精品解析：甘肃省白银市靖远县第四中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题

高三数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若为纯虚数，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由纯虚数的概念列出等式求解即可. 【详解】由为纯虚数，得且，解得. 验证符合题意， 故选：C 2. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合函数单调性即可求解. 【详解】易知为减函数， 所以. 所以函数的值域为， 故选：A 3. 若方程表示一个圆，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆的标准方程即可求解. 【详解】由， 得， 解得. 故选：D 4. 在中，，，，，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理即可求解. 【详解】由余弦定理得， 代入数据，得. 因为，解得：. 故选：B 5. 现给出四个函数①，②，③，④，其中所有周期函数的序号是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】利用周期函数的定义可求答案. 【详解】对于③，因为偶函数，其图象关于轴对称， 又是周期为的奇函数，故不是周期函数； 对于④，是周期为的函数； 对于①，易知是周期为的函数； 对于②，由可知是周期为的函数. 故所有周期函数的序号是①②④. 故选：C. 6. 已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，底面为正三角形，底面，，且与底面所成的角为，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据定义和已知条件，找出线面角的平面角以及外接球球心，求出球半径即可得球的表面积. 【详解】 因为底面，所以与底面所成的角为，则， 又因为，所以. 设为的外心，因为底面为正三角形，所以， 所以球的半径，球的表面积为. 故选：A. 7. 甲、乙、丙三人各自计划去河南洛阳旅游，他们在3月25日到3月27日这三天中的一天到达河南洛阳，他们在哪一天到达河南洛阳相互独立，互不影响，且他们各自在3月25日、3月26日、3月27日到达河南洛阳的概率如下表所示： 到达日期 3月25日 .3月26日 3月27日 0.3 0.4 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.5 设甲、乙两人在同一天到达河南洛阳的概率为，甲、丙两人在同一天到达河南洛阳的概率为，乙、丙两人在同一天到达河南洛阳的概率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由独立事件乘法公式及互斥事件和事件概率公式求解即可. 【详解】由题意可知：， ，， 故. 故选：A 8. 一架天平平衡时的轴截面示意图如图所示，，，，，和都是边长为1的正三角形.当天平两边的重量发生变化时，绕点转动（逆时针方向为正方向），转动角度.在转动过程中，和始终都与平行，且图中，，，，，，，，，这10个点始终共面，则在转动过程中，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建系，确定，.再由等边三角形得到坐标，再结合向量数量积的坐标表示即可求解. 【详解】 如图，以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则，. 由题意可得，，，， 所以，， 则. 因为，所以， 故. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线，且，，则（ ） A. 直线与有2个交点 B. 直线与有2个交点 C. 上存在无数个点，使得为定值 D. 上仅存在4个点，使得为定值 【答案】AC 【解析】 【分析】根据双曲线定义判断C，D，再结合渐近线斜率即可判断交点个数判断A，B. 【详解】，为的两个焦点，由双曲线的定义可知C正确，D错误. 因为的渐近线的斜率为， 直线斜率，所以直线与有2个交点，直线与仅有1个交点，A正确，B错误. 故选：AC. 10. 若函数，，则（ ） A. B. 当时，的取值范围是 C. 不论为何值，总有3个零点 D. 当为奇函数时，的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，代入解析式求解即可，对于B，由得到，即可判断，对于C，由方程根的个数即可判断，对于D，由奇函数求得，再求导，取得单调性，即可判断. 【详解】因为，所以，A正确. 当时，，则的取值范围是，B错误. 因为，, 又，， 所以二次方程有两个异于0的实根，C正确. 当为奇函数时，， 则，， 若，则，在单调递减， 若，则，在单调递增， 所以在上的最小值为， 易知为偶函数，当时，， 所以的最小值是，D正确. 故选：ACD 11. 若图G的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为，可划分为两个子集和，，，且图中每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图G称为偶图.下列四个图为偶图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由图形结构特点及新定义逐个判断即可. 【详解】 对于选项A，当，时，图中每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，A正确. 对于选项B，当，时，图中每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，B正确. 对于选项C，图中出现了，则该三角形必然有一条边的两个顶点在一个子集内，这显然不符合偶图的定义，C错误. 对于选项D，当，时，图中每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 用0，1，4，6，7可以组成__________个无重复数字的五位数. 【答案】96 【解析】 【分析】先确定的位置，即可求解. 【详解】第一步：有的排法， 第二步，剩余4个元素有中排列， 所以共有个无重复数字的五位数. 故答案为：96 13. 如图，直线经过抛物线的焦点，点（位于第一象限）在上，点（位于第四象限）在的准线上，且，则直线的斜率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】过点作准线的垂线，垂足为.根据抛物线的定义,设，得到，，即可求解. 【详解】过点作准线的垂线，垂足为.根据抛物线的定义可知. 设，则，， 故. 故答案为： 14. 设为锐角，则的最小值为__________，此时__________. 【答案】 ①. 121 ②. 【解析】 【分析】利用基本不等式及正切的二倍角公式可求答案. 【详解】 ， 当且仅当，即，即（为锐角）时，等号成立， 所以的最小值为121，此时. 故答案为：121； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 新能源汽车充电站作为新能源汽车发展的重要基础设施，在城市交通的可持续发展中起着关键作用.现有20个新能源汽车充电站的日使用次数的频率分布直方图，如图所示，其中各组区间为，，，，. （1）根据频率分布直方图，求的值，并求日使用次数在内的充电站个数； （2）从这20个充电站中任取2个，设这2个充电站中日使用次数在内的有个，求的分布列和期望. 【答案】（1），； （2） 0 1 2 . 【解析】 【分析】（1）根据概率总和为1可求出的值，根据图中所示的频率可求出相应的充电站个数； （2）利用古典概型的概率公式，结合组合数计算，可求出所有可能取值的概率，从而得到分布列并计算出期望. 【小问1详解】 由频率和为1，可得，解得. 因为日使用次数在内的频率为， 所以日使用次数在内的充电站个数为. 【小问2详解】 所有可能的取值为0，1，2. ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 故. 16. 定义“窄度数列”：若一个数列中任意两项的差均小于，则称该数列为“窄度数列”. （1）试问数列是否为“1000窄度数列”？（无需说明理由） （2）若数列的前项和为，证明：数列为“1窄度数列”. （3）若数列为等比数列，且，求数列的通项公式，并证明为“窄度数列”. 【答案】（1）不是 （2） 证明：， . 因为，所以， 所以数列中任意两项的差均小于1，故数列为“1窄度数列”. （3），证明： 因为，当且仅当时，等号成立， 所以数列从第二项起为递增数列. 又，，所以， 所以数列中任意两项的差均小于，所以数列为“窄度数列”. 【解析】 【分析】（1）由新定义即可判断； （2）由新定义结合等比数列求和公式即可判断； （3）由等比数列公式及新定义即可求解. 【小问1详解】 数列不是“1000窄度数列”. 取分别取， 此时，故不是； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，所以，， 所以等比数列的公比为，则，则. 17. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程. （2）证明：无极值. （3）若对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）证明：令的导数为. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以， 所以在上为增函数，故无极值. （3） 【解析】 【分析】（1）求导确定斜率，即可求解； （2）通过二次求导确定的单调性，即可求证； （3）构造函数，通过求导，确定单调性，求得最值即可求解. 【小问1详解】 ， 则. 因为，所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，得. 设，则， 的导数为， 所以为增函数，所以. 当时，，，则为增函数，则，所以符合题意. 当时，， 设，，则在上单调递减，在上单调递增， 所以，这与矛盾，所以不符合题意. 综上，的取值范围是. 18. 已知椭圆的离心率为，的长轴为椭圆的短轴. （1）求的方程； （2）若直线与交于，两点，且，求； （3）若直线与交于，两点，与轴垂直，且线段的中点在轴上，证明：直线过定点. 【答案】（1） （2） （3） 证明：设，，则. 因为直线过定点，且点在的内部，所以直线与总有两个不同的交点. 将代入，得， 则，. 因为直线的斜率为，所以直线的方程为， 令，得 因为， 所以直线过定点. 【解析】 【分析】（1）由离心率及长轴长即可求解； （2）由弦长公式即可求解； （3）设，，则.，由直线与椭圆方程联立，结合韦达定理得到直线的方程，再令，结合韦达定理即可求证； 【小问1详解】 因为的长轴为椭圆的短轴，所以. 又的离心率为，所以，解得， 故的方程为. 【小问2详解】 解：设，. 将代入，得， 则，即， ，， 所以， 解得. 【小问3详解】 略 19. 如图，在正方体中，，均为线段上的动点（不含端点），. （1）证明：. （2）设，，. （i）试探究是否为定值，并说明你的理由； （ii）求二面角的余弦值的取值范围. 【答案】（1） 证明：连接，，.在正方体中，平面，在平面，则. 又，，都在平面内， 所以平面，又在平面，所以. 同理可得，因为，都在平面内， 所以平面. 又因为平面，所以. （2）（i）为定值，理由： 连接，.设，则， 易知是正三角形，则，，其中. 因为，所以. 同理可得，， 故，为定值. （ii） 【解析】 【分析】（1）连接，，，通过证明平面，即可求证； （2）（i）连接，.设，则，通过，，及，即可求解；（ii）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii）设，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，， 所以，. 设平面的法向量为，则， 即，取，得. 同理可得平面的一个法向量为. . 因为，所以， 所以. 设，则. 因为，所以. 又，所以， 则.设， 则，， 所以. 由图可知二面角是锐角， 所以二面角的余弦值的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若为纯虚数，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 2. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 3. 若方程表示一个圆，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，，，，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 5. 现给出四个函数①，②，③，④，其中所有周期函数的序号是（ ） A ①② B. ③④ C. ①②④ D. ①②③④ 6. 已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，底面为正三角形，底面，，且与底面所成的角为，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙、丙三人各自计划去河南洛阳旅游，他们在3月25日到3月27日这三天中的一天到达河南洛阳，他们在哪一天到达河南洛阳相互独立，互不影响，且他们各自在3月25日、3月26日、3月27日到达河南洛阳的概率如下表所示： 到达日期 3月25日 .3月26日 3月27日 0.3 0.4 03 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.5 设甲、乙两人在同一天到达河南洛阳的概率为，甲、丙两人在同一天到达河南洛阳的概率为，乙、丙两人在同一天到达河南洛阳的概率为，则（ ） A. B. C. D. 8. 一架天平平衡时的轴截面示意图如图所示，，，，，和都是边长为1的正三角形.当天平两边的重量发生变化时，绕点转动（逆时针方向为正方向），转动角度.在转动过程中，和始终都与平行，且图中，，，，，，，，，这10个点始终共面，则在转动过程中，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线，且，，则（ ） A. 直线与有2个交点 B 直线与有2个交点 C. 上存在无数个点，使得为定值 D. 上仅存在4个点，使得为定值 10. 若函数，，则（ ） A. B. 当时，取值范围是 C. 不论为何值，总有3个零点 D. 当为奇函数时，的最小值是 11. 若图G的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为，可划分为两个子集和，，，且图中每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图G称为偶图.下列四个图为偶图的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 用0，1，4，6，7可以组成__________个无重复数字的五位数. 13. 如图，直线经过抛物线的焦点，点（位于第一象限）在上，点（位于第四象限）在的准线上，且，则直线的斜率为__________. 14. 设为锐角，则的最小值为__________，此时__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 新能源汽车充电站作为新能源汽车发展的重要基础设施，在城市交通的可持续发展中起着关键作用.现有20个新能源汽车充电站的日使用次数的频率分布直方图，如图所示，其中各组区间为，，，，. （1）根据频率分布直方图，求的值，并求日使用次数在内的充电站个数； （2）从这20个充电站中任取2个，设这2个充电站中日使用次数在内的有个，求的分布列和期望. 16. 定义“窄度数列”：若一个数列中任意两项的差均小于，则称该数列为“窄度数列”. （1）试问数列是否为“1000窄度数列”？（无需说明理由） （2）若数列的前项和为，证明：数列为“1窄度数列”. （3）若数列为等比数列，且，求数列的通项公式，并证明为“窄度数列”. 17 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程. （2）证明：无极值. （3）若对任意恒成立，求的取值范围. 18. 已知椭圆的离心率为，的长轴为椭圆的短轴. （1）求的方程； （2）若直线与交于，两点，且，求； （3）若直线与交于，两点，与轴垂直，且线段的中点在轴上，证明：直线过定点. 19. 如图，在正方体中，，均为线段上的动点（不含端点），. （1）证明：. （2）设，，. （i）试探究是否为定值，并说明你的理由； （ii）求二面角的余弦值的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $