精品解析：安徽省利辛县2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试卷

2024-2025学年九年级下学期开学素质评价 数学HK（试题卷） 注意事项： 1．数学试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 4．考试范围：九上、九下册第25章． 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分） 1. 葫芦在我国古代被看作吉祥之物．下图是—个工艺葫芦的示意图，关于它的三视图说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C 左视图与俯视图相同 D. 主视图、左视图与俯视图都相同 2. 在中，，则下列三角函数值正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到新抛物线的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 4. 物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．一个正方形纸板的正投影不可能是（ ） A. 一条线段 B. 一个与原正方形全等的正方形 C. 一个邻边不等的平行四边形 D. 一个等腰梯形 5. 为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为，侧面积为的圆锥形草帽，则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知的半径为5，弦，R是弦上任意一点，则线段的长可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图在中，是等腰直角三角形，则弦所对的圆周角的度数是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8. 在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在直角坐标系中，点是一个光源．木杆两端的坐标分别为．则木杆在x轴上的投影长为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 3 10. 如图，在中，，绕点旋转至的位置，点、分别为、的中点，若，则的最大值和最小值分别为（ ） A. 3 B. C. D. 二、填空题（本题有4小题，每小题5分，共20分） 11. 如图是“光盘行动”的宣传海报，图中的餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是______． 12. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段______． 13. 如图，的直角顶点在坐标原点上，顶点在反比例函数的图象上，斜边轴，若的面积是，，则______． 14. 如图，在中，．O为的中点，将绕着点O逆时针旋转至． （1）求______°； （2）当为等腰三角形时，的度数为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知二次函数，且时，．当时，求y的值； 16. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，，，求树高． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为． （1）将向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后得到，画出，并直接写出点的坐标； （2）将绕原点顺时针旋转得到，按要求作出，并写出点的坐标以及点在旋转过程中经过的路径长． 18. 如图，是内接三角形，是的直径，延长到点D，连接，且，．求证：直线是的切线． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知反比例函数． （1）若该反比例函数的图象与直线只有一个公共点，求的值； （2）如图，反比例函数的图象记为曲线，将向右平移3个单位长度，得曲线，请在图中画出，并直接写出平移至处所扫过的面积． 20. 如图1，黄鹤楼自古有“天下绝景”之美誉．如图2为黄鹤楼正面示意图，若在点C处测得楼身点A处仰角为，在点D处测得楼身点B处的仰角为，黄鹤楼楼身宽30米，，A点距离地面20米，请计算出地面上的测量点C，D之间的距离．（结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，） 六、（本题满分12分） 21. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与x轴交于点C，连接． （1）求k，b，n的值； （2）求的面积． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，矩形中，，相交于点O，过点O作于点E，于点F． （1）求的值； （2）如图2，当旋转，且时，求的值； （3）如图3，当时，过点O作，交的延长线于点E，交的延长线于点F，此时的值是否变化？证明你的结论． 八、（本题满分14分） 23. 如图，二次函数的图象与x轴分别交于点，直线l是对称轴．点P在函数图象上，且P在直线的右侧，连接，过点P作，垂足为Q，以点Q为圆心，作半径为r的圆，与相切，切点为R． （1）求二次函数的解析式； （2）若的面积等于的切线长，求的半径r； （3）在（2）条件下，若在点的上侧，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级下学期开学素质评价 数学HK（试题卷） 注意事项： 1．数学试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 4．考试范围：九上、九下册第25章． 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分） 1. 葫芦在我国古代被看作吉祥之物．下图是—个工艺葫芦的示意图，关于它的三视图说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 主视图、左视图与俯视图都相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据三视图的定义找到葫芦的三视图即可得到答案． 【详解】解：葫芦的俯视图是两个同心圆，且带有圆心，主视图和左视图都是下面一个较大的圆，中间一个较小的圆，上面是一条线段， 故选：A． 2. 在中，，则下列三角函数值正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了锐角三角函数定义，关键是掌握正弦、余弦、正切定义．首先利用勾股定理计算出的长，再利用三角函数定义进行计算即可． 【详解】解：如图： ∵ ∴， ∴，，，， 故选：B． 3. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到新抛物线的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图形与几何变换．直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式． 【详解】解：∵抛物线向左平移3个单位，再向上平移3个单位， ∴得到的抛物线对应的函数关系式为， 故选：C． 4. 物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．一个正方形纸板的正投影不可能是（ ） A. 一条线段 B. 一个与原正方形全等的正方形 C. 一个邻边不等的平行四边形 D. 一个等腰梯形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了投影，根据投影的含义进行判断即可； 【详解】解：当正方形纸板所在平面与光线平行时，得到的正投影是一条线段；正方形纸板所在平面与光线垂直时，得到一个与原正方形全等的正方形；正方形纸板所在平面与光线不垂直也不平行时，得到一个平行四边形；正投影不可能得到等腰梯形； 故选：D． 5. 为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为，侧面积为的圆锥形草帽，则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面积，弧长公式等知识；设扇形的半径为r，扇形面积可求得半径r；再由弧长公式即可求得扇形圆心角的度数． 【详解】解：设扇形的半径为r，则， 解得：； 设扇形圆心角度数为n度，则， 解得：， 即扇形圆心角为； 故选：B． 6. 如图，已知的半径为5，弦，R是弦上任意一点，则线段的长可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 连接，过点O作于H，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，根据垂线段最短解答即可． 【详解】解：如图，连接，过点O作于H，则， 由勾股定理得：，则， ∴在各选项中，线段的长可能是4， 故选：D． 7. 如图在中，是等腰直角三角形，则弦所对的圆周角的度数是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据是等腰直角三角形，且半径相等，则．再根据弦所对的圆周角有两种情况讨论求解．本题考查内接四边形对角互补，圆周角定理，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是注意一题多解． 【详解】解：根据题意，是等腰直角三角形，且半径相等， ∴． ①当圆周角的顶点在优弧上时， 则圆周角； ②当圆周角的顶点在劣弧上时， 则根据圆内接四边形的性质，和第一种情况的圆周角是互补，等于， 故选：D 8. 在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象，根据一次函数与反比例函数的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵ 当时，一次函数经过第一、二、三象限， 当时，一次函数经过第一、三、四象限 A.一次函数中，则当时，函数图象第四象限，不合题意， B.一次函数经过第二、三、四象限，不合题意， 一次函数中，则当时，函数图象在第一象限，故C选项正确，D选项错误， 故选：C． 9. 如图，在直角坐标系中，点是一个光源．木杆两端的坐标分别为．则木杆在x轴上的投影长为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、中心投影；利用中心投影，延长、分别交轴于，作轴于，交延长线于，如图，证明，然后利用相似比等于高之比可求出的长． 【详解】解：延长 分别交x轴于 ，作轴于，交延长线于，如图 ∵， ∴，，，， ∴， ∵轴，， ∴， ∴，即 ∴， 故选：B． 10. 如图，在中，，绕点旋转至的位置，点、分别为、的中点，若，则的最大值和最小值分别为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，根据题意画出图形，当点分别在的延长线与线段上，分别求得最大值与最小值，即可求解．分类讨论是解题的关键． 【详解】解：在中，为的中点， ， ． ． 为的中点， ． 当旋转到如图1的的位置时，的值最大为：． 当旋转到如图2的的位置时，的值最小为：． 综上所述：最大值为，最小值为． 故选：B． 二、填空题（本题有4小题，每小题5分，共20分） 11. 如图是“光盘行动”的宣传海报，图中的餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是______． 【答案】相交 【解析】 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，注意∶已知O的半径为r，如果圆心O到直线的距离是d，当时，直线和圆相离，当时，直线和圆相切，当时，直线和圆相交． 【详解】解：把餐盘看成圆形的半径，餐盘的圆心到筷子看成直线l的距离为d． ∴， ∴直线和圆相交， 故答案为：相交． 12. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段______． 【答案】##1.5 【解析】 【分析】如图，过点A作于点F，交过点B的平行线于点E，交A的邻近平行线于点D，根据题意，，利用平行线分线段成比例定理计算即可． 【详解】解：如图，过点A作于点F，交过点B的平行线于点E，交A的邻近平行线于点D，根据题意，， 所以． 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键． 13. 如图，的直角顶点在坐标原点上，顶点在反比例函数的图象上，斜边轴，若的面积是，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的综合，掌握相似三角形的判定和性质，余弦值的计算方法，几何图形面积与反比例系数的计算方法是关键． 如图所示，过点作轴于点，可证，，根据余弦值得到相似比，由此得到，求出的面积，根据，结合图象即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， 解得，， ∵顶点在反比例函数的图象上， ∴， 解得，， ∵反比例函数经过第二象限， ∴， ∴， 故答案为： ． 14. 如图，在中，．O为的中点，将绕着点O逆时针旋转至． （1）求______°； （2）当为等腰三角形时，的度数为______． 【答案】 ①. 64 ②. 或或 【解析】 【分析】（1）连接，根据直角三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，根据旋转得出，根据等腰三角形的性质得出，最后求出结果即可； （2）分三种情况：时，时，时，分别根据等腰三角形的性质，列出方程，解方程即可． 【详解】解析：（1）连接，如图所示： 在中，，是的中点 ， ， 又， ， ， 又绕着点逆时针旋转角度， ， ， ； 故答案为：64； （2）由（1）得：， ， ， 为等腰三角形，所以有三种情况： ①时， ， ， ； ②时， ， ， ； ③时， ， ， ； 综上所述当为等腰三角形时，的度数为，或． 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，熟练的运用旋转的性质和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半这一性质是解决问题的关键． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知二次函数，且时，．当时，求y的值； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，先把，代入求出函数解析式，再把代入求解即可． 【详解】解：时，， ，解得， 二次函数的解析式为， ∴当时，； 16. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，，，求树高． 【答案】树高为8米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意可得，然后由相似三角形的性质，即可求解，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【详解】解：和均为直角， ． , ． ，，， ． ． 答：树高为8米． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为． （1）将向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后得到，画出，并直接写出点的坐标； （2）将绕原点顺时针旋转得到，按要求作出，并写出点的坐标以及点在旋转过程中经过的路径长． 【答案】（1）图见解析， （2）图见解析，， 【解析】 【分析】本题平移作图，画旋转图形，弧长公式等知识，数形结合是解题的关键． （1）根据平移的性质找到对应点，顺次连线得出，根据坐标系写出点的坐标，即可求解； （2）根据旋转的性质找到对应点，顺次连线得出，根据坐标系写出点点的坐标，再根据弧长公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， ； 【小问2详解】 解：如图，即为所求，， 点在旋转过程中经过的路径长 为． 18. 如图，是的内接三角形，是的直径，延长到点D，连接，且，．求证：直线是的切线． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质．连接根据等边对等角的性质得到，推出，，再结合三角形内角和定理，得到，即可证明结论． 【详解】证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，，且是的半径， ∴直线是的切线． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知反比例函数． （1）若该反比例函数的图象与直线只有一个公共点，求的值； （2）如图，反比例函数的图象记为曲线，将向右平移3个单位长度，得曲线，请在图中画出，并直接写出平移至处所扫过的面积． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题；平移的性质，熟练掌握以上知识点并数形结合是解题的关键． （1）把这两个函数解析式联立，化简可得，反比例函数的图象与直线只有一个公共点，可得，即可求得值； （2）将向右平移3个单位长度，得曲线，画出图象，观察图象借助网格求解出面积即可． 【小问1详解】 解：由题意得 得． 反比例函数的图象与直线只有一个公共点， ， 解得． 【小问2详解】 解：如图所示，为所求： 平移至处所扫过的面积：． 20. 如图1，黄鹤楼自古有“天下绝景”之美誉．如图2为黄鹤楼正面示意图，若在点C处测得楼身点A处的仰角为，在点D处测得楼身点B处的仰角为，黄鹤楼楼身宽30米，，A点距离地面20米，请计算出地面上的测量点C，D之间的距离．（结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，） 【答案】地面上的测量点之间的距离约为105.0米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作于点，过点作于点，根据题意可得：米，米，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而进行计算即可解答． 【详解】解：如解图，过点作于点，过点作于点，则四边形为矩形，米，米， 在中，米，， （米）， 中，米，， （米）， （米）， 答：地面上的测量点之间的距离约为105.0米． 六、（本题满分12分） 21. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与x轴交于点C，连接． （1）求k，b，n值； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解答本题的关键． （1）把代入求出k，把代入求出，再把和代入求解即可； （2）根据直线解析式求出点C的坐标得到长，依据，进而计算即可得解． 【小问1详解】 解：把代入得， ， 把代入得， 点的坐标为， 把和代入得： ， 解得：， ， ． 【小问2详解】 解：令时，则， 解得， 点的坐标为， ． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，矩形中，，相交于点O，过点O作于点E，于点F． （1）求的值； （2）如图2，当旋转，且时，求的值； （3）如图3，当时，过点O作，交的延长线于点E，交的延长线于点F，此时的值是否变化？证明你的结论． 【答案】（1） （2） （3）变化， 【解析】 【分析】本题是相似形的综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据题意得到，，证明，，； （2）过点作，垂足分别为，证明，根据相似三角形的性质定理即可得到结论； （3）过点作，垂足分别为，证明，根据相似三角形性质定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵矩形，，，， ∴，， ∴，， 又∵是的中点， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点作，垂足分别为． 由（1）得． ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：的值有变化． 过点作，垂足分别为． 同理， ∴， ∵， ∴，， ∴． 八、（本题满分14分） 23. 如图，二次函数的图象与x轴分别交于点，直线l是对称轴．点P在函数图象上，且P在直线的右侧，连接，过点P作，垂足为Q，以点Q为圆心，作半径为r的圆，与相切，切点为R． （1）求二次函数的解析式； （2）若的面积等于的切线长，求的半径r； （3）在（2）的条件下，若在点的上侧，求的取值范围． 【答案】（1） （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）二次函数的图象与x轴分别交于点，利用二次函数交点式，将A，B的坐标代入解析式即可求得二次函数的解析式； （2）设点P坐标为，表示出点Q坐标，长，连接，由切线的性质得是直角三角形，，根据的面积等于的切线长，可求的的半径r； （3）根据在点的上侧可知点P的纵坐标，解不等式即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象与x轴分别交于点， ∴， ∴此抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：设点P坐标为， 抛物线的对称轴为直线l：， ∵，垂足为Q， ∴Q点坐标为，， 连接， ∵与相切，切点为R， ∴， ∴， 如图，作于H， 则， ∴ ， ∵的面积等于的切线长， ∴， 解得：， ∴的半径r为1； 【小问3详解】 解：∵在点的上侧，， ∴点Q纵坐标大于4， ∵点Q坐标为， ∴，即， ∵P在直线的右侧即， ∴， ∴， 答：取值范围为． 【点睛】此题主要考查了二次函数的解析式的求法，圆的切线的性质，三角形得面积等几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度、三角形的面积，进而解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$