6.6.3 球的表面积和体积（分层练习，6大题型）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（北师大版2019必修第二册）

6.6.3. 球的表面积和体积 分层练习 题型一：正方体、长方体、正棱柱的外接球 1．若平面截球O所得截面圆的半径为3，且球心O到平面的距离为2，则球O的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．若长方体的长、宽、高分别为，则长方体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．已知正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 4．一个球的内接正四棱柱的侧面积与上、下两底面面积的和的比为，且正四棱柱的体积是，则这个球的体积是（    ） A． B． C． D． 5．体积为27的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．在正方体中，，则该正方体外接球的表面积为 ． 7．若一个正四棱柱的底面积为32，高为6，则该正四棱柱的外接球的表面积为 . 题型二：锥体的外接球内切球问题 8．我国古代数学名著《九章算术》，将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．如图所示，在长方体中，已知，．该“阳马”的外接球的表面积 ． 9．在四面体中，，，，，则该四面体外接球的表面积为 . 10．已知正三棱锥的侧棱与底面边长的比值为，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥的高为（    ） A．1 B． C． D． 11．正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的表面积为 12．《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中非常重要的一部．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”的所有顶点都在球的球面上，且．若球的表面积为，则这个三棱柱的表面积是（    ） A． B． C． D． 13．如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径，，，三棱锥的体积为. (1)求圆柱的表面积； (2)求三棱锥外接球的体积. 14．已知某圆锥的底面半径长为2，侧面展开图的面积为，则该圆锥内部最大球的半径为（    ） A． B． C．1 D． 15．一个正四面体的棱长为，则它的外接球与内切球表面积之比为 A． B． C． D． 16．已知圆锥的底面圆周在球的球面上，顶点为球心，圆锥的高为，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 17．在三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型三：台体的外接球 18．已知圆台的上、下底面中心分别为，且，上、下底面半径分别为2，12，在圆台容器内放置一个可以任意转动的球，则该球表面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 19．已知正四棱台的高为，其所有顶点均在同一个表面积为的球面上，且该球的球心在底面上，则棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 20．已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为，则该正四棱台内半径最大的球的表面积为（    ） A． B． C． D． 21．已知圆台的上､下底面面积分别为，其外接球球心满足，则圆台的外接球体积与圆台的体积之比为（    ） A． B． C． D． 22．如图，在正四棱台中，，．若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为 ． 23．已知正四棱台的上底面与下底面的边长之比为，其内切球的半径为1，则该正四棱台的体积为 . 24．已知正四棱台的上下底面边长分别为4，6，若正四棱台的外接球的表面积为，则正四棱台的体积 25．若一个正三棱台的各顶点之间的距离构成的集合为，且该三棱台的所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为 . 题型四：面面垂直模型外接球 26．在四棱锥中，平面平面ABCD，，，.若四棱锥P-ABCD的外接球为球，且四棱锥体积的最大值为，则球O的表面积为 . 27．在矩形中，为的中点，将沿折起，把折成，使平面平面，则三棱锥的外接球表面积为 . 28．已知在三棱锥中，，，，平面平面，则该三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 29．已知四棱锥的各顶点在同一球面上，若，为正三角形，且面面，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 30．已知八面体由两个正四棱锥和组成.若该八面体的外接球半径为3，且平面平面，则该八面体的体积为（    ） A．28 B．32 C．36 D．40 31．已知四面体ABCD的各顶点均在球的球面上，平面平面，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 32．在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，，平面平面，且该四棱锥的各个顶点均在球的表面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型五：直棱柱和直线与平面模型外接球 33．已知三棱柱的侧棱垂直于底面，且，，，，若该三棱柱的各顶点都在同一球面上，则此球的表面积等于（    ）． A． B． C． D． 34．在直三棱柱中，为等边三角形，，则三棱柱的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 35．已知中，是边上的动点．若平面，，且与面所成角的正弦值的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为 ． 36．已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，则球的体积为 . 37．在三棱柱中，平面，，，是矩形内一动点，满足，则三棱锥外接球体积为 . 38．已知四面体的四个面都为直角三角形，平面，为直角，且，则四面体的体积为 ，其外接球的表面积为 . 题型六：内切球问题 39．已知圆锥PO的顶点为P，其三条母线PA，PB，PC两两垂直，且母线长为6，则圆锥PO的内切球表面职与圆锥侧面积之和为（     ） A． B． C． D． 40．在棱长为2正四面体中，正四面体的内切球表面积为（    ） A． B． C． D． 41．一个高为的圆锥形容器（容器壁厚度忽略不计）内部能完全容纳的最大球的半径为，若，则这个圆锥的体积与这个最大球的体积之比为（    ） A． B． C． D． 42．已知圆锥的轴截面是等边三角形，则其外接球与内切球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 43．如图为一个圆锥形的金属配件，重90克，其轴截面是一个等边三角形，现将其打磨成一个体积最大的球形配件，则该球形配件的重量为 克. 44．圆锥的底面半径为1，母线长为2，在圆锥体内部放入一个体积最大的球，该球的表面积为 ． 45．底面半径为1的圆锥的侧面积是它的底面积的两倍，则圆锥的内切球的表面积与圆锥的表面积之比为 ． 一、单选题 1．已知圆锥的体积为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．已知正方体的棱长为1，为的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．已知圆锥的底面半径为3，其内切球表面积为，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，O为AC，BD的交点，平面，，则四棱锥的内切球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 5．已知两个圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，它们的上底面半径都为2，下底面半径都为4，高之差为2，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．已知正三棱台的上、下底面边长分别为，，且侧棱与底面所成角的正切值为3，则该正三棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 7．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长都等于2，则该四棱锥的内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．在三棱锥中，，若是等边三角形，则三棱锥的外接球的体积是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（    ） A．直径为的球体 B．所有棱长均为的四面体 C．底面直径为，高为的圆柱体 D．底面直径为，高为的圆柱体 三、填空题 10．已知球的表面积为，则它的直径为 ． 11．如图，在直三棱柱中，为等边三角形，，，则三棱柱的外接球的表面积为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.6.3. 球的表面积和体积 分层练习 题型一：正方体、长方体、正棱柱的外接球 1．若平面截球O所得截面圆的半径为3，且球心O到平面的距离为2，则球O的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由条件可得球的半径，再由球的表面积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设球O的半径为R，则，所以球O的表面积为. 故选：B 2．若长方体的长、宽、高分别为，则长方体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得长方体对角线长得外接球直径，再计算球的表面积即可． 【详解】由已知得长方体的对角线长为，所以外接球半径为， 球的表面积为， 故选：A． 3．已知正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正六棱柱的性质结合球的性质得，其外接球的球心为上下面外接圆圆心连线中点，利用勾股定理计算半径，代入球的体积公式求解即可. 【详解】如图，设正六棱柱下底面的中心为，其外接球的圆心为点， 则，为等边三角形，故，即为其外接球的半径， 所以， 所以该正六棱柱的外接球的体积为. 故选：C. 4．一个球的内接正四棱柱的侧面积与上、下两底面面积的和的比为，且正四棱柱的体积是，则这个球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据该四棱柱的侧面积和底面积的关系可得底面边长与侧棱长的关系，再利用其体积关系式联立求出相关量，结合正四棱柱外接球直径与其体对角线长的关系求得球半径即得. 【详解】 如图，正四棱柱中，设其底面边长为，侧棱长为，体积为，外切球的半径为． 依题可得：，解得： ①． 又②，由①②解得：． 因正四棱柱的体对角线 即其外切球的直径，故 于是，这个球的体积为：. 故选：D． 5．体积为27的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方体的体积求出棱长和体对角线长，再根据正方体的体对角线是球的直径可得球的半径，再由球的表面积公式可求出结果． 【详解】设正方体的棱长为，则，得， 则正方体的体对角线长为， 又正方体的顶点都在同一球面上， 则该球的直径为，半径为， 所以该球的表面积为． 故选：D． 6．在正方体中，，则该正方体外接球的表面积为 ． 【答案】36π 【分析】如图，正方体外接球的半径为，结合勾股定理和球的表面积公式计算即可求解. 【详解】如图，    设该正方体外接球的半径为R， 则， 所以该正方体外接球的表面积为． 故答案为： 7．若一个正四棱柱的底面积为32，高为6，则该正四棱柱的外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】正四棱柱的对角线就是外接球的直径，求出直径即可求出球的表面积． 【详解】设正四棱柱底面边长为，由题意，则， 由于正四棱柱的外接球的直径，就是正四棱柱的对角线的长， 所以球的直径为：， 所以该正四棱柱的外接球的表面积为：. 故答案为：. 题型二：锥体的外接球内切球问题 8．我国古代数学名著《九章算术》，将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．如图所示，在长方体中，已知，．该“阳马”的外接球的表面积 ． 【答案】 【分析】根据长方体的外接球即为四棱锥的外接球，长方体的对角线就是外接球的直径，结合球体的表面积公式求解. 【详解】长方体的外接球即为四棱锥的外接球， 因为，. 长方体的对角线长为， 则长方体的外接球的半径， 该“阳马”外接球的表面积为. 故答案为： 9．在四面体中，，，，，则该四面体外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】首先求出，利用勾股定理逆定理得到，设的中点为，根据直角三角形的性质性质得到，即为外接球的球心，即为外接球的半径，从而求出球的表面积. 【详解】如图所示： 由，，可知. 因为，，所以，即. 设的中点为，则， 所以为四面体外接球的球心，四面体的外接球半径， 所以外接球表面积. 故答案为： 10．已知正三棱锥的侧棱与底面边长的比值为，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥的高为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据球心到底面的距离、底面三角形的外接圆半径和球的半径满足勾股定理，求得，然后可得棱锥的高. 【详解】如图，为等边三角形， 设为中点，面，，则， 所以， 设三棱锥外接球的半径为，由正棱锥的性质可知球心为在上， 则，即，所以. 由，解得. 所以三棱锥的高为. 故选：B.    11．正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的表面积为 【答案】 【分析】根据正四棱锥的性质，结合勾股定理即可求出球的半径，由球的表面积公式即可求解. 【详解】如图，过S作平面，则垂足为底面正方形的中心， 由底面边长为，得. 在中，，则， 所以，故是过点的球的球心， 可得球的半径为，所以该球的表面积为. 故答案为： 12．《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中非常重要的一部．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”的所有顶点都在球的球面上，且．若球的表面积为，则这个三棱柱的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件确定球心的位置，根据球的半径求得棱柱的高，可计算表面积. 【详解】设，的中点分别为，，连接，取的中点． 直三棱柱中，，， 四边形是平行四边形，有， 因为三棱柱的底面是直角三角形，，所以，， ，分别是，的外接圆圆心． 因为平面，所以平面， 所以为的外接球的球心． 连接，因为球的表面积为，所以球的半径为1，即， ，则，，可得，， 所以三棱柱的表面积， 故选：C． 13．如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径，，，三棱锥的体积为. (1)求圆柱的表面积； (2)求三棱锥外接球的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出、，即可得到，再由求出，最后根据圆柱的表面积公式计算可得； （2）三棱锥外接球即为圆柱的外接球，求出外接球的半径，再根据球的体积公式计算可得. 【详解】（1）∵在中，， ∴， 又在中，，，∴， 而点的圆柱的底面圆上，∴， 所以， 于是由，得， ∴， ∴圆柱的表面积. （2）三棱锥外接球即为圆柱的外接球， 则外接球的球心是的中点，半径， 所以三棱锥外接球的体积. 14．已知某圆锥的底面半径长为2，侧面展开图的面积为，则该圆锥内部最大球的半径为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据圆锥表面积公式求出母线长，再由圆锥轴截面图象中相似三角形,可得圆锥内部最大球即与圆锥相切的球的半径. 【详解】设母线长为，依题意，解得， 所以圆锥的高为， 作出圆锥轴截面图象， 设圆锥内部最大球即与圆锥相切的球的半径为， 由于，则， 可得，解得.    故选：C． 15．一个正四面体的棱长为，则它的外接球与内切球表面积之比为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正四面体的结构特征，求出内切球半径与外接球半径即可作答. 【详解】依题意，正四面体的内切球与外接球球心重合，记为， 令正的中心为，连接， 显然点在上，令正四面体的内切球与外接球半径分别为，， 即，， 而， 则， 在中，，解得，， 所以它的外接球与内切球的表面积之比为. 故选：C 16．已知圆锥的底面圆周在球的球面上，顶点为球心，圆锥的高为，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】球半径是圆锥母线，由圆锥母线、高和底面半径关系得到，圆锥展开图是扇形的弧长和半径关系得到，进而求出，再利用球表面积公式得解. 【详解】由已知得圆锥母线是球半径，设球半径为，圆锥底面圆半径为, 由圆锥高为，得， 由圆锥的侧面展开图是一个半圆得：， 联立方程组，解得，所以球表面积为， 故选：C. 17．在三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别取，的中点，，连接，，，由图形的对称性可知球心必在的延长线上，由勾股定理可得球的半径，即可求解. 【详解】根据题意画出图形，如图所示， 分别取，的中点，，连接，，， 又， 所以，，， 由图形的对称性可知：球心必在的延长线上， 设球心为，连接，， 设半径为，，， 可知，为直角三角形， 所以，所以， 解得，， 所以球的表面积为. 故选：. 题型三：台体的外接球 18．已知圆台的上、下底面中心分别为，且，上、下底面半径分别为2，12，在圆台容器内放置一个可以任意转动的球，则该球表面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意作出轴截面，利用直角三角形知识求得，即可求解球的表面积. 【详解】如图所示， 根据题意可知. 设圆台内能放置的最大球的球心为，且与底面和母线AB分别切于两点， 因为，所以，所以， 所以可知球的半径， 此时球的直径为， 即此时球与圆台上底面不相切，因此圆台内能放置的最大球的表面积. 故选：B 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 19．已知正四棱台的高为，其所有顶点均在同一个表面积为的球面上，且该球的球心在底面上，则棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用棱台及其外接球的特征结合台体体积公式计算即可. 【详解】设球心为，球的半径为，棱台高为， 则，所以， 由于在底面上，底面为正方形， 易得正方形的边长为，面积为16； 设底面的外接圆半径为，则， 易得正方形的边长为，面积为4； 所以正四棱台的体积为. 故选:C． 20．已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为，则该正四棱台内半径最大的球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出正四棱台的高，再分析出最大内切球与四侧面及下底面相切，再根据三角函数得到其半径大小，最后利用球的表面积公式即可. 【详解】作出如图所示正四棱台，其中为正四棱台的高，为其斜高，    因为正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为， 则，，， 因为，故半径最大的球不与上下底面同时相切， ，则，则， 过作正四棱台的截面，截球得大圆，则该圆与等腰梯形两腰和下底相切，则， 则，则更确定最大内切球与四侧面及下底面相切，    即该正四棱台内半径最大的球半径，球的表面积为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是得到正四棱台内半径的最大的球是与侧面和底面同时相切的，再求出其高，得到侧棱与底面夹角，作出轴截面图形，再求出最大球半径. 21．已知圆台的上､下底面面积分别为，其外接球球心满足，则圆台的外接球体积与圆台的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相切结合勾股定理可得，即可求解，由圆台和球的体积公式即可求解. 【详解】设圆台的高为，外接球半径为，作出轴截面如图： 的上､下底面面积分别为，则圆，的半径分别为2，6， 则，解得， 故所求体积之比为 故选：B    22．如图，在正四棱台中，，．若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为 ． 【答案】 【分析】连接，交于点，连接，交于点，连接，过作于点，底面，根据正四棱台的体积求出棱台的高，即可判断四棱台外接球的球心在的延长线上，利用勾股定理求出外接球的半径，即可求出外接球的表面积. 【详解】如图，连接，交于点，连接，交于点，连接，则， 底面，平面，∴． 过作于点，则，∴底面． ∴该正四棱台的体积，∴． 连接，∵， ∴四棱台外接球的球心在的延长线上， 设，则，， ， 由，得，解得， 故，即外接球的半径， ∴外接球表面积为． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键是求出正四棱台的高，从而确定外接球的球心球心在的延长线上，利用勾股定理求出外接球的半径. 23．已知正四棱台的上底面与下底面的边长之比为，其内切球的半径为1，则该正四棱台的体积为 . 【答案】/ 【分析】依题意作出棱台的轴截面，利用切线长定理和射影定理求出上下底面边长，代入棱台的体积公式计算即得. 【详解】 如图，作出正四棱台的轴截面,设上底面边长为，则下底面边长为， 则，, 故, 在中，,则由射影定理，得，解得， 于是棱台的上底面面积为，下底面面积为，高为2， 故该正四棱台的体积为：. 故答案为：. 24．已知正四棱台的上下底面边长分别为4，6，若正四棱台的外接球的表面积为，则正四棱台的体积 【答案】/ 【分析】先求出外接球的半径，设正方形和正方形的中心分别为，外接球的球心为，利用勾股定理求出，即可得正棱台的高，再根据台体的体积公式即可得解. 【详解】设外接球的半径为， 则，， 设正方形和正方形的中心分别为，外接球的球心为， 则在线段上， 如图，在等腰梯形中， ， 则， 所以，即正四棱台的高为， 所以正四棱台的体积. 故答案为：. 25．若一个正三棱台的各顶点之间的距离构成的集合为，且该三棱台的所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为 . 【答案】 【分析】设正三棱台，先考察正三棱台的一个侧面，设，求得，设三棱台的上底面中心为，下底面中心为，利用三角形重心的性质求得，设球的半径为，，利用勾股定理即可求解． 【详解】设正三棱台.如图，先考察正三梭台的一个侧面. 设，在中，由于是钝角，故中最大的边是. 若，则和的长只能取1或.此时若两边长均为1和1，则不满足两边之和大于第三边； 若一边长1，一边长，则变为直角三角形； 若两边长均为，则的长只能为1，与矛盾. 因而只能是. 设三棱台的上底面中心为，下底面中心为. 如图，在直角梯形中求球的半径， 在直角梯形中求球的半径， 利用重心的性质容易求得， 设球的半径为，，由图1 得， 解得（舍）， 由图2得，解得， 故球的表面积为. 故答案为：． 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 题型四：面面垂直模型外接球 26．在四棱锥中，平面平面ABCD，，，.若四棱锥P-ABCD的外接球为球，且四棱锥体积的最大值为，则球O的表面积为 . 【答案】 【分析】先确定底面的面积最大值，结合体积最大值得出棱锥的高，确定球心位置，求出球的半径可得表面积. 【详解】因为四棱锥有外接球，所以四边形有外接圆， 因为，所以，； 如图，连接，三角形的面积为24，三角形的面积为； 因为，所以，当且仅当时，等号成立， 所以三角形的面积最大值为25，即有四边形面积的最大值为49. 设四棱锥的高的最大值为，则的最大值为，解得. 设四棱锥的外接球的球心在底面上的射影为，则为的中点. 设四棱锥的外接球球心在平面上的射影为， 过作于点E,连接, 又,所以且. 因为平面平面，平面平面, 平面, 所以平面，易知四边形为矩形，所以. 设四棱锥的外接球的半径为,连接, 则,, 连接,在中, ，所以，解得, 所以，球的表面积为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键:一是理解“四棱锥的外接球为球”的含义，能将其转化为四边形有外接圆；二是利用基本不等式求得四边形面积的最大值. 27．在矩形中，为的中点，将沿折起，把折成，使平面平面，则三棱锥的外接球表面积为 . 【答案】 【分析】利用勾股定理逆定理证明，由面面垂直的性质得到平面，求出外接圆的半径，设三棱锥的外接球的半径为，则，最后由球的表面积公式计算可得. 【详解】因为，，为的中点， 则有，， 所以，所以， 又平面平面，平面平面，平面. 所以平面， 又为等腰直角三角形，所以其外接圆的半径， 设三棱锥的外接球的半径为，则， 所以，所以三棱锥的外接球的表面积. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是证明平面，再由直棱锥的外接球的模型计算外接球的半径. 28．已知在三棱锥中，，，，平面平面，则该三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意作出图形，由题设条件可得外接圆圆心即三棱锥外接球球心，利用正弦定理即可求出其半径即得. 【详解】 如图，因平面平面，，的外心为边的中点， 则三棱锥的外接球球心即为外接圆圆心，设外接球半径为. 在中，，,故由余弦定理可得， ， 即，由正弦定理，，则， 即三棱锥外接球的半径为，故其外接球的表面积为． 故选：D． 29．已知四棱锥的各顶点在同一球面上，若，为正三角形，且面面，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作辅助线，找到球心的位置，证明到四棱锥所有顶点距离相等；根据勾股定理，求出球的半径，进而求出球的表面积. 【详解】如图，取的中点，取的中点，连接、，在线段上取一点，使， 过点作平面的垂线，使，连接， 易知四边形是等腰梯形，、、均为等边三角形， 所以， 因为平面， 所以， 所以， 因为为正三角形，为的中点， 所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以，即 又因为，所以四边形为平行四边形， 所以， 因为为正三角形，为的中点， 所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，所以平面， 又因为是的外心，所以， 所以， 所以即为四棱锥外接球的球心， 因为，， 所以 所以， 故选：C. 30．已知八面体由两个正四棱锥和组成.若该八面体的外接球半径为3，且平面平面，则该八面体的体积为（    ） A．28 B．32 C．36 D．40 【答案】B 【分析】合理作出图形，利用射影定理建立方程，得到，最后求解出，，，计算体积即可. 【详解】    如图，取的中点，作，垂足分别为，， 连接，，，，，平面平面， 所以是直角，易知为外接球直径，点在球上， 所以为直角，.在中，， 在中，，联立可得， 所以，，，八面体的体积. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何，解题关键是合理作出图形，然后联立得到，最后求解边长，得到体积即可． 31．已知四面体ABCD的各顶点均在球的球面上，平面平面，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先找和 的外接圆的圆心，过圆心分别作两个三角形所在平面的垂线，两垂线的交点就是球心. 【详解】如图，取BC的中点为E，BD的中点为，所以为的外心， 连接AE，EF，设的外心为， 因为，即为等边三角形， 所以点在AE上，且设球心为，连接OG，OF， 则平面平面BCD， 因为平面平面BCD，所以， 因为为等边三角形，为BC的中点，所以， 因为平面平面BCD，平面平面，面， 所以平面BCD，则，又平面BCD，所以， 同理平面ABC，所以，故四边形OGEF是矩形. 由，可得，故， 又， 设球的半径为，则， 所以球的表面积. 故选：C. 32．在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，，平面平面，且该四棱锥的各个顶点均在球的表面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由面面垂直的性质得到平面，即可得到，利用勾股定理求出、，再求出点到底面的距离，依题意可得球心在经过底面中心且与底面垂直的直线上，设到底面的距离为，利用勾股定理求出，即可得到外接球的半径，最后根据球的表面积公式计算可得. 【详解】因为底面是边长为的正方形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，则， 又，，，解得（负值舍去）， 所以， 取的中点，连接，则， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又，即点到底面的距离为， 设，则，， 球心在经过底面中心且与底面垂直的直线上， 设到底面的距离为， 那么，， 由可解得，故，即外接球的半径， 故球的表面积为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是求出、的长度，再确定外接球的球心在经过底面中心且与底面垂直的直线上，利用勾股定理求出外接球的半径. 题型五：直棱柱和直线与平面模型外接球 33．已知三棱柱的侧棱垂直于底面，且，，，，若该三棱柱的各顶点都在同一球面上，则此球的表面积等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦定理求，结合正弦定理求解外接圆半径，再根据三棱柱的外接球球半径与三棱柱的高以及外接圆半径的关系得出结果. 【详解】如图所示，在中，，，， 由余弦定理可得，所以， 由正弦定理可得外接圆半径， 设此圆圆心为，球心为，在中，，易得球半径， 故此球的表面积为． 故选：A． 34．在直三棱柱中，为等边三角形，，则三棱柱的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别是正三棱柱上、下底面中心，则的中点是该三棱柱外接球的球心，求出球半径后可得体积． 【详解】如图，分别是正三棱柱上、下底面中心，是棱柱的高，则的中点是该三棱柱外接球的球心， 外接球半径．其中点为外接圆圆心，为外接圆半径， 为正三角形，（是边中点）． 所以外接球半径．从而外接球体积为． 故选：D． 35．已知中，是边上的动点．若平面，，且与面所成角的正弦值的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为 ． 【答案】 【分析】根据题意得PQ的最小值为，的最小值是，即A到BC的距离为，则，结合图形找出的外接圆圆心与三棱锥外接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的表面积． 【详解】三棱锥中，PA⊥平面ABC，设直线PQ与平面ABC所成角为， 又的最大值是，所以，解得， 即PQ的最小值为，的最小值是，即A到BC的距离为， 如下图，直角三角形△ABQ中，所以，又， 所以重合，则，则的外接圆圆心M为AB的中点， 又PA⊥平面ABC，从而外接球的球心O为PB的中点， 外接球的半径， 三棱锥的外接球的表面积． 故答案为：． 36．已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，则球的体积为 . 【答案】 【分析】将直三棱柱补成长方体，计算出长方体的体对角线长，可得出球的半径，利用球的体积公式计算可得结果. 【详解】在直三棱柱中，， 将直三棱柱补成长方体，如下图所示： 所以，球的直径为， 可得， 因此，球的体积为. 故答案为：. 37．在三棱柱中，平面，，，是矩形内一动点，满足，则三棱锥外接球体积为 . 【答案】 【分析】设的外接圆的圆心为为的中点，再由为直角三角形，得到的外接圆的圆心为的中点，即三棱锥外接球的球心为，且，结合球的体积公式，即可求解. 【详解】由，且，可得， 设的外接圆的圆心为，则为的中点，且， 因为，所以为直角三角形， 所以的外接圆的圆心为的中点， 所以三棱锥外接球的球心为，且半径为， 所以三棱锥外接球的体积为. 故答案为：.    38．已知四面体的四个面都为直角三角形，平面，为直角，且，则四面体的体积为 ，其外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】根据题意求，结合锥体的体积公式求四面体的体积；取的中点，分析可知四面体的外接球的球心即为点，进而可求外接球的表面积. 【详解】因为，且， 可得，， 所以四面体的体积为； 取的中点， 因为四面体的四个面都为直角三角形，则， 可知四面体的外接球的球心即为点，半径， 所以其外接球的表面积为. 故答案为：；. 39．已知圆锥PO的顶点为P，其三条母线PA，PB，PC两两垂直，且母线长为6，则圆锥PO的内切球表面职与圆锥侧面积之和为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知和正弦定理，勾股定理求出圆锥底面圆的半径和高，再由三角形面积相等求出圆锥内切球半径，然后由球的表面积公式和圆锥的侧面积公式求出结果即可. 【详解】因为三条母线PA，PB，PC两两垂直，且母线长为6， 所以为圆锥底面圆的内接正三角形，且边长， 由正弦定理可得底面圆的半径， 所以圆锥的高， 如图，圆锥轴截面三角形的内切圆半径即为圆锥内切球半径， 轴截面三角形面积为， 所以内切球半径， 内切球的表面积为， 圆锥的侧面积为， 所以其和为， 故选：C. 题型六：内切球问题 40．在棱长为2正四面体中，正四面体的内切球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据正四面体的性质求出正四面体的高；再利用等体积法求出内切球的半径；最后根据球的表面积公式即可解答. 【详解】 正四面体底面的中心记为点，连接，. 由正四面体的性质可得：面. 因为正四面体棱长为2， 所以底面三角形的高为， 则， 所以正四面体的高. 设正四面体内切球的半径为，球心为. 由等体积法可得：， 即，解得：. 所以正四面体的内切球表面积为. 故选：B. 41．一个高为的圆锥形容器（容器壁厚度忽略不计）内部能完全容纳的最大球的半径为，若，则这个圆锥的体积与这个最大球的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形的相似比求得底面半径，然后根据圆锥和球的体积公式即可求解. 【详解】作圆锥的轴截面，如图，由题可知，,， 所以，即，解得， 则， 所以 故选：D    42．已知圆锥的轴截面是等边三角形，则其外接球与内切球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据截面图分析即可得半径比，然后可得答案. 【详解】如图，等边三角形的内切圆和外接圆的半径即为内切球和外接球的半径， 记内切球和外接球的半径分别为和， 则 所以其外接球与内切球的表面积之比为. 故选：A． 43．如图为一个圆锥形的金属配件，重90克，其轴截面是一个等边三角形，现将其打磨成一个体积最大的球形配件，则该球形配件的重量为 克. 【答案】40 【分析】根据圆锥和球的体积公式，结合体积比求解即可得出结果. 【详解】由于该圆锥的轴截面为等边三角形，如图所示： 设内切球的半径为r，， 所以， 所以， 则：，解得. 故答案为：40. 44．圆锥的底面半径为1，母线长为2，在圆锥体内部放入一个体积最大的球，该球的表面积为 ． 【答案】 【分析】根据球的半径是边长为2的等边三角形的内切圆半径来求解. 【详解】球的半径是边长为2的等边三角形的内切圆半径，即半径为， 所以球的表面积． 故答案为：. 45．底面半径为1的圆锥的侧面积是它的底面积的两倍，则圆锥的内切球的表面积与圆锥的表面积之比为 ． 【答案】 【分析】利用圆锥侧面积和底面积的比求得，进而求得圆锥内切球半径与底面半径的关系式，从而求得内切球表面积是圆锥表面积的倍. 【详解】圆锥的轴截面是，设圆锥的底面半径， 母线为，则，， 所以，得：，如图， 可知是正三角形，O是内切球球心，圆锥的内切球分别与边交于点， 所以，是内切球半径， 因为，则，又 所以，即， 所以内切球表面积，所以， 则圆锥的内切球的表面积与圆锥的表面积之比为. 故答案为： 一、单选题 1．已知圆锥的体积为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆锥的底面半径为，高为，由题意可得，可求得，，进而可得轴截面是等边三角形，求得等边三角形的内切圆的半径即可求得圆锥的内切球的表面积. 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为， 由题意可得，解得， 所以母线长为，底面圆直径为， 可得圆锥的轴截面为等边三角形，该等边三角形内切圆的半径即为圆锥内切球的半径， 由等边三角形的性质可得内切球的半径， 所以圆锥内切球的表面积为. 故选：D. 2．已知正方体的棱长为1，为的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：由条件可得外接球的半径，再由球的表面积公式即可得到结果；方法二：建立空间直角坐标系，结合空间中两点距离公式即可得到球的半径，从而得到结果. 【详解】方法一：由题意知平面，又平面，所以， 又平面，所以平面， 所以在三棱锥中，平面. 在中，，所以， 则，设的外接圆半径为， 则. 三棱锥的外接球即三棱锥的外接球， 易知，设三棱锥的外接球半径为，则 ， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 方法二：如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，. 设三棱锥的外接球的球心为，连接， 则， 得 ，解得， 所以， 故三棱锥的外接球的表面积为. 故选：B. 3．已知圆锥的底面半径为3，其内切球表面积为，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用题给条件求得圆锥的母线长，再利用公式即可求得该圆锥的侧面积. 【详解】球表面积为，则该球半径为， 设圆锥的高为h，则圆锥的母线长为， 则此圆锥的轴截面面积为 ，解之得， 则该圆锥的侧面积为 故选：B 4．如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，O为AC，BD的交点，平面，，则四棱锥的内切球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等积法可求内切球的半径，故可求它的表面积. 【详解】因为四边形为菱形，，所以是正三角形，则，． 因为平面，，平面，所以，． 设，则，． 在中，由余弦定理可得，解得， 所以，，． 因为O为的中点，所以．因为，，所以． 同理可证，，所以． 设四棱锥的内切球的半径为r， 则， 所以， 所以四棱锥的内切球的表面积， 故选：C． 【点睛】结论点睛： （1）棱长为a的正四面体的斜高为，高为，外接球的半径为，内切球的半径为． （2）如果三棱锥的三条侧棱互相垂直，那么可以将其补形为长方体或正方体（三棱锥的三条侧棱相等时补形为正方体，不相等时补形为长方体），则长方体或正方体的外接球的球心即三棱锥的外接球球心，长方体或正方体的体对角线的长即三棱锥外接球的直径． （3）一个棱锥的内切球半径r可以根据球心到各个面的距离相等以及棱锥的体积公式求得． 5．已知两个圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，它们的上底面半径都为2，下底面半径都为4，高之差为2，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据几何体的空间结构，利用勾股定理求出外接球的半径，即可求解. 【详解】不妨取两个圆台的摆放方式如图所示， 记为高度低的圆台的下底面圆心，在圆上， 连接，由题意得，所以， 所以球的表面积为． 备注：当两个圆台共下底面摆放时，可得其外接球的表面积仍为. 故选：C 6．已知正三棱台的上、下底面边长分别为，，且侧棱与底面所成角的正切值为3，则该正三棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出图形，由正三棱台的对称性可得，正三棱台的外接球的球心落在上底面中心与下底面中心的连线上，先求出三棱台的高，再由外切球的性质得到外接球的半径. 【详解】分别取、的中心，连结，过作，    因为，由正弦定理得，得，同理可得，所以， 因为正三棱台，所以平面，∥， 所以平面，所以为侧棱与底面所成的角， 所以，所以， 设正三棱台的外接球球心O，因为为上底面截面圆的圆心，为下底面截面圆的圆心， 所以由正三棱台的性质可知，其外接球的球心在直线EF上， 设外接球O的半径为R，所以，，， 即，， 当在EF的延长线上时，可得，无解； 当在线段EF上时，轴截面中由几何知识可得，解得， 所以正三棱台的外接球表面积为. 故选：D 7．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长都等于2，则该四棱锥的内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出棱锥的高，进而得到棱锥体积，设出内切球半径，根据体积得到方程，求出半径，进而得到表面积. 【详解】设内切球的半径为的中点为，则⊥平面， 因为四棱锥的底面是边长为2的正方形，所以， 因为，由勾股定理得， 故棱锥的体积为，棱锥的表面积为， 设内切球的半径为，    则由等体积法可得，解得， 所以． 故选：A 8．在三棱锥中，，若是等边三角形，则三棱锥的外接球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，取的中点为，连接，设为的中心，为的中心，由对称性可得在平面中，且平面，平面，结合解三角形可得，从而可求外接球半径，故可得其体积. 【详解】如图，取的中点为，连接， 因为，故为等边三角形且， 因为为等边三角形，故， 由余弦定理可得， 故，而为等边的边上的中线， 故，同理，故， 而为三角形内角，故. 设为的中心，为的中心，则在上且在上， 因为、均为等边三角形其它们有公共边， 由对称性可得在平面中， 设为外接球的球心，连接，则平面，平面， 而平面，平面，故，连接， 则由四点共圆可得， 故，所以即外接球半径为， 故棱锥的外接球的体积为. 故选：A 二、多选题 9．下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（    ） A．直径为的球体 B．所有棱长均为的四面体 C．底面直径为，高为的圆柱体 D．底面直径为，高为的圆柱体 【答案】ABD 【分析】根据题意结合正方体的性质逐项分析判断. 【详解】对于选项A：因为，即球体的直径小于正方体的棱长， 所以能够被整体放入正方体内，故A正确； 对于选项B：因为正方体的面对角线长为，且， 所以能够被整体放入正方体内，故B正确； 对于选项C：因为正方体的体对角线长为，且， 所以不能够被整体放入正方体内，故C不正确； 对于选项D：因为，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆， 如图，过的中点作，设， 可知，则， 即，解得， 且，即， 故以为轴可能对称放置底面直径为圆柱， 若底面直径为的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心，与正方体的下底面的切点为， 可知：，则， 即，解得， 根据对称性可知圆柱的高为， 所以能够被整体放入正方体内，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 10．已知球的表面积为，则它的直径为 ． 【答案】 【分析】设球的半径为，根据球的表面积公式列方程求解即可. 【详解】设球的半径为， 则，解得， 所以直径为. 故答案为：. 11．如图，在直三棱柱中，为等边三角形，，，则三棱柱的外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】由条件确定三棱柱的外接球的球心的位置，结合球的截面性质求球的半径，利用球的表面积公式可得结论. 【详解】如图所示，取，的外接圆的圆心分别为，， 连接，取的中点， 则是三棱柱外接球的球心，连接，． 延长，交于点， 由正三角形性质可得为的中点，为的中心， 所以， 因为，所以， 由正三角形的性质可得 设的外接圆的半径为，三棱柱的外接球的半径为， 又，所以， 所以， 所以三棱柱的外接球的表面积为． 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$