精品解析：2025年广西南宁市青秀区中考数学一模试卷

2025年广西南宁市青秀区中考数学一模试卷 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 冰箱冷藏室的温度零上，记作，冷冻室的温度零下，应记作（ ） A. B. C. D. 2. 博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值．下列博物馆标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. （深度求索）是由中国某公司开发的通用人工智能系统截至年月，的全球日活跃用户总量达到亿，将数据用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 4. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ） A. 调查全市中学生每天体育锻炼时间 B. 调查某款新能源汽车的抗撞击能力 C. 调查神舟十九号飞船各零件是否合格 D. 调查全市中学生视力情况 5. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C D. 6. 一个不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架结构，已知米，，则中柱（D为底边中点）的长是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 光的逆向反射又称再归放射，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜．夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回，其原理如图所示，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两个根，则x1•x2等于（　　） A. 4 B. 1 C. ﹣1 D. ﹣4 10. 《九章算术盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十，盈六；人出九，不足十．问人数、物价各几何？”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出钱，就多了钱；如果每人出钱，就少了钱．问一共有多少人？这个物品价格是多少？设共有人，物品的价格为钱，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，四边形是菱形，，，以为圆心，的长为半径画弧，则阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 12. 某专业户计划投资种植茶树及果树，根据市场调查与预测，种植茶树的利润（万元）与投资量（万元）成正比例关系，如图所示：种植果树的利润（万元）与投资量（万元）成二次函数关系，如图所示如果这位专业户投入种植茶树及果树资金共万元，则他能获取的最大总利润是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 计算_______． 14. 小亮了解了祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶这5位著名数学家的生平简介，知晓他们取得的伟大成就对我国乃至世界数学发展起到的巨大推进作用，准备在数学课上随机选取其中一位的成就进行分享，选到数学家赵爽的概率是______． 15. 如图，的对角线，相交于点，若，则 ______． 16. 已知点在双曲线上，点在直线上且，两点关于轴对称，设点坐标为，则的值是______． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 18. 某批发商购进哪吒、敖丙两种挂件，已知每个哪吒挂件的进价比每个敖丙挂件的进价贵元，用元购买哪吒挂件的个数恰好与用元购买敖丙挂件的个数相同． 某批发商购进哪吒、敖丙两种挂件．已知每个哪吒挂件的进价比每个敖丙挂件的进价贵1元，用400元购进哪吒 （1）求该批发商购进哪吒、敖丙两种挂件的单价各是多少元； （2）若该批发商计划购进哪吒、敖丙两种挂件共个，且决定将哪吒挂件以每个元，敖丙挂件以每个元的价格对外出售，若要获得总利润为元，应购进哪吒、敖丙两种挂件各多少个？ 19. 中国沃柑看广西，广西沃柑看武鸣“中国沃柑”能及时走进千家万户；主要是依赖蓬勃发展的快递业、不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，沃柑种植户老李经过初步了解打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，老李收集了家沃柑种植户对两家公司的配送速度及服务质量得分，进行整理、描述、分析，信息如下： 信息一：配送速度得分（满分分）： 甲 乙 信息二：服务质量得分统计图（满分分）： 信息三：配送速度和服务质量得分统计表 项目 配送速度得分 服务质量得分 统计量 快递公司 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 乙 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的 ______， ______． （2）综合上表中的统计量，你认为老李应选择哪家公司？请任选两个统计量说明理由． （3）为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息？（列出一条即可） 20. 如图，已知为的直径，，，直线相交于点B． （1）求证：直线是的切线； （2）当时，求的半径． 21. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． （1）求出该抛物线的解析式； （2）当时，求的最小值； （3）把抛物线图象在轴下方的部分向上翻折，将向上翻折得到的部分与原抛物线位于轴下方的部分组合的图象记作图象，若直线与图象的上下部分分别交于，两点，当线段时，求的值． 22. 综合与实践 【问题情境】侯马铸铜遗址是东周时期晋国最大的青铜器铸造作坊，出土了大量陶范，而车軎范芯的发现，除了印证晋国青铜铸造技术的成熟，也为考古学家研究古代冶金史和车制发展提供了实物依据．车軎范芯如图所示，它的端面是圆形，反映出一些几何作图方法．如图是用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法：将“矩”的直角尖端沿圆周移动，直到，在圆上标记，，三点；将“矩”向左旋转，使它右侧边落在原来的，点上，“矩”的另一条边与圆的交点标记为点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的，，，四点，连接，相交于点，即为圆心． （1）【动手操作】如图，点，，在上，，且，请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）． （2）【深入探究】小华受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法后发现，如果和不相等，用三角板也可以确定圆心．如图，点，，在上，，请作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）． （3）【拓展探究】小华进一步研究，发现古代用“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差．如图，点，，是上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法），并且写出确定圆心的推导过程． 23. 在边长为正方形中，点是边上的一个动点（点与点，不重合），连接，过点作于点，交于点． （1）如图，直接写出与的数量关系； （2）如图，当点运动到的中点时，连接，求的值； （3）如图，在（2）的条件下，将绕点顺时针旋转得到，连接，，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年广西南宁市青秀区中考数学一模试卷 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 冰箱冷藏室的温度零上，记作，冷冻室的温度零下，应记作（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．根据零上为正，零下为负，即可求解． 【详解】解：冰箱冷藏室的温度零上，记作，冷冻室的温度零下，应记作， 故选：B． 2. 博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值．下列博物馆标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：选项A、B、C不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原图重合，所以不是中心对称图形； 选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原图重合，所以是中心对称图形； 故选：D． 3. （深度求索）是由中国某公司开发的通用人工智能系统截至年月，的全球日活跃用户总量达到亿，将数据用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：， 故选：B． 4. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ） A. 调查全市中学生每天体育锻炼时间 B. 调查某款新能源汽车抗撞击能力 C. 调查神舟十九号飞船各零件是否合格 D. 调查全市中学生视力情况 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了普查和抽样调查．一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行全面调查、全面调查的意义或价值不大，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查，全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多．据此选择即可． 【详解】解：A、调查全市中学生每天体育锻炼时间，适合采用抽样调查的方式，本选项不符合题意； B、调查某款新能源汽车的抗撞击能力，适合采用抽样调查的方式，本选项不符合题意； C、调查神舟十九号飞船各零件是否合格，最适合采用全面调查普查，本选项符合题意； D、调查全市中学生视力情况，适合采用抽样调查的方式，本选项不符合题意； 故选：C． 5. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握各运算法则是解题的关键．根据合并同类项法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方与积的乘方法则分别计算判断即可． 【详解】解：、与不能合并同类项，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 6. 一个不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，解答此题的关键是熟知实心圆点与空心圆圈的区别．根据在数轴上表示不等式组解集的方法求出不等式组的解集即可． 【详解】解：由数轴知，这个不等式组的解集为， 故选：D． 7. 如图是厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架结构，已知米，，则中柱（D为底边中点）长是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数的定义解题的关键．先利用等腰三角形的三线合一性质可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：米，点是的中点， ， 在中，， （米）， 故选：A． 8. 光的逆向反射又称再归放射，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜．夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回，其原理如图所示，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出． 由光的反射定律得，，由平角定义求出，由平行线的性质推出，求出，即可得到的度数． 【详解】解：由光的反射定律得：，， ， ， ， ， ． 故选：B． 9. 已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两个根，则x1•x2等于（　　） A. 4 B. 1 C. ﹣1 D. ﹣4 【答案】C 【解析】 【分析】据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和即可． 【详解】解：∵方程x2-4x-1=0的两个根是x1，x2， ∴x1∙x2=-1． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0的根与系数关系，两根之和是-，两根之积是． 10. 《九章算术盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十，盈六；人出九，不足十．问人数、物价各几何？”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出钱，就多了钱；如果每人出钱，就少了钱．问一共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有人，物品的价格为钱，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程组．根据如果每人出钱，就多了钱；如果每人出钱，就少了钱，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题． 【详解】解：设共有人，物品的价格为钱， ∴由题意可得，， 故选：A． 11. 如图，四边形是菱形，，，以为圆心，的长为半径画弧，则阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积的计算：设圆心角是，圆的半径为的扇形面积为，则也考查了菱形的性质和解直角三角形．连接，如图，先根据菱形的性质得到，，则和都为等边三角形，然后根据等边三角形的面积公式和扇形的面积公式，利用阴影部分面积进行计算． 【详解】解：连接，过点作于点，如图， 四边形是菱形， ， ， ， 和都为等边三角形， ∴ 阴影部分面积 故选：C． 12. 某专业户计划投资种植茶树及果树，根据市场调查与预测，种植茶树的利润（万元）与投资量（万元）成正比例关系，如图所示：种植果树的利润（万元）与投资量（万元）成二次函数关系，如图所示如果这位专业户投入种植茶树及果树资金共万元，则他能获取的最大总利润是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数和二次函数解析式，准确熟练地进行计算是解题的关键．先利用待定系数法求一次函数和二次函数解析式，然后设这位专业户投入种植果树的资金为万元，则投入种植茶树的资金为万元，他获得的利润为万元，根据题意可得：，最后进行计算即可解答． 【详解】解：设， 把代入中得：， ； 设， 把代入中得： ， 解得：， ； 设这位专业户投入种植果树的资金为万元，则投入种植茶树的资金为万元，他获得的利润为万元， 由题意得： ， ， 当时，， ， 当时，， 能获取的最大总利润是万元， 故选：D． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 计算_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的定义，理解定义是正确开方的关键． 如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，通常用符号表示算术平方根，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：2． 14. 小亮了解了祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶这5位著名数学家的生平简介，知晓他们取得的伟大成就对我国乃至世界数学发展起到的巨大推进作用，准备在数学课上随机选取其中一位的成就进行分享，选到数学家赵爽的概率是______． 【答案】##0.2 【解析】 【分析】此题考查概率公式，如果一个事件有种可能，而且这些事件可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率(A)．根据概率公式计算即可． 【详解】解：因为总共有5人， 所以从中任选一个，恰好是赵爽是概率是． 故答案为：． 15. 如图，的对角线，相交于点，若，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等，证明是矩形是解题的关键．先证明是矩形，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：的对角线，相交于点，若， ， 是矩形， ， ， 故答案为：． 16. 已知点在双曲线上，点在直线上且，两点关于轴对称，设点的坐标为，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数和反比例函数上点的坐标特征，关于轴，轴对称的点的坐标，熟练掌握这两个函数上点的坐标特征是解题的关键，根据，两点关于轴对称，，可以表示出点的坐标为，又因为这两个点分别在两个函数图象上，所以得到：，，根据，计算即可． 【详解】解：点的坐标为，、两点关于轴对称， ， 点在双曲线上， ， ， 点在直线上， ， 即， ， 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2），0 【解析】 【分析】本题考查整式的化简求值、有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先算乘方，再算乘除法，然后算加法即可； （2）根据平方差公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当时，原式． 18. 某批发商购进哪吒、敖丙两种挂件，已知每个哪吒挂件的进价比每个敖丙挂件的进价贵元，用元购买哪吒挂件的个数恰好与用元购买敖丙挂件的个数相同． 某批发商购进哪吒、敖丙两种挂件．已知每个哪吒挂件的进价比每个敖丙挂件的进价贵1元，用400元购进哪吒 （1）求该批发商购进哪吒、敖丙两种挂件的单价各是多少元； （2）若该批发商计划购进哪吒、敖丙两种挂件共个，且决定将哪吒挂件以每个元，敖丙挂件以每个元的价格对外出售，若要获得总利润为元，应购进哪吒、敖丙两种挂件各多少个？ 【答案】（1）该批发商购进哪吒挂件的单价是元，敖丙挂件的单价是元 （2）购进哪吒挂件个，敖丙挂件个 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）设该批发商购进哪吒挂件的单价是元，则购进敖丙挂件的单价是元，根据用元购买哪吒挂件的个数恰好与用元购买敖丙挂件的个数相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购进哪吒挂件个，则购进敖丙挂件个，根据要获得总利润为元，列出一元一次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设该批发商购进哪吒挂件的单价是元，则购进敖丙挂件的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：该批发商购进哪吒挂件的单价是元，敖丙挂件的单价是元； 【小问2详解】 设购进哪吒挂件个，则购进敖丙挂件个， 由题意得：， 解得：， ， 答：购进哪吒挂件个，敖丙挂件个． 19. 中国沃柑看广西，广西沃柑看武鸣“中国沃柑”能及时走进千家万户；主要是依赖蓬勃发展的快递业、不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，沃柑种植户老李经过初步了解打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，老李收集了家沃柑种植户对两家公司的配送速度及服务质量得分，进行整理、描述、分析，信息如下： 信息一：配送速度得分（满分分）： 甲 乙 信息二：服务质量得分统计图（满分分）： 信息三：配送速度和服务质量得分统计表 项目 配送速度得分 服务质量得分 统计量 快递公司 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 乙 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的 ______， ______． （2）综合上表中的统计量，你认为老李应选择哪家公司？请任选两个统计量说明理由． （3）为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息？（列出一条即可） 【答案】（1）， （2）老李应选择甲公司，理由见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了统计表、折线统计图、中位数、众数和方差，理解并掌握它们的概念和意义并能结合题干分析问题是解题的关键． （1）根据中位数与众数的定义即可求解； （2）根据方差的意义进行判断即可； （3）根据题意求解即可（言之有理即可）． 【详解】解：（1）乙公司配送速度得分从小到大排列为：，，，，，，，，，， 一共个数据，其中第个与第个数据分别为，， 所以中位数， 甲公司配送速度得分出现的次数最多，所以众数； 故答案为：，； （2）老李应选择甲公司，理由如下： 从折线统计图中可以看出，甲的服务质量得分分布于，乙的服务质量得分分布于，从中可以看出甲的数据波动更小，数据更稳定，即， 配送速度得分甲和乙的得分相差不大，老李应选择甲公司； （3）还应收集甲、乙两家公司的收费情况答案不唯一，言之有理即可． 20. 如图，已知为直径，，，直线相交于点B． （1）求证：直线是的切线； （2）当时，求的半径． 【答案】（1）详见解析 （2）的半径长为 【解析】 【分析】（1）连接，则，所以，由，得，，则，可证明，得，即可证明直线是的切线； （2）由全等三角形的性质得，而，所以，则，由，求得，则的半径长为． 【小问1详解】 证明：连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径，且， ∴直线是的切线． 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的半径长为． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、切线的判定、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 21. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． （1）求出该抛物线的解析式； （2）当时，求的最小值； （3）把抛物线的图象在轴下方的部分向上翻折，将向上翻折得到的部分与原抛物线位于轴下方的部分组合的图象记作图象，若直线与图象的上下部分分别交于，两点，当线段时，求的值． 【答案】（1） （2）当时，函数最小值为；当时，函数最小值为 （3） 【解析】 【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到图象的翻折、待定系数法求函数表达式，熟悉函数的图象和性质是解题的关键． （1）由题意得：，即可求解； （2）根据题意分和两种情况分别求解即可； （3）由函数的对称性知，，则，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，当时，函数取得最小值，即； 当时，抛物线在顶点处取得最小值，即， 综上，当时，函数最小值为；当时，函数最小值为； 【小问3详解】 解：由函数的对称性知，，则， 即， 解得：． 22. 综合与实践 【问题情境】侯马铸铜遗址是东周时期晋国最大的青铜器铸造作坊，出土了大量陶范，而车軎范芯的发现，除了印证晋国青铜铸造技术的成熟，也为考古学家研究古代冶金史和车制发展提供了实物依据．车軎范芯如图所示，它的端面是圆形，反映出一些几何作图方法．如图是用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法：将“矩”的直角尖端沿圆周移动，直到，在圆上标记，，三点；将“矩”向左旋转，使它右侧边落在原来的，点上，“矩”的另一条边与圆的交点标记为点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的，，，四点，连接，相交于点，即为圆心． （1）【动手操作】如图，点，，在上，，且，请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）． （2）【深入探究】小华受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法后发现，如果和不相等，用三角板也可以确定圆心．如图，点，，在上，，请作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）． （3）【拓展探究】小华进一步研究，发现古代用“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差．如图，点，，是上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法），并且写出确定圆心的推导过程． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 （3）图见解析 【解析】 【分析】（1）以为顶点，以为一边，用三角板作是直角，的另一边与圆交于，连接，，，的交点即是圆心； （2）方法同（1）； （3）连接，，作，的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心，根据是垂直平分弦的直线经过圆心即可得到结论． 本题考查圆的综合应用，涉及用三角板或尺规确定圆心，解题的关键是掌握若圆周角是直角，它所对的弦是直径及垂径定理与推论的应用． 【小问1详解】 解：如图圆心即为所求： 【小问2详解】 解：如图： 即为所求作的圆心； 【小问3详解】 解：拓展探究： 如图： 即为所求作的圆心， 理由：连接，，， ，的垂直平分线交于， ，， ， 点是点，，三点所在的圆心． 23. 在边长为的正方形中，点是边上的一个动点（点与点，不重合），连接，过点作于点，交于点． （1）如图，直接写出与的数量关系； （2）如图，当点运动到的中点时，连接，求的值； （3）如图，在（2）的条件下，将绕点顺时针旋转得到，连接，，若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先判断出，再由四边形是正方形，得出，，即可得出结论； （2）如图，延长，交于点，由点是的中点，得到，根据正方形的性质得到，，，得到，根据全等三角形的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，得到，求得，推出，于是得到； （3）过作于，根据勾股定理得到，求得，根据旋转的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理得到． 【小问1详解】 证明：， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ∴， ； 【小问2详解】 解：如图，延长，交于点， 点是的中点， ， 四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， 又，， ∴， ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， 又， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：过作于， ， ， ， 将绕点顺时针旋转得到， ，， ， ， ， ∴， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，正切值的计算，相似三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $