精品解析：广东省阳江市阳东正雅学校等多校2024-2025学年高二下学期3月联考数学试卷

高二数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至选择性必修第二册第4章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出两个集合，再利用交集的定义求解即可. 【详解】令，解得，故， 令，解得，故， 得到，故A正确. 故选：A 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用乘法运算化简复数，即可找出复数所对应的点. 【详解】因为，所以其对应的点位于第四象限. 故选：D 3. 随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分.某地旅游部门从2024年到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游比例，如图所示，则估计2024年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的（ ） A. 45% B. 30% C. 13.5% D. 13% 【答案】C 【解析】 【分析】根据青年人的占比和青年人中选择自助游人数的占比可得答案. 【详解】设2024年到该地旅游的游客总人数为，则游客中青年人的人数为， 其中选择自助游的青年人的人数为， 所以估计2024年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的13.5%. 故选：C 4. 已知抛物线上的点M与焦点F的距离为6，则M到y轴的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据抛物线定义可知，结合抛物线方程运算求解即可. 【详解】由抛物线可知准线为， 设， 根据抛物线的定义可知，即， 由抛物线方程可得，即， 所以M到y轴的距离为. 故选：B. 5. 在等差数列中，若，则该数列的公差为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的定义，化简方程，可得答案. 【详解】设等差数列的公差为，则， 由，则，解得. 故选：D. 6. 已知函数是定义在上的奇函数，对任意，且，都有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知确定的区间单调性，进而得到或时，或时，即可求不等式的解集. 【详解】由，且，都有，则在上单调递减， 又函数是定义在上的奇函数，则在上单调递减， 由，则，且， 故或时，或时， 所以的解集为. 故选：D 7. 设数列的前项和为，已知，则（ ） A. 数列为等比数列 B. 数列为递增数列 C. D. 数列为等差数列 【答案】C 【解析】 【分析】由，结合等比数列知识可求得的通项公式为，再由通项公式分析可得答案. 【详解】当时，得，所以. 当时，， 得，所以， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，得，故A错误. 因为是递减数列，所以B错误. 因为，所以，故C正确. 因为，所以D错误. 故选：C. 8. 已知正三棱柱的侧棱长为，底面边长为，若该正三棱柱的外接球的体积为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用球的体积公式得到，结合勾股定理得到，再构造，结合直线与椭圆的位置关系求解最值即可. 【详解】设该正三棱柱的外接球半径为，且正三棱柱的外接球的体积为， 则，解得，如图，我们作出符合题意的正三棱柱， 设球心为，底面外接圆圆心为，由正三棱台性质得，， 则由勾股定理得，即， 设，当直线与曲线相切时，最大， 联立方程得， 由，得（舍去负根）， 故的最大值为，此时，，故A正确. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在三棱锥中，，则（ ） A. B. 向量与夹角的余弦值为 C. 向量是平面的一个法向量 D. 与平面所成角的正弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由空间两点间的距离公式判断A ；利用数量积求夹角判断 B ；由数量积为0 判断 C ；求出平面的一个法向量，再由向量求夹角判断D． 【详解】 ， ，故 A 正确； ， ， ，故 B 错误； ，, ， 是平面的一个法向量，故 C 正确； 与平面 所成角的正弦值为： ，故 D 正确． 故选：ACD. 10. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.如数列，它的前后两项之差组成新数列，新数列为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.已知数列，且，则（ ） A. 数列为二阶等差数列 B C. 数列为三阶等差数列 D. 数列为二阶等差数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知关系式可推导出是等差数列，即可判断A；根据已知结论可求出数列的通项公式，即可判断B；根据高阶等差数列的定义，结合已知结论，可分别计算并判断C、D. 【详解】对于A，因为，所以，所以数列是首项为，公差为2的等差数列，所以，所以数列为二阶等差数列，故A正确； 对于B,因为， 所以，故B不正确； 对于C，因为，所以，令，则，所以数列是二阶等差数列，数列为三阶等差数列，故C正确； 因为，所以，所以数列为二阶等差数列，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知是曲线上一动点，若满足的点恰有2个，则实数的取值可能是（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】AB 【解析】 【分析】作出图形，利用代数式的几何意义可求答案. 【详解】由曲线，得，则， 所以曲线表示以为圆心，半径的半圆（轴及以上部分）. 设直线：，因为，所以， 所以表示点到直线的距离为，即只有2个点到直线的距离为， 所以圆心到直线的距离，解得. 故选：AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆的离心率为，则的长轴长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，利用离心率计算的值即可得到结果. 【详解】由题意得，， ∴， ∴椭圆离心率，解得， ∴， ∴的长轴长为. 故答案为：. 13. 已知函数的图象关于直线对称，则在上的值域为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对称轴求得，再由正弦型函数的性质求区间值域. 【详解】由题设，则，又，所以， 所以，若，则，则， 所以在上的值域为. 故答案为： 14. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类.如图，第一行的称为三角形数，第二行的称为五边形数，则三角形数的第20项为__________，五边形数的第24项为__________. 【答案】 ①. 210 ②. 852 【解析】 【分析】由题意，观察规律，利用等差数列的求和公式，可得答案. 【详解】三角形数的第1项为1，第2项为，第3项为， 第4项为， 因此第20项为. 五边形数的第1项为1，第2项为， 第3项为， 第4项为， 因此第24项为. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积为. （1）求A； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据面积公式可得，再结合辅助角公式运算求解； （2）利用余弦定理求边，进而可得面积. 【小问1详解】 由题意可知：，即， 整理可得， 且，则， 可得，所以. 【小问2详解】 由余弦定理可得：，即， 整理可得，解得或（舍去）， 所以的面积. 16. 已知是数列的前项和，且． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用可得最后一项，再检验首项，即可得通项公式； (2)利用裂项相消法即可求和. 【小问1详解】 由， 当时，， 当时，可得， 两式相减得：，所以有， 也符合上式， 所以； 【小问2详解】 当时，有 当时，有， 所以有 . 17. 如图，四边形为正方形，四边形为直角梯形，，，，，平面平面. （1）证明：. （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直证明线面垂直，结合已知构建合适的空间直角坐标系，应用向量法证明线线垂直； （2）根据（1）的空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值. 【小问1详解】 由四边形为正方形，即， 面面，面面，面， 所以面，又四边形为直角梯形，，， 所以可以构建如下图示的空间直角坐标系，则， 故，所以，故. 【小问2详解】 显然面的一个法向量为， 若是面的一个法向量，则， 取，则，故， 所以平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知为双曲线：的左顶点，F为双曲线的右焦点，. （1）求双曲线的方程. （2）已知直线：与双曲线交于A，B两点. （i）求m取值范围. （ii）设直线的斜率为，直线的斜率为，试问是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）是定值，定值为 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出关于方程，代入计算，即可得到结果； （2）（i）设，，联立直线与双曲线方程，结合判别式运算求解；（ii）结合韦达定理代入计算，即可证明. 【小问1详解】 由题意可知：，且， 结合，解得， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 （i）设，， 联立方程，消去x得， 由题意得且，解得或，， 所以m的取值范围为； （ii）由（i）可知，. 因为为双曲线的左顶点，则，可得，， 则 ， 故是定值，该定值为. 19. 已知非常数数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对给定条件合理变形得到，再移项求出即可. （2）利用给定条件求出，再利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 因为，所以， 得到，即， 因为，所以，得到. 因为，所以 ，则. 【小问2详解】 因为， 所以. 当时，， 当时，， 则，故（时不满足此式）. 当时，，当时，， ， 两式相减得， ， 故. 因为当时，也符合此式，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至选择性必修第二册第4章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分.某地旅游部门从2024年到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游比例，如图所示，则估计2024年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的（ ） A. 45% B. 30% C. 13.5% D. 13% 4. 已知抛物线上的点M与焦点F的距离为6，则M到y轴的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 4 5. 在等差数列中，若，则该数列的公差为（ ） A B. C. 3 D. 6. 已知函数是定义在上的奇函数，对任意，且，都有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 设数列的前项和为，已知，则（ ） A. 数列为等比数列 B. 数列为递增数列 C. D. 数列为等差数列 8. 已知正三棱柱的侧棱长为，底面边长为，若该正三棱柱的外接球的体积为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在三棱锥中，，则（ ） A. B. 向量与夹角的余弦值为 C. 向量是平面的一个法向量 D. 与平面所成角的正弦值为 10. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.如数列，它的前后两项之差组成新数列，新数列为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.已知数列，且，则（ ） A. 数列为二阶等差数列 B. C. 数列为三阶等差数列 D. 数列为二阶等差数列 11. 已知是曲线上一动点，若满足的点恰有2个，则实数的取值可能是（ ） A. 2 B. C. D. 3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆的离心率为，则的长轴长为__________. 13. 已知函数的图象关于直线对称，则在上的值域为________. 14. 传说古希腊毕达哥拉斯学派数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类.如图，第一行的称为三角形数，第二行的称为五边形数，则三角形数的第20项为__________，五边形数的第24项为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积为. （1）求A； （2）若，，求面积. 16. 已知是数列的前项和，且． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 17. 如图，四边形正方形，四边形为直角梯形，，，，，平面平面. （1）证明：. （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知为双曲线：的左顶点，F为双曲线的右焦点，. （1）求双曲线的方程. （2）已知直线：与双曲线交于A，B两点. （i）求m的取值范围. （ii）设直线的斜率为，直线的斜率为，试问是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 19. 已知非常数数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$