精品解析：2025年山西省晋中市介休市九年级中考一模数学试题

2025年介休市中考模拟试题（卷） 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 手机移动支付给生活带来便捷．右图是张老师2022年12月26日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），张老师当天微信收支的最终结果是（ ） A. 收入19.00元 B. 支出10元 C. 支出3.00元 D. 支出22.00元 【答案】C 【解析】 【分析】根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解． 【详解】解：（元），即表示支出3元， 故选：C． 【点睛】本题考查了正负数的意义，掌握有理数的加减运算是解题的关键． 2. 永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项不合题意； B、是轴对称图形，故本选项不合题意； C、是轴对称图形，故本选项不合题意； D、不是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 3. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用合并同类项法则、单项式乘单项式法则、同底数幂的乘法法则以及积的乘方法则运算即可求出答案． 【详解】解：（A），故错误； （B），故错误； （C），故错误； （D） ，故D正确； 故选：． 【点睛】本题考查了合并同类项法则、单项式乘单项式法则、同底数幂的乘法法则以及积的乘方法则的应用，熟练运用运算法则是解决本题的关键． 4. 图①是古代必备的粮食度量用具叫“斗”，图②是它的示意图，则该“斗”的三视图中图形相同的是（ ） 图① 图② A. 主视图与俯视图 B. 左视图与主视图 C. 左视图与俯视图 D. 左视图、主视图、俯视图均相同 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，熟知三视图的特点是解答的关键．根据简单几何体的三视图解答即可． 【详解】解：该几何体的三视图如图所示： 由三视图可知，左视图与主视图相同， 故选：B． 5. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学经典著作《几何原本》曾记载形如x2＋ax＝b2的方程的图解法：画 ．使，，AC＝b，再在斜边AB上截取，则该方程的一个正根为AD的长，这种解法体现的数学思想是（ ） A. 公理化思想 B. 分类讨论思想 C. 数形结合思想 D. 函数思想 【答案】C 【解析】 【分析】在中，由勾股定理可得，结合，，，即可得出，进而得出AD的长是方程的一个正根． 【详解】由题意可知：设，根据勾股定理得： ， 整理得：， 则该方程的一个正根是AD的长， 通过画直角三角形借助于勾股定理求得一元二次方程的根，所以这种解法体现的数学思想是数形结合思想． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根、勾股定理，数形结合是解题的关键． 6. 不等式3x-2>4的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】不等式移项得：3x＞6， 解得：x＞2， 表示在数轴上得： 故选B． 7. 图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中、都与地面平行，，，已知与平行，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线性质的应用，利用两直线平行，内错角相等，可以将求转化为求内角，可得，然后利用三角形内角和即可求解． 【详解】解： ， ， 、都与地面平行 ， ， 在中， ， ． 故选：B． 8. 右图是利用平面直角坐标系画出的北师大实验中学部分建筑手绘地图．若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示操场的点的坐标为，表示勤学楼的点的坐标为，则下列表示建筑的点的坐标正确的是（ ） A. 体育馆 B. 信毅楼 C. 知味堂 D. 勤政楼 【答案】B 【解析】 【分析】根据操场的点的坐标和勤学楼的点的坐标，建立平面直角坐标，进而得出信毅楼的点的坐标． 【详解】根据题意可建立如下坐标系： 由坐标系可知，表示信毅楼的坐标是； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确建立平面直角坐标系是解题关键． 9. 如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到提钮的水平距离 ycm与所挂物重 xkg之间满足一次函数关系，如表为记录几次数据之后所列表格：若不挂重物时，秤跎到提钮的水平距离是（ ） x/kg 1 2 3 … y/cm 8 13.5 19 … A. 2.5cm B. 4cm C. 5.5cm D. 1cm 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意、得出函数关系式是关键； 根据题意可设，待定系数法求出函数的解析式，即可得到答案. 【详解】解：根据题意可设：， 把和代入得： ， 解得：， ∴， 则当时，， 即不挂重物时，秤跎到提钮的水平距离是2.5cm； 故选：A. 10. 如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过D作于E，利用圆内接四边形的性质，等边三角形的性质求出，利用弧、弦的关系证明，利用三线合一性质求出，，在中，利用正弦定义求出，最后利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解∶过D作于E， ∵是边长为的等边三角形的外接圆， ∴，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，扇形面积公式，解直角三角形等知识，灵活应用以上知识是解题的关键． 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）． 11. 计算的结果是____________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据乘法分配律和二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，整式的乘法的运算公式及运算法则对二次根式的运算同样适应． 12. 十二生肖是我国历史悠久的民俗文化符号，是十二地支的形象化代表；根据文献资料记载，最早并广为流传的完整十二生肖循环，是由东汉王充在公元1世纪期间所著《论衡》中提出的．下列四副十二生肖图片，大小、形状、质地完全相同，小乐从中随机抽取一张(不放回)，再从中随机抽取一张，两张图片恰好是“牛”“兔”的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及两张图片恰好是“牛”“兔”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 鼠 牛 虎 兔 鼠 (鼠，牛) (鼠，虎) (鼠，兔) 牛 (牛，鼠) (牛，虎)  (牛，兔)  虎  (虎，鼠) (虎，牛) (虎，兔)  兔  (兔，鼠)  (兔，牛)  (兔，虎) 共有12可能的结果，其中两张图片恰好是“牛”“兔”的结果有2种， ∴两张图片恰好是“牛”“兔”的概率为 故答案为：． 13. 已知、、在函数的图象上，则、、的大小关系是：_____．（用“”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，由反比例函数解析式可得函数的图象在第一、三象限，且每个象限内，随着的增大而减小，结合即可得解，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵函数， ∴函数的图象在第一、三象限，且每个象限内，随着的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 一部电梯的额定限载量为1000千克，工人师傅利用手推车将一批货物搬运到电梯里，然后从楼底运到楼顶，已知工人师傅的体重为60千克，手推车的质量为20千克，货物每箱的质量为50千克，则工人师傅每次最多只能搬运重物______箱． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【详解】解：设可以搬运货物箱． 根据题意得，， 解得， 为正整数， 最大为． 故答案为：． 15. 如图，在中，点E为的中点，点D在的延长线上，且，连接、，延长交于点F，若，则的长为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 如图，延长到，使，连接，证明，则，，证明，则，可求，，证明，则，即，可求，由，可求． 【详解】解：如图，延长到，使，连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 解得，， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2），2． 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算和分式的化简求值；熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）根据二次根式的乘法以及负整数指数幂进行计算即可求解； （2）先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解后化简，然后把的值代入计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解： ， 当时，原式． 17. 中国是最早发现并利用茶的国家，并形成了具有独特魅力的茶文化．已知某茶店 5 月份第一周绿茶、红茶的销售总额分别为 1500 元、1200 元，红茶每千克的售价是绿茶每千 克售价的 1.5 倍，红茶的销售量比绿茶的销售量少 7 千克．问绿茶、红茶每千克的售价分别是多少 元？ 【答案】绿茶每千克的售价100元，红茶每千克的售价150元． 【解析】 【分析】设绿茶的单价为x元/千克，则红茶的单价为 元/千克，根据“红茶的销售量比绿茶的销售量少 7 千克”列方程求解即可． 本题主要考查了列分式方程解应用题，正确的找出等量关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意列方程，得 ， 解得， 经检验：是所列方程的解， 则． 答：绿茶每千克的售价100元，红茶每千克的售价150元． 18. 某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分，将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图．根据以上信息，回答下列问题： （1）完成表格； 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差/分2 甲 8.8 ① 8和9 0.56 乙 ② 9 9 0.96 丙 8.8 8 ③ 0.96 （2）在演唱比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为，则 ．（填“<”或“>”或“=”） （3）从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由． 【答案】（1）①9；②8.8；③8 （2） （3）选甲更合适，因为三位选手的平均数相同，但甲的方差最小，稳定性最好，所以选甲更合适 【解析】 【分析】（1）直接根据中位数、平均数、众数的定义，进行计算即可得到答案； （2）先求出去掉一个最低分和一个最高分之后的平均数，再求出方差，进行比较即可得到答案； （3）根据平均数和方差的意义解答即可． 【小问1详解】 解：将甲的得分从小到大排列为：8，8，9，9，10， 中位数为：9， 乙得分的平均数为：， 由扇形统计图可知，丙得分的众数为：8， 故答案为：9，8.8，8； 【小问2详解】 解：去掉一个最高分和一个最低分之后甲的平均数为：， 方差为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：选甲更合适，理由如下： 三位选手的平均数相同，但甲的方差最小，稳定性最好， 选甲更合适． 【点睛】本题主要考查了中位数、平均数和方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，离散程度越大，稳定性也就越小，反之稳定性就越大． 19. 如图，平行四边形ABCD中，∠ADB＝90°． （1）求作：AB的垂直平分线MN，交AB于点M，交BD延长线于点N（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）在（1）的条件下，设直线MN交AD于E，且∠C＝22.5°，求证：NE＝AB． 【答案】（1）如图： （2） 证明：如图，连接． 四边形是平行四边形 ， ， 则 是的垂直平分线 又 在与中， 【解析】 【分析】（1）根据题意作AB的垂直平分线MN，交AB于点M，交BD延长线于点N． （2）连接，根据平行四边形的性质求得，进而根据垂直平分线的性质以及导角可求得 是等腰直角三角形，进而证明即可得证NE＝AB． 【小问1详解】 AB的垂直平分线MN，交AB于点M，交BD延长线于点N． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了作垂直平分线，平行四边形的性质，垂直平分线的性质，等边对等角，三角形全等的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 20. 图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角． （参考数据：） （1）求点P到地面的高度； （2）若挖掘机能挖的最远处点Q到点N的距离为，求的度数． 【答案】（1）点到地面的高度为； （2）． 【解析】 【分析】（1）过点作，延长交于，易知四边形为矩形，则，，进而可求得答案； （2）由（1）可知，四边形为矩形，则，可得，进而可得，求得，由，可得，由可得答案． 【小问1详解】 解：过点作于H，延长交于， 则四边形为矩形， ∴，， 则， ∴点到地面的高度：， 即点到地面的高度为； 【小问2详解】 由（1）可知，四边形为矩形， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 21. 阅读以下材料，并完成相应的任务： 定义：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 下面是该定理的部分证明过程： 已知：如图，与相切于点A，点，在上，连接，，． 求证：． 证明：连接并延长，交于点，连接． 与相切于点A （依据1） 是的直径 （依据2） 任务： （1）上述证明过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：________________________ 依据2：________________________ （2）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分． （3）已知图中的半径2，弦切角，直接写出的长． 【答案】（1）依据1：圆的切线垂直于过切点的半径；依据2：直径所对的圆周角是直角 （2），，， （3）2 【解析】 【分析】（1）利用圆切线的性质及圆周角定理的推论即可解决； （2）通过根据同角的余角相等得到，再利用说明即可； （3）在中，先求出，利用角对的直角边等于斜边的一半即可解决． 【小问1详解】 解：与相切于点A， （圆的切线垂直于过切点的半径）， ， 是的直径， ，（直径所对的圆周角是直角） 故答案为：圆的切线垂直于过切点的半径；直径所对的圆周角是直角； 【小问2详解】 证明：连接并延长，交于点，连接． 与相切于点A， （圆的切线垂直于过切点的半径）， ， 是的直径， ，（直径所对的圆周角是直角） ， ， ， ； 【小问3详解】 解：弦切角， 由（2）可知：， ， 为直径， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的性质等知识点，熟记知识点是解题的关键． 22. 设计“脚手架”支杆的长度 材料1 为培养学生劳动实践能力，某学校在校西南角开辟出一块劳动实践基地．如图是其中蔬菜大棚的横截面，它由抛物线和矩形构成．已知矩形的长米，宽米，抛物线最高点到地面的距离为7米． 材料2 冬季到来，为防止大雪对大棚造成损坏，学校决定在大棚两侧安装两根垂直于地面且关于轴对称的支撑柱和，如图所示． 材料3 为了进一步固定大棚，准备在两根支撑柱上架横梁．搭建成一个矩形“脚手架”，如图所示． 问题解决 任务1 确定大棚形状 按如图所示建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 尝试计算间距 若两根支撑柱的高度均为6米，求两根支撑柱，之间的水平距离． 任务3 确定搭建方案 为了进一步固定大棚，准备在两根支撑柱上架横梁．搭建成一个矩形“脚手架”，求出“脚手架”三根支杆的长度之和的最大值． 【答案】任务1：；任务2：两根支撑柱之间的水平距离为6米；任务3：“脚手架”三根支杆，，的长度之和的最大值为米． 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的应用，解题关键求出函数的解析式． 任务1：由题意可得出顶点的坐标，设出抛物线解析式为，然后再把点的坐标代入即可求出； 任务2：根据任务1中解析式可得出当时对应的值，两个值相减即可得出水平距离； 任务3：设点坐标为，列出关于的解析式，由函数的性质求最大值即可． 【详解】解：任务1：四边形是矩形， （米， 点，点， 根据题意和图象可得，顶点的坐标为， 可设抛物线的解析式为：， 把点代入解析式可得：， 解得：， 抛物线的解析式为：； 任务2：当时，， 解得， （米， 两根支撑柱之间的水平距离为6米； 任务3：设点坐标为，、、的长度之和为米， 则，， ， ， 当时，有最大值，最大值为， “脚手架”三根支杆，，的长度之和的最大值为米． 23. 综合与实践 问题情境：四边形是边长为5的菱形，连接．将绕点按顺时针方向旋转得到，点，旋转后的对应点分别为，．旋转角为． （1）观察思考：如图1，连接，当点第一次落在对角线上时，__________． （2）探究证明：如图2，当，且时，与交于点．试判断四边形的形状，并说明理由． （3）拓展延伸：如图3，连接．在旋转过程中，当与菱形的一边平行时，且，请直接写出线段的长． 【答案】（1） （2） 四边形是菱形， 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， 由旋转可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （3）的长为或或． 【解析】 【分析】（1）连接，根据菱形的性质得出，根据旋转的性质得出，进而可得是等边三角形，即可求解； （2）根据菱形的性质得出，由旋转可得，，则，进而证明，即可得证 （3）①当时，如图所示，设交于点，过点作于点，勾股定理求得的长，进而求得的长，勾股定理即可求解；②当时，证明三点共线，即可求解．③当，且在上方时，过点E作于点G，得到，设，，利用勾股定理求出，，进而求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴垂直平分， ∴， ∵将绕点按顺时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，即， 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①当时，如图所示，设交于点，过点作于点， ∵， 设，则， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 又，， ∴， ∴， ∴， ②如图所示，当时， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴； ③如图，当，且在上方时，过点E作于点G ∴ ∴ ∴设， ∵，即 ∴ ∴， ∴ ∴ ∴综上所述，的长为或或． 【点睛】本题考查了正切的定义，菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年介休市中考模拟试题（卷） 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 手机移动支付给生活带来便捷．右图是张老师2022年12月26日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），张老师当天微信收支的最终结果是（ ） A. 收入19.00元 B. 支出10元 C. 支出3.00元 D. 支出22.00元 2. 永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 图①是古代必备的粮食度量用具叫“斗”，图②是它的示意图，则该“斗”的三视图中图形相同的是（ ） 图① 图② A. 主视图与俯视图 B. 左视图与主视图 C. 左视图与俯视图 D. 左视图、主视图、俯视图均相同 5. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学经典著作《几何原本》曾记载形如x2＋ax＝b2的方程的图解法：画 ．使，，AC＝b，再在斜边AB上截取，则该方程的一个正根为AD的长，这种解法体现的数学思想是（ ） A. 公理化思想 B. 分类讨论思想 C. 数形结合思想 D. 函数思想 6. 不等式3x-2>4的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中、都与地面平行，，，已知与平行，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 右图是利用平面直角坐标系画出的北师大实验中学部分建筑手绘地图．若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示操场的点的坐标为，表示勤学楼的点的坐标为，则下列表示建筑的点的坐标正确的是（ ） A. 体育馆 B. 信毅楼 C. 知味堂 D. 勤政楼 9. 如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到提钮的水平距离 ycm与所挂物重 xkg之间满足一次函数关系，如表为记录几次数据之后所列表格：若不挂重物时，秤跎到提钮的水平距离是（ ） x/kg 1 2 3 … y/cm 8 13.5 19 … A. 2.5cm B. 4cm C. 5.5cm D. 1cm 10. 如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）． 11. 计算的结果是____________． 12. 十二生肖是我国历史悠久的民俗文化符号，是十二地支的形象化代表；根据文献资料记载，最早并广为流传的完整十二生肖循环，是由东汉王充在公元1世纪期间所著《论衡》中提出的．下列四副十二生肖图片，大小、形状、质地完全相同，小乐从中随机抽取一张(不放回)，再从中随机抽取一张，两张图片恰好是“牛”“兔”的概率是______． 13. 已知、、在函数的图象上，则、、的大小关系是：_____．（用“”连接）． 14. 一部电梯的额定限载量为1000千克，工人师傅利用手推车将一批货物搬运到电梯里，然后从楼底运到楼顶，已知工人师傅的体重为60千克，手推车的质量为20千克，货物每箱的质量为50千克，则工人师傅每次最多只能搬运重物______箱． 15. 如图，在中，点E为的中点，点D在的延长线上，且，连接、，延长交于点F，若，则的长为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 中国是最早发现并利用茶的国家，并形成了具有独特魅力的茶文化．已知某茶店 5 月份第一周绿茶、红茶的销售总额分别为 1500 元、1200 元，红茶每千克的售价是绿茶每千 克售价的 1.5 倍，红茶的销售量比绿茶的销售量少 7 千克．问绿茶、红茶每千克的售价分别是多少 元？ 18. 某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分，将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图．根据以上信息，回答下列问题： （1）完成表格； 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差/分2 甲 8.8 ① 8和9 0.56 乙 ② 9 9 0.96 丙 8.8 8 ③ 0.96 （2）在演唱比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为，则 ．（填“<”或“>”或“=”） （3）从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由． 19. 如图，平行四边形ABCD中，∠ADB＝90°． （1）求作：AB的垂直平分线MN，交AB于点M，交BD延长线于点N（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）在（1）的条件下，设直线MN交AD于E，且∠C＝22.5°，求证：NE＝AB． 20. 图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角． （参考数据：） （1）求点P到地面的高度； （2）若挖掘机能挖的最远处点Q到点N的距离为，求的度数． 21. 阅读以下材料，并完成相应的任务： 定义：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 下面是该定理的部分证明过程： 已知：如图，与相切于点A，点，在上，连接，，． 求证：． 证明：连接并延长，交于点，连接． 与相切于点A （依据1） 是的直径 （依据2） 任务： （1）上述证明过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：________________________ 依据2：________________________ （2）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分． （3）已知图中的半径2，弦切角，直接写出的长． 22. 设计“脚手架”支杆的长度 材料1 为培养学生劳动实践能力，某学校在校西南角开辟出一块劳动实践基地．如图是其中蔬菜大棚的横截面，它由抛物线和矩形构成．已知矩形的长米，宽米，抛物线最高点到地面的距离为7米． 材料2 冬季到来，为防止大雪对大棚造成损坏，学校决定在大棚两侧安装两根垂直于地面且关于轴对称的支撑柱和，如图所示． 材料3 为了进一步固定大棚，准备在两根支撑柱上架横梁．搭建成一个矩形“脚手架”，如图所示． 问题解决 任务1 确定大棚形状 按如图所示建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 尝试计算间距 若两根支撑柱的高度均为6米，求两根支撑柱，之间的水平距离． 任务3 确定搭建方案 为了进一步固定大棚，准备在两根支撑柱上架横梁．搭建成一个矩形“脚手架”，求出“脚手架”三根支杆的长度之和的最大值． 23. 综合与实践 问题情境：四边形是边长为5的菱形，连接．将绕点按顺时针方向旋转得到，点，旋转后的对应点分别为，．旋转角为． （1）观察思考：如图1，连接，当点第一次落在对角线上时，__________． （2）探究证明：如图2，当，且时，与交于点．试判断四边形的形状，并说明理由． （3）拓展延伸：如图3，连接．在旋转过程中，当与菱形的一边平行时，且，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $