精品解析：安徽省合肥市四校2024--2025学年下学期第一次月考八年级数学试卷

八年级数学 （沪科版） 注意事项： 1．数学试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算结果正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值为（　　） A. B. 1 C. D. 0 5. 实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 若用公式法解关于x的一元二次方程，其根为（　　） A. B. C. D. 7. 已知，，则a，b之间的数量关系是（　　） A. B. C. D. 8. 学习小组设计了一个 “接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学， 他完成一步解答后交给第二位同学， 依次进行， 最后完成计算． 规则是每人只能看到前一人传过来的式子． 接力中， 自己负责的式子出现错误的是 （ ） A. 小明和小丽 B. 小红和小亮 C. 小明和小亮 D. 小丽和小红 9. 如图是小明用6个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成的一个大长方形，已知小长方形的长为，宽为，下列对大长方形的判断不正确的是（　　） A. 大长方形的长为 B. 大长方形的宽为 C. 大长方形的周长为 D. 大长方形的面积为96 10. 已知一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 化简：＝_____． 12. 若最简二次根式与是同类二次根式，则___________． 13. 一个三角形的两边长分别是8和7，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的周长是___________． 14. 对于任意不相等的两个正实数a，b，定义一种运算“※”如下：，例如：． （1）___________； （2）___________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 解方程：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知，，求的值． 18. 若m是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值． 20. 阅读材料． 例题：若，求m和n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 解决下列问题： （1）若，求的值； （2）若a，b，c是的三边长，且满足，求边长的取值范围． 21. 我们已经学习了二次根式和完全平方公式，请阅读下面材料： 当时： 又 当且仅当时，． 请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，的最小值为______，此时______； （2）若，求y的最小值． 22. 如图，把两张小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一张面积为的大正方形纸片． （1）小方形纸片的边长为 ； （2）在（1）的条件下，设小正方形纸片的边长的值的整数部分为a，小数部分为b，求的值； （3）若沿此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片a的长宽之比为，且面积为？若能，试求出剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 23. 在数学小组探究学习活动中，小明遇到这样一道解答题： 已知，求的值． 他是这样解答的：∵， ∴，∴，即， ∴，∴． 请你根据小明的解题方法，解答下列问题： （1）填空：___________； （2）化简：； （3）若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 （沪科版） 注意事项： 1．数学试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．整理方程得，所含未知数的项的最高次数是1，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C．中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：A． 3. 下列计算结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式计算．根据题意逐一对选项进行计算即可得到本题答案． 【详解】解：∵无法计算，即A选项错误； ∵，即B选项错误； ∵，即C选项正确； ∵，即D选项错误． 故选：C． 4. 若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值为（　　） A. B. 1 C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解体的关键． 根据一元二次方程的定义可得，根据常数项为0得到，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的常数项为0， ∴， 解得：， 故选：B． 5. 实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据，两点在数轴上的位置判断出，的符号，再把各二次根式进行化简即可． 【详解】解：由图可知，，， ， 原式． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，关键是根据二次根式的性质化简解答． 6. 若用公式法解关于x的一元二次方程，其根为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用公式法求解一元二次方程，熟练掌握公式法求一元二次方程的方法是解题的关键． 根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 7. 已知，，则a，b之间的数量关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式四则运算，熟练掌握利用分母有理化进行化简是关键． 根据分母有理化将a化简，再计算，，的值，，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：B． 8. 学习小组设计了一个 “接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学， 他完成一步解答后交给第二位同学， 依次进行， 最后完成计算． 规则是每人只能看到前一人传过来的式子． 接力中， 自己负责的式子出现错误的是 （ ） A. 小明和小丽 B. 小红和小亮 C. 小明和小亮 D. 小丽和小红 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则． 利用二次根式的运算法则逐步进行判断即可． 【详解】解：由可得，小丽出现错误； 由可得，小红出现错误； 故选：D． 9. 如图是小明用6个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成的一个大长方形，已知小长方形的长为，宽为，下列对大长方形的判断不正确的是（　　） A. 大长方形的长为 B. 大长方形的宽为 C. 大长方形的周长为 D. 大长方形的面积为96 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，根据图形特征、长方形的面积周长公式以及二次根式的混合运算，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵小长方形的长为，宽为，∴，故该选项不符合题意； B、∵小长方形的长为，宽为，∴，故该选项不符合题意； C、∵大长方形的长为，大长方形的宽为，∴，故该选项符合题意； D、∵大长方形的长为，大长方形的宽为，∴，故该选项不符合题意； 故选：C 10. 已知一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根的判别式．根据题意得出，，，再由有两个相等的实数根可知，即可得出本题答案． 【详解】解：由题意知，， ∴，，． ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴，故选项B正确，不符合题意； ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴，故选项C正确，不符合题意； ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴． 又∵，， ∴，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 化简：＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的性质=|a|进行计算即可． 【详解】解：原式＝＝a， 故答案为：a． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，关键是掌握二次根式的性质． 12. 若最简二次根式与是同类二次根式，则___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式定义．根据题意利用同类二次根式列式计算即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，解得：， 故答案为：4． 13. 一个三角形的两边长分别是8和7，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的周长是___________． 【答案】20或27 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程，三角形三边关系，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 已知方程利用因式分解法求出解，得到第三边长，分类讨论求出三角形的周长即可． 【详解】解：方程， 分解因式得：， 解得：或， 当时，， ∴三角形的周长为：； 当时，， ∴三角形的周长为：； 综上所述，三角形的周长是20或27． 故答案为：20或27． 14. 对于任意不相等的两个正实数a，b，定义一种运算“※”如下：，例如：． （1）___________； （2）___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查定义新运算，二次根式分母有理化，平方差公式等． （1）根据题意利用题中例子计算即可； （2）根据题意先将展开计算，再计算，最后分母有理化即可． 【详解】解：（1）由定义新运算知， 故答案为：； （2） ， 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查二次根式混合计算，求一个数的立方根等．根据题意先去括号，再计算减法即可． 【详解】原式， ， ， ， ． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，先移项提取公因式，得到两个一元一次方程，再分别求解即可，熟练掌握因式分解法解一元二次方程的方法步骤是解决此题的关键． 【详解】解：， ， ， 或， ． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知，，求的值． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，求出的值，利用完全平方公式变形求值即可． 【详解】解：，， ，． ∴． 18. 若m是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的应用，运用适当的变形，渗透整体代入的思想解决问题． 把代入方程得，从而得到，再由，整体代入计算即可． 【详解】解：将代入，得， ∴， ∴ ． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值． 【答案】（1）；（2）的值为． 【解析】 【分析】（1）利用判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）利用（1）中的结论得到的最大整数为2，解方程解得，把和分别代入一元二次方程求出对应的，同时满足． 【详解】解：（1）根据题意得， 解得； （2）的最大整数为2， 方程变形为，解得， ∵一元二次方程与方程有一个相同的根， ∴当时，，解得； 当时，，解得， 而， ∴的值为． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 20. 阅读材料． 例题：若，求m和n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 解决下列问题： （1）若，求的值； （2）若a，b，c是的三边长，且满足，求边长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式、负整数指数幂、三角形的三边关系，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）先利用完全平方公式可得，从而可得，，再代入计算即可得； （2）先利用完全平方公式可得，从而可得，，再根据三角形的三边关系求解即可得． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． ∵是的三边长， ∴，即． 21. 我们已经学习了二次根式和完全平方公式，请阅读下面材料： 当时： 又 当且仅当时，． 请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，的最小值为______，此时______； （2）若，求y的最小值． 【答案】（1）4， （2）y的最小值为 【解析】 【分析】本题考查了二次根式和完全平方公式的应用，读懂题意，能熟练仿照示例是解题的关键． （1）根据示例，得到，即可求出x的值，得到最小值； （2）仿照示例，，得到最小值． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 当且仅当时，， 解得， ∴当时，的最小值为4，此时， 故答案为：4，； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴， ∴， 当且仅当，即时，的最小值为， ∴y的最小值为． 22. 如图，把两张小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一张面积为的大正方形纸片． （1）小方形纸片的边长为 ； （2）在（1）的条件下，设小正方形纸片的边长的值的整数部分为a，小数部分为b，求的值； （3）若沿此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片a的长宽之比为，且面积为？若能，试求出剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 不能，理由如下： ∵长方形的长宽之比为， ∴设长方形的长和宽分别是，． ∴， ， ∵， ， ∴沿着大正方形边的方向不能裁出符合要求的长方形． 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的应用、无理数的估算、无理数的混合运算和开平方的应用， （1）先根据小正方形的面积是大正方形面积的一半求得小正方形的面积，进而求得小正方形的边长即可； （2）结合（1）小方形纸片的边长和二次根式的运算得到小正方形纸片的边长的值的整数部分为，小数部分为，代入代数式计算即可； （3）设长方形的长和宽分别是和．根据剪出的大长方形的面积列方程求得长方形的长，再与大正方形的边长进行比较即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，小正方形的面积是大正方形面积的一半， ∴小正方形的面积为， 设小正方形的边长为a， 则， ∴（负值舍去）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）小方形纸片的边长， ∵，且， ∴， ∴小正方形纸片的边长的值的整数部分为，小数部分为， 则； 【小问3详解】 略 23. 在数学小组探究学习活动中，小明遇到这样一道解答题： 已知，求的值． 他是这样解答的：∵， ∴，∴，即， ∴，∴． 请你根据小明的解题方法，解答下列问题： （1）填空：___________； （2）化简：； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2）12 （3）8 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了分母有理化． （1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算； （2）先分母有理化，然后同类二次根式即可； （3）先分母有理化得到，移项后平方得到，再把原式变形为，接着利用整体代入的方法计算得到原式，然后再利用同样方法计算即可． 【小问1详解】 解： ， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $