到的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A. 直角三角形的两个锐角的和等于 B. 全等三角形的对应角相等 C. 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 D. 等腰三角形的两底角相等 7. 某商场促销，小鱼将促销信息告诉了妈妈，小鱼妈妈假设某一商品的定价为元，并列出不等式为，那么小鱼告诉妈妈的信息是（ ） A. 买两件等值的商品可减100元，再打两折，最后不到900元 B. 买两件等值的商品可打两折，再减100元，最后不到900元 C. 买两件等值的商品可减100元，再打八折，最后不到900元 D. 买两件等值的商品可打八折，再减100元，最后不到900元 8. 如图，在中，是边上一动点，则的最小值是（ ） A. 6 B. C. D. 3 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 已知是关于的一元一次不等式，则的值为___________． 10. 如图，在中，．若添加一个条件可判定为等边三角形，则添加的条件可以是___________． 11. 若关于x的不等式的解集是，则a的取值范围为__________． 12. 如图，在中，，是角平分线，若，则的度数为___________． 13. 某羽毛球馆收费制度为月度会员制，现有A，B两种会员类型，标准如下表： 会员类型 购买会员/（元/月） 每次使用缴费（元/次） A 50 20 B 200 若小明同学每月去羽毛球馆刚好10次，购买类型会员没有类型会员划算，则的取值范围是___________． 三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程） 14. 解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 15. 如图，在四边形中，，为上的一点，且，求证：是直角三角形． 16. 关于的一元一次方程的解是非正数，求的取值范围． 17. 如图，在中，，平分，请用尺规作图法，在上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，，求证：． 19. 如图，在中，，，，求的长． 20. 在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为，如．已知满足，求的最大整数值． 21. 在中，．求证：．（用反证法证明） 22. （1）用不等号填空： 若，则______（依据不等式的基本性质1）； 若，则______（依据不等式的基本性质2）； 若，则______（依据不等式的基本性质3）． （2）已知，试比较与的大小． 23. 如图，在中，于点，为上一点，是等边三角形，． （1）求证：为等腰三角形； （2）若，求的长． 24. 某校为迎接“2025年元旦校内足球赛”，计划购买甲、乙两种品牌的足球．已知甲品牌足球的单价比乙品牌足球的单价多20元，且购买12个甲品牌足球和10个乙品牌足球共需2000元． （1）甲、乙两种品牌足球的单价各为多少元？ （2）学校决定购买甲品牌足球和乙品牌足球共60个，总费用不超过5300元，那么最多可以购买多少个甲品牌足球？ 25. 如图，在中，的垂直平分线分别交于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 26. 【问题背景】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【问题解决】 （1）如图，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则，与之间满足的数量关系是________； 如图，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为________． 【方法应用】 （2）如图，在中，，，．求的面积． 【拓展迁移】 （3）如图，在中，，，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级教学素养测评（五） 数学 下册第一章第̃二章第4节 注意事项：共120分，考试时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的，请把正确答案的代号填在下表中） 1. 下列各式中，是不等式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的定义，即用不等号连接的用来表示不等关系的式子叫做不等式，根据不等式的定义解答即可． 【详解】解：根据不等式定义：用不等号连接的用来表示不等关系的式子叫做不等式， 所以满足条件的只有C符合题意． 故选：C． 2. 在中，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，掌握以上知识，图形结合分析的方法是解题的关键． 根据可得是等腰三角形，根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，，， ∴是等腰三角形， ∴，   故选：A ． 3. 若，则下列不等式中，一定成立的是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质．①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质分析判断即可． 【详解】解：A、若，则有，原变形不成立，故本选项不符合题意； B、若，则有，原变形不成立，故本选项不符合题意； C、若，则有，原变形不成立，故本选项不符合题意； D、若，则有，进而可知成立，故本选项符合题意． 故选：D． 4. 如图，在中，是角平分线，于点，，则点到的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，过D作于F，根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：过D作于F， ∵平分，，， ∴， 即点到的距离为2， 故选：B． 5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解不等式，用数轴表示不等式的解集，正确求解不等式的解集是解题的关键．先求出不等式的解集，再用数轴表示这个解集即可求解． 【详解】解∶解不等式，得， 在数轴上表示为∶ 故选∶A． 6. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A. 直角三角形的两个锐角的和等于 B. 全等三角形的对应角相等 C. 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 D. 