精品解析：山西省部分学校2025届高三下学期3月联考数学试卷

绝密★启用前 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 样本数据25，17，26，31，29，18，28，40的中位数为（ ） A. 31 B. 29 C. 30 D. 27 【答案】D 【解析】 【分析】首先将样本排序，再根据中位数定义，即可求解. 【详解】样本数据按照从小到大的顺序排列为17，18，25，26，28，29，31，40，中间的两个数为26，28，故中位数为． 故选：D 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义即可求解. 【详解】因为，，故． 故选：B 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算，结合复数的模和共轭复数的定义，即可求解. 【详解】因为，所以． 故选：C. 4. 已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由时的解析式求出，然后再根据函数的奇偶性即可求出答案. 【详解】因为函数是定义域为的奇函数，故， 又因为当时，，故，所以． 故选：A. 5. 已知向量，满足，，且与的夹角为，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的计算法则即可求解. 【详解】因为向量，，且与的夹角为， 故. 故选：B. 6. 已知球的半径和圆锥的底面半径相等，且圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则球与圆锥的体积之比为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用弧长公式用圆锥底面圆半径表示其母线，再利用球与圆锥体积公式列式计算. 【详解】设球的半径和圆锥的底面半径均为，圆锥的母线长为， 由圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，得，则， 所以球的体积与圆锥的体积之比为. 故选：C 7. 已知函数的图像关于点对称，则函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】先利用正弦函数对称中心性质，得到与的关系，变形为.再结合的范围，解不等式确定的值为.接着把代入表达式求出.最后根据正弦函数周期公式求周期，再利用周期是周期一半的性质，求出的周期. 【详解】因为函数的图像关于点对称， 故，即，，故， ，则，且当时，，故的最小正周期为，的最小正周期为． 故选：A. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的一条直线与的右支交于，两点，且，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过设未知数表示出双曲线上点到两焦点的距离，利用双曲线定义建立等式，再结合勾股定理求出相关线段关系，进而求得双曲线的离心率. 【详解】因为，且， 设，，，，，， 由双曲线的定义可得，故，，，，，，． 设，在中，， 即，故，所以的离心率为． 故选： D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用不等式性质推理，结合特殊值法验证，逐个判断正误即可. 【详解】因为，，故，所以，故A正确； 不妨取，，则，故B错误； 因为，，所以，即，即，故C正确； 不妨取，，则，故D错误． 故选：AC. 10. “黄金分割”体现了和谐之美．把大小为的角分为不等的两个角，用表示较小的角，若满足，则称为黄金分割角．许多植物相继出现的叶片之间的夹角恰好等于黄金分割角，如图中编号相邻的叶片之间的夹角都等于黄金分割角，这种排布不仅是自然界和谐之美的体现，还可以增加叶片的受光面积．对于黄金分割角，下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可得，结合每个选项计算判断其正误即可得结论. 【详解】因为，故， 是把大小为的角分为不等的两个角中较小的角，故，， 易知，故，，故A正确； 由可得，，故，故B错误； 由可得，，故， 即，故C正确； 由可得，，故①， ②，由①，②可知，故D正确． 故选：ACD. 11. 空间个点满足任意三点不共线，任意四点不共面，将所有的点两两相连，并用红、蓝两种颜色将所有相连得到的线段染色（一条线段只染一种颜色）．对于由上述线段构成的所有三角形和三棱锥，下列说法中正确的有（ ） A. 若，则可能存在任意2条没有公共点的棱不是同一种颜色的三棱锥 B. 若，则一定存在3条边是同一种颜色的三角形 C. 若，则可能存在任意三角形的3条边不是同一种颜色的情况 D. 若，则一定存在至少有4条棱是同一种颜色的三棱锥 【答案】AD 【解析】 【分析】根据的取值、根据染色的要求进行分析，从而确定正确答案. 【详解】若，4点仅能构成一个三棱锥，记为， 不妨把，，染成红色，把，，染成蓝色， 则满足要求，故A正确； 若，设这5个点分别为，如图，实线表示红色线段， 虚线表示蓝色线段，则存在三角形的3条边不是同一种颜色的情况，故B错误； 若，设这6个点分别为， 考虑由一点引出5条线段，，，，， 则至少有3条线段是同色，不妨设，，为红色，，为蓝色． 对于的三条边，若有一条边为红色（不妨设为红色）， 则的3条边都是红色，若任意一条边都为蓝色， 则的三条边都是蓝色， 故一定存在一个三角形的3条边都是同一种颜色的情况，故C错误； 若，设这8个点分别为，从中任取6个点，则由上可知， 这6个点所构成的三角形中一定存在3条边是同一种颜色的三角形， 不妨设的3条边都是红色，则以中一点为顶点， 以为底面的三棱锥中，仅当棱都是蓝色时， 在三棱锥的所有棱中恰有3条是红色，3条是蓝色， 否则存在某个三棱锥至少有4条棱是红色的情况， 但如果棱都是蓝色，则在三棱锥中， 棱，，，是蓝色，故无论棱是何种颜色， 三棱锥至少有4条棱是蓝色， 所以不存在一个三棱锥的6条棱恰有3条棱是红色，3条棱是蓝色的情况，故D正确． 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理即可求解. 【详解】因为，，，由正弦定理可知，，即， 故． 故答案为：. 13. 已知为椭圆上一动点．设点，，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用椭圆的定义，得到，从而可求解. 【详解】根据题设可知，为椭圆的右焦点，设为椭圆的左焦点，则， 所以，当，，三点共线时等号成立． 又，故，即的最小值为． 故答案为：． 14. 已知和分别是函数的极大值点和极小值点．若在区间单调，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得方程有两个解，可得或，分和两种情况结合的单调性可得，利用根与系数的关系结合换元法可求得的取值范围. 【详解】． 若和分别为函数的极大值点和极小值点，则方程有两个解， 即，故或． （i）当时，在单调递减，且， 故当时，，故此时满足在区间单调， 又，故； （ii）当时，，，且， 故，若在区间单调，则只能单调递减，故，即． 综上，的取值范围是． 由上可知，，， 设，则， 当时，因为，故， 此时，故，即，故； 当时，，，故，解得． 综上，的取值范围是． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，多面体中，，底面是矩形，为的中点． （1）证明：平面； （2）若，，侧面是边长为1的正三角形，且平面平面，求二面角的正切值． 【答案】（1） 如图，连接交于点，连接．因为是矩形，故为的中点． 又因为为的中点，故．又平面，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据中位线可得线线平行，结合线面平行的判定即可求解, （2）根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而可得是二面角的平面角，利用三角形的边角关系求解，根据互余关系即可求解，或者建立空间直角坐标系，求解平面法向量，利用法向量的夹角即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法1：如图，取的中点，连接，，，易知为的中点，故， 且．因为，且，，故，且， 所以四边形是平行四边形，故． 因为是正三角形，故，又因为平面平面，平面平面，平面,故平面． 过作，过作，同理可证平面，平面， 故，是二面角的平面角． 因为侧面是边长为1的正三角形，易知为的中点，故，， 又，故，，且． 由上可知平面平面，故二面角的平面角与二面角的平面角互余， 所以二面角的正切值为． 方法2：如图，取的中点，连接，，，因为为的中点，故， 且．因为，且，，故，且， 所以四边形是平行四边形，故． 因为是正三角形，故，又因为平面平面，平面平面，故平面． 以为坐标原点，的方向为轴正方向建立空间坐标系．因为正的边长为1，且， ，故，，，，，，． 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则， 不妨取，，则，． 故，． 易知二面角为锐角，故其正切值为． 16. 为了解南、北方消费者对新能源汽车的认可度，随机对南、北方共500位消费者进行问卷调查，得到如下列联表： 对新能源汽车的认可度 合计 认可 不认可 南方消费者 150 150 300 北方消费者 75 125 合计 225 500 （1）求，； （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为南、北方消费者对新能源汽车的认可度有差异？ （3）记南、北方消费者中对新能源汽车认可的概率分别为，，给出，的估计值，并根据，求4位消费者（2位南方消费者和2位北方消费者）中认可新能源汽车的人数的分布列与期望． 附：． 0.005 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）， （2）可以认为南，北方消费者对新能源汽车的认可度有差异 （3） 的分布列为： 0 1 2 3 4 ， 【解析】 【分析】（1）根据列表计算求解； （2）先计算，再与临界值比较即可判断； （3）先应用频率计算，，再结合独立事件概率乘积公式计算概率再列出分布列，再应用公式计算期望即可. 【小问1详解】 由列联表得，． 【小问2详解】 ． 由于，所以根据小概率值的独立性检验，可以认为南，北方消费者对新能源汽车的认可度有差异． 【小问3详解】 南、北方消费者中对新能源汽车认可的频率分别为，，因此，的估计值分别为，． 4位消费者（2位南方消费者和2位北方消费者）中认可新能源汽车的人数， 则， ， ， ， ． 故的分布列为： 0 1 2 3 4 故． 17. 已知抛物线的焦点为，过的一条直线与交于，两点，且与的准线交于点． （1）若的纵坐标为2，求； （2）已知为坐标原点，过且平行于的直线与直线，分别交于，两点，证明：为线段的中点． 【答案】（1） （2）证明: 设的方程为， 由得， 故根据（1）中所设，的坐标有，， 又易知，故直线的斜率为， 直线的方程为，直线的方程为， 与直线的方程联立得， 同理得． 故，，代入，， 得，， 故为线段的中点． 【解析】 【分析】（1）求出的坐标，求出直线的方程，设，，根据韦达定理求出即可求解； （2）设的方程为，联立求出和，求出，求出直线的斜率为，求出直线的方程和直线的方程，与直线的方程联立求得，同理得到点，求出即可求解. 【小问1详解】 若的纵坐标为2，可知的坐标为， 又，故直线的方程为， 由得， 设，，则， 故由抛物线的定义可知，； 【小问2详解】 略. 18. 已知函数，为的导数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论零点的个数； （3）设为的零点，证明：当时，． 【答案】（1） （2） 当时，没有零点；当时，有一个零点；当时，有两个零点． （3） （i）若，由（2）可知，在区间没有零点，且， 故在区间单调递增，，且此时． 因为，故． 设，则，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，故． 故当时，． （ii）若，由（2）可知，在区间存在一个零点， 即在存在唯一极大值点，故当时，． 由（2）可知，，且， 故当时，都有． 又因为，且在区间单调递增， 故存在唯一零点，且满足． 设， 则，． 由上可知，在区间单调递减，且， 故，此时也有． 综上，由（i），（ii）可知，当时，． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率即可求得切线方程； （2）由题意得，等价于在零点的个数，分，两种情况判断单调性，进而可得零点个数； （3）（i）若，结合（2）的单调性，可得，可得，构造函数，求导可得结论；（ii）若，由（2）可知，在区间存在一个零点，可得，可得，进而构造函数，进而有，，可得结论. 【小问1详解】 当时，，则， 故，，曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 因为，且，故零点的个数等价于函数在零点的个数． 当时，，没有零点． 当时，，令，则， 且当时，，单调递减，当时，，单调递增． 又，当时，，此时没有零点； 当时，，此时有一个零点． 若，则，又，，， 结合的单调性可知，在区间和各恰有一个零点， 即在区间存在一个零点，在区间存在一个零点． 综上，当时，没有零点；当时，有一个零点；当时，有两个零点． 【小问3详解】 略 19. 设为不小于6的整数，数列和满足，且．设，区间，定义为的长度，且．规定．已知区间，． （1）若，，，，求，； （2）设，证明： （i）存在和，且，使得； （ii）若，，则对任意和，． 【答案】（1）， （2）（i） 若存在，，则，， 又，故，取，，则命题成立． 若，考虑如下个区间：，，，和，，，，不妨设它们中是长度最小的区间（也可以设是长度最小的区间），，且记其长度为． 故， 同理． 又因为，故． 所以． 故对于区间和，有，且易知， 故，取，，则命题得证． （ii） 设，，由，可知，，即． 根据题意有，．记为中最大的数，其中，． 又，故可得． （a）若，则 ． 又因为，故，即， 所以，即． （b）若，则，此时也有． 此外，对于，，，同上有，即． 故． 综上，． 【解析】 【分析】（1）利用定义计算即可求解； （2）（i）若存在，，可得，若，考虑如下个区间：，，，和，，，，结合定义计算即可；（ii）设，，可得，求得，计算可得，进而可得结论. 【小问1详解】 ，，，，，， 故，． ，，故． 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 样本数据25，17，26，31，29，18，28，40的中位数为（ ） A. 31 B. 29 C. 30 D. 27 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，满足，，且与的夹角为，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6. 已知球的半径和圆锥的底面半径相等，且圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则球与圆锥的体积之比为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 7. 已知函数的图像关于点对称，则函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 或 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的一条直线与的右支交于，两点，且，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，，则（ ） A. B. C. D. 10. “黄金分割”体现了和谐之美．把大小为的角分为不等的两个角，用表示较小的角，若满足，则称为黄金分割角．许多植物相继出现的叶片之间的夹角恰好等于黄金分割角，如图中编号相邻的叶片之间的夹角都等于黄金分割角，这种排布不仅是自然界和谐之美的体现，还可以增加叶片的受光面积．对于黄金分割角，下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 空间个点满足任意三点不共线，任意四点不共面，将所有的点两两相连，并用红、蓝两种颜色将所有相连得到的线段染色（一条线段只染一种颜色）．对于由上述线段构成的所有三角形和三棱锥，下列说法中正确的有（ ） A. 若，则可能存在任意2条没有公共点的棱不是同一种颜色的三棱锥 B. 若，则一定存在3条边是同一种颜色的三角形 C. 若，则可能存在任意三角形的3条边不是同一种颜色的情况 D. 若，则一定存在至少有4条棱是同一种颜色的三棱锥 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，，，，则________． 13. 已知为椭圆上一动点．设点，，则的最小值为________． 14. 已知和分别是函数的极大值点和极小值点．若在区间单调，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，多面体中，，底面是矩形，为的中点． （1）证明：平面； （2）若，，侧面是边长为1的正三角形，且平面平面，求二面角的正切值． 16. 为了解南、北方消费者对新能源汽车的认可度，随机对南、北方共500位消费者进行问卷调查，得到如下列联表： 对新能源汽车的认可度 合计 认可 不认可 南方消费者 150 150 300 北方消费者 75 125 合计 225 500 （1）求，； （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为南、北方消费者对新能源汽车的认可度有差异？ （3）记南、北方消费者中对新能源汽车认可的概率分别为，，给出，的估计值，并根据，求4位消费者（2位南方消费者和2位北方消费者）中认可新能源汽车的人数的分布列与期望． 附：． 0.005 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 已知抛物线的焦点为，过的一条直线与交于，两点，且与的准线交于点． （1）若的纵坐标为2，求； （2）已知为坐标原点，过且平行于的直线与直线，分别交于，两点，证明：为线段的中点． 18. 已知函数，为的导数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论零点的个数； （3）设为的零点，证明：当时，． 19. 设为不小于6的整数，数列和满足，且．设，区间，定义为的长度，且．规定．已知区间，． （1）若，，，，求，； （2）设，证明： （i）存在和，且，使得； （ii）若，，则对任意和，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $