专题10 一次函数与存在性问题-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（湘教版）

专题10 一次函数与存在性问题 题型1：一次函数与特殊三角形的存在性问题 题型2：一次函数与特殊四边形的存在性问题 题型1：一次函数与特殊三角形的存在性问题 我们将等腰直角三角板放在平面直角坐标系中进行探究． (1)操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点在原点，若顶点恰好落在点处，则点的坐标为 ； (2)类比探究：如图2，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，过点作线段且，直线交轴于点，求出的坐标及直线对应的函数表达式； (3)拓展应用：如图3，为坐标原点，的坐标为，的坐标为，过点作直线轴，已知点是直线上的一点，点在直线上运动，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)的坐标为或 【分析】（1）过作轴于，过作轴于，根据直角三角形两锐角互余和等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，，即可求解； （2）过作轴于，先求出直线与坐标轴的交点与的坐标，根据直角三角形两锐角互余和等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，，得出点的坐标，根据待定系数法求出直线对应的函数表达式，再求出直线与轴的交点坐标即可； （3）过作轴于，交直线于，根据题意，设，，①当在上方时，根据直角三角形两锐角互余和等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，，据此列出二元一次方程组，解方程组即可；②当在下方时，同理列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：过作轴于，过作轴于，如图： ∵， 即，， ∴， 在与中， ， ∴， ∵， ∴， ， ∴； 故答案为：． （2）解：过作轴于，如图： 在中，令得，令得， ∴，， 即，， ∵， 即，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线对应的函数表达式为，把，代入得， 解得：， ∴直线对应的函数表达式为； 令，得， ∴． （3）解：过作轴于，交直线于， 根据题意，设，， ①当在上方时，如图： ∵， 即，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 即， 解得， ∴的坐标为； ②当在下方时，如图： 同理可得， 解得， ∴的坐标为 综上所述，的坐标为或． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等角的余角相等，全等三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 一．解答题（共4小题） 1.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点． (1)求正比例函数与一次函数的解析式； (2)点D是直线上一点，且的面积是的面积的3倍，求点D的坐标； (3)若点E在第二象限，且是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点E的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由的面积，即可求解； （3）当为直角时，证明，得到点，当为直角时，同理可解． 【详解】（1）解：将点C的坐标代入得：，则，正比例函数的表达式为：， 由题意得：， 解得：， 故一次函数表达式为：； （2）解：由（1）知，点， 的面积，则的面积， 设点， 的面积， 解得：或， 则点或； （3）解：当为直角时，则，过点E作轴于点H， ，， ， ，， ， 则，， 则点 当为直角时， 同理可得，点， 综上，或 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、面积的计算等，分类求解是解题的关键． 2．函数的图像与轴、轴分别交于、两点，以线段为边在第一象限内作等边． (1)求点的坐标； (2)将沿着直线翻折，点落在点处，求直线的解析式； (3)在轴上是否存在，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）可先求得A、B坐标，再求得，从而可证得轴，则可求得C点坐标； （2）由对称性可知点D在y轴上，可求得D点坐标，再利用待定系数法可求得直线的解析式； （3）可设，可表示出和的长，分和三种情况，可分别得到关于t的方程，则可求得t的值，可求得E点坐标． 【详解】（1）解：在中，令可解得，令可得， ∴， ∴， 取的中点，连接，则， ∴是等边三角形， ∴ ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴轴， ∴； （2）解：∵将沿着直线翻折，点C落在点D处， ∴， ∴点D在y轴上，且， ∴， ∴可设直线解析式为， ∵， ∴， 解得， ∴直线解析式为； （3）解：假设存在E点，使为等腰三角形，其坐标为， ∵， ∴，，且， 若为等腰三角形，则有和三种情况， ①当时，则有，即，解得，此时E点坐标为； ②当时，则有，即，解得或，此时E点坐标为或； ③当时，则有，即，解得（与A点重合，舍去）或，此时E点坐标为； 综上可知存在满足条件的E点，其坐标为或或或． 【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及勾股定理、等边三角形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中证得轴是解题的关键，在（2）中求得D点坐标是解题的关键，在（3）中用E点坐标分别表示出的长是解题的关键． 3．如图，一次函数与轴，轴分别相交于点和点． (1)求点和点的坐标； (2)在轴上有一动点，若的面积为，请求出点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得是以为一腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为； (2)点的坐标为或； (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（）由一次函数与坐标轴交点坐标特点即可求解； （）设，由（）得点的坐标为，点的坐标为，则，，，然后由即可求出的值，从而求解； （）分当时和当时进行分析即可； 本题考查了一次函数的性质，等腰三角形的性质，三角形面积，掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】（1）解：由得， 当时；当时，，解得：， ∴点的坐标为，点的坐标为； （2）解：设， 由（）得点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴， ∵的面积为， ∴，即 ， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或； （3）解：存在，理由：如图， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， 当时， ∴的坐标为，的坐标为， 当时， ∴， ∴的坐标为． 4．如图，已知在平面直角坐标系中，、、． (1)求的面积； (2)在y轴上是否存在一个点D，使得是以为底的等腰三角形，若存在，求出点D坐标；若不存，说明理由． (3)在第二象限有一个，使得，请你求出的值． 【答案】(1)3 (2)存在， (3)4 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，勾股定理，等腰三角形的定义以及坐标与图形性质，熟悉相关性质是解题的关键． （1）根据，，求得的面积； （2）设，则， ，根据，，由勾股定理得 ，即 ，进而得出点坐标； （3）在轴负半轴上取点，过作轴的垂线 ，则点在该垂线上，过作，交于点，则，先求直线的表达式，再求直线的表达式即可． 【详解】（1）解：、、 ， ，， 的面积； （2）解：存在一个点，使得是以为底的等腰三角形． 如图所示，    设，则，， ，， ∴在中，， ， 解得， ； （3）解：如图示，在轴负半轴上取点，过作轴的垂线 ，则点在该垂线上， 过作，交于点，则，   、， 设直线的解析式为， 则， 解得： 直线的解析式为， 设直线解析式为， 把代入，可得 ， 解得， 直线解析式为， 当时，． 题型2：一次函数与特殊四边形的存在性问题 如图1，在平面直角坐标系中，直线与交于点，分别与轴、轴交于点、． (1)分别求出点、、的坐标； (2)若是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，设是直线上的点，在平面内是否存在其它点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)或或 【分析】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有∶一次函数与坐标轴的交点，待定系数法确定一次函数解析式，一次函数图象的交点，一次函数图象与性质，菱形的性质，坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法和菱形的性质是解答本题的关键． （1）联立两直线解析式求出点的坐标，分别令和，带入直线解析式求出点、的坐标； （2）根据在直线上，设，表示出面积，把已知面积代入求出的值，确定出坐标，利用待定系数法求出解析式即可； （3）在（1）的条件下，设是射线上的点，在平面内存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，如图所示，分三种情况考虑∶①当四边形为菱形时，由，得到四边形为正方形；②当四边形为菱形时；③当四边形为菱形时；分别求出Q坐标即可． 【详解】（1）根据，解方程组得，得， 分别令和，带入直线解析式得点、的坐标，． （2）设， 且， ， ， ， 令直线解析式为， 把，代入得： ， ， ， 直线的函数表达式为． （3）存在．如图所示： ①当四边形为菱形时， ，得四边形为正方形； ， 即． ②当四边形为菱形时， 得，带入直线的解析式， 得， ． ③当四边形为菱形时， ， ， 综上得点的坐标为或或． 1． 解答题（共10小题） 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，直线与直线，x轴分别交于点，． (1)求直线的表达式． (2)若D，E分别是直线和y轴上的动点，是否存在点D，E，使得以A，B，D，E为顶点，为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】本题是一次函数综合题，考查待定系数法求函数的解析式，一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键． （1）由待定系数法求直线的解析式即可； （2）设，，再分两种情况讨论：当为平行四边形对角线时；当为平行四边形的对角线时；利用平行四边形对角线互相平分的性质求解即可． 【详解】（1）设直线的表达式为， ∵直线与直线，x轴分别交于点，， ∴解得 ∴直线的表达式为； （2）解：存在. ∵与x轴交于点B， ∴. 设，， ①当为平行四边形的对角线时， ∵，， ∴解得 ∴； ②当为平行四边形的对角线时， ∵，， ∴ 解得 ∴. 综上所述，点D的坐标为或． 2．如图，已知的顶点为坐标原点，顶点在轴的负半轴上且，点，连接并延长交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)若点从出发以2个单位秒的速度沿轴向右运动，同时点从出发，以1个单位秒的速度沿轴向左运动，过点，分别作轴的垂线交射线和射线于点，，试猜想四边形的形状（点，重合除外），并证明你的猜想； (3)在（2）的条件下，四边形能为正方形吗？如果能，请求出所有满足条件的点P运动的时间；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)直线的解析式为； (2)四边形是矩形； (3)点P运动秒或秒时，四边形是正方形． 【分析】本题考查了待定系数法，平行四边形的性质和矩形，正方形的性质，能够将函数问题与几何问题相结合是解题的关键． （1）先利用平行四边形的性质求得点，再利用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，进而求出点E，F坐标，即可得出，即可得出结论； （3）先分两种情况（点Q在点P左侧或右侧）求出，利用建立方程即可求出时间． 【详解】（1）解：延长交轴于点， ∵，， ∴，轴， ∵点， ∴点，点， 设直线的解析式为， 把、代入得： ∴，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：四边形是矩形，理由如下： 如图 ∵点A的坐标为， ∴直线的解析式为， ∵点Q从点O出发以1个单位/秒沿x轴向左运动， ∴， ∴， ∴， ∵点P从点C出发以2个单位/秒沿x轴向右运动， ∴， ∴点， 由（1）知，直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形 ∴四边形是矩形； （3）解：由（2）知，，，， ∴或， ∵四边形是正方形， ∴， ∴或， ∴或，即点P运动秒或秒时，四边形是正方形． 3．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴，轴上，线段，的长是方程组的解，点是直线与直线的交点，点在线段上，． (1)求点的坐标； (2)求直线的解析式； (3)是直线上的点，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形（邻边相等的平行四边形）？若存在，请写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）解二元一次方程组得到，，进而得到、的坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，再联立直线求解，即可求出点的坐标； （2）设点的坐标为，结合求出点的坐标，再设直线的解析式为，利用待定系数法求解，即可解题； （3）根据直线的解析式推出，再结合菱形的判定与性质分情况讨论当四边形为菱形时，，当四边形为菱形时，，当四边形为菱形时，当以，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形时，结合勾股定理，菱形性质，坐标与图形求解，即可解题． 【详解】（1）解：解方程组，得， ， ， 即． 设直线的解析式为， 则，解得， 直线的解析式为． 联立，解得， 点的坐标为． （2）解：设点的坐标为， ， ，解得． 点在线段上， ， ． 设直线的解析式为， 把代入， 得， 解得， 直线的解析式为． （3）解：存在．理由如下： 直线的解析式为， 记直线与轴交于点， ． 如图，当四边形为菱形时，， ， 有， 设点的坐标为， 有， 解得， 得点的坐标为； 当四边形为菱形时，，由， 同理可得点的坐标为； 易知直线与轴的交点的坐标为， ， 当四边形为菱形时，点的坐标为； 易知当以，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形时， 由菱形对角线互相垂直平分可得， 点与点关于对称，且， ， 点的坐标为． 综上所述，以，，，为顶点的四边形是菱形时，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，解二元一次方程，勾股定理，菱形性质与判定，坐标与图形，解题的关键在于利用分类讨论的思想分析问题． 4．如图，平面直角坐标系中，是坐标原点，直线经过点，与轴交于点，与轴交于点．线段平行于轴，交直线于点，连接，． (1)填空：______，点的坐标是______； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)动点从点出发，沿对角线以每秒个单位长度的速度向点运动，直到点为止；动点同时从点出发，沿对角线以每秒个单位长度的速度向点运动，直到点为止．设两个点的运动时间均为秒． 当时，求的面积； 当点，运动至四边形为矩形时，请求出此时的值． 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3) 的面积为；当点，运动至四边形为矩形时，的值为或． 【分析】（）代入点坐标即可得出值确定直线的解析式，进而求出点坐标即可； （）求出，点坐标，根据，即可证四边形是平行四边形； （）作于，设出点的坐标，根据勾股定理计算出的长度，根据运动时间求出的长度即可确定的面积； 先证四边形为平行四边形，根据对角线相等确定的长度，再根据的位置分情况计算出值即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 当时，， ∴， ∴点的坐标是， 故答案为：，； （2）证明：由（）得：直线解析式为，点的坐标是， ∴， ∵线段平行于轴， ∴点的纵坐标相同， ∵点在直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （3）解：如图，过作于点，则， ∵点在直线上， ∴设点坐标为， ∵，， ∴，，， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴， ∵， ∴当时，， ∴的面积为； 如图，设与交于点， 由（）得四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴当时，，当时，， 当点，运动至四边形为矩形时，， ∵点的坐标是，点， ∴， ∴当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上可知： ∴当点，运动至四边形为矩形时，的值为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，平行四边形的判定与性质，矩形的性质，两点间的距离，解一元二次方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A，两点，直线交轴于C点，交直线m于点．        (1)填空： ， ， ； (2)点D是直线m上一点，E是直线l上的一点，若与互相平分，求点E的坐标及四边形的面积； (3)N是平面直角坐标系内一点，直线l上是否存在点M，使以点B，C，M，N为顶点的四边形是菱形，请求出符合条件的点的坐标． 【答案】(1)，，4 (2)，四边形E的面积 (3)点N坐标为或或或 【分析】（1）当，，得：，将代入得，，将代入，得； （2）①由（1）知，，证明出四边形为平行四边形，设，，则，解得①当为菱形的边时，设，由，得，解得，，从而求解；②当，为菱形的边时，③当为菱形的对角线时，利用菱形的性质求解． 【详解】（1）解：当，， 解得：， 将代入得， ， 解得：， 将代入， 得， 解得：， 故答案为：，，4； （2）解：由（1）知， ， ∵与互相平分， ∴四边形为平行四边形， ∴， 设，， 则， 解得，， ∴； ∴点P是的中点 ∴四边形的面积=， （3）解：分为菱形的边与为菱形的对角线两种情况： ①当为菱形的边时， 设， 由，得， 解得，， 当时，， ∵且， ∴； ⅱ）当时，， 此时； ②当，为菱形的边时， 由，得， 解得，，（舍去）， ∴， 此时； ③当为菱形的对角线时， 由菱形的性质可知垂直平分， ∴， 将代入得，， ∴， ∴， 综上，符合条件的点N有四个，分别是或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，菱形的性质，平行四边形的判定及性质等，运用分类讨论思想和方程思想是解题关键． 6．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于，两点，将绕点顺时针旋转得（点与点对应，点与点对应）．    (1)直接写出直线的解析式； (2)点为线段上一点，过点作轴交直线于点，作轴交直线于点，当时，求点的坐标； (3)如图2，若点为线段的中点，点为直线上一点，点为坐标系内一点，且以，，，为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种求解点坐标的过程． 【答案】(1)直线的函数解析式为； (2)； (3)点的坐标为或或，过程见解析． 【分析】（1）先求出点和点的坐标，得出和的长度，再根据旋转的性质，得出点和点的坐标，最后用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）设，则可将点和点的坐标表示出来，进而得出的表达式，最后根据列出方程求出的值，即可进行解答； （3）根据题意进行分类讨论：①为矩形的边时；②为矩形的对角线时． 【详解】（1）解：把代入得：， 把代入得：，解得：， ∴， ∴， ∵绕点顺时针旋转得， ∴，， ∴， 设直线的函数解析式为， 把代入得： ，解得：， ∴直线的函数解析式为． （2）解：∵，， ∴， ∵点在线段上， ∴设 ， ∵轴，轴， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， 把代入得：； 把代入得：，解得：， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得：． ∴． （3）①当为矩形的边时， 过点作，交直线于点，过点作，交直线于点，过点作交于点，过点作交于点， 根据作图可得：四边形和四边形都是矩形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵绕点顺时针旋转得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点为线段的中点，， ∴，，即点为中点， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 把点代入得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， 把代入得：，解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线和直线的解析式为： ，解得：， ∴，    ②当为矩形的对角线时， 过点作轴于点，过点作轴于点， ∵，， ∴轴， ∵轴，过一点有且只有一条直线与已知直线平行， ∴点和点重合， ∴，    综上：点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合运用，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法，中点坐标公式，旋转的性质，矩形的性质． 7．如图，在中，，P为边上一动点， 于点G，于点 H． (1)求证：四边形 是矩形； (2)在点P的运动过程中，的长是否存在最小值?若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． (3)如图2，建立平面直角坐标系，和x轴重合，点C和坐标原点重合，若四边形是平行四边形，直接写出点D的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)存在最小值，的最小值为 (3)D的坐标为或或 【分析】本题考查四边形综合应用，坐标与图形，勾股定理逆定理，矩形的判定与性质，平行四边形的性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）用勾股定理的逆定理证明，根据三个角是直角的四边形是矩形可证四边形是矩形； （2）连接，可得，故当最小时，最小，此时，用面积法可得答案； （3）过A作于K，求出点A的坐标，设，而，分三种情况：①若为对角线；②若为对角线；若为对角线，分别解方程组可得D的坐标为即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ∴四边形是矩形； （2）解：在点P的运动过程中，的长存在最小值，理由如下： 连接，如图： 由（1）知，四边形是矩形， ， ∴当最小时，最小，此时， ∴， ， ∴的最小值为； （3）过A作于K，如图： 同（2）可知， ， ， 设，而， ①若为对角线，则的中点重合， ，解得：， ； ②若为对角线，则的中点重合， ，解得：， ； ③若为对角线，则的中点重合， ，解得：， ； 综上所述，D的坐标为或或． 8．综合与探究：如图，直线与直线交于点，直线与轴交于点，点从点出发沿向终点运动，速度为每秒个单位，同时点从点出发以同样的速度沿向终点运动，作轴，交折线于点，作轴，交折线于点，设运动时间为．    (1)求 点的坐标： (2)在点 ，点 运动过程中， ①当点分别在上时，求证四边形是矩形； ②在点，点的整个运动过程中，当四边形是正方形时，请你直接写出的值； (3)点 是平面内一点，在点 的运动过程中，问是否存在以点 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点 的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①见解析；②或 (3)存在，或． 【分析】（1）将点的横坐标代入解析式可求出的值，根据直线与轴的交点，可求出点的坐标； （2）①如图所示，过点作轴于点，可求出是等腰三角形，可得，根据点的运动情况可得，可证，由此矩形的判定方法即可求证；②分类讨论，第一种情况，当点分别在上时，若四边形是正方形；第二种情况，当分别在上时，如图，同理可证四边形是矩形，若四边形是正方形；根据矩形的性质列式求解； （3）若以点P，O，A，C为顶点的四边形是菱形，则只需是等腰三角形即可，分类讨论，第一种情况，当时；第二种情况，当时，点与点重合；第三种情况，当，点在线段的垂直平分线上；根据菱形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）解：已知直线与直线交于点，直线与轴交于点， ∴当时，，则， 当时，，，则， ∴，． （2）解：①如图所示，过点作轴于点，    ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵轴，轴， ∴，， 由点的运动可知，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形； ②第一种情况，当点分别在上时，若四边形是正方形，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得； 第二种情况，当分别在上时，如图，同理可证四边形是矩形，    若四边形是正方形，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得； 综上，的值为或． （3）解：存在，理由如下： 若以点P，O，A，C为顶点的四边形是菱形，则只需是等腰三角形即可， 第一种情况，当时，，且，如图所示，    ∵且， ∴； 第二种情况，当时，点与点重合，，此时点与点关于轴对称，如图所示，    ∴； 第三种情况，当，点在线段的垂直平分线上，设交于点，过点作轴于点，如图所示，    ∴，，， ∴在中，，解得， ∴，此时，且，， ∴， 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，一次函数图象的性质，理解点的运动，掌握一次函数图象的性质，动点于坐标的关系，菱形的判定和性质，勾股定理的运用等知识的综合是解题的关键． 9．综合与实践 问题情境： 如图1，在平面直角坐标系中，直线交轴于点A ，交轴于点B，过点B的直线交轴正半轴于点C．    初步探究： (1)当时，求直线的函数解析式； 深入探究： (2)在（1）的基础上，将沿着 方向平移到如图2的位置，得到，线段与交于点G，若G恰好是的中点，求平移的距离； 拓展延伸： (3)如图3，将沿着 翻折，得到四边形为菱形，继续沿着方向平移，得到，连，．试探究：在平移的过程中，四边形是否能成为矩形，若能求出平移的距离；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)平移的距离为 (3)能，平移的距离为6 【分析】（1）先求出点A和点B的坐标，设，在中，利用勾股定理列方程求出x，然后用待定系数法即可求出直线的函数解析式； （2）取的中点H，连接，利用三角形的中位线求出的长即可求解； （3）连接，设平移的距离为，则，在中，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，由得 ∴ ∴ 当时， ∴ ∴ 设 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 在中 ∴ ∴ ∴ 设直线的解析式为 把，分别代入中 ∴ ∴直线的解析式为 （2）解：取的中点H，连接 ∵G是的中点    ∴， ∵ ∴ ∴GH= 由平移可得： ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴平移的距离为 （3）解：能．连接，    设平移的距离为 则 ∵四边形为菱形 ∴， ，， ∴ ∴ 由平移性质得， ∴， ∴四边形为平行四边形 ∴当时，四边形为矩形 在中 ∴ ∴ ∴平移的距离为6 【点睛】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的判定，勾股定理，菱形的性质，矩形的判定，以及平移的性质，数形结合是解答本题的关键． 10．如图1，矩形的一边 在轴上，点 的坐标为，点的坐标为 ． (1)求证：四边形 为正方形； (2)如图2，若点 为 中点，连接 ，直线 交 于点 ，交 轴于点 ． ①求 的面积； ②点在轴的正半轴上，平面内是否存在点，使以点为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)① ②存在，N的坐标为，或 【分析】（1）由矩形的性质得出， 先证明四边形是矩形，再证明，再由，即可证明四边形 为正方形． （2）①分别求出直线，的解析式，再求出两直线的交点坐标，再求出点H的坐标，再根据计算即可．②设，，而，，利用菱形的性质分三种情况，分别列式计算即可得出答案． 【详解】（1）证明∶∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵ ∴四边形是矩形 ∵， ∴， ∴ ∵， ∴四边形为正方形； （2）①由(1)知，，四边形为正方形， ∴， ∵点F为中点 ∴， 设由，的直线解析式为， 把代入，可得出， ∴解析式为 设，得直线解析式为， 则， 解得：， ∴ 解析式为， 联立 解得：， ∴， 在中， 另，则， ∴， ∴， ∴，， ∴． ②平面内存在点N，使以点A，H，M，N为顶点的四边形是菱形，理由如下∶ 设，，而，， 当，为对角线时，，的中点重合，且， ∴， 解得：， ∴， 当，为对角线时，，的中点重合，且， ∴， 解得：此时，点A、M重合，舍去，或（此时，M不在x轴正半轴上，舍去）， 当，为对角线时，，的中点重合，且， ∴ 解得：或（舍去）， ∴， 综上：N的坐标为或 【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及矩形，萎形，正方形的判定以及性质，一次函数的应用等，坐标与图形，解题的关键是分类讨论思想，方程思想的应用． 学科网（北京）股份有限公司1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 一次函数与存在性问题 题型1：一次函数与特殊三角形的存在性问题 题型2：一次函数与特殊四边形的存在性问题 题型1：一次函数与特殊三角形的存在性问题 我们将等腰直角三角板放在平面直角坐标系中进行探究． (1)操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点在原点，若顶点恰好落在点处，则点的坐标为 ； (2)类比探究：如图2，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，过点作线段且，直线交轴于点，求出的坐标及直线对应的函数表达式； (3)拓展应用：如图3，为坐标原点，的坐标为，的坐标为，过点作直线轴，已知点是直线上的一点，点在直线上运动，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)的坐标为或 【分析】（1）过作轴于，过作轴于，根据直角三角形两锐角互余和等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，，即可求解； （2）过作轴于，先求出直线与坐标轴的交点与的坐标，根据直角三角形两锐角互余和等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，，得出点的坐标，根据待定系数法求出直线对应的函数表达式，再求出直线与轴的交点坐标即可； （3）过作轴于，交直线于，根据题意，设，，①当在上方时，根据直角三角形两锐角互余和等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，，据此列出二元一次方程组，解方程组即可；②当在下方时，同理列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：过作轴于，过作轴于，如图： ∵， 即，， ∴， 在与中， ， ∴， ∵， ∴， ， ∴； 故答案为：． （2）解：过作轴于，如图： 在中，令得，令得， ∴，， 即，， ∵， 即，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线对应的函数表达式为，把，代入得， 解得：， ∴直线对应的函数表达式为； 令，得， ∴． （3）解：过作轴于，交直线于， 根据题意，设，， ①当在上方时，如图： ∵， 即，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 即， 解得， ∴的坐标为； ②当在下方时，如图： 同理可得， 解得， ∴的坐标为 综上所述，的坐标为或． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等角的余角相等，全等三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 一．解答题（共4小题） 1.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点． (1)求正比例函数与一次函数的解析式； (2)点D是直线上一点，且的面积是的面积的3倍，求点D的坐标； (3)若点E在第二象限，且是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点E的坐标． 2．函数的图像与轴、轴分别交于、两点，以线段为边在第一象限内作等边． (1)求点的坐标； (2)将沿着直线翻折，点落在点处，求直线的解析式； (3)在轴上是否存在，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 3．如图，一次函数与轴，轴分别相交于点和点． (1)求点和点的坐标； (2)在轴上有一动点，若的面积为，请求出点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得是以为一腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 4．如图，已知在平面直角坐标系中，、、． (1)求的面积； (2)在y轴上是否存在一个点D，使得是以为底的等腰三角形，若存在，求出点D坐标；若不存，说明理由． (3)在第二象限有一个，使得，请你求出的值． 题型2：一次函数与特殊四边形的存在性问题 如图1，在平面直角坐标系中，直线与交于点，分别与轴、轴交于点、． (1)分别求出点、、的坐标； (2)若是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，设是直线上的点，在平面内是否存在其它点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)或或 【分析】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有∶一次函数与坐标轴的交点，待定系数法确定一次函数解析式，一次函数图象的交点，一次函数图象与性质，菱形的性质，坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法和菱形的性质是解答本题的关键． （1）联立两直线解析式求出点的坐标，分别令和，带入直线解析式求出点、的坐标； （2）根据在直线上，设，表示出面积，把已知面积代入求出的值，确定出坐标，利用待定系数法求出解析式即可； （3）在（1）的条件下，设是射线上的点，在平面内存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，如图所示，分三种情况考虑∶①当四边形为菱形时，由，得到四边形为正方形；②当四边形为菱形时；③当四边形为菱形时；分别求出Q坐标即可． 【详解】（1）根据，解方程组得，得， 分别令和，带入直线解析式得点、的坐标，． （2）设， 且， ， ， ， 令直线解析式为， 把，代入得： ， ， ， 直线的函数表达式为． （3）存在．如图所示： ①当四边形为菱形时， ，得四边形为正方形； ， 即． ②当四边形为菱形时， 得，带入直线的解析式， 得， ． ③当四边形为菱形时， ， ， 综上得点的坐标为或或． 1． 解答题（共10小题） 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，直线与直线，x轴分别交于点，． (1)求直线的表达式． (2)若D，E分别是直线和y轴上的动点，是否存在点D，E，使得以A，B，D，E为顶点，为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，已知的顶点为坐标原点，顶点在轴的负半轴上且，点，连接并延长交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)若点从出发以2个单位秒的速度沿轴向右运动，同时点从出发，以1个单位秒的速度沿轴向左运动，过点，分别作轴的垂线交射线和射线于点，，试猜想四边形的形状（点，重合除外），并证明你的猜想； (3)在（2）的条件下，四边形能为正方形吗？如果能，请求出所有满足条件的点P运动的时间；如果不能，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴，轴上，线段，的长是方程组的解，点是直线与直线的交点，点在线段上，． (1)求点的坐标； (2)求直线的解析式； (3)是直线上的点，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形（邻边相等的平行四边形）？若存在，请写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，平面直角坐标系中，是坐标原点，直线经过点，与轴交于点，与轴交于点．线段平行于轴，交直线于点，连接，． (1)填空：______，点的坐标是______； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)动点从点出发，沿对角线以每秒个单位长度的速度向点运动，直到点为止；动点同时从点出发，沿对角线以每秒个单位长度的速度向点运动，直到点为止．设两个点的运动时间均为秒． 当时，求的面积； 当点，运动至四边形为矩形时，请求出此时的值． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A，两点，直线交轴于C点，交直线m于点．        (1)填空： ， ， ； (2)点D是直线m上一点，E是直线l上的一点，若与互相平分，求点E的坐标及四边形的面积； (3)N是平面直角坐标系内一点，直线l上是否存在点M，使以点B，C，M，N为顶点的四边形是菱形，请求出符合条件的点的坐标． 6．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于，两点，将绕点顺时针旋转得（点与点对应，点与点对应）．    (1)直接写出直线的解析式； (2)点为线段上一点，过点作轴交直线于点，作轴交直线于点，当时，求点的坐标； (3)如图2，若点为线段的中点，点为直线上一点，点为坐标系内一点，且以，，，为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种求解点坐标的过程． 7．如图，在中，，P为边上一动点， 于点G，于点 H． (1)求证：四边形 是矩形； (2)在点P的运动过程中，的长是否存在最小值?若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． (3)如图2，建立平面直角坐标系，和x轴重合，点C和坐标原点重合，若四边形是平行四边形，直接写出点D的坐标． 8．综合与探究：如图，直线与直线交于点，直线与轴交于点，点从点出发沿向终点运动，速度为每秒个单位，同时点从点出发以同样的速度沿向终点运动，作轴，交折线于点，作轴，交折线于点，设运动时间为．    (1)求 点的坐标： (2)在点 ，点 运动过程中， ①当点分别在上时，求证四边形是矩形； ②在点，点的整个运动过程中，当四边形是正方形时，请你直接写出的值； (3)点 是平面内一点，在点 的运动过程中，问是否存在以点 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点 的坐标，若不存在，请说明理由． 9．综合与实践 问题情境： 如图1，在平面直角坐标系中，直线交轴于点A ，交轴于点B，过点B的直线交轴正半轴于点C．    初步探究： (1)当时，求直线的函数解析式； 深入探究： (2)在（1）的基础上，将沿着 方向平移到如图2的位置，得到，线段与交于点G，若G恰好是的中点，求平移的距离； 拓展延伸： (3)如图3，将沿着 翻折，得到四边形为菱形，继续沿着方向平移，得到，连，．试探究：在平移的过程中，四边形是否能成为矩形，若能求出平移的距离；若不能，请说明理由． 10．如图1，矩形的一边 在轴上，点 的坐标为，点的坐标为 ． (1)求证：四边形 为正方形； (2)如图2，若点 为 中点，连接 ，直线 交 于点 ，交 轴于点 ． ①求 的面积； ②点在轴的正半轴上，平面内是否存在点，使以点为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$