等腰三角形的两底角相等 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了命题与定理，全等三角形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线的的性质和判定等知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．先分别写出这些定理的逆命题，再进行判断即可． 【详解】解：A、直角三角形的两锐角和等于的逆命题是两锐角和等于的三角形是直角三角形，是真命题； B、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题； C、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上的逆命题是线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等，是真命题； D、等腰三角形的底角相等的逆命题是两底角相等的三角形是等腰三角形，是真命题． 故选：B． 7. 某商场促销，小鱼将促销信息告诉了妈妈，小鱼妈妈假设某一商品的定价为元，并列出不等式为，那么小鱼告诉妈妈的信息是（ ） A. 买两件等值的商品可减100元，再打两折，最后不到900元 B. 买两件等值的商品可打两折，再减100元，最后不到900元 C. 买两件等值的商品可减100元，再打八折，最后不到900元 D. 买两件等值的商品可打八折，再减100元，最后不到900元 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了由不等式联系实际问题，根据已知得出最后打8折是解题关键．根据，可以理解为买两件等值的商品可减100元，再打八折，最后不到900元． 【详解】解：∵小鱼妈妈假设某一商品的定价为元，并列出不等式为， ∴由得出两件商品减100元，以及由得出买两件打8折， 故可以理解为：买两件等值的商品可减100元，再打八折，最后不到900元． 故选：C． 8. 如图，在中，是边上一动点，则的最小值是（ ） A. 6 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了垂直平分线的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握这些性质和运用点到直线的距离垂线段最短是解决此题的关键．延长至，使，连接，过点作于，先证明，然后得，当与共线时，为最小值，再根据勾股定理求即可． 【详解】解：如图，延长至，使，连接，过点作于， ∵中，，，， ∴，则， 垂直平分线段， ， ， ， ， 由垂线段最短可知：当与共线时，为最小值， 此时，， ， ， ， ∴的最小值为； 故选：D． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 已知是关于的一元一次不等式，则的值为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，据此列式计算即可． 【详解】解∶∵是关于的一元一次不等式， ∴， ∴， 故答案为：3． 10. 如图，在中，．若添加一个条件可判定为等边三角形，则添加的条件可以是___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定；三条边相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形．根据，结合等边三角形的判定定理即可解答． 【详解】解：①当或时， ∵， ∴，即是等边三角形； ②当或或时， ∵， ∴是等边三角形； 故答案为：（答案不唯一） 11. 若关于x的不等式的解集是，则a的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求不等式的解集；根据不等式的基本性质可得，进行计算即可得到答案． 【详解】解：关于的不等式的解集是， ， 解得：， 的取值范围是， 故答案为：． 12. 如图，在中，，是角平分线，若，则的度数为___________． 【答案】##36度 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理．设，由角平分线的定义得出，由等腰三角形的性质得出，，由三角形内角和定理则可求出答案． 【详解】解：设， ∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由三角形内角和定理得， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 某羽毛球馆收费制度为月度会员制，现有A，B两种会员类型，标准如下表： 会员类型 购买会员/（元/月） 每次使用缴费（元/次） A 50 20 B 200 若小明同学每月去羽毛球馆刚好10次，购买类型会员没有类型会员划算，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的应用．根据题意，可以得到购买的类型会员分别的花费为多少，结合题意得到关于的不等式，从而可以求得的取值范围． 【详解】解：由题意可得，小明同学每月去羽毛球馆次，则购买的B类型会员的花费为：元， 购买的A类型会员的花费为：元， ∵购买的B类型会员没有A类型会员划算， ∴， 解得， 故答案为：． 三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程） 14. 解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】； 将解集表示在数轴上，如图所示： 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．先去分母，再去括号，然后移项，合并同类项，最后系数化为1，并把解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； 数轴略． 15. 如图，在四边形中，，为上的一点，且，求证：是直角三角形． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理．根据平行线的性质求得，结合已知求得，利用三角形内角和定理求得，即可得证． 【详解】略 16. 关于的一元一次方程的解是非正数，求的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式，熟练掌握以上知识是解题的关键．先解一元一次方程，再根据题意列一元一次不等式，求解即可求的取值范围． 【详解】解：解一元一次方程， 可得：， ∵一元一次方程的解是非正数， ∴，即， 解得：． 17. 如图，在中，，平分，请用尺规作图法，在上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，点E即为所求， 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，尺规作线段的垂直平分线，勾股定理等知识，过D作于E即可． 【详解】解∶由作图知：， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 18. 如图，，求证：． 【答案】 证明∶在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明，然后根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】略 19. 如图，在中，，，，求的长． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和勾股定理的应用．首先根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，然后在中由勾股定理计算的长即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴在中，． 20. 在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为，如．已知满足，求的最大整数值． 【答案】的最大整数值为． 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式．根据新运算的定义建立一元一次不等式，解不等式即可得． 【详解】解：∵，， ∴， 解得， ∴的最大整数值为． 21. 在中，．求证：．（用反证法证明） 【答案】 解：假设， ∵， ∴， ∴， ∴，与三角形内角和定理等于相矛盾， ∴假设不成立， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是反证法．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．先假设，由等边对等角求得，推出，与三角形内角和定理等于相矛盾，即可证明假设不成立，推出结论成立． 【详解】略 22. （1）用不等号填空： 若，则______（依据不等式的基本性质1）； 若，则______（依据不等式的基本性质2）； 若，则______（依据不等式的基本性质3）． （2）已知，试比较与的大小． 【答案】（1）；；；（2） 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，不等式的性质1：把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． （1）根据不等式的性质填空即可； （2）利用不等式的性质即可比较． 【详解】（1）解：若，则（依据不等式的基本性质1）； 若，则（依据不等式的基本性质2）； 若，则（依据不等式的基本性质3）． 故答案为：；；； （2）∵， ∴（依据不等式的基本性质3）， ∴（依据不等式的基本性质1）． 23. 如图，在中，于点，为上一点，是等边三角形，． （1）求证：为等腰三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质． （1）先求得，再求得，然后利用等角对等边可得答案； （2）先求得，利用直角三角形的性质求得，再利用等边三角形的性质，即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 24. 某校为迎接“2025年元旦校内足球赛”，计划购买甲、乙两种品牌的足球．已知甲品牌足球的单价比乙品牌足球的单价多20元，且购买12个甲品牌足球和10个乙品牌足球共需2000元． （1）甲、乙两种品牌足球的单价各为多少元？ （2）学校决定购买甲品牌足球和乙品牌足球共60个，总费用不超过5300元，那么最多可以购买多少个甲品牌足球？ 【答案】（1）甲品牌足球的单价为100元，乙品牌足球的单价为80元 （2）最多可以购买25个甲品牌足球 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）乙品牌足球的单价为x元，则甲品牌足球的单价为元，根据“购买12个甲品牌足球和10个乙品牌足球共需2000元”列方程求解即可； （2）设购买m个甲品牌足球，则购买个乙品牌足球，根据“总费用不超过5300元”列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：乙品牌足球的单价为x元，则甲品牌足球的单价为元， 根据题意，得， 解得， ∴， 答：甲品牌足球的单价为100元，乙品牌足球的单价为80元； 【小问2详解】 解：设购买m个甲品牌足球，则购买个乙品牌足球， 根据题意，得， 解得， 答：最多可以购买25个甲品牌足球． 25. 如图，在中，的垂直平分线分别交于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明∶∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得出，根据等边对等角得出，结合三角形外角的性质可得出，结合已知可得，根据等角对等边即可得证； （2）根据三角形内角和定理并结合（1）中，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴． 26. 【问题背景】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【问题解决】 （1）如图，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则，与之间满足的数量关系是________； 如图，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为________． 【方法应用】 （2）如图，在中，，，．求的面积． 【拓展迁移】 （3）如图，在中，，，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 【答案】（1）；；（2）；（3）或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握分类讨论的思想是解答本题的关键． （1）根据，得到，结合，得到，，从而得到，即可得到，即可得到答案； 同理证明即可得到答案； （2）作，交于点，证明即可得到答案； （3）分，两种情况讨论，根据等腰直角三角形结合（1）的结论求解即可得到答案． 【详解】解：（1），， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：； ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 故答案为：； （2）在中，，，，如图，作，交于点， ，，， ， 在和中， ， ， ， ； （3）以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，，如图，作高线，过点作于， ，，， ，， 由（1）得：， ， ； 以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，，如图，作高线，过点作于， ，，， ，， 由（1）得：， ， ； 综上所述，的面积为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $