专题01 整式的乘法（考题猜想，14大题型）七年级数学下学期新教材湘教版

专题01 整式的乘法（14大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 利用幂的运算性质进行混合运算 · 题型二 幂的运算性质的逆用（易错） · 题型三 利用幂的运算性质求值 · 题型四 幂的运算性质的实际应用 · 题型五 与幂的运算相关的大小比较 · 题型六 整式乘法与加减法的混合运算（易错） · 题型七 利用整式乘法化简求值 · 题型八 整式乘法中的“不含”问题 · 题型九 利用整式乘法解决几何图形问题 · 题型十 整式乘法的规律探究题（重点） · 题型十一 利用乘法公式化简求值（易错） · 题型十二 巧用乘法公式计算（高频） · 题型十三 运用乘法公式说理（难点） · 题型十四 运用乘法公式解决几何图形问题（难点） 题型一 利用幂的运算性质进行混合运算 1．（2023·湖南·中考真题）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据积的乘方法则计算即可． 【详解】解：． 故选：D 【点睛】此题考查了积的乘方，积的乘方等于各因数乘方的积，熟练掌握积的乘方法则是解题的关键． 2．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）下列各式中，计算过程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项和同底数幂的乘法法则，利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法法则进行判断即可． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级上·湖南张家界·期中）化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方，单项式乘单项式等知识点，熟练掌握积的乘方法则及单项式乘单项式法则是解题的关键． 先计算积的乘方，然后计算单项式乘单项式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查单项式乘以单项式，积的乘方，根据积的乘方，单项式乘以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 5．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查的是幂的乘方运算，同底数幂的乘法运算，本题根据两种幂的运算法则，先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可. 【详解】解：， 故答案为： 6．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了幂的运算，逆用同底数幂相乘法则、积的乘方法则计算即可． 【详解】解∶ ， 故答案为∶． 7．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法运算法则计算即可； （2）根据幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）． 题型二 幂的运算性质的逆用 8．（23-24八年级上·湖南邵阳·期中）已知，则 ． 【答案】32 【分析】本题考查了同底数幂相乘及幂的乘方，根据幂的乘方及同底数幂相乘的运算法则可得，进而可求解，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：移项得：， 则， 故答案为：32． 9．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）若，，则的值为 ． 【答案】45 【分析】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法的逆运算，掌握其运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法的逆运算法则进行计算即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：45． 10．（23-24七年级下·湖南永州·期中）、，则的值为 ． 【答案】 【分析】先逆用同底数幂的运算法则及幂的乘方的运算法则得，再利用已知条件即可解答．本题考查了同底数幂的运算法则，幂的乘方的运算法则，熟记同底数幂的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 11．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）已知：，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，根据进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：3． 12．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）已知，则 ． 【答案】24 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加把变为，再代入计算即可． 【详解】解：， ， 故答案为：24． 13．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）已知，，求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 【答案】(1)6 (2)9 (3)108 【分析】本题考查了同底数幂相乘以及逆运用、幂的乘方、正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可作答． （2）根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，即可作答． （3）根据同底数幂相乘的逆运用，得出，代入数值，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴原式； （2）解：∵，， ∴原式； （3）解：∵，， ∴原式． 14．（23-24七年级下·湖南邵阳·期中）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）8；（2）1025 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算和积的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂乘法的逆运算法则得到，据此代值计算即可； （2）先根据积的乘方将所求式子变形为，再根据幂的乘方的逆运算法则进一步变形为，据此代值计算即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴． （2）∵， ∴ ． 题型三 利用幂的运算性质求值 15．（23-24七年级下·湖南永州·期中）已知，则的值为（    ） A．7 B．14 C．25 D．12 【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘法运算的逆运算、幂的乘方运算的逆运算，对题中条件恒等变形后解方程即可得到答案． 【详解】解：， ，解得， 故选：C． 【点睛】本题考查整式运算，涉及同底数幂的乘法运算的逆运算、幂的乘方运算的逆运算，根据公式恒等变形是解决问题的关键． 16．（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）若，则 ． 【答案】3 【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：， ， 则． 故答案为：． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法问题，关键是根据法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加解答． 17．（24-25七年级下·湖南郴州·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】根据幂的乘方运算及同底数幂的乘法运算法则化简后直接解方程即可得到答案． 【详解】解： ， ，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查解幂形式的方程，涉及幂的乘方运算及同底数幂的乘法运算法则，熟练掌握幂的相关运算法则是解决问题的关键． 18．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）已知，则 ． 【答案】1 【分析】此题要考查了同底数幂的乘法及幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．直接利用同底数幂的乘法及幂的乘方的运算法则计算得出答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：1 19．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）若，则n等于 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可． 【详解】解：， ， ， 解得：． 故答案为：4． 题型四 幂的运算性质的实际应用 20．（23-24七年级下·湖南永州·期中）已知一个正方形的边长是，则它的面积是 （用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，以及积的乘方计算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【详解】解： 故答案为： 题型五 与幂的运算相关的大小比较 21．（24-25七年级下·湖南永州·期中）已知，，，那么a，b，c的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题应先将化为指数都为11的乘方形式，再比较底数的大小，即可确定出的大小． 【详解】解析：因为，，， 所以 ， 即． 故选：D． 【点睛】本题主要考查有理数乘方的应用，解题的关键是熟记幂的乘方的公式，注意公式的逆用． 22．（22-23七年级下·湖南永州·期中）已知，，，则 a，b，c 的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的乘方．化为同底数的幂，然后利用“底数相同，指数越大，数值就越大”“指数相同，底数越大，数值越大”解题． 【详解】解：，， 由于指数相同，底数越大，数值越大， ∴， ∵， ， 由于底数相同，指数越大，数值越大， ∴， ． 故选：D． 23．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）比较大小： ． 【答案】 【分析】根据幂的乘方进行变换即可求解； 【详解】解：，； ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查有理数的大小比较，幂的乘方，正确计算是解题的关键． 24．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）已知，，，试比较a，b，c的大小并用“”把它们连接起来： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，先根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算法则得到，，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 题型六 整式乘法与加减法的混合运算 25．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的混合运算以及积的乘方的逆运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先进行同底数幂相乘和幂的乘方，再合并同类项，即可作答． （2）先整理原式得，再根据积的乘方的逆运算进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： （2）解： ． 26．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了幂的运算，包括幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方，熟练掌握知识点是解题的关键．先利用幂的运算，分别化简每一项，再进行合并同类项即可． 【详解】解： 27．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算单项式乘单项式、幂的乘方及积的乘方，最后算加法，即可得出答案； （2）先算积的乘方，再算单项式乘单项式，即可得出答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查单项式乘单项式、同底数幂的乘法、幂的乘方及积的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 题型七 利用整式乘法化简求值 28．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先算多项式乘多项式，以及积的乘方，再合并同类项，进行化简，然后代值计算即可． 【详解】原式 ， 当时， 原式 ． 【点睛】本题考查整式的化简求值．熟练掌握多项式乘多项式，积的乘方以及合并同类项的法则，正确的化简，是解题的关键． 29．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了整式的化简求值．熟练掌握整式的化简求值是解题的关键． 先计算单项式乘多项式，然后合并同类项可得化简结果，最后代值求解即可． 【详解】解： ， 将代入得，原式． 30．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）化简求值：，其中． 【答案】， 【分析】此题主要考查了整式的混合运算——化简求值，解题的关键是掌握整式的混合运算法则．根据整式的混合运算法则将式子化简，再代入值计算即可． 【详解】解： 当时，原式． 题型八 整式乘法中的“不含”问题 31．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）关于的多项式乘多项式，若结果中不含有的一次项，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘以多项式，按照多项式乘以多项式的运算法则进行计算，再根据结果中不含有x的一次项得出，求出结果即可． 【详解】解： ， ∵关于x的多项式乘多项式的结果中不含有x的一次项， ， 解得，， 故答案为：． 32．（23-24七年级下·湖南永州·期中）若的乘积展开式中不含项，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，利用多项式乘多项式的法则进行运算，再结合结果不含项，则其相应的系数为，从而可求解，解题的关键是掌握运算法则及明确结果不含项，则其相应的系数为． 【详解】解： ， ， ， ∵乘积展开式中不含项， ∴，解得：， 故答案为：． 33．（23-24七年级下·湖南郴州·期中）要使的展开式中不含的项，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了单项式乘多项式，直接利用单项式乘多项式运算法则化简，进而得出项的系数为，即可得出答案，正确掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：， ∵展开式中不含的项， ∴， ∴， 故答案为：． 34．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）要使中不含项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式．先计算多项式乘多项式，再使项系数为0即可． 【详解】解： ， ∵不含项， ∴， 解得， 故答案为：． 35．（23-24七年级下·湖南永州·期中）已知的结果中不含的二次项，求的值． 【答案】1 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解答此题的关键．根据题意中的二次项为，，即可求得的值， 【详解】解：原式 原式结果中不含的二次项 ， 当时 题型九 利用整式乘法解决几何图形问题 36．（23-24七年级下·湖南永州·期中）有甲、乙两个长方形纸片，边长如图所示，面积分别记为和． (1)①计算：______；______； ②用“”，“”或“”填空：______． (2)若一个正方形纸片的周长与甲长方形的周长相等，面积为． ①该正方形的边长是______（用含的代数式表示）； ②小方同学发现：与的差与无关，请判断小方的发现是否正确，并通过计算说明你的理由． 【答案】(1)①，；② (2)①，② 正确，理由见解析 【分析】本题考查多项式乘多项式与图形的面积问题，整式加减中的无关型问题；掌握相关运算法则，正确的列出代数式，是解题的关键． （1）①根据长方形的面积等于长乘以宽，列出代数式；②两个代数式作差判断大小即可； （2）①根据正方形的边长等于周长除以4，列出代数式即可；②用，进行判断即可． 【详解】（1）解：① ， 故答案为：，； ， ， ， 故答案为：； （2）解： ， ， ② 正确 . 理由如下： ∵ ∴ ∵与的差是4 ∴ 与的差与m无关，小方的发现正确． 37．（23-24七年级下·湖南永州·期中）类比是数学中常用的数学思想．比如，我们可以类比多位数的加、减、乘、除的竖式运算方法，得到多项式与多项式的加、减、乘、除的运算方法．例： ①    ②          ③             ④       理解应用： (1)请仿照上面的竖式计算：； (2)已知两个多项式的和为，其中一个多项式为，请用竖式的方法求出另一个多项式． (3)已知一个长为，宽为的矩形，将它的长增加8，宽增加得到一个新矩形，且矩形的周长是矩形周长的3倍（如图），求矩形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的乘除法，熟练法则是解答此题的关键． （1）根据多项式与多项式的乘法竖式的运算方法计算即可求解； （2）根据多项式与多项式的减法竖式的运算方法计算即可求解； （3）根据已知条件，先求出，再求出面积，然后分解多项式即可． 【详解】（1）解： ； （2） 另一个多项式是:； （3） 矩形的周长是矩形周长的倍 解得：， 矩形的面积为：． 38．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释．如就能用图1图形的面积表示． (1)请你写出图2所表示的一个等式：______ (2)请你画出一个图形，使它的面积能表示：． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查了多项式与多项式乘法的应用，根据等面积法建立等式是解题的关键． （1）结合图形，以及运用等面积法建立等式，即可作答． （2）模仿上述原理：运用等面积法建立等式，进行作图即可． 【详解】（1）解：依题意，∵大正方形的面积等于每个部分的面积之和， ∴， 即； （2）解：∵ ∴ 如图所示： 题型十 整式乘法的规律探究题 39．（23-24八年级上·全国·课后作业）观察下列两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若，则的值可能分别是（   ） A． B． C． D．3，4 【答案】A 【分析】本题属于规律探索题，观察已知条件得出与的值是解题的关键．观察可以得出规律：两个多项式相乘，两个多项式的一次项相乘得出运算结果的二次项，两个多项式的常数项相加得出运算结果的一次项的系数，两个多项式的常数项相乘得到运算结果的常数项．由此得到，，即可求解． 【详解】解：根据题意：，， ，， ，或，， a，b的值可能分别是，． 故选：A． 40．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）我国古代数学中的“杨辉三角”是重要的成就，它的发现比欧洲早五百年左右，（如图），这个三角形给出了的展开式（按的次数由大到小顺序排列）的系数规律．例如，第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第五行的五个数1，4，6，4，1，恰好对应着展开式中各项的系数．则展开式中各项系数的和为 ． … 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，分别求出，，，，等展开式的系数之和，进而得到规律展开式的各项系数之和为，据此规律可得答案． 【详解】解：展开式的系数和为1， 展开式的系数和为， 展开式的系数和为， 展开式的系数和为， 展开式的系数和为， ……， 以此类推，可知展开式的各项系数之和为， 由此可得，展开式的各项系数之和为， ∴展开式中各项系数的和为， 故答案为：． 41．（23-24七年级下·湖南郴州·期中）观察下列各式： (1)根据以上规律，由此归纳出一般性规律： ； (2)根据上述规律，求的值； (3)根据上述规律，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了多项式乘多项式及其规律问题，明确最后结果的最高指数比第二个括号中的最高指数多，是解题的关键． （1）由规律得出的指数为，即可得出答案； （2）将写为再根据规律计算即可； （3）根据规律分别计算和 再将原式分为两部分计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由规律得：， 故答案为：． （2）解： ． （3）解：∵ ． 题型十一 利用乘法公式化简求值 42.（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）先化简，再求值，其中x，y满足． 【答案】； 【分析】本题主要考查整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握平方差公式以及完全平方公式． 利用平方差公式以及完全平方公式以及整式的混合运算进行化简，再求出x，y的值，代入求解即可． 【详解】解： ． ∵， ∴， 解得：， 将代入得原式． 43．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【分析】本题考查完全平方公式，平方差公式，多项式乘以单项式，先根据完全平方公式，平方差公式，多项式乘以单项式的运算法则化简，再将代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 44．（2025·湖南长沙·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的混合运算的化简求值， 根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式法则计算，再代入求值即可． 【详解】解：， ， 当时，原式． 题型十二 巧用乘法公式计算 45．（22-23七年级上·湖南常德·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的应用，利用平方差公式对每一个式子因式分解，再把结果相乘即可求解，掌握平方差公式的应用是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ， ， 故答案为：． 46．（22-23七年级下·湖南永州·期中）阅读理解：引入新数，新数满足分配律、结合律与交换律，已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的应用，解题的关键是根据平方差公式对所求式子进行化简．根据平方差公式对所求式子进行化简得到，再代入值计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 原式， 故答案为：． 47．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）我们规定一种运算：，例如，，按照这种运算规定， (1)用简便方法计算：； (2)当x等于多少时，． 【答案】(1)1 (2)5 【分析】本题考查新定义运算，平方差公式，整式的混合运算，理解新定义是解题的关键． （1）利用新定义将原式变形为，再利用平方差公式进行简便运算； （2）根据新定义将原式变形为，通过整理可得一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 所以当时，． 48．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）阅读下列材料：某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式计算：．他很受启发．后来在求时，联想到“凑成”平方差公式，改造此法：将乘积式前面乘1，并且把1写成得： ． 解答问题： (1)计算：； (2)化简：． 【答案】(1) (2)当时，原式，当时，原式 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，平方差公式的应用，弄清题中的规律是解题的关键． （1）先整理，则原式为，再利用题中的规律进行计算，即可作答． （2）进行分类讨论，当或两种情况，利用题中的规律计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：当时， 原式 当时， 原式 ． 综上：当时，原式，当时，原式． 49．（23-24七年级下·湖南永州·期中）用简便方法计算 (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式： （1）先把原式变形为，再利用平方差公式求解即可； （2）利用完全平方公式把原式变形为，据此求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型十三 运用乘法公式说理 50．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）李老师给学生出了一道题：当，时，求的值．题目出完后，小聪说：“老师给的条件，是多余的．”小明说：“不给这两个条件，就不能求出结果，所以不是多余的．”你认为他们谁说的有道理？为什么？ 【答案】小聪说得有道理，理由见解析 【分析】本题主要考查多项式的乘法和合并同类项，根据题意将代数式展开，将同类项合并即可知小聪说的有道理． 【详解】解：小聪说得有道理． 则此题的结果与a、b无关． 故小聪说得有道理． 51．（23-24七年级下·湖南永州·期中）材料阅读：若一个整数能表示成（，是整数）的式，则称这个数为“完美数”． 例如：因为，所以是“完美数”；再如：因为（，是整数），所以是“完美数”． 根据上面的材料，解决下列问题： (1)试判断（，是整数）是否为“完美数”，并说明理由． (2)已知（，是整数，为常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的值，并说明理由． 【答案】(1)是“完美数”，理由见详解 (2)，理由见详解 【分析】本题主要考查了整式的运算，运用完全平方公式进行运算等知识，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据新定义“完美数”，将原式整理为两个平方和的形式，即可获得答案； （2）运用完全平方公式将整理为，再根据“完美数”的定义计算即可获得答案． 【详解】（1）解：∵ ， ∴是“完美数”； （2）∵ ， 又∵为“完美数”， ∴，解得． 52．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）定义：将二次三项式变形为的形式，我们称为配方，然后由平方具有非负性，即就可以解决很多问题，例如：把多项式配方为：． (1)把多项式配方成的形式，则________，________； (2)若多项式，． ①证明：无论取任何实数，多项式的值一定恒为正数； ②求多项式的最小值． (3)已知正整数，，满足不等式，求的值． 【答案】(1)2，1； (2)①见解析，②9 (3)1 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式并灵活运用是解题的关键． （1）根据配方法的定义配方即可； （2）①根据平方具有非负性，即可得证；②将配方成，即可确定最小值； （3）根据原式可变形得，再配方可得，再根据平方的非负性质求解即可． 【详解】（1）解： ， ，， 故答案为：2，1； （2）①证明：， 多项式的值一定恒为正数； ②解： ， 的最小值为9； （3）， ， ， ，，为正整数，所以，即， 或1或，即或5或3， 当时，或1或，则或2.5或1.5，且，，为正整数， ，，， ； 当时，，即，与题意不符，舍去； 当时，，即，与题意不符，舍去． 综上所述，． 题型十四 运用乘法公式解决几何图形问题 53．（22-23七年级下·湖南株洲·期中）阅读材料：若满足，求的值． 解：设，，则，， ． 请仿照上面的方法求解下列问题：已知正方形的边长为，．分别是，上的点，且，，长方形的面积是15，分别以，为边长作正方形，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，正确理解题目，依据题意，，，由已知条件可得，阴影部分的面积为大正方形面积减去小正方形的面积，可得，设，，则可得出，由，即可算出的值，由代入计算即可得出答案．熟练掌握完全平方公式的变式应用是解决本题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ， ． 设，， ． ， ． ． 故答案为：16． 54．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题，现有长与宽分别为，的小长方形若干个． (1)用两个这样的小长方形和两个正方形拼成如图1的大正方形，请写出图1所能解释的乘法公式； (2)用四个相同的小长方形和一个小正方形拼成图2的正方形，请根据图形写出三个代数式，，之间的等量关系式； (3)根据上面的解题思路与方法，解决下面问题： ①若，，求； ②若，，求． 【答案】(1) (2) (3)①33，②40 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景及完全平方公式，掌握完全平方公式的定义是关键． （1）图1中由两个长与宽分别为、的小长方形与一大一小两个正方形构成一个大的正方形，利用边长为正方形的面积等于两个长方形的面积加边长分别为，的正方形的面积可得； （2）图2中利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加小正方形的面积可得； （3）①利用代入求值即可， ②利用代入求值即可． 【详解】（1）解：图1中，由图可知，， 由题意得，， 即； （2）解：图2中，由图可知， 由题图可知，， 即， 故答案为：； （3）解：①，， ， ②，， ． 55．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到数学中常用到的一个公式：请解答下列问题： (1)观察图2，写出图2中所表示的等式 ； (2)已知上述等式中的三个字母，，可取任意数，若，，，且，请利用（1）所得的结论求的值； (3)如图3，将边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接，，若两正方形的边长满足，，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积． （1）由图形面积很容易得出； （2）直接套用（1）中结论即可得解； （3）由图形可发现，再将边长代入，然后利用完全平方公式变形即可得解． 【详解】（1）解：由图形可得等式：， 故答案为：． （2）解：∵，，，且， ∴ ， ∴． （3）解： ， ∵，， ∴． 56．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图，可以得到，请解答下列问题： (1)写出图所表示的数学等式 ； (2)利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，，则 ； (3)用图中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张长宽分别为、的长方形纸片拼出一个面积为的长方形，则 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方式的几何背景，灵活运用完全平方公式是解决本题的关键． （1）根据图形，可以写出相应的等式； （2）根据（1）中的结果和，，可以求得所求式子的值； （3）将展开，即可得到、、的值，再把三者相加即可解答． 【详解】（1）解：正方形的面积， 正方形的面积， ， 故答案为：； （2）解：，， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：由题可知，所拼图形的面积为：， ， ， ， ，，， ， 故答案为：． $$专题01 整式的乘法（14大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 利用幂的运算性质进行混合运算 · 题型二 幂的运算性质的逆用（易错） · 题型三 利用幂的运算性质求值 · 题型四 幂的运算性质的实际应用 · 题型五 与幂的运算相关的大小比较 · 题型六 整式乘法与加减法的混合运算（易错） · 题型七 利用整式乘法化简求值 · 题型八 整式乘法中的“不含”问题 · 题型九 利用整式乘法解决几何图形问题 · 题型十 整式乘法的规律探究题（重点） · 题型十一 利用乘法公式化简求值（易错） · 题型十二 巧用乘法公式计算（高频） · 题型十三 运用乘法公式说理（难点） · 题型十四 运用乘法公式解决几何图形问题（难点） 题型一 利用幂的运算性质进行混合运算 1．（2023·湖南·中考真题）计算：（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）下列各式中，计算过程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·湖南张家界·期中）化简： ． 4．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）计算： ． 5．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）计算 ． 6．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）计算： ． 7．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）计算： (1) (2) 题型二 幂的运算性质的逆用 8．（23-24八年级上·湖南邵阳·期中）已知，则 ． 9．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）若，，则的值为 ． 10．（23-24七年级下·湖南永州·期中）、，则的值为 ． 11．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）已知：，则 ． 12．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）已知，则 ． 13．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）已知，，求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 14．（23-24七年级下·湖南邵阳·期中）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 题型三 利用幂的运算性质求值 15．（23-24七年级下·湖南永州·期中）已知，则的值为（    ） A．7 B．14 C．25 D．12 16．（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）若，则 ． 17．（24-25七年级下·湖南郴州·期中）若，则 ． 18．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）已知，则 ． 19．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）若，则n等于 ． 题型四 幂的运算性质的实际应用 20．（23-24七年级下·湖南永州·期中）已知一个正方形的边长是，则它的面积是 （用科学记数法表示）． 题型五 与幂的运算相关的大小比较 21．（24-25七年级下·湖南永州·期中）已知，，，那么a，b，c的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 22．（22-23七年级下·湖南永州·期中）已知，，，则 a，b，c 的大小关系是（    ） A． B． C． D． 23．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）比较大小： ． 24．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）已知，，，试比较a，b，c的大小并用“”把它们连接起来： ． 题型六 整式乘法与加减法的混合运算 25．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）计算： (1) (2)． 26．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）计算： 27．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）计算： (1)； (2)． 题型七 利用整式乘法化简求值 28．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）先化简，再求值：，其中． 29．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）先化简，再求值：，其中． 30．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）化简求值：，其中． 题型八 整式乘法中的“不含”问题 31．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）关于的多项式乘多项式，若结果中不含有的一次项，则的值为 ． 32．（23-24七年级下·湖南永州·期中）若的乘积展开式中不含项，则的值为 ． 33．（23-24七年级下·湖南郴州·期中）要使的展开式中不含的项，则的值为 ． 34．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）要使中不含项，则 ． 35．（23-24七年级下·湖南永州·期中）已知的结果中不含的二次项，求的值． 题型九 利用整式乘法解决几何图形问题 36．（23-24七年级下·湖南永州·期中）有甲、乙两个长方形纸片，边长如图所示，面积分别记为和． (1)①计算：______；______； ②用“”，“”或“”填空：______． (2)若一个正方形纸片的周长与甲长方形的周长相等，面积为． ①该正方形的边长是______（用含的代数式表示）； ②小方同学发现：与的差与无关，请判断小方的发现是否正确，并通过计算说明你的理由． 37．（23-24七年级下·湖南永州·期中）类比是数学中常用的数学思想．比如，我们可以类比多位数的加、减、乘、除的竖式运算方法，得到多项式与多项式的加、减、乘、除的运算方法．例： ①    ②          ③             ④       理解应用： (1)请仿照上面的竖式计算：； (2)已知两个多项式的和为，其中一个多项式为，请用竖式的方法求出另一个多项式． (3)已知一个长为，宽为的矩形，将它的长增加8，宽增加得到一个新矩形，且矩形的周长是矩形周长的3倍（如图），求矩形的面积． 38．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释．如就能用图1图形的面积表示． (1)请你写出图2所表示的一个等式：______ (2)请你画出一个图形，使它的面积能表示：． 题型十 整式乘法的规律探究题 39．（23-24八年级上·全国·课后作业）观察下列两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若，则的值可能分别是（   ） A． B． C． D．3，4 40．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）我国古代数学中的“杨辉三角”是重要的成就，它的发现比欧洲早五百年左右，（如图），这个三角形给出了的展开式（按的次数由大到小顺序排列）的系数规律．例如，第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第五行的五个数1，4，6，4，1，恰好对应着展开式中各项的系数．则展开式中各项系数的和为 ． … 41．（23-24七年级下·湖南郴州·期中）观察下列各式： (1)根据以上规律，由此归纳出一般性规律： ； (2)根据上述规律，求的值； (3)根据上述规律，求的值． 题型十一 利用乘法公式化简求值 42.（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）先化简，再求值，其中x，y满足． 43．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）先化简，再求值：，其中． 44.（2025·湖南长沙·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 题型十二 巧用乘法公式计算 45．（22-23七年级上·湖南常德·期中）计算： ． 46．（22-23七年级下·湖南永州·期中）阅读理解：引入新数，新数满足分配律、结合律与交换律，已知，则的值是 ． 47．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）我们规定一种运算：，例如，，按照这种运算规定， (1)用简便方法计算：； (2)当x等于多少时，． 48．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）阅读下列材料：某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式计算：．他很受启发．后来在求时，联想到“凑成”平方差公式，改造此法：将乘积式前面乘1，并且把1写成得： ． 解答问题： (1)计算：； (2)化简：． 49．（23-24七年级下·湖南永州·期中）用简便方法计算 (1)； (2)； 题型十三 运用乘法公式说理 50．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）李老师给学生出了一道题：当，时，求的值．题目出完后，小聪说：“老师给的条件，是多余的．”小明说：“不给这两个条件，就不能求出结果，所以不是多余的．”你认为他们谁说的有道理？为什么？ 51．（23-24七年级下·湖南永州·期中）材料阅读：若一个整数能表示成（，是整数）的式，则称这个数为“完美数”． 例如：因为，所以是“完美数”；再如：因为（，是整数），所以是“完美数”． 根据上面的材料，解决下列问题： (1)试判断（，是整数）是否为“完美数”，并说明理由． (2)已知（，是整数，为常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的值，并说明理由． 52．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）定义：将二次三项式变形为的形式，我们称为配方，然后由平方具有非负性，即就可以解决很多问题，例如：把多项式配方为：． (1)把多项式配方成的形式，则________，________； (2)若多项式，． ①证明：无论取任何实数，多项式的值一定恒为正数； ②求多项式的最小值． (3)已知正整数，，满足不等式，求的值． 题型十四 运用乘法公式解决几何图形问题 53．（22-23七年级下·湖南株洲·期中）阅读材料：若满足，求的值． 解：设，，则，， ． 请仿照上面的方法求解下列问题：已知正方形的边长为，．分别是，上的点，且，，长方形的面积是15，分别以，为边长作正方形，则阴影部分的面积为 ． 54．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题，现有长与宽分别为，的小长方形若干个． (1)用两个这样的小长方形和两个正方形拼成如图1的大正方形，请写出图1所能解释的乘法公式； (2)用四个相同的小长方形和一个小正方形拼成图2的正方形，请根据图形写出三个代数式，，之间的等量关系式； (3)根据上面的解题思路与方法，解决下面问题： ①若，，求； ②若，，求． 55．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到数学中常用到的一个公式：请解答下列问题： (1)观察图2，写出图2中所表示的等式 ； (2)已知上述等式中的三个字母，，可取任意数，若，，，且，请利用（1）所得的结论求的值； (3)如图3，将边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接，，若两正方形的边长满足，，求阴影部分的面积． 56．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图，可以得到，请解答下列问题： (1)写出图所表示的数学等式 ； (2)利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，，则 ； (3)用图中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张长宽分别为、的长方形纸片拼出一个面积为的长方形，则 ． $$