精品解析：山西省晋城市高平市部分学校2025年九年级中考一模数学试卷

2025年中考导向预测信息试卷 数学试题（一） 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在试卷及答题卡上的相应位置． 3．请在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效． 4．考试结束后，请将本试题和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 中国是最早使用负数的国家，早在两千多年前就开始使用负数，如果收入20文记作文，那么支出5文可以记作（ ） A. 文 B. 5文 C. 文 D. 文 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正负数的表示意义，解题的关键是理解正负数可用来表示具有相反意义的量． 根据收入用正数表示，确定支出的表示方法． 【详解】解：已知收入20文记作文，因为“收入”与“支出”是具有相反意义的量，在数学中，通常用正数表示一种情况，那么与之相反的情况就用负数表示．所以支出5文应记作文， 故选：A． 2. 下列四幅图案是山西四所大学校徽的主体标识，其中是中心对称图形是（ ） A. 山西大学 B. 山西科技学院 C. 山西师范大学 D. 山西医科大学 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简，进而得出答案． 【详解】解： A．，原式计算错误，故此选项不合题意； B．，原式计算错误，故此选项不合题意； C．，原式计算错误，故此选项不合题意； D．，原式计算正确，故此选项符合题意． 故选：D． 4. 2024年国庆黄金周期间，山西省旅游市场在游戏《黑神话悟空》的推动下迎来客流高峰，共接待国内游客784.46万人次，较上年同期增长；游客旅游总花费226.87亿元，较上年同期增长，数据226.87亿，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：226.87亿， 故选：D． 5. 如图，利用三角尺可以确认图中的弦是圆的直径，其数学依据是（ ） A. 两角互余的三角形是直角三角形 B. 直角三角形的两个锐角互余 C. 直径所对的圆周角是直角 D. 的圆周角所对的弦是直径 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆的相关性质，解题的关键是明确圆周角与弦，直径之间的关系． 根据三角尺的直角与圆中角的关系，结合圆的性质来判断． 【详解】如图： 三角尺的直角顶点在圆上，也就是（三角尺的直角），这个的角是圆周角， 因为是圆周角且为，它所对的弦是， 所以可以得出弦是圆的直径， 依据是的圆周角所对的弦是直径， 故选：D． 6. 近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯．其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，过点作，根据平行线的性质计算，即可解答．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， 故选：B． 7. 已知直线经过点，在该函数的图象上还有两点，，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．先根据直线经过点得，进而可判断出函数的增减性，再由即可得出结论． 【详解】解：∵经过点，即：， ∴， ∴y随x的增大而增大． ∵， ∴． 故选：B． 8. 小明在2025年春节去看电影，他想在《射雕英雄传：侠之大者》《哪吒：魔童闹海》《封神：战火西岐》《唐探1900》《蛟龙行动》《熊出没：重启未来》这六个电影中选取两个去观看，他选取背面完全相同的六张卡片，在正面分别写上片名，然后背面向上，洗匀后随机抽取两张，则小明抽中《哪吒》和《熊出没》的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法或画树状图法求简单随机事件的概率，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的关键．用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 先列表共有30种等可能的结果，其中小明抽中《哪吒》和《熊出没》的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把《射雕英雄传：侠之大者》《哪吒：魔童闹海》《封神：战火西岐》《唐探1900》《蛟龙行动》《熊出没：重启未来》这六个电影卡片分别记为A、B、C、D、E、F， 列表如下：     第二张 第一张 A B C D E F A B,A C,A D,A E,A F,A B A,B C,B D,B E,B F,B C A,C B,C D,C E,C F,C D A,D B,D C,D E,D F,D E A,E B,E C,E D,E F,E F A,F B,F C,F D,F E,F 共有30种等可能结果，其中小明抽中《哪吒》和《熊出没》的结果有2种， ∴小明抽中《哪吒》和《熊出没》的概率是． 故选：B． 9. 某购物商场的地面停车场为矩形，其面积为，共设计了如图所示的56个停车位，每个停车位的尺寸都一样，且长比宽多，通车道的宽度都相等，设停车位的宽为，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解本题的关键．设停车位的宽为，则长为，通车道的宽度为，根据图形，结合矩形面积为，列出关于的一元二次方程即可． 【详解】解：设停车位的宽为，则长为，通车道的宽度为， 根据题意，可得：， 故选：C． 10. “低多边形风格”是一种数字艺术设计风格，它将整个区域分割成若干个三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量的增加，效果更为斑斓绚丽（如图1）．如图2，当正五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当正五边形内有2个点时，可分得7个三角形（不计被分割的三角形）．那么，当正五边形内有37个点时，可分得三角形的个数为（ ） A. 41 B. 67 C. 74 D. 77 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，根据题意先确定正五边形内点的个数与被分割成的三角形的个数之间的关系，即可得出规律解答． 【详解】解：正五边形有1个点时，三角形个数为（个）； 正五边形内有2个点时，三角形个数为（个）； 如图， 正五边形内有3个点时，三角形个数为（个）； 以后每增加一个点，必然在某一个三角形内部，图形增加2个三角形， 以此类推有正五边形内有n个点时，可分成的三角形的个数为个， 当时，， 故选：D． 第Ⅱ卷 （非选择题90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．） 11. 比较大小：_________（填：“”“ ”或“”） ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，二次根式的化简，能够识记特殊数的算术平方根是解答此类问题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 12. 2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨举行．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若A，C两点的坐标分别为，，则点B的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用坐标确定位置．先根据A，C两点的坐标建立好坐标系，即可确定点B的坐标． 【详解】解：∵A，C两点的坐标分别为，， ∴建立坐标系如图所示： ∴点B的坐标为． 故答案为：． 13. 训练模型时，记录温度（）与运行时间（分钟）的关系如下表： 时间（x） 0 5 10 15 20 温度（y） 25 40 55 70 85 则y关于x的函数关系式为__________________（）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数关系式的知识，属于基础题，解题的关键是分析表格得出温度y关于运行时间x的关系式．根据表格中的数据可知温度随时间的增加而上升，且每分钟上升，写出函数关系式即可． 【详解】解：根据表格中的数据可知温度随时间的增加而上升，且每分钟上升， 则关系式为：． 故答案为：． 14. 如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为，则这个“莱洛三角形”的周长是_______________．(结果保留π) 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形和圆的知识，理解弧三角形的概念、掌握正多边形的中心角的求法是解题的关键．根据正三角形的有关计算求出弧的半径和圆心角，根据弧长的计算公式求解即可． 【详解】解：如图： ∵是正三角形，边长为， ∴，， ∴的长为： ， ∴“莱洛三角形”的周长． 故答案为：． 15. 如图，中，，，点E在边上，沿直线折叠，使的对应边，垂足为F，交与点G，当点G恰好为的中点时，长为__________． 【答案】14 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可知，，进而可知，则设，，在中，，得，即，过点作垂直于，交延长线于，，由折叠可知，，，，得，设，则，，再证，得，，由平行四边形的性质可知，则，得，，则，由，得，解方程即可求解． 【详解】解：在中，，，，，， ∵，， ∴， 则设，， 在中，， ∴，即， 过点作垂直于，交延长线于，， 由折叠可知，，，， ∴，则， 设，则， 在中，， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，则， ∴，则， ∴，则， 又∵， ∴，解得：， 即：， ∴， 故答案为：14． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，解直角三角形，根据直角三角形，利用，表示边的长度，列方程是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查分式的混合运算，实数的运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）先算乘方，绝对值，零指数幂，负整数指数幂，再算加减即可； （2）先算括号里的运算，能分解的因式进行分解，除法转为乘法，最后约分即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 17. 2025年春节档电影《哪吒：魔童闹海》惊艳世界，创造了中国影视票房记录．小明特别喜欢“哪吒”精神，在网上了解到“哪吒”手办产品价格为22元/个，“其他”的手办产品价格19元/个，计划购买各种手办共10个，手头有200元的他最多能买到几个“哪吒”手办？ 【答案】最多能买到3个“哪吒”手办 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设小明购买“哪吒”手办个，则其他手办个，根据题意列出不等式即可求解． 【详解】解：设小明购买“哪吒”手办个，则其他手办个， 由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴的最大值为3， 即：小明最多能买到3个“哪吒”手办． 18. 如图，矩形的中，，． （1）尺规作图：在边上找一点E，使得沿折叠后点C的对称点恰好落在边上，请画出折痕以及点C的对称点．（保留作图痕迹，不写作法和结论）； （2）直接写出此时的长_________． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查尺规作图——作垂直平分线，矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理等知识点，理解相关图形的性质是解决问题的关键． （1）在上取一点，使，以，为圆心，大于为半径画弧交于一点，连接该点与点交于，即可求解； （2）根据矩形的性质及轴对称的性质得，，在中，，则，设，则，在中，，列出方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在矩形中，，，， 由题意可知，，， 在中，，则， 设，则， 在中，，即：， 解得：，即， 故答案为：． 19. 2025年央视春晚节目《秧BOT》以机器人表演传统秧歌为主题，燃爆全球，广受好评．为调查观众对某创新节目的评价，组委会收集了50名现场观众和5000名线上观众的评分（满分10分），并根据得分绘制了以下不完整的统计表和统计图： 两个观众群体对《秧BOT》打分样本数据的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 现场 8 8 线上 7.6 7 （1）直接写出，，的值； （2）请你计算出线上观众评分不低于8分的总人数； （3）小明认为线上观众群体对《秧BOT》打分样本数据更能贴合实际，你同意他的说法吗？简要说明理由． 【答案】（1）7.6，7，12 （2）2400人 （3）同意，因为线上观众群体样本容量大，更具有代表性 【解析】 【分析】本题考查平均数、中位数、样本估计总体，统计图等知识点，理解相关知识是解决问题的关键． （1）根据平均数、中位数的定义即可求得，结合扇形统计图中所占百分比即可求得； （2）利用总人数乘以不低于8分的百分比即可； （3）根据样本容量大更具有代表性即可作答． 【小问1详解】 解：根据题意，得（分）， 根据中位线的定义，得应该在的7分范围内， 故中位数为（分）， 根据题意，得， 故， 故答案为：7.6，7，12； 【小问2详解】 解：根据题意，得（人）， 答：线上观众评分不低于8分的人数为2400人； 【小问3详解】 解：同意，理由：线上观众群体样本容量大，更具有代表性． 20. 《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为中国的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，央视86版《西游记》中《扫塔辩奇冤》唐僧扫塔的取景就在此处． 实践小组借助无人机测量飞虹塔的高度，如图，在地面上距离底座14米的D处（即米），将无人机竖直向上升高到E处，对塔顶B的仰角为，对塔身C处的俯角为，已知高约为4.6米，且A、B、C、D、E在同一平面内，求飞虹塔的的高度．（结果精确到米；参考数据：，，，，） 【答案】飞虹塔的的高度米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点作，则四边形是矩形，得米，在，中，求得，即可求解． 【详解】解：过点作，则四边形是矩形， ∴米， 在中，， 在中，， ∴米， 则， 即：飞虹塔的的高度米． 21. 阅读下列材料，完成相应任务． 面径定义：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”，“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”． 例如，如图1，已知一个圆，点O是它的圆心，它的任意一条直径都是它的“面径”． 操作实验：如图2，在中，小雨发现用无刻度的直尺就能画出任意平行四边形的一条面径． 在图2中，请你用无刻度的直尺画出的一条面径（保留作图痕迹，不写画法，指出所求）； 深入探究：小雨继续思考，能否通过尺规作图，求作任意三角形的一条面径呢？ 情形1：特例研究 已知等边三角形的边长为2， 当“面径”经过等边三角形的一个顶点时，它的“面径”长是_________． 当“面径”不经过等边三角形的顶点时，它的“面径”长可以是_________． 情形2：一般研究 ①当面径经过三角形的一个顶点时． 已知：如图3，已知． 求作：直线m，使直线m经过点F且平分的面积． 小雨的想法是：直线m交于点G，与的底，在同一直线上，高相同，若面积相等，则．请在图3中沿用小雨的思路用尺规作出的面径．（保留作图痕迹，不写作法，指出所求）； ②当面径不经过三角形的顶点时． 已知：如图4，已知． 求作：直线m，使直线m平分的面积． 小雨的想法是：若直线m交，于M，N两点，使直线m平分的面积，则．只需，且相似比为．请在图4中沿用小雨的思路用尺规作出的面径．（保留作图痕迹，不写作法、指出所求） 【答案】操作实验： 如图， 四边形为平行四边形， ， 和的高相同， 和的面积相同， 线段即为所求 ； 深入探究： 情形1：；（答案不唯一）； 情形2：①如图，作的垂直平分线，则可找到的中点，则即为所求， ②如图，作等腰直角三角形和等腰直角三角形， 再作， 则， ， ， 的面积比的面积为， 则线段即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了复杂作图，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确作出图形是解题的关键． 操作实验：连接对角线，线段即为所求； 深入探究：情形1：利用等边三角形的性质即可解答； 情形2：①按题意作出图形即可； ②利用相似三角形的性质，作出图形即可． 【详解】解：操作实验：略 深入探究：情形1： 如图，当“面径”经过等边三角形的一个顶点时，为等边三角形的“面径”时， 根据“面径”的定义可得， ，， ， ； 如图，当“面径”不经过等边三角形的顶点时，为等边三角形的“面径”时， , 根据第一空中的描述，可得等边三角形底边上的高为， ， 根据“面径”的定义可得， 那可使，则， 过点作， ，， , ， 当“面径”不经过等边三角形的顶点时，它的“面径”长可以是， 故答案为：；（答案不唯一）； 情形2：略 22. 某游乐场将修建一款大型过山车，如图1为这款过山车的一部分轨道平面设计图，左半部分可近似的看成为抛物线，为了使轨道稳固，共修建了纵横交错的5条支撑杆，A、E、C、F、B都在抛物线上，其中纵杆，，均垂直于地面，横杆、均平行于地面、过最高点C的主支撑杆米，横杆米，横杆距离地面10米． 数学建模 （1）如图2、以O为原点，所在的直线为y轴，垂直于的直线为x轴，建立的平面直角坐标系，设轨道上某点距离地面的高度为y（米），该点距水平距离为x（米），求y与x之间的函数关系式． 问题解决 （2）图中的H、E、F，G四点构成的四边形恰好为正方形，求纵杆的长度（结果精确到米，） （3）安监部门审核时，为确保安全，还需进行加固，添加1根横向加固杆和2根纵向加固杆后与地面构成矩形，其中矩形横杆两个顶点在抛物线上，请直接写出这3根加固杆的总长度最大值为_________米． 【答案】（1）；（2）米；（3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，读懂题意，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）由题意可得顶点，可设，把代入即可解答； （2）设，则可得，代入抛物线即可解答； （3）设矩形的横杆的长度为为，则可用表示矩形的竖杆的长度，即可解答． 【详解】解：（1）由题意可得顶点，， 设抛物线的解析式为， 把代入可得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）设， H、E、F，G四点构成的四边形恰好为正方形， ， ， ， 代入抛物线可得， 解得（负值舍去）， 米； （3）设矩形的横杆的长度为为， 则矩形的纵杆为， 这3根加固杆的总长度为， 当时，这3根加固杆的总长度取最大值为米， 故答案为：． 23. 综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师要求同学们以菱形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论，如图1，在菱形中，点O为对角线和的交点，过点O作的平行线，交于点E． 猜想证明： （1）“笃学”小组发现，请你证明这一结论； （2）如图2，“勤思”小组在图1中的菱形下方作菱形，其中，连接，，判断四边形的形状，并说明理由； （3）将图2中的菱形绕点A逆时针旋转（设点D，F，G的对应点分别为，，），若，对角线，当，所在直线与所在直线互相垂直时，请直接写出点到的距离． 【答案】（1） 证明：在菱形中，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 四边形为矩形，理由如下： 在菱形和菱形中， ，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； （3）或 【解析】 【分析】（1）在菱形中，，由，得到，等量代换，则； （2）在菱形和菱形中，得到，，故可得四边形是平行四边形，再证明出，则四边形为矩形； （3）当，所在直线与所在直线互相垂直时，垂足记为M，①点M在上时，连接，连接，交于点O，可知旋转后，得到旋转角，求出，在菱形中，继而判断出点落在上，显然，则在中由勾股定理得：，而，故，在中，；②点M在延长线上时，同上可得：，则，那么，仍然可得点落在延长线上，此时，在中，． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，，菱形绕点A逆时针旋转（设点D，F，G的对应点分别为，，），当，所在直线与所在直线互相垂直时，垂足记为M， ①点M在上时，连接，连接，交于点O，如图3， ∵四边形，是菱形， ∴， 则旋转后， ∵， ∴， ∴旋转角， ∵， ∴ ∵四边形是菱形，， ∴， ∴点落在上， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，； ②点M在延长线上时， 同上可得：， ∴， ∴， ∴点落在延长线上， 此时， ∴在中，， 综上所述：点M在延长线上时，当，所在直线与所在直线互相垂直时，点到的距离为或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定，旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，综合性强，对图形的旋转变化的画图能力要求比较高，难点在于最后一问容易漏解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年中考导向预测信息试卷 数学试题（一） 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在试卷及答题卡上的相应位置． 3．请在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效． 4．考试结束后，请将本试题和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 中国是最早使用负数的国家，早在两千多年前就开始使用负数，如果收入20文记作文，那么支出5文可以记作（ ） A. 文 B. 5文 C. 文 D. 文 2. 下列四幅图案是山西四所大学校徽的主体标识，其中是中心对称图形是（ ） A. 山西大学 B. 山西科技学院 C. 山西师范大学 D. 山西医科大学 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 2024年国庆黄金周期间，山西省旅游市场在游戏《黑神话悟空》的推动下迎来客流高峰，共接待国内游客784.46万人次，较上年同期增长；游客旅游总花费226.87亿元，较上年同期增长，数据226.87亿，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，利用三角尺可以确认图中的弦是圆的直径，其数学依据是（ ） A. 两角互余的三角形是直角三角形 B. 直角三角形的两个锐角互余 C. 直径所对的圆周角是直角 D. 的圆周角所对的弦是直径 6. 近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯．其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线经过点，在该函数的图象上还有两点，，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法判断 8. 小明在2025年春节去看电影，他想在《射雕英雄传：侠之大者》《哪吒：魔童闹海》《封神：战火西岐》《唐探1900》《蛟龙行动》《熊出没：重启未来》这六个电影中选取两个去观看，他选取背面完全相同的六张卡片，在正面分别写上片名，然后背面向上，洗匀后随机抽取两张，则小明抽中《哪吒》和《熊出没》的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 某购物商场的地面停车场为矩形，其面积为，共设计了如图所示的56个停车位，每个停车位的尺寸都一样，且长比宽多，通车道的宽度都相等，设停车位的宽为，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 10. “低多边形风格”是一种数字艺术设计风格，它将整个区域分割成若干个三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量的增加，效果更为斑斓绚丽（如图1）．如图2，当正五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当正五边形内有2个点时，可分得7个三角形（不计被分割的三角形）．那么，当正五边形内有37个点时，可分得三角形的个数为（ ） A. 41 B. 67 C. 74 D. 77 第Ⅱ卷 （非选择题90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．） 11. 比较大小：_________（填：“”“ ”或“”） ． 12. 2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨举行．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若A，C两点的坐标分别为，，则点B的坐标为_________． 13. 训练模型时，记录温度（）与运行时间（分钟）的关系如下表： 时间（x） 0 5 10 15 20 温度（y） 25 40 55 70 85 则y关于x的函数关系式为__________________（）． 14. 如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为，则这个“莱洛三角形”的周长是_______________．(结果保留π) 15. 如图，中，，，点E在边上，沿直线折叠，使的对应边，垂足为F，交与点G，当点G恰好为的中点时，长为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 2025年春节档电影《哪吒：魔童闹海》惊艳世界，创造了中国影视票房记录．小明特别喜欢“哪吒”精神，在网上了解到“哪吒”手办产品价格为22元/个，“其他”的手办产品价格19元/个，计划购买各种手办共10个，手头有200元的他最多能买到几个“哪吒”手办？ 18. 如图，矩形的中，，． （1）尺规作图：在边上找一点E，使得沿折叠后点C的对称点恰好落在边上，请画出折痕以及点C的对称点．（保留作图痕迹，不写作法和结论）； （2）直接写出此时的长_________． 19. 2025年央视春晚节目《秧BOT》以机器人表演传统秧歌为主题，燃爆全球，广受好评．为调查观众对某创新节目的评价，组委会收集了50名现场观众和5000名线上观众的评分（满分10分），并根据得分绘制了以下不完整的统计表和统计图： 两个观众群体对《秧BOT》打分样本数据的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 现场 8 8 线上 7.6 7 （1）直接写出，，的值； （2）请你计算出线上观众评分不低于8分的总人数； （3）小明认为线上观众群体对《秧BOT》打分样本数据更能贴合实际，你同意他的说法吗？简要说明理由． 20. 《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为中国的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，央视86版《西游记》中《扫塔辩奇冤》唐僧扫塔的取景就在此处． 实践小组借助无人机测量飞虹塔的高度，如图，在地面上距离底座14米的D处（即米），将无人机竖直向上升高到E处，对塔顶B的仰角为，对塔身C处的俯角为，已知高约为4.6米，且A、B、C、D、E在同一平面内，求飞虹塔的的高度．（结果精确到米；参考数据：，，，，） 21. 阅读下列材料，完成相应任务． 面径定义：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”，“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”． 例如，如图1，已知一个圆，点O是它的圆心，它的任意一条直径都是它的“面径”． 操作实验：如图2，在中，小雨发现用无刻度的直尺就能画出任意平行四边形的一条面径． 在图2中，请你用无刻度的直尺画出的一条面径（保留作图痕迹，不写画法，指出所求）； 深入探究：小雨继续思考，能否通过尺规作图，求作任意三角形的一条面径呢？ 情形1：特例研究 已知等边三角形的边长为2， 当“面径”经过等边三角形的一个顶点时，它的“面径”长是_________． 当“面径”不经过等边三角形的顶点时，它的“面径”长可以是_________． 情形2：一般研究 ①当面径经过三角形的一个顶点时． 已知：如图3，已知． 求作：直线m，使直线m经过点F且平分的面积． 小雨的想法是：直线m交于点G，与的底，在同一直线上，高相同，若面积相等，则．请在图3中沿用小雨的思路用尺规作出的面径．（保留作图痕迹，不写作法，指出所求）； ②当面径不经过三角形的顶点时． 已知：如图4，已知． 求作：直线m，使直线m平分的面积． 小雨的想法是：若直线m交，于M，N两点，使直线m平分的面积，则．只需，且相似比为．请在图4中沿用小雨的思路用尺规作出的面径．（保留作图痕迹，不写作法、指出所求） 22. 某游乐场将修建一款大型过山车，如图1为这款过山车的一部分轨道平面设计图，左半部分可近似的看成为抛物线，为了使轨道稳固，共修建了纵横交错的5条支撑杆，A、E、C、F、B都在抛物线上，其中纵杆，，均垂直于地面，横杆、均平行于地面、过最高点C的主支撑杆米，横杆米，横杆距离地面10米． 数学建模 （1）如图2、以O为原点，所在的直线为y轴，垂直于的直线为x轴，建立的平面直角坐标系，设轨道上某点距离地面的高度为y（米），该点距水平距离为x（米），求y与x之间的函数关系式． 问题解决 （2）图中的H、E、F，G四点构成的四边形恰好为正方形，求纵杆的长度（结果精确到米，） （3）安监部门审核时，为确保安全，还需进行加固，添加1根横向加固杆和2根纵向加固杆后与地面构成矩形，其中矩形横杆两个顶点在抛物线上，请直接写出这3根加固杆的总长度最大值为_________米． 23. 综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师要求同学们以菱形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论，如图1，在菱形中，点O为对角线和的交点，过点O作的平行线，交于点E． 猜想证明： （1）“笃学”小组发现，请你证明这一结论； （2）如图2，“勤思”小组在图1中的菱形下方作菱形，其中，连接，，判断四边形的形状，并说明理由； （3）将图2中的菱形绕点A逆时针旋转（设点D，F，G的对应点分别为，，），若，对角线，当，所在直线与所在直线互相垂直时，请直接写出点到的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $