精品解析：吉林省吉林市普通高中2024-2025学年高三第三次模拟测试数学试题

吉林地区普通中学2024-2025学年度高中毕业年级第三次模拟测试 数学试题 说明：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码. 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答案写在答题卡上.字体工整，笔迹清楚. 3．请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效；在试卷上、草纸上答题无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则（ ） A. B. C. D. ，或 【答案】A 【解析】 【分析】先求得集合，再利用补集定义即可得出结果. 【详解】∵， ∴， ∴. 故选：A 2. 如图，在圆中，已知弦的长度为2，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，则，即，即可求解. 【详解】过点作，则，所以， 所以， 故选：B. 3. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先根据点在抛物线上求出的值，再根据抛物线的定义求出的值. 【详解】已知点在抛物线上，可得，解得. 在抛物线中，焦点的坐标为，准线方程为. 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离. 所以点到准线的距离为，即. 故选：B. 4. 若是两条直线，是两个平面，且．设，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由线面平行的性质定理和判定定理结合充要条件的判定可得. 【详解】若，由线面平行性质定理可得，充分性成立； 若，，由线面平行的判定定理可得，必要性成立. 所以是的充要条件. 故选：C 5. 若函数（且）在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对数的底数大于0，可得内函数为增函数，结合复合函数的单调性可得，再由对于恒成立，可得的取值范围，再求交集即可. 【详解】是由，复合而成， 由题意知：，在区间上单调递增， 若函数（其中且）在区间上单调递减， 所以单调递减， 可得： , 又对于恒成立， 所以， 解得：， 综上所述：. 故选：A 6. 棱长为2的正方体中，棱的中点为，棱的中点为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先找的外心，发现为线段的四等分点（靠近），则球心在过且与平面垂直的直线上，利用坐标法计算即可得出结果. 【详解】设的外心，由外心的定义可知， 为线段的四等分点（靠近），则球心在过且与平面垂直的直线上． 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设球心，由，求出，从而求出， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故选：C. 7. 已知正实数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用常见不等式结合数形结合可得，故A，B选项错误；根据与的图象关于直线对称可得选项C错误，选项D正确. 【详解】设，则， 当时，，当时，， 故在上递增，在上递减，故， 所以，故，故， 故的图像在的下方. ∵ ∴， 如图，为函数与函数图象交点的横坐标， 为函数与函数图象交点的横坐标， 为函数与函数图象交点的横坐标， 由图知，，而， 由为增函数得，故，故A，B选项错误. 由得，． ∵与的图象关于直线对称， ∴点和关于对称，且，， ∴且， ∴，故C选项错误. ∵，∴，故D选项正确． 故选：D. 8. 以“冰雪同梦亚洲同心”为主题的第九届亚冬会于2025年2月7日在哈尔滨盛大开幕，场馆上方悬挂的120万朵小雪花片装置，让观众仿佛置身于冰雪童话之中．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”．它可以这样画：如图，画一个边长为1的正三角形，第一步，把每一边三等分；第二步，取三等分后的一边中间的一段，以此为边向外作正三角形，并把这中间的一段擦掉，形成雪花曲线；重复上述两步，形成雪花曲线，记雪花曲线的周长为，则数列的最大项为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先需要根据雪花曲线的构造规律求出其周长的通项公式，再据此得出数列的通项公式，最后通过分析该数列的单调性来确定最大项. 【详解】对于初始的正三角形，边长，周长, 由构造规则可知，从到，每一条边都变为原来的倍. 因为有3条边，的边数是条，且每条边长度为，所以. 从到，同样每一条边变为原来的倍，的边数是条，每条边长度为，所以. 以此类推，可得,代入可得： , 令,则, 则, 令，解得, 令，解得 所以，. 故选：B 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在的展开式中，则（ ） A. 各二项式系数的和是32 B. 各项系数的和是1 C. 二项式系数最大的项是第3项 D. 的系数是40 【答案】AB 【解析】 【分析】由题设二项式，写出其通项，根据二项式的性质，易得二项式系数之和与各项系数之及二项式系数最大的项，由二项展开式的通项公式，结合通项确定的值，代入即可求解的系数. 【详解】关于的展开式，其通项为： 对于选项A：展开式中二项式系数之和，故A正确； 对于选项B：利用赋值法的应用，当时，各项的系数的和为，故B正确； 对于选项C：展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为第3和第4项，故C错误； 对于选项D：由通项：，令，可得， 所以展开式中的系数为.故D错误. 故选：AB. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的周期为 B. 图象关于对称 C. 在上恰有3个零点 D. 若在上单调递增，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据周期函数的定义判断即可；对于B，通过计算判断方程是否成立即可；对于C，根据的函数解析式以及函数图象即可判断；对于D，根据的图象和单调性可求的最大值. 【详解】①当时，， ②当时，， ③当时，， ④当时，， 因此，，. 所以函数的图象，如图所示： A选项：因为 ，所以的周期为，故A正确； B选项：因为 ， 所以的图象关于对称，故B正确； C选项：由的函数解析式以及函数图像可知： 当时，，当时，，当时，， 所以在上有无数个零点，故C错误； D选项：由，，得， 因为在上单调递增，所以由的图象可知， 解得，则的最大值为，故D正确； 故选：ABD. 11. 牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种解法——牛顿法．具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，在横坐标为的点处作的切线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面过程得到；一直进行下去，得到，使得当很大时，很小，我们可以把的值作为的近似值．已知函数是函数的一个零点，取，则下列说法正确的是（ ） A. 切线的方程为 B. C. D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A先求，得切线的方程为即可判断，对B对方程 令得，得方程，令，得即可判断，对于C求在横坐标为的点处的切线方程为，令，得即可判断，对于D有零点存在性定理有即可得在上存在唯一零点，且，即，，要证，只需证即可. 【详解】，，，所以切线的方程为，故A正确； 令，得，，，所以，令，有，故B错误； 在横坐标为的点处的切线斜率为， 所以在横坐标为的点处的切线方程为，令，则，故C正确； 因为在上恒成立，所以在上单调递增． ，则． 由零点存在性定理可知，在上存在唯一零点，且． ，则． ． 要证，只需证， 只需证，即证， ， 成立． ，故D正确． 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.其中第14题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分. 12. 已知，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据切化弦将已知条件进行转化，再利用三角函数的平方关系求出的值，最后通过二倍角公式计算. 【详解】根据题意，，可得. 将其代入中，得到. 进行通分，即.则，所以. 则. 故答案为：. 13. 已知复数满足，复数满足，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设，，根据条件可得复数在复平面内对应的点的轨迹为直线，在复平面内对应的点的轨迹是圆，利用圆上的点到直线距离最小值的求法可得结果. 【详解】设，由得， ∴，整理得， ∴复数在复平面内对应的点的轨迹为直线. 设，则， 由得，，即， ∴复数在复平面内对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， ∵表示复平面内与所对应的点之间的距离，圆心到直线的距离为， ∴的最小值为. 故答案为：. 14. 双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．已知分别为双曲线的左、右焦点，过右支上一点作双曲线的切线与轴交于点，设为的内心，且，则_____，_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题意有是角的角平分线，由角平分线定理有得和，利用余弦定理即可求解. 【详解】由双曲线的光学性质有：是角的角平分线， 由角平分线定理可知，， 由双曲线定义可知， 在中，由余弦定理可得，， ， 连接为内心，是的角平分线， 在中，由角平分线定理可知． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的公差，且满足，，记是数列的前项和，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式列方程，解方程即可； （2）利用退一相减法可得，再利用分组求和的方法可得. 【小问1详解】 由题意得， 解得或（舍）， ， 即数列通项公式是； 【小问2详解】 ①， 当时，，得， 当时，②， 由①②得，， 化简得，，即， 数列是以为首项，为公比的等比数列， ， ， ． 16. DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训． （1）此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望； （2）此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格． （ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率； （ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润-其他成本和费用）． 【答案】（1）分布列见解析，1 （2）（ⅰ）；（ⅱ）1100 【解析】 【分析】（1）服从超几何分布，利用即可求解； （2）（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），，即可求解； （ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则，，求出合格人数的数学期望，即可求解 【小问1详解】 的所有可能取值为0，1，2，且服从超几何分布． 的分布列为 0 1 2 的数学期望． 【小问2详解】 （ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（）， ，根据概率加法公式和事件相互独立定义得， ． 即每位员工经过培训合格的概率为． （ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则， ，则（万元） 即估计两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元． 17. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆的标准方程： （2）已知，为椭圆上异于点的两点，且，，点为垂足，求证：直线过定点；并判断是否存在定点，使得为定值．若存在，求出定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由题意得到关于的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程； （2）方法一：设直线的方程为，与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，根据列方程，化简后确定直线所过定点坐标， 当为的中点，可求得使得为定值． 方法二：当直线斜率不存在时，设，利用，求得点，当直线斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，根据列方程，化简后确定直线所过定点坐标， 当为的中点，可求得使得为定值． 【小问1详解】 ， 即椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 （法一）由题可知，直线的斜率不为0， 设直线的方程为，设， 由消去，得． ， ， ， ， 化简得，或（舍），即 直线过定点． （注：此处亦可按如下方法求 ） 设为的中点，即． 若与不重合，则是的斜边，； 若与重合，则． 综上所述，存在定点，使得为定值． （法二）1.当直线斜率不存在时， 设， ， ，解得，不符题意（舍），或，符合题意． 直线过点． 2.当直线斜率存在时，设直线的方程为， 设， 由消去，得． ． ， ． ， ． 化简得：，或． 当时，，此时直线过点，不符题意，舍去： 当时，，此时直线过定点． 综上所述，直线过定点． 设为的中点，即． 若与不重合，则是的斜边，； 若与重合，则． 综上所述，存在定点，使得为定值． 【点睛】 18. 如图，直四棱柱中，是边长为的等边三角形，，棱的中点为． （1）求证：平面； （2）矩形以边所在直线为旋转轴，逆时针旋转．至矩形，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先由正弦定理得，，得到．为正三角形，运用性质得到．结合线面垂直得到．最后结合线面垂直判定得解. （2）根据平面法向量的定义，通过向量垂直的条件求出平面的法向量. 利用直线与平面所成角的向量公式，求出直线与平面所成角的正弦值的表达式. 对的表达式进行换元，转化为关于新变量的表达式，再利用基本不等式求出其最大值. 【小问1详解】 中，由正弦定理得，即， 故，又． 又为正三角形，． 又平面平面． 又平面平面． 【小问2详解】 以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，． ， ． 设平面的法向量为， 则取． 设直线与平面所成角为，则 ． 令 ， 则， 当且仅当时取等号． 故直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 19. 函数在处的阶帕德逼近定义为：，且满足（其中）．已知函数在处的阶帕德逼近． （1）求； （2）比较与的大小； （3）若关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围，并证明：． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据帕德逼近概念，运用，构造方程组解题即可； （2）构造函数函数．通过导数得到单调性，结合，分类讨论比较与的大小； （3）通过对函数求导，分析其单调性和极值，确定的取值范围.再利用已知的不等式关系，对和进行放缩，进而得到关于和的不等式，最后借助二次函数的零点性质得出的范围. 【小问1详解】 ． ． 在处的阶帕德逼近， ，则． ． 【小问2详解】 设函数． 恒成立，在上单调递增． 又， 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即． 【小问3详解】 设函数方程有两个不相等的实数根， 则与有两个不同的交点， ，令，则． 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增．． 当时，；当时，；当时，． 故实数的取值范围是． 不妨设，则． 由（2）知，当时，；当时，． 令，则． 当时，；当时，． 即且； 且． 且， 且． 设函数的两个零点分别为，则． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林地区普通中学2024-2025学年度高中毕业年级第三次模拟测试 数学试题 说明：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码. 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答案写在答题卡上.字体工整，笔迹清楚. 3．请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效；在试卷上、草纸上答题无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则（ ） A. B. C. D. ，或 2. 如图，在圆中，已知弦长度为2，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 若是两条直线，是两个平面，且．设，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若函数（且）在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 棱长为2的正方体中，棱的中点为，棱的中点为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A B. C. D. 7. 已知正实数满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 以“冰雪同梦亚洲同心”为主题的第九届亚冬会于2025年2月7日在哈尔滨盛大开幕，场馆上方悬挂的120万朵小雪花片装置，让观众仿佛置身于冰雪童话之中．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”．它可以这样画：如图，画一个边长为1的正三角形，第一步，把每一边三等分；第二步，取三等分后的一边中间的一段，以此为边向外作正三角形，并把这中间的一段擦掉，形成雪花曲线；重复上述两步，形成雪花曲线，记雪花曲线的周长为，则数列的最大项为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在的展开式中，则（ ） A. 各二项式系数的和是32 B. 各项系数的和是1 C. 二项式系数最大的项是第3项 D. 的系数是40 10. 已知函数，则下列说法正确是（ ） A. 的周期为 B. 的图象关于对称 C. 在上恰有3个零点 D. 若在上单调递增，则的最大值为 11. 牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种解法——牛顿法．具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，在横坐标为的点处作的切线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面过程得到；一直进行下去，得到，使得当很大时，很小，我们可以把的值作为的近似值．已知函数是函数的一个零点，取，则下列说法正确的是（ ） A. 切线的方程为 B. C. D. 若，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.其中第14题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分. 12. 已知，则_____． 13. 已知复数满足，复数满足，则的最小值为_____． 14. 双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．已知分别为双曲线的左、右焦点，过右支上一点作双曲线的切线与轴交于点，设为的内心，且，则_____，_____． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列公差，且满足，，记是数列的前项和，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 16. DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训． （1）此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望； （2）此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格． （ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率； （ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润-其他成本和费用）． 17. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆的标准方程： （2）已知，为椭圆上异于点两点，且，，点为垂足，求证：直线过定点；并判断是否存在定点，使得为定值．若存在，求出定值；若不存在，请说明理由． 18. 如图，直四棱柱中，是边长为的等边三角形，，棱的中点为． （1）求证：平面； （2）矩形以边所在直线为旋转轴，逆时针旋转．至矩形，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 19. 函数在处的阶帕德逼近定义为：，且满足（其中）．已知函数在处的阶帕德逼近． （1）求； （2）比较与的大小； （3）若关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围，并证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $