精品解析：广东省佛山市南海外国语高级中学2024-2025学年高一下学期一检考试（3月）数学试题

南海外国语高级中学2024-2025学年第二学期一检考试 高一年级数学科试题 命题人：刘学平 审题人：杨盛彪 （全卷150分，考试时间120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，的夹角为，且，，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由数量积公式直接得答案. 【详解】因为向量，的夹角为，且，， 则. 故选：A 2. 下列选项中，值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合选项逐一求解结果可得答案. 【详解】对于A，，不正确； 对于B，，不正确； 对于C，，正确 对于D，，不正确. 故选：C 3. 在平行四边形中，对角线，给出以下结论： ①； ②； ③； ④ 其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量的加减法法则，可逐一判断结论. 【详解】由题意，，故①正确；，故②正确； ,故③正确；，故④错误. 所以正确结论的个数是3. 故选：C. 4. 在菱形中，，对角线，给出以下结论： ①与是平行向量； ②与是共线向量； ③ ④ 其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行向量（共线向量）的定义即可判断. 【详解】对于①，因为和在同一条直线上，根据平行向量的定义，平行向量又称共线向量，方向相同或相反，正确； 对于②，因为四边形是菱形，所以，根据平行向量的定义，平行向量又称共线向量，方向相同或相反，正确； 对于③，在菱形中，对角线，所以为等边三角形，则,所以，正确； 对于④，不平行，所以与不共线，错误. 故选：C. 5. 中，角，，的对边长分别为，，.若，，，则（ ） A. 10 B. 5 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先应用两角和差正弦结合诱导公式求解，再应用正弦定理求解. 【详解】因为，，，所以， 则， 由正弦定理得，所以. 故选：B. 6. 在中，设，，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的减法结合已知等式计算求解. 【详解】在中，设，， 因为，，所以， 即得，即 则. 故选：B. 7. 设的内角，，的对边分别为，，.已知，，，则的面积是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理，可化为，将其代入由余弦定理列出的，结合题中所给，，可求出，.由求得，最终可求出. 【详解】，则由正弦定理得， 又，， 由余弦定理 得，， ，， 由得， . 故选：A. 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查了三角形的面积公式，属于中档题. 8. 将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.再将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用伸缩变换和平移变换即可求得. 【详解】函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到， 再向右平移个单位长度，得到. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，下列判断正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为； B. 函数的图象关于点对称： C. 函数的最大值为2； D. 函数的图象关于直线对称. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先将函数化简，再根据余弦函数的周期性，对称性和最值逐一判断即可. 【详解】， 对于A，函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，因为， 所以函数的图象关于点对称，故B正确； 对于C，函数的最大值为，故C错误； 对于D，因为， 所以函数的图象关于直线对称，故D正确. 故选：ABD. 10. 若，则的一个可能的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简可得,进而计算可得,根据选项可得结果. 【详解】因为， 且， 所以,解得： ,. 所以的一个可能的值是,. 故选：AB 11. 已知函数的部分图象如图所示，其图象最高点和最低点的横坐标分别为和，且，则下列判断正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为； B. C. 函数的最大值为2； D. 为偶函数 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，结合五点法作图求出函数的解析式，再逐项判断. 【详解】依题意，函数的最小正周期，解得， ，又，则， ，解得，函数， 对于A，函数的最小正周期为，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，函数的最大值为2，C正确； 对于D，是奇函数，D错误. 故选：BC 三、填空题：共3小题，每小题5分，第14题第一空2分，第二空3分，共15分. 12. 已知函数，则______ 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的周期为求解. 【详解】因为函数的周期为，且， 所以， . 故答案为： 13. 点是半径的圆周上的点它从初始位置开始，按逆时针方向以角速度匀速转动，则点的纵坐标关于时间的函数关系式为：______ 【答案】，. 【解析】 【分析】设点P的纵坐标关于时间（单位：）的函数关系式为，求出的值，时，射线可视角的终边，结合三角函数的定义可得出函数解析式. 【详解】设点P的纵坐标关于时间（单位：）的函数关系式为， 由题意可得，， 时，射线可视角的终边，则,. 故答案为：，. 14. 已知向量，满足：，，，则______；向量与的夹角为：______ 【答案】 ①. 2 ②. ＃＃ 【解析】 【分析】先结合，，求出，再由即可求得第一问，由向量的数量积公式即可直接求得第二问. 【详解】因为，所以， 又因为，，所以， ； 由向量的数量积公式得：， 由于向量夹角的范围为，所以与的夹角为， 故答案为：2，. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在长方形网格中，向量，满足：，，向量，. （1）在图中，以为起点作向量，并求； （2）若与共线，求实数的值； （3）若与垂直，求实数的值. 【答案】（1） ； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形法则作出作向量，再由求解； （2）根据与共线，利用共线向量定理求解； （3）根据与垂直，由求解. 【小问1详解】 如图所示： ； 【小问2详解】 因为，，且与共线， 所以 ，解得； 【小问3详解】 因为，，且与垂直， 所以， ， ， 解得. 16. 中，角，，的对边长分别为，，.已知，. （1）求的外接圆半径； （2）若，求的值； （3）求的值. 【答案】（1）； （2）； （3）7 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理求解； （2）利用正弦定理求解. （3）由三角函数的定义求解. 【小问1详解】 因为，， 所以 的外接圆半径为： ； 【小问2详解】 由（2）得 ； 【小问3详解】 如图所示： 作BC边上的高AD， 则， 所以. 17. 已知函数. （1）若，求的对称轴方程； （2）若的最大值为，且，求的值； （3）若是的对称中心，求的取值集合. 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）应用两角差的正弦公式化简，再结合辅助角公式化简得出正弦函数对称轴求解； （2）应用两角和正弦公式结合不等式关系计算求解； （3）根据对称中心定义结合两角和差正弦余弦计算得出，再结合正弦函数的性质求解. 【小问1详解】 ， ， 由，， 得的对称轴方程为：，. 【小问2详解】 因为，所以， 所以 令，得，即 ，或 【小问3详解】 由是的对称中心得： ， ，即 或，， 即或， 故的取值集合为 18. 中，角，，的对边长分别为，，.且. （1）求； （2）若，的面积为，求的值； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2）8 （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再借助辅助角公式求得，可求角； （2）由（1）的结论，利用三角形面积公式、余弦定理求出即可作答． （3）运用正弦定理和两角和差化积公式，以及余弦函数性质，即可得到所求范围； 【小问1详解】 由正弦定理：，， 代入化简得： 将代入上式化简得： ，，. 即，， 由，得，即. 【小问2详解】 ，则，，即， 由余弦定理：，故 ，将代入得：， ； 【小问3详解】 若，由正弦定理：， ，同理，， 又， 又，，， 故，即的取值范围是. 19. 已知甲、乙两车间的污水瞬时排放量（单位：）关于时间（单位：）的关系均近似地满足函数.其图象如图所示： （1）根据图象求函数解析式； （2）若甲车间先投产，1h后乙车间再投产，求两车间同时投产时的最大污水排放量； （3）受工厂污水处理能力的影响，环保部门要求两车间任意时刻的污水排放量之和不超过，若甲车间先投产，为满足环保要求，乙车间比甲车间至少需推迟多少小时投产？ 【答案】（1） （2）m3 （3）推迟2小时 【解析】 【分析】（1）利用图象可得，再将点代入即可求； （2）构造时刻的污水排放量，利用两角和差的余弦公式以及辅助角公式化简即可； （3）设乙车间比甲车间推迟小时投产，再构造时刻的污水排放量，化简解不等式即可. 【小问1详解】 由图可得，， ，， 将代入，得， 又，， ， 所求函数的解析式为； 【小问2详解】 两车间同时投产时刻的污水排放量为甲、乙两车间污水排放量之和， 此时甲车间污水排放量为，乙车间污水排放量为， 故时刻的污水排放量 ， ，. 故两车间同时投产时的最大污水排放量为m3； 【小问3详解】 设乙车间比甲车间推迟小时投产，因其周期为，故， 故时刻的污水排放量， ， ， ，即， 则，， 由，故，结合余弦函数图象得，得， 故为满足环保要求，乙车间至少需比甲车间推迟2小时投产. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南海外国语高级中学2024-2025学年第二学期一检考试 高一年级数学科试题 命题人：刘学平 审题人：杨盛彪 （全卷150分，考试时间120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，的夹角为，且，，则（ ） A. B. C. D. 3 2. 下列选项中，值为的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平行四边形中，对角线，给出以下结论： ①； ②； ③； ④ 其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 在菱形中，，对角线，给出以下结论： ①与是平行向量； ②与是共线向量； ③ ④ 其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 中，角，，的对边长分别为，，.若，，，则（ ） A. 10 B. 5 C. 2 D. 4 6. 在中，设，，若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 设的内角，，的对边分别为，，.已知，，，则的面积是 A. B. C. D. 8. 将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.再将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，下列判断正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为； B. 函数的图象关于点对称： C. 函数的最大值为2； D. 函数的图象关于直线对称. 10. 若，则的一个可能的值是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的部分图象如图所示，其图象最高点和最低点的横坐标分别为和，且，则下列判断正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为； B. C. 函数的最大值为2； D. 为偶函数 三、填空题：共3小题，每小题5分，第14题第一空2分，第二空3分，共15分. 12. 已知函数，则______ 13. 点是半径的圆周上的点它从初始位置开始，按逆时针方向以角速度匀速转动，则点的纵坐标关于时间的函数关系式为：______ 14. 已知向量，满足：，，，则______；向量与的夹角为：______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在长方形网格中，向量，满足：，，向量，. （1）在图中，以为起点作向量，并求； （2）若与共线，求实数的值； （3）若与垂直，求实数的值. 16. 中，角，，的对边长分别为，，.已知，. （1）求的外接圆半径； （2）若，求的值； （3）求的值. 17. 已知函数. （1）若，求的对称轴方程； （2）若的最大值为，且，求的值； （3）若是的对称中心，求的取值集合. 18. 中，角，，的对边长分别为，，.且. （1）求； （2）若，的面积为，求的值； （3）若，求的取值范围. 19. 已知甲、乙两车间的污水瞬时排放量（单位：）关于时间（单位：）的关系均近似地满足函数.其图象如图所示： （1）根据图象求函数解析式； （2）若甲车间先投产，1h后乙车间再投产，求两车间同时投产时的最大污水排放量； （3）受工厂污水处理能力的影响，环保部门要求两车间任意时刻的污水排放量之和不超过，若甲车间先投产，为满足环保要求，乙车间比甲车间至少需推迟多少小时投产？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $