精品解析：安徽合肥中锐学校2026-2027学年上学期十月阶段性检测高二数学试题

合肥中锐学校2026-2027学年上学期十月阶段性检测 高二数学 制卷入：刘志荣 满分：150分 时间：150分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，点是点在坐标平面内的射影，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 直线与直线的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 3. 已知直线过，两点，且，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 4. 若为圆的弦的中点，则直线的方程是（ ）． A. B. C. D. 5. 过点引直线，使，两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 已知、、三点不共线，点在平面外，点满足，则当点、、、四点共面时，实数（ ） A. B. C. D. 7. 四棱锥中，，则这个四棱锥的高为（ ） A. B. C. D. 8. 在棱长为2的正方体.中，点P满足且，则下列说法错误的是（ ） A. 若，则平面 B. 若，则 C. 若则到平面的距离为 D. 若时，直线与平面所成角为，则 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知直线，则（ ） A. 恒过点 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，不经过第三象限 10. 已知向量，，则下列说法不正确的是（ ） A. 向量与向量共面 B. 向量在向量上的投影向量为 C. 若两个不同的平面的法向量分别是，则 D. 若平面的法向量是，直线的方向向量是，则直线与平面所成角的余弦值为 11. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（ ） A. B. C. 的长为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，向量，且，则______． 13. 已知点在圆内，则实数m的取值范围是__________. 14. 设直线与直线的交点为P，则P到直线的距离的最大值为____________． 四、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，． （1）当时，求实数x的值； （2）若向量与向量，共面，求实数x的值． 16. 在平面直角坐标系中，、、． （1）求的面积； （2）判断、、、四点是否在同一个圆上？并说明理由． 17. 已知直线l过点． （1）若直线l在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，求直线l的方程； （2）已知的一个顶点为，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为．求所在直线的方程． 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，点E为的中点. （1）证明：平面； （2）求点到直线的距离； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 如图，在长方体中，，，点E在棱AB上移动. （1）求证：. （2）当点E为棱AB的中点时，求点E到平面的距离. （3）在棱AB上是否存在点M，使平面与平面AMC所成的角为？若存在，求出AM的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥中锐学校2026-2027学年上学期十月阶段性检测 高二数学 制卷入：刘志荣 满分：150分 时间：150分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，点是点在坐标平面内的射影，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件可得出点的坐标. 【详解】在空间直角坐标系中，点是点在坐标平面内的射影， 则点的坐标为. 故选：A. 2. 直线与直线的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行线的距离公式求距离即可. 【详解】由，显然与平行， 所以它们的距离为. 故选：D 3. 已知直线过，两点，且，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用斜率公式求得直线的斜率，结合，求得，得到，即可求解. 【详解】因为直线过，两点，可得， 又因为，所以，可得， 设直线的倾斜角为，则，因为，所以， 所以直线的倾斜角为. 故选：A. 4. 若为圆的弦的中点，则直线的方程是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由垂径定理可知，，可得直线斜率，及直线方程. 【详解】由圆，得， ， 由垂径定理可知， 所以直线斜率满足，即， 所以直线的方程为：，即， 故选：D. 5. 过点引直线，使，两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】就直线与平行或过的中点可求直线的方程. 【详解】若过的直线与平行，因为， 故直线的方程为：即. 若过的直线过的中点，因为的中点为，此时， 故直线的方程为：即. 故选：D. 6. 已知、、三点不共线，点在平面外，点满足，则当点、、、四点共面时，实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，利用空间向量的基本定理可求出的值. 【详解】因为、、三点不共线，点在平面外，点满足， 设， 由题意可知、、不共面，所以，故. 故选：A. 7. 四棱锥中，，则这个四棱锥的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出平面的法向量，计算法向量与的夹角得出与平面的夹角，从而可求出到平面的距离． 【详解】解：设平面的法向量为，，，则， ，令可得，，即，2，， ， 设与平面所成角为，则， 于是到平面的距离为，即四棱锥的高为． 故选：． 【点睛】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，属于基础题． 8. 在棱长为2的正方体.中，点P满足且，则下列说法错误的是（ ） A. 若，则平面 B. 若，则 C. 若则到平面的距离为 D. 若时，直线与平面所成角为，则 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，然后利用向量平行、向量垂直的坐标表示、以及空间向量夹角的余弦公式、线面角等知识逐项判断计算即可. 【详解】以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则， 所以. 因为，所以，所以. 对于A： 因为，设平面的法向量为， 则满足，则有，令， 则，所以. 因为，， 所以，所以与平面的法向量垂直， 所以与平面平行，所以A正确； 对于B： 因为，， 所以，所以不垂直，所以B错误； 对于C： 因为，设平面的法向量为， 则满足，则有，令， 则，所以. 所以. 所以点到平面的距离为，所以C正确； 对于D： 由C可知，， 所以直线与平面所成角. 因为，所以， 因为，当时，. 当时，，根据基本不等式的性质可得 ，当且仅当时等号成立. 所以，所以， 综上可知，所以D正确. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知直线，则（ ） A. 恒过点 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，不经过第三象限 【答案】BD 【解析】 【分析】对于选项A，将直线的方程化为，再由可求得定点； 对于选项B，通过斜率相等可以求解； 对于选项C，通过斜率之积等于可以求解； 对于选项D，将直线化为斜截式，再根据斜率和截距建立不等式可以求解. 【详解】直线，则， 由，得，所以恒过定点，所以A错误； 由可得：，所以，B正确； 由可得：，，所以C错误； 由，当时，，不过第三象限； 当时，，不过第三象限，只需要，解得， 所以的取值范围为，所以D正确； 故选：BD. 10. 已知向量，，则下列说法不正确的是（ ） A. 向量与向量共面 B. 向量在向量上的投影向量为 C. 若两个不同的平面的法向量分别是，则 D. 若平面的法向量是，直线的方向向量是，则直线与平面所成角的余弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量的基本定理，可判定A错误；根据投影向量的求法，可判定B正确；根据，可判定C错误；根据线面角的空间的向量求法，可判定D错误. 【详解】对于A中，设，可得， 此时，方程组无解，所以向量与向量不共面，所以A错误； 对于B中，由向量， 可得向量在向量上的投影向量为，所以B正确； 对于C中，若两个不同的平面的法向量分别是， 因为，所以与不垂直，所以平面与平面不垂直，所以C错误； 对于D中，若平面的法向量是，直线的方向向量是， 设直线与平面所成角为，其中，则， 所以，所以D错误. 故选：ACD. 11. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（ ） A. B. C. 的长为 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】AB选项，利用空间向量基本定理进行推导即可；C选项，在B选项的基础上，平方后计算出，从而求出；D选项，利用向量夹角的余弦公式进行计算. 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A选项，，A错误， 对于B选项，，B正确： 对于C选项，，则， 则，C错误： 对于，则，D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，向量，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量垂直、平行的坐标表示求出的值，再计算的模长即可. 【详解】，，解得. ，，解得. 则，，. . 13. 已知点在圆内，则实数m的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次方程表示圆以及点在圆内，列出不等式，即可求得答案. 【详解】由于圆，即， 故满足，则； 又点在圆内，故， 即，解得， 综上所述可知， 故答案为： 14. 设直线与直线的交点为P，则P到直线的距离的最大值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的坐标，再求出直线所过的定点，则所求距离的最大值就是的长度. 【详解】由可以得到，故， 直线的方程可整理为：，故直线过定点， 因为到直线的距离，当且仅当时等号成立， 故， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，． （1）当时，求实数x的值； （2）若向量与向量，共面，求实数x的值． 【答案】（1）或. （2）. 【解析】 【分析】（1）由空间向量的坐标运算，建立方程，求解即可； （2）设，根据空间向量的坐标线性运算建立方程组，求解即可． 【小问1详解】 解： ， 因为，所以，即，解得或； 【小问2详解】 解：因为向量与向量，共面，所以设． 因为，，所以所以实数x的值为. 16. 在平面直角坐标系中，、、． （1）求的面积； （2）判断、、、四点是否在同一个圆上？并说明理由． 【答案】（1）； （2）、、、四点共圆，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）求出的方程，可求得点到直线的距离，并求出，利用三角形的面积公式可求得结果； （2）求出的外接圆方程，将原点坐标代入圆的方程，可得结论. 【小问1详解】 解：直线的斜率为，则所在直线的方程为，即， ，点到直线的距离为， 因此，. 【小问2详解】 解：、、、四点共圆，理由如下： 设的外接圆方程为， 由已知可得，解得， 所以，的外接圆方程为， 因为，即原点在的外接圆上， 因此，、、、四点在同一个圆上. 17. 已知直线l过点． （1）若直线l在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，求直线l的方程； （2）已知的一个顶点为，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为．求所在直线的方程． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）分直线在两坐标轴上的截距为0和不为0两种情况，设出直线方程，将代入得到直线方程； （2）设点，根据已知条件可得出关于、的方程组，可得出点的坐标，并求出直线的斜率，进而可求得直线的方程. 【小问1详解】 当直线在两坐标轴上的截距为0时，设直线的方程为，， 将代入得，，解得， 故直线的方程为，即； 当截距不为0时，设直线的方程为， 将代入得，解得， 故直线的方程为，即， 所以直线的方程为或； 【小问2详解】 因为，高所在的直线方程为， 所以设直线的方程为， 将代入，得，解得， 故直线的方程为， 联立，解得，故， 设，则， 在直线上，故①， 又在上，故②， 联立①②得，，故， 所以，直线的斜率为， 所以，直线的方程为，即. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，点E为的中点. （1）证明：平面； （2）求点到直线的距离； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 证明：取的中点，连接，因为为的中点，所以， 又因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，证得且，得到以四边形为平行四边形，得出，结合线面平行的判定定理，即可得证； （2）取的中点，证得，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量，结合，即可求解； （3）由（2）中的空间直角坐标系，求得向量和平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：取的中点，连接，因为且， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 因为，所以， 又因为平面，平面，所以， 以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，则, 所以，则 可得，所以， 则点到直线的距离为. 【小问3详解】 解：由（2）中的空间直角坐标系，可得， 所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19. 如图，在长方体中，，，点E在棱AB上移动. （1）求证：. （2）当点E为棱AB的中点时，求点E到平面的距离. （3）在棱AB上是否存在点M，使平面与平面AMC所成的角为？若存在，求出AM的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 以D为坐标原点，直线DA，DC，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系. 设，， 则，，，，. 因为，所以， 所以. （2） （3） 存在，. 【解析】 【分析】（1）利用空间向量数量积为0，即可证明垂直； （2）利用空间中点到平面的距离公式求解即可； （3）利用空间向量求二面角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为E为AB的中点，所以， 从而，，. 设平面的法向量为，则， 即，得， 从而， 所以点E到平面的距离. 【小问3详解】 设这样的点M存在，且，，平面与平面AMC所成的角为， 则，，，，. 设平面的法向量为， 则， 取，得. 平面AMC的一个法向量， 所以， 由，解得. 所以满足题意的点M存在，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $