黑龙江省教育学会示范性髙中专业委员会2025届高三第一次模拟考试数学试题

数学学科试题 一、选择翅：本鹿共8 小鹿，每小题5 分，共 40分。在每小鹿给出的四个选项中，只有一项符合要求。 黑龙江省教育学会示范性髙中专业委员会高三学年第一次模拟考试 1 . 若 - 1 - V^Z. 则复数2的虚部为 A. — 1 B. 1 C. — V5 D. V5 2 . 设集合i4 = {x e Z |V —7：t <〇}， B = 则则d f l丑= A. {4,5,6} B. {2,4,6} C. {1,3,5} D. {1,23} 3 . 在商三某次调研考试时，某学习小组对本组6 名同学的考试成绩进行统计，其中数学试卷上有一道满 分为 12分的解答题. 6 名同学的得分按从低到商的顺序播列为4, 5, 6, m，10, 1 2 ,若该组数据的中位 数是这组数据极差.则该组数据的笫6 0百分位数是 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 4 . 正项等比数列{义}中.叉是其前《项和，若a2 = fl3 + 2a4, S2 = 3 2 . 则S6 = A. 63 B. 56 C. 52 D. 42 5 . 己知 sin (or-/?} = - 丄.且 sinacos/?= 丄.则cos (2a + 2/?)= 3 6 6 . 正 方 体 的 棱 长 为 丨 . £ 为 棱 的 中 点 ，点户在面对角线f l q 上运动点异于反 c ,点 )， 以 K说法错误的是 A. S A " 平面d fC B. 丄乓Z) C. 直线尽£与平面(’DAC,所成角的余弦值为| D. 三棱锥P - / ICD,的体积为丄 1 6 7.己知函数八泰=1|1卜2* + 1) + /^(/^1〇是偶函数，则 A. f〇〇ds〇 )̂ < m < /(/〇Pa5〇.3) B. f (k) < /(/〇5as〇.3) < f(l〇ds〇 )̂ C. / ( ^ a s〇-3) < f(k) < Rlog^O.3) D•川叫s0.3) < 州叫as0.3) < /(fc) 8 . 若不等式k + l S P - ax2对一切x e R 恒成立，其 中 e 为自然对数的底数，贝ik i-fc的可能取 值为 数学试理第1贞 （共 4 贞） 二、选择题：本理共3 小题，每小题6 分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分。 9 . 坐位体前屈 （ SU And Reach) 是一种体育锻炼项目，也是大中小学体质健康测试项目，通常使用电动 测试仪进行测试.为鼓励和推动学生积极参加体育锻炼，增强学生体质.我国千2002年开始在全国试行 《学生体质健康标准》.坐位体前屈厲千该标准规定的测试内容之一.己知某地区进行体育达标测试，统 计得到商三女生坐位体前屈的成绩 < (单位:c m ) 服从正态分布A’(20，a 2) , 且 P(《222) = 0.1,现从该地 区商三女生中随机抽取3 人，记 f 在区间(丨8,22)的人数为A S 则正确的有 A. P(18<^<22) = 0.8 B. £(3^ + 1) = 8.2 C. D(2Ar)=0.96 D. />(^> 1) = 0.488 1 0 .己知函数/ ( x) = sin(伽 + 炉)(仿>0),如图冼5 ，C 是直线，= « (〇<“< 丨 ) 与 曲 线 的 三 个 交 点，其横坐标分别是' ，.v2,& .则正确的有 A.若 + | 仪？|=；r , 则 w = 2 C.若“ ^ ，炉 = - 1 ，0幺；|：1< ：(：2 <文3< ；7'，则 !幺 <»<3 D.若 〇 = f 且 間 - 丨 卿 I ，点〇的横坐标为-告 .则 / ( | ) = - | 11• 己 知 曲 线 = />(々 ，凡）为C 上一点，则以下说法正确的有 A.存在点 P(.v。,)’。)，使得 2_t。- 凡 = -1 B. |2w 刊的取值范围为 C. 若 丨 2〇 ，。+讲丨+丨2\-凡+/?丨的值与弋，>；。无关，且 "7>0，/ 7 < 0，则/|取值范围为（-〇〇，-2万 ] 1).若|2:^->，<1+册| + | 2 ' - >，<> + /?|的值与；(：<>，凡无关，则其最小值为27?. 三、填空题：本小理共3 个小题，每小题5 分，共 15分。 1 2 .己知抛物线C: 的焦点为F, 点M在C上，且 贝 ijM到y轴的距离为_________. I3• 己 知 平 面 向 ？满足万+ 1 =-?, [5丨= 问 = 2, p | = 2 在 则 cos(5j 》= _________. 1 4 .三棱锥 5-仙 (：中 .沉丄平面仙C. S C = 仙 = 6 . 平 面 内 动 点 D的轨迹是集合M = fD||ZM| = 2|£)B|},己知C、 Q e 」V/ ,且A 在从所在直线上 ， i = 1,2.则 三 棱 锥 外 接 球 的 表 面 积 为 _______ 数学试理第2贞 （共 4 贞） 四、解答题：本趣共5 小题，共 n 分9 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (13 分）在△ABC中，内 角 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c，且 1 一 sin2 4 - sin2 = cos2 C + V Jsin Z sin B. (1) 求角 G (2) 若 2 # . D为BC的中点，在下列两个条件中f t选一个，求M 的长度. 条件① ： A 的面积S = 4 . 且6 > a , 条件②：C〇s B = ¥ 注:如果选择多个条件分别解答，按笫一个解答计分. 16. (15 分）己知函数/(：〇 = 丨n x + E - f l. X (1〉当 | 时 . 求 曲 线 y = 尸 以 ) 在 点 处 的 切 线 方 程 ： (2)若函数/〇〇有极小值，且/〇〇的极小值小子1 - V . 求实数a的取值范围. 17. (15分）笫九届亚洲冬季运动会在哈尔滨圆满落F帷箱。在这场盛大的亚洲冰首盛会中.奖牌榜见证 了各国运动员的荣耀与拼搏。中国队以3 2金 2 7银 2 6铜 .总 计 8 5枚奖牌的傲人成绩，强势登顶奖牌榜. 成为最大贏家。这一成绩不仅创造了中国队亚冬会历史最佳，更是追平了单届金牌数纪录，书写了中国冰 雪运动的崭新篇章。冰球深受广大球迷的巷爱，每支球队都有一个或几个主力队员.现有一支冰球队.其 中甲球员是其主力队员.经统计该球队在某阶段所有比赛中.甲球员是否上场时该球队的胜负情况如表： 甲球员是否上场 球队的胜负愔况 合计 胜 负 上场 38 45 未上场 3 合计 40 ⑴完成2 x 2列联表，并判断根据小概率值《 = 0.025的独立性检验.能否认为球队的胜负与甲球员是否上 场有关联？ (2〉由子队员的不同.甲球员主打的位罝会进行调整.根据以往的数据统计.甲球员上场时.打边锋、中 锋、后卫的概率分别为0.4, 0.5, 0.1，相成球队贏球的概率分别为0.7, 0.9, 0.5. ( i > 当甲球员上场参加比赛时，求球队贏球的概率： ( i i ) 当中球员上场参加比赛时.在球队崴了某场比赛的条件下，求屮球员打中锋的概率. 数学试趣第3贞 （共 4 贞） m ： / = ______n(ad - be)2______ (a +b){c + d)(a +c){b + d) n = a + b + c + d . a 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 X„ 2.072 2. 706 3.841 5.024 6. 635 10.828 18. (17分）d 知椭圆C : [ + [ = l 的左、右焦点分别为f ；、忍 ，经过 f ；且倾斜角为<9 ( 0 < 6 > < i )的 4 3 2 直线/与椭圆交子」、5 两 点 （其中点d 在 x 轴上方>. (1〉/!为椭岡卜.顶点时求M 份^的面积： (2)如图，将 平 面 轴 折 金 . 使 轴 正 半 轴 和 x轴所确定的半平面（平 面 与 轴 负 半 轴 和 .t 轴 所确定的半平面（平面BF，2 ) 互相垂直. (i ) 若0 f . 求 异 面 直 线 和 ^ 2所成角的余弦值： (i i ) 是否存在设（〇<沒<：|丨，使得折叠后4 与B 距离与折金前d 与 B 距离之比为5 ^ 1 ? 若存在，求 tan沒 的值，若不存在，请说明理由. 19. (17分）己 知 正 项 数 列 满 足 ：对 住 意 的 正 整 数 爪 都 有 = 其中为非零常数. (1〉若a2 = 2 ，d = 3 . 求数列{a j 的通项公式： (2)证明： t ^ . 1-^1 d ⑶ 若 且 从 〜 ’七’七’…， 且m e.N ) 中任取两个数.记事 件 A: “取出的两个数是无理数且中间仅包含一个整数”，其 概 率 为 若 纥 求 正 整 数 m 的最小值. 公式： l2 + 22 + 32 +...+ n2 = 5 ^ 1 1 ^ 1 1 1 ( 其 中 为 if.整数). 数学试理第4贞 （共 4 贞> 数学学科试题答案 黑龙江省教育学会示范性髙中专业委员会髙三学年第一次模拟考试 三、填空题 12. f 13. 2 14. IOOtt 8 题 【详解】 不 等 式 + 1 S P - olx2可化为ax2 + 6文 + 1 S 令/"Of) = ax2 + fcx + 1 , = #, 当a = 0 时，/(.r) = 似2 +幻 +丨 =心 + 丨，此时，直线/(x )恒过点(0,1)， 故只耑直线/(.t) = & + l为5 (x) = P 在点(〇,〇处的切线即pT，b = / ( 0) = l. 此时 当 时 . /( a：)亦恒过点(0,丨），为使a W + fet + l s y , 对一切x e R 恒成立， 浠 = 似2 + & t+ 丨幵口向下，且在点(0,丨）处与没⑷= P 有公切线即可， 故{/((^ = 1 ，此时卜办 <-1. 综上，a - b的 取 值 范 围 是 - 1】，- 2 e ( - ~ , - 1]，故选A、 11题 【详解】 曲线C 的方程为， .t2 - — = l,.t >0,>?>0 4 jr2 + — = l,x > 0 , ^ < 0 , 4 -x2 +— = 1, <0, <0 4 对子 A , 若点户在曲线<T::c2+ f = l，(.r 2:0,：v-<0)上时 .有 .t02+ 子 = 1 . 此时 2而 一)b >〇 . 不可能有 2.r。- = 一 1: 当点户在曲线C ::r2- + = 1,(:^0，> ^ 0 )上时，曲线C 的渐近线方程y = 2.t . 当点户在- :r2 + 1，(x < 0,少• < 0 )上时 .曲线C：的渐近线方程少• = 2.t， 如图，因为直线2.x->，= - l 与渐近线方程> = 2.t 平行，所以不存在点/ 使得2及-凡=_丨，故 A 错误: 对于B, 因 为 4 可 看 作 尸 卜 。，凡）到直线2.r - ；K + >/J = 0 的距离的$ 倍 " 因为直线 2卜 >^#=〇与少 = 2.t 平行，且之间的距离为丨，故|2.r。-凡 + ̂ 2 1 . 由图可知，当 点 在 曲 线 C :.r2+ f ̂ 。 ( ^ 《(^上时点/^到直线：̂ 少 +斤 “ 的距离有最大值. S ： x = cos9,y = 2 s 0,(cos9 > 0,sin^ <0), 点 到 直 线 ” VJ = 〇的距离为 |2cos<?-2sin^ + >/5| ■S 当且仅当cosp = 丨等号成立，即|.r。- 2八+ 七|S 2 f + f , 所以|2戈- y。+ 的取值范围为(W ，2> ^ + , 故 B正确. 对子C和 D ^/, :2jt- j + w = 0 l2 : 2 x - y + n = 0 由 少，+ ”| = 而 *v5 V 5 得 p j + /w|+ [2-Y - )，+ 叫表示点P到直线/,和/2的距离之和的V J 倍. |21-_^ + /叫+|2.^-少+/7丨的值与文0,凡无关，则该曲线在两平行线/丨和/2之间 当/2 :2 .v _ j + « = 0 与曲线椭圆部分相切时 I , ’， △ = 16w2 — 32(w2 -4) = 0知 ” = - 2V^"或/7 = 2V^ " (舍〉 [4x~+y2 = 4 所以w的范围为(一〇〇，-2a/J ], C正确： 当/,为渐近线2jc- >，= 0 . ，2为2文一>，+ /? = 0 与曲线椭圆部分相切的直线2 : r - j - 2 V ? = 0时 |2jc - >，+ /w| + |2;v - ），+ w| 的值最小 2x - y = 0 ^ 2 x - y - 2 ^ = 〇 m ^ d 2>/2 I \2x-y+m\+\2x-y + ̂ = yf5^2X~J^+ m K ^ X ~ ^ + ^ ) > ^ x ^ = 2 ^ , D IH确. 14埋【详解】 以/1B屮点为说点述 >>:直角坐标系，+ 妨设>!(一3,0)，B(3,0)， 设D(x,y)山 |以卜 2|DB|"m, y/(x + 3)2 + y 2 = 2 7(尤 - 3)2 + y2化简， 〇«:-5)2 + / = 16,所 以 A A A C 外接阅半径为4, 设」棱锥 5-〇仏〔的外接球半径为/?.由/?2 = 16 + 9 = 25，^ = 4狀 2 = 100/1 四、解答题： 15. (1) 由题总得siM2 C - 伽 2 /! - sfn2 B = VIst'n 4 sm B， 由正弦定理 ^ ^ ^ 得 c2 - Y ， V c2 — a2 — b2 = — 2ab cos C * •• cos C = — VC€(0,tt), ：.C = ̂ . ................................................................. 6 分 ( 2 )若选条件①： ...A 的面积S = 4, ••Jabsin— = 4，•••afc = 8>/L2 4 V r = a2 +b2-2abcosC t c = 2^1〇» ••c2 = a2 + 62 + yflab = 40. \'b > a , /.a = 2V2* b — 4, ••厶为沒〔的中点，/.(^ = >/̂，...........................................................10分 在△ >40)中. 仙2 = _4C2 + CD2 - 2/lC . CD • cosC = 16 + 2 - 2 X 4 X W X ( -专) =26, ： .AD = V 2 6 - .................................................................................. 13 分1 若选条件②： '• cosB = B e (0,tt)» /.sin B = y * 由正弦定理得，丄 士 ， 士•咖 fi = 4， •• c2 = fl2 + Z>2 - 2^>co sC，,.a2 + 4>/fa - 24 = 0，解得a = 2>/1 或a = - 6W (舍）• •••/?为 的 中 点 ，••'/} = 々 ，.............................................................. 10分 在厶 >40)屮，>*£)2 = /1C2 + C/)2 - 2/1C • CD . a>sC = 16 + 2 - 2 x 4 x V f x (-夸 ) = 26， ： .AD = V 2 6 . ...................................................................................1 3 ^ 16. ( 1 ) 、*^ = > ，/〇〇 = /»以 + 士-全，则 / » = | - 点 ，所以，(1)=吾， 因为，(1) = 0 , 所以/C〇t o = 1 处的切线方程为:t - 2y - 1 = 0 . .................................5 分 ( 2 )因为/(Jf) = lnjf + ̂ - “，其中.t >0, Pl!l /̂ (-y) = —- ~ t = x ,g . ..........................•••••............••••••................. 6 分 x x ~ X- ①当M O 时，/ ，W >〇恒成立•此时函数八文)在(〇，祕）上单调递增.无极小值，................ 8 分 ②当a > 0 时，令/ » 0 . 可得•丫=〇 ,列表如下: X a (〇,+«〇) - 0 + / W 递减 极小值 递增 所以/(文垴小值=/(«) = lna + 1- “，............ 由题意可得lrw + 丨一a c l - o2，即a2 + 丨rw- f l< 0 ， 令g (a) = “2+ lrw- "… >0 )，则g (l) = 0. 因为发» = 2rt+ 丄一1乏2万-1>0. a 所以阐数g ⑷ 在 (〇,+«〇单调递增， 所以由公(4<忘(丨)=〇,得〇<a < l , 所以实数〇的取值范围是(〇，丨）. ............... 17 ( 1 )根据题意.可得2 x2 的列联表： 中球员是否上场 球队的胜负情况 合计 胜 负 上场 38 7 45 未上场 2 3 5 合计 40 10 50 零假设球队胜负与甲球员是否上场无关 1 1分 15分 2 分 3 分 根据列联表中的数据.经计算得到 50x (38 x 3 - 2 x 7)2 4 0 x 10x 5 x 45 50 *9~ * 5.556 > ̂ 0025 6 分 根据小槪率值《= 0.025的独立性检验 .我们推断不成立，即认为球队胜负与中球员是否上场有关，此 推断犯错误的概率不大于0.025. ............................................................ 7 分 ( 1 )屮球员上场时，打边鋒、中诗、后卫的概率分别为0.4,0.6,0.1,相应球队贏的槪率分别为0.7,0.9,0.5 ( i ) 设亊件A: “甲球员上场打边锋”，事件B: “甲球员上场打中锋” 事件C: “甲球员上场打后卫”，事件D: “球队嬴球” 则 P ⑷ =0.4 P ⑶ =0. 5 P(C)=0.1 P(D|A)=0.7 P(D|B)=0.9 P(D|C)=0.5 所以当甲球员上场参加比赛时，球队嬴球的概率 P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P<C)P(D|C)=0.4x 0.7+0.5x 0.9 + 0.1x 0.5=0.78 当甲球员上场参加比赛时，求球队胜的概率0.78....................................... 11分 ( i i > 当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，甲球员打中锋的概率 P (B \D ) P (B )P (D \B ) 0.45 15 P (D ) ~ 0 7 8 ~ 2 6 当甲球员上场参加比赛时，在球队贏了某场比赛的条件下，甲球员打中锋的概率2 26 2 2 18 ( 1 )由椭圆方程+ + < - = 1 知《 = 2,办= a/J，c = 1 4 3 当』为椭圆上顶点时淖0，>/1)，又F ,(—丨，0 ) 直线的方程为少= ̂ ( x + l> 15分 由 y 4 + 3 知 y = V3U + 1) W 3 *W 2 厂2|h - h | = y x 2 : >/?-(-宇 ) 8V? (2) ( i ) 沒 时 在 折 叠 前 图 中 . 直 线 方 程 为 j = ̂ ( :v + l) 由 （1 > 可知此时 zl(0，">/J ) fi(— 4 分 折叠后仍以;r轴为;r轴， 轴原位罝仍为 j 轴，折叠后_>，轴的正方向为::轴正方向，建立空间直角坐标系, 则 >!(0,0, V?) 6(-1，0,0> 厂2(1，0,0) W 3 E = H ，o，- V?),兩 = (譬 • 手 〇) J F r B F 2 13 V A^. |寧| 2x 13 14 28 /. d f；和 所 成 角 的 余 弦 值 为 ( ii ) 折叠前设/!(〜，J丨)，所文2, )， 直线J 厶：a. = /m)，- l(w > 0) 6 m 由 £ _ y 2 _ 4 + 3 知（3w 2 + 4)少2 - 6/，〇, 一 9 = 0 x = m y -1 ^.+>2 3/w + 4 3m ~ + 4 \A B \ = ̂ \ + m 2 yjiy^ y^ 2 -^)\y2 \2(n r +\) 3/w2 + 4 折金后按 （ i ) 中坐标系，(》，0,少,)，皮(文2,少2,0) = V(^2 - )2 + >22 + ( -^ i )2 = V ^ 2 (>J2 -y\)2+ y\ + y2' 9 分 12分 ylnr[(yi + y 2)2 - 4 yiy 2\+(yi + y2)2 - 2 y ,y 2 = yjini2 + 1X>*, + y 2)2~ (4w 2 + 2)y ,y2 (w 2 + l) . ，+(4w 2 + 2) 9 (3/w2 +4)2 3/w2 + 4 V 144w 4 + 2 3 4 w 2 +72 3n r + 4 15分 ^ B ] _ SV2 V 1 4 W + 2 3 4 m 2 +72 _ 5-71 m ] 5 5 f ™~8™" 12(/w2 + 1) _ 了 9 /. 7w 4 + 2 /；r - 9 = 0 •• w 2 =1 或 w 2 = - — （舍去）•• w > 0 m tan沒= 一 = 1 故存在 m 17分 19 ( 1 )由 知 {a„2}为等差数列， g = 4， d = 3 a 2n = al ■¥ (n — 2)d = 3n — 2 •••«”> 0 /. an = v 3w- 2 .... . ( 2 )根 据 递 推 关 系 可 得 ： i . m j , ± — i— ± aî a,- a2' a t a i ~ ai 4 分 d d d 0^\-〇„ """"d~ ~ = -(a2 ~ ay + ai- ai+ - + a ^ ~ a.)= d 因此Z - ai + a“、 d ( 3 )由 （2 ) 中结论f 又 t 9 分 ai+ a i a2- d _ yjn+ 1 - 即可得 d ° ^ ~ d d yjn+ 1 ■ 因 此 即 可 得 又g - fZ|2 =</，即2^2- f/2 = rf2 = d ，即可知d = l : 所以 • =yJn + \ ， y/n + l+l 因此此时A = ......................................................................... 11分 数列中无理数项对应的为非平方数项，符合条件的无序对为相邻区间P ，A + 1)和 k + l，A: + 2)中的无理数对， 即在区间 # ，̂ 7 ? 7 | 和 上 分 别 任 取 一 个 无 理 数 构 成 无 理 数 对 . 相邻两区间上符合题意的无理数对为 [(A+1)2 — it2 + 1-2][(A + 2)2 _(人-+ l f + 1-2] = 2 it(2it + 2) = 4A(A + 1) = 4A2+ 4A : 因此总对数共有 X (4a2+4A)= 4 [i2 +22 + 32 + " + (w - 1)2]+ 4 [1 + 2 + 3 + ."+(,w- 1)] 2w (2m - l) + 2m 4/w (m - l)(w + l) 14分 II (w + l)2k/M + l)2-ll (w + l)2(m2 +2m) 从 … :中任取两个数共 C；̂ … ~ ~ ~ ! = ̂ ~ ^ 1 4 - m (m - \ ) ( m +1) (w + l)2(w 2 + 2 w) < -̂ 7 •••3/«2-61/” + 7 6之0 ，即(所一19}(3/«-4)20 •. w > 19或w S - 己知中m 之2 /. w > 19 w 的最小值为 19. •17分