精品解析：河南省新乡市原阳县部分学校2024-2025学年下学期3月月考八年级数学试卷

2023-2024学年度八年级下学期阶段评估（一） 数学 下册第十六~十七章 注意事项：共三个大题，满分120分．作答时间100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确答案的代号填在括号中． 1. 下列式子是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 将化成最简二次根式的结果为（ ） A. B. C. D. 4. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. B. C. D. 5. 若要在（5﹣）□的“□”中填上一个运算符号,使计算结果最大,则这个运算符号应该填（ ） A. + B. ﹣ C. × D. ÷ 6. 如图，在中，，是边上的中线，则的面积是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，从一个大正方形中裁去面积为12和18的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，两个滑块A，B由一个连杆连接，分别可以在垂直和水平的滑道上滑动．开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米，则当滑块A向下滑13厘米时，滑块B向右滑动了（ ） A. 9厘米 B. 24厘米 C. 12厘米 D. 15厘米 9. 如图，AD是的高，分别以线段为边向外作正方形，其中3个正方形的面积如图所示，则第四个正方形的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，是一扇高为，宽为的门框，李师傅有块薄木板，尺寸如下：①号木板长，宽；②号木板长，宽；③号木板长，宽．可以从这扇门通过的木板是（ ）． A. ①号 B. ②号 C. ③号 D. 均不能通过 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 当时，二次根式的值是__________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，若点的坐标为，点的坐标为，则的长为___________． 13. 当时，代数式的值是__________． 14. 如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，则AF的长是________ ． 15. 已知:如图,在Rt ∆ABC中,,AB=5cm, AC=3cm, 动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s 的速度移动,设运动的时间为t秒.t= __________ 时三角形ABP为直角三角形. 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解决下列问题： （1）计算：； （2）如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道与的长度相等，滑梯的高度，．求滑道的长度． （3）    17. 小徽准备完成题目“计算：（”时，发现“■”处的数印刷不清楚． （1）他把“■”处的数猜成6，请你计算的结果； （2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题的标准答案是0．”通过计算说明原题中“■”表示的数． 18. 如图，在中，，，，若的平分线交于点D，求的长． 19. 已知长方形长a＝，宽b＝． ①求长方形的周长； ②求与长方形等面积的正方形的周长，并比较长方形周长与正方形周长大小关系． 20. 由于大风，山坡上的一棵甲树从A点处被拦腰折断，其顶点恰好落在一棵树乙的底部C处，如图所示，已知米，米，两棵树的水平距离是12米，求甲树原来的高度． 21. 如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下： 小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图： ②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离米，如图． 小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图3点处，作垂直于点，． （1）请你按小明的方案求出旗杆的高度； （2）在（）的条件下，已知小亮举起绳结离旗杆的距离米，求此时绳结到地面的高度． 22. 如图，在等腰直角中，，，，垂足分别为E、C． （1）求证：； （2）连接，若，，，请利用此图验证勾股定理． 23. 阅读材料：在二次根式运算中，若两个二次根式的乘积不含根号，则称这两个二次根式互为有理化因式，其中一个二次根式是另一个二次根式的有理化因式，例如：，则称与互为有理化因式；，则称与互为有理化因式．因此，我们可以利用互为有理化因式的特征把分母中的根号或根号中的分母化去，如，，这一过程叫做分母有理化． （1）的一个有理化因式是________．分母有理化：________． （2）已知，求的值． （3）计算：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度八年级下学期阶段评估（一） 数学 下册第十六~十七章 注意事项：共三个大题，满分120分．作答时间100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确答案的代号填在括号中． 1. 下列式子是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义及相关基础是解题的关键，根据二次根式的定义：一般形如的代数式叫做二次根式；双重非负性：是一个非负数．其中，也是一个非负数，逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、不符合二次根式的形式，故此选项不符合题意； B、符合二次根式的形式，同样也符合二次根式的性质，故此选项符合题意； C、不符合二次根式被开方数为非负数的性质，故此选项不符合题意； D、当时不符合二次根式被开方数为非负数的性质，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 利用二次根式的化简的法则，二次根式的加法的法则，二次根式的除法的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A、与被开方数不同，不可以进行加法运算，故A不符合题意； B、与被开方数不同，不可以进行减法运算，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选：D． 3. 将化成最简二次根式的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，如果一个二次根式符合下列两个条件：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式，那么，这个根式叫做最简二次根式，根据最简二次根式的定义化简即可得到答案． 【详解】解：将化成最简二次根式的结果为， 故选：A． 4. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“勾股数”的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； B、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； C、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； D、，是“勾股数”，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：若满足的三个正整数，称为勾股数． 5. 若要在（5﹣）□的“□”中填上一个运算符号,使计算结果最大,则这个运算符号应该填（ ） A. + B. ﹣ C. × D. ÷ 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析： 故选C. 6. 如图，在中，，是边上的中线，则的面积是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：由勾股定理得，， ∵是边上的中线， ∴， ∴的面积是， 故选：A． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 7. 如图，从一个大正方形中裁去面积为12和18的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的应用，解题的关键是求出大正方形的边长．先求出两个小正方形的边长，然后再求出大正方形的边长，用大正方形的面积减去两个小正方形的面积即可． 【详解】解：∵积为12的小正方形的边长为：， 面积为18小正方形的边长为：， ∴大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为， ∴余下部分的面积为． 故选A． 8. 如图，两个滑块A，B由一个连杆连接，分别可以在垂直和水平的滑道上滑动．开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米，则当滑块A向下滑13厘米时，滑块B向右滑动了（ ） A. 9厘米 B. 24厘米 C. 12厘米 D. 15厘米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，善于观察题目的信息，灵活运用勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，再求出下滑后的，利用勾股定理求出下滑后的，继而求出滑块B滑动的距离． 【详解】解：依题意得：， 设滑动后点A、B的对应位置是， 由勾股定理得，(厘米)， 当滑块A向下滑13厘米时，(厘米)， ∴(厘米)， ∴滑块B滑动的距离为：(厘米)， 故选：A． 9. 如图，AD是的高，分别以线段为边向外作正方形，其中3个正方形的面积如图所示，则第四个正方形的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理解题即可求解． 【详解】解：根据勾股定理可得： ， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 10. 如图，是一扇高为，宽为的门框，李师傅有块薄木板，尺寸如下：①号木板长，宽；②号木板长，宽；③号木板长，宽．可以从这扇门通过的木板是（ ）． A. ①号 B. ②号 C. ③号 D. 均不能通过 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理，先计算出能通过的最大距离，然后和题中数据相比较即可． 【详解】因为，，，， 所以可以从这扇门通过的木板是①号木板． 故选：A. 【点睛】本题考查用勾股定理解决实际问题．熟练运用勾股定理计算矩形中的最大线段的长度，即对角线的长度． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 当时，二次根式的值是__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式求值，准确计算是解题的关键．将代入二次根式求值即可． 【详解】解：当时，二次根式． 故答案为：3． 12. 如图，在平面直角坐标系中，若点的坐标为，点的坐标为，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴，于点，根据题意得出，进而勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴，于点， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理求两点坐标的距离，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 13. 当时，代数式的值是__________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，二次根式运算，完全平方公式，掌握完全平方公式是解决本题的关键．将代数式化为，代入，即可求解． 【详解】解：原式 当时， 原式 故答案为：20． 14. 如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，则AF的长是________ ． 【答案】10 【解析】 【详解】本题考查勾股定理,可以过点F作FG⊥AB,交AB延长线于点G,根据题意可得:AG=AB+CD+EF=3+3+2=8,CF=BC+DE=4+2=6, 在Rt△AGF中,AF= 15. 已知:如图,在Rt ∆ABC中,,AB=5cm, AC=3cm, 动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s 的速度移动,设运动的时间为t秒.t= __________ 时三角形ABP为直角三角形. 【答案】2s或s 【解析】 【分析】根据勾股定理求出BC的长度，再分两种情况：①当∠APB为直角时，②当∠BAP为直角时，分别求出此时的t值即可． 【详解】解：∵∠C=90°，AB=5cm，AC=3cm， ∴BC=4 cm． ①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP=BC=4 cm， ∴t=4÷2=2s． ②当∠BAP为直角时，BP=2tcm，CP=（2t-4）cm，AC=3 cm， 在Rt△ACP中，AP2=32+（2t-4）2， 在Rt△BAP中，AB2+AP2=BP2， ∴52+[32+（2t-4）2]=（2t）2， 解得t=s． 综上，当t=2s或s时，△ABP为直角三角形． 故答案为2s或s． 【点睛】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解决下列问题： （1）计算：； （2）如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道与的长度相等，滑梯的高度，．求滑道的长度． （3）    【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，勾股定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用平方差公式计算即可； （2）设，则，在中，由勾股定理建立方程求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：设， 则， 由题意得：， 在中，， ∴ 解得， ∴． 17. 小徽准备完成题目“计算：（”时，发现“■”处的数印刷不清楚． （1）他把“■”处的数猜成6，请你计算的结果； （2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题的标准答案是0．”通过计算说明原题中“■”表示的数． 【答案】（1）； （2）2 【解析】 【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简，进而合并同类项得出答案； （2）直接假设“■”是a，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案． 此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键． 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 设“■”处的数字为a， 则原式 解得：． 故原题中“■”是2． 18. 如图，在中，，，，若的平分线交于点D，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，角平分线的性质．过点作于点，根据角平分线的性质的，再根据勾股定理求出的长，最后根据的面积的面积的面积得出等式，求出的长即可得出结果． 【详解】解：如图，过点作于点， 是的角平分线，，， ， 在中，由勾股定理得， ， ，，， ， ， ， 故答案为：． 19. 已知长方形长a＝，宽b＝． ①求长方形的周长； ②求与长方形等面积的正方形的周长，并比较长方形周长与正方形周长大小关系． 【答案】①6；②正方形的周长为4，长方形的周长大于正方形的周长． 【解析】 【分析】①根据长方形的周长公式列出算式，然后根据二次根式混合运算的运算法则进行计算即可； ②先求出正方形的边长，然后利用周长公式进行求解即可. 【详解】①长方形的周长为2×()＝2×(2+)＝6； ②长方形的面积为＝2×＝6， 则正方形的边长为， ∴此正方形的周长为4， ∵6＝，4＝，且＞， ∴6＞4， 则长方形的周长大于正方形的周长． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，实数大小比较等，熟练掌握相关知识和运算法则以及求解方法是解题的关键. 20. 由于大风，山坡上的一棵甲树从A点处被拦腰折断，其顶点恰好落在一棵树乙的底部C处，如图所示，已知米，米，两棵树的水平距离是12米，求甲树原来的高度． 【答案】19米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，延长，过点C作延长线于点D，利用勾股定理先求出，即可得到，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示：过点C作交延长线于点D，则， 由题意可得：， 故， ∴， 则， 故， 答：树原来的高度19米． 21. 如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下： 小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图： ②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离米，如图． 小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图3点处，作垂直于点，． （1）请你按小明的方案求出旗杆的高度； （2）在（）的条件下，已知小亮举起绳结离旗杆的距离米，求此时绳结到地面的高度． 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（）设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，利用勾股定理解答即可求解； （）由题意可知米， 米，，利用勾股定理求出，即得的长，进而即可求解； 本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的解题的关键． 【小问1详解】 解：设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米， 在中，由勾股定理得，， 解得， 答：旗杆的高度为米； 【小问2详解】 解：由题意可知，米， 米，， 在中，由勾股定理得米， ∴米， ∴米， 答：此时绳结到地面的高度为米． 22. 如图，在等腰直角中，，，，垂足分别为E、C． （1）求证：； （2）连接，若，，，请利用此图验证勾股定理． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， ∵等腰直角， ∴，， ∴， ∴； （2） ∵，，，， ∴，，， 如图，连接，记，的交点为， ∴或， ∴， 整理得：． 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理的证明方法，熟练的利用图形面积证明勾股定理是解本题的关键； （1）先证明，，，即可得到结论； （2）如图，连接，记，的交点为，结合或，从而可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 阅读材料：在二次根式运算中，若两个二次根式的乘积不含根号，则称这两个二次根式互为有理化因式，其中一个二次根式是另一个二次根式的有理化因式，例如：，则称与互为有理化因式；，则称与互为有理化因式．因此，我们可以利用互为有理化因式的特征把分母中的根号或根号中的分母化去，如，，这一过程叫做分母有理化． （1）的一个有理化因式是________．分母有理化：________． （2）已知，求的值． （3）计算：． 【答案】（1）； （2） （3）2025 【解析】 【分析】此题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键． （1）根据题干信息找出的有理化因式，按照分母有理化的方法求解即可； （2）先求出，再根据计算即可得到结果； （3）原式各项分母有理化，合并即可得到结果． 【小问1详解】 解：的一个有理化因式是； ； 【小问2详解】 解：∵ ， 又∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 解： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $