第9章 分式 单元检测卷 2024-2025学年沪科版七年级数学下册（安徽专版）

第9章　单元检测卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.下列各式不是分式的是（ 　） A. B. C. D. 2.当x＝1时，下列分式无意义的是（　 　） A. B. C. D. 3.下列等式一定成立的是（　 　） A.＝ B.＝ C.＝ D.＝（a≠0） 4.计算＋的结果是（　 　） A.1 B.－1 C. D. 5.若x，y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（　 　） A. B. C. D. 6.在题目“甲、乙两地相距300 km，一辆汽车从甲地匀速开往乙地，…，求汽车实际行驶的时间”中，若设汽车原计划需行驶x h，可得方程（1＋25％）·＝，则题目中的“…”表示的条件是（　 　） A.速度比原计划增加25％，结果提前1 h到达 B.速度比原计划增加25％，结果晚1 h到达 C.速度比原计划减少25％，结果提前1 h到达 D.速度比原计划减少25％，结果晚1 h到达 7.若化简(＋)÷的最终结果为整数，则“△”代表的式子可以是（　 ） A.4x B.4－x C.x＋4 D.－2x 8.如图，在边长为a的正方形纸板的四个角上各剪去一个边长为x的小正方形，做成一个无盖的长方体纸盒.若无盖纸盒的底面积与表面积之比为3∶5，则根据题意可知a，x满足的关系式为（　 　） A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 9.已知m，n为实数，且m≠n，mn≠0.若－＝－，则m，n满足的关系是（　 　） A.m＋n＝－1 B.m＋n＝1 C.m－n＝1 D.m－n＝－1 10.已知＋＝－，＋＝－，＋＝－，则的值为（　 　） A.－1 B.－3 C.－ D.－ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.计算(－)3的结果是　 　. 12.已知关于x的分式方程＝.若该方程有增根，则m的值为　 　. 13.在吉他弹奏中，不同的琴弦长度和绷紧力度会决定不同的音色，比如在相同的力度情况下，敲击长度之比为15∶12∶10的琴弦时，它们会分别发出do，mi，so这三个调和的乐音.从数学角度看，会发现这样一个规律－＝－，我们把12，15，10称之为一组调和数.若x，5，3（x＞5）为一组调和数，则x＝　 　. 14.观察分式变形过程：＝＝＋＝1＋，其中“○”“□”“◇”分别盖住了一个整数. （1）“○”“□”“◇”表示的整数　 　；（填“相同”或“不相同”） （2）当0≤a≤6时，的最小值为　 　. 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.计算：－. 16.解方程：3－＝. 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.先化简，再求值：(1－)÷，其中x＝5. 18.老师设计了一个“接力游戏”的数学活动，由学生合作完成分式的计算.如图，老师把题目交给一名同学，他完成一步解答后交给第二名同学，依次进行，最后完成计算.规则是每人只能看到前一人传过来的式子. （1）写出这个“接力游戏”中计算错误的同学； （2）请你写出正确的解答过程. 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.已知关于x的分式方程＋＝1的解是非负数，求m的取值范围. 20.已知A，B两地相距a km，甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，若相向而行，则经过a min 后两人相遇；若同向而行，则经过 b（b＞a）min 后甲追上乙.已知两人均匀速运动，甲的速度为v甲km/min，乙的速度为v乙km/min. （1）试用含a，b的代数式表示甲、乙两人的速度v甲，v乙； （2）若＝，求的值. 六、（本题满分12分） 21.观察下面的等式：＝×(1－)，＝×(－)，＝×(－)，…. （1）按照此规律，第4个等式为　 　，猜想第n个等式为　 　（用含n的式子表示，n为正整数）； （2）请利用分式的运算证明你的猜想. 七、（本题满分12分） 22.随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业正进入加速发展的新阶段.“买新能源车到底划不划算”是消费者最为关心的话题之一.某校数学小组对市场上两款售价相同的燃油车和新能源车做了对比调查，信息如下表所示： 燃油车 油箱容积：50升 油价：8元/升 续航里程：a千米 新能源车 电池容量：80千瓦·时 电价：0.6元/（千瓦·时） 续航里程：a千米 据调查，燃油车每千米的行驶费用比新能源车多0.55元. （1）这两款车每千米的行驶费用分别为多少？ （2）若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4 000元和7 300元，则每年行驶的里程在什么范围时，新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用＋年其他费用） 八、（本题满分14分） 23.我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”.例如，＝＝4x，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”.根据上述定义，解决下列问题. （1）下列分式是“巧分式”的有　 　（填序号）. ①；②；③. （2）若分式（m，n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为x－7，求m，n的值. （3）若分式的“巧整式”为1－x，请判断是不是“巧分式”，并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9章　单元检测卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.下列各式不是分式的是（　C　） A. B. C. D. 2.当x＝1时，下列分式无意义的是（　C　） A. B. C. D. 3.下列等式一定成立的是（　D　） A.＝ B.＝ C.＝ D.＝（a≠0） 4.计算＋的结果是（　B　） A.1 B.－1 C. D. 5.若x，y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（　B　） A. B. C. D. 6.在题目“甲、乙两地相距300 km，一辆汽车从甲地匀速开往乙地，…，求汽车实际行驶的时间”中，若设汽车原计划需行驶x h，可得方程（1＋25％）·＝，则题目中的“…”表示的条件是（　A　） A.速度比原计划增加25％，结果提前1 h到达 B.速度比原计划增加25％，结果晚1 h到达 C.速度比原计划减少25％，结果提前1 h到达 D.速度比原计划减少25％，结果晚1 h到达 7.若化简(＋)÷的最终结果为整数，则“△”代表的式子可以是（　D　） A.4x B.4－x C.x＋4 D.－2x 8.如图，在边长为a的正方形纸板的四个角上各剪去一个边长为x的小正方形，做成一个无盖的长方体纸盒.若无盖纸盒的底面积与表面积之比为3∶5，则根据题意可知a，x满足的关系式为（　A　） A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 9.已知m，n为实数，且m≠n，mn≠0.若－＝－，则m，n满足的关系是（　A　） A.m＋n＝－1 B.m＋n＝1 C.m－n＝1 D.m－n＝－1 10.已知＋＝－，＋＝－，＋＝－，则的值为（　D　） A.－1 B.－3 C.－ D.－ 【解析】 由题意，得(＋)＋(＋)＋(＋)＝－＋(－)＋(－)，即 2(＋＋)＝－，所以＋＋＝－.因为＝＋＋＝－，所以＝－. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.计算(－)3的结果是　－　. 12.已知关于x的分式方程＝.若该方程有增根，则m的值为　4　. 13.在吉他弹奏中，不同的琴弦长度和绷紧力度会决定不同的音色，比如在相同的力度情况下，敲击长度之比为15∶12∶10的琴弦时，它们会分别发出do，mi，so这三个调和的乐音.从数学角度看，会发现这样一个规律－＝－，我们把12，15，10称之为一组调和数.若x，5，3（x＞5）为一组调和数，则x＝　15　. 14.观察分式变形过程：＝＝＋＝1＋，其中“○”“□”“◇”分别盖住了一个整数. （1）“○”“□”“◇”表示的整数　相同　；（填“相同”或“不相同”） 【解析】 （1）＝＝＋＝1＋， 所以○＝2，□＝2，◇＝2. 故答案为相同. （2）当0≤a≤6时，的最小值为　－4　. 【解析】 （2）＝＝2－. 因为0≤a≤6， 所以当a＝0时，取得最大值，最大值为6， 所以的最小值为2－6＝－4. 故答案为－4. 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.计算：－. 解：原式＝－ ＝－ ＝. 16.解方程：3－＝. 解：方程两边同乘以x－2，得 3（x－2）＋1＝x－1. 去括号，得3x－6＋1＝x－1. 移项、合并同类项，得2x＝4. 系数化成1，得x＝2. 检验：当x＝2时，x－2＝0， 所以x＝2是原方程的增根. 所以原方程无解. 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.先化简，再求值：(1－)÷，其中x＝5. 解：原式＝(－)· ＝· ＝. 当x＝5时，原式＝＝. 18.老师设计了一个“接力游戏”的数学活动，由学生合作完成分式的计算.如图，老师把题目交给一名同学，他完成一步解答后交给第二名同学，依次进行，最后完成计算.规则是每人只能看到前一人传过来的式子. （1）写出这个“接力游戏”中计算错误的同学； 解：（1）这个“接力游戏”中计算错误的同学是小明和小红. （2）请你写出正确的解答过程. 解：（2）正确的解答过程如下： －a＋1 ＝－（a－1） ＝－ ＝ ＝. 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.已知关于x的分式方程＋＝1的解是非负数，求m的取值范围. 解：方程两边同乘以x－1，得m－2－3＝x－1， 解得x＝m－4. 因为方程的解是非负数， 所以m－4≥0，解得m≥4. 又因为x－1≠0，即x≠1， 所以m－4≠1，解得m≠5. 综上所述，m的取值范围为m≥4且m≠5. 20.已知A，B两地相距a km，甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，若相向而行，则经过a min 后两人相遇；若同向而行，则经过 b（b＞a）min 后甲追上乙.已知两人均匀速运动，甲的速度为v甲km/min，乙的速度为v乙km/min. （1）试用含a，b的代数式表示甲、乙两人的速度v甲，v乙； 解：（1）由题意，得 所以v甲＝，v乙＝. （2）若＝，求的值. 解：（2）＝＝，所以＝. 六、（本题满分12分） 21.观察下面的等式：＝×(1－)，＝×(－)，＝×(－)，…. （1）按照此规律，第4个等式为　＝×(－)　，猜想第n个等式为　＝(－)　（用含n的式子表示，n为正整数）； （2）请利用分式的运算证明你的猜想. 解：（2）等式的右边＝＝·＝＝等式的左边， 所以＝－). 七、（本题满分12分） 22.随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业正进入加速发展的新阶段.“买新能源车到底划不划算”是消费者最为关心的话题之一.某校数学小组对市场上两款售价相同的燃油车和新能源车做了对比调查，信息如下表所示： 燃油车 油箱容积：50升 油价：8元/升 续航里程：a千米 新能源车 电池容量：80千瓦·时 电价：0.6元/（千瓦·时） 续航里程：a千米 据调查，燃油车每千米的行驶费用比新能源车多0.55元. （1）这两款车每千米的行驶费用分别为多少？ 解：（1）由题意，得－＝0.55， 解得a＝640. 经检验，a＝640是原方程的解，且符合题意， 所以＝0.625，＝0.075. 答：燃油车每千米的行驶费用为0.625元，新能源车每千米的行驶费用为0.075元. （2）若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4 000元和7 300元，则每年行驶的里程在什么范围时，新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用＋年其他费用） 解：（2）设每年行驶的里程为m千米. 由题意，得0.625m＋4 000＞0.075m＋7 300， 解得m＞6 000. 答：每年行驶的里程超过6 000千米时，新能源车的年费用更低. 八、（本题满分14分） 23.我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”.例如，＝＝4x，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”.根据上述定义，解决下列问题. （1）下列分式是“巧分式”的有　①③　（填序号）. ①；②；③. （2）若分式（m，n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为x－7，求m，n的值. 解：（2）因为分式（m，n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为x－7， 所以（x＋n）（x－7）＝x2－4x＋m， 所以x2＋（n－7）x－7n＝x2－4x＋m， 所以n－7＝－4，m＝－7n， 所以n＝3，m＝－21. （3）若分式的“巧整式”为1－x，请判断是不是“巧分式”，并说明理由. 解：（3）是“巧分式”.理由如下： 因为分式的“巧整式”为1－x. 所以A＝＝＝＝2x（1＋x）， 所以＝＝＝x＋1. 又因为x＋1是整式，所以是“巧分式”. 学科网（北京）股份有限公司 $$