精品解析：四川省成都市石室成飞中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

成都市石室成飞中学2024-2025学年下期高一三月月考数学 （满分150分，考试时间120分钟） 一.单项选择题（每题5分，共40分） 1. 已知的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求解. 【详解】根据题意，， . 故选：A. 2. （ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据和角正弦公式化简求值即可. 【详解】由和角正弦公式知. 故选：D 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】. 故选：D. 4. 下列函数是奇函数，且在定义域内单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本初等函数的单调性与奇偶性逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数的定义域为，， 即函数为偶函数， 且，即函数在上为减函数，在上为增函数， 所以，函数在上不单调，A不满足要求； 对于B选项，函数为奇函数，该函数的定义域为， 函数在定义域上不单调，B不满足要求； 对于C选项，函数的定义域为，， 所以，函数为奇函数， 因为函数在上为增函数，则该函数在上为增函数， 故函数在上为增函数，C满足要求； 对于D选项，函数为奇函数，且该函数在定义域上不单调，D不满足要求. 故选：C. 5. 如图，平行四边形中，是边上的一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量线性运算化简求解即可. 【详解】，故A错误；，故B正确； ，故C错误；，故D错误. 故选：B 6. 要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ） A 向右平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数平移性质判定即可. 【详解】向右平移个单位， 将函数的图像得到函数的图象 故选：C. 7. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系求出的值，然后利用两角差的余弦公式可求得的值. 【详解】因为，则， 所以，， 因此， . 故选：C. 8. 方程的根的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】在同一坐标系中，画出和的函数图象求解. 【详解】画出和的函数图象， 因为，， 结合图象可得函数与函数图像的交点个数是5个. 故选：A 二．多项选择题（每题6分，共18分） 9. 下面的命题正确的有（ ） A. 方向相反的两个非零向量一定共线 B. 单位向量都相等 C. 若，满足且与同向，则 D. “若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形” 【答案】AD 【解析】 【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可. 【详解】对于A，由相反向量概念可知A正确； 对于B，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B错误； 对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误； 对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且， 可得，且，故四边形ABCD是平行四边形； 若四边形ABCD是平行四边形，可知，且， 此时A、B、C、D是不共线的四点，且，故D正确. 故选：AD. 10. 已知函数．下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于直线轴对称 B. 在区间内单调递增 C. 的图象关于点中心对称 D. 将图象上各点先横坐标扩大为原来的2倍，再向右平移个单位得到正弦曲线 【答案】AC 【解析】 【分析】根据三角函数的图象和性质可判断ABC 的真假，根据函数的图象变换判断D的真假. 【详解】对A：因为，是函数的最大值，所以是函数的对称轴，故A正确； 对B：由，，可得：，. 所以函数在上递增，在上递减，故B错误； 对C：因为，所以是函数的对称中心，故C正确； 对D：将图象上各点先横坐标扩大为原来的2倍，可得的图象， 再向右平移个单位得到的图象为正弦型曲线，不是正弦曲线，故D错. 故选：AC 11. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈.若规定：盛水筒对应的点从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系.设盛水筒从点运动到点时所经过的时间为（单位：），且此时点距离水面的高度为（单位：）（在水面下则为负数），则与的关系为.下列说法正确的是（ ） A B. 点第一次到达最高点需要的时间为 C. 在转动的一个周期内，点在水中的时间是 D. 若在上的值域为，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据三角函数基本量求解方法，结合题意即可判断A；根据旋转角度即可判断B和C；根据三角函数图像，结合整体代换的方法即可判断D. 【详解】对于A，因为筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为， 则依题意，满足，所以， 因为筒车每分钟60s沿逆时针方向转动3圈，所以，， 则，由可得， 又因为，所以，故A正确； 对于B，由已知得，与轴正方向的夹角为， 所以点第一次到达最高点需要转动，则所需时间为，故B正确； 对于C，在转动一个周期内，点在水中转动， 则所需要的时间是，故C错误； 对于D，若在上的值域为， 则在上的值域为， 因为，所以， 作出函数的图象，依题意需使 即，解得，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的实际应用问题.关键点在于研究图形特点，通过数据转化为三角函数解析式的基本量，进而求解三角函数解析式，从而求解答案. 三.填空题（每题5分，共15分） 12. 若，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用二倍角的正切公式计算作答. 【详解】因为，所以. 故答案为： 13. 函数，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】把作为一个整体，结合二次函数性质求最小值． 【详解】， 因为， 所以时，， 故答案为：． 14. 已知，，函数的图象如图所示，是的图象与相邻的三个交点，与轴交于相邻的两个交点为，若在区间上有2027个零点，则的最大值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用图象过原点得，结合对称轴及图象确定，再利用三角函数的零点计算即可. 【详解】将原点坐标代入得， 则，又，所以， 故， 因为的中点横坐标为， 故， 又对应的点为轴左侧第一个最低点，所以， 解得，解得， 所以， 令得， 则或， 解得或， 所以相邻两个零点的距离有两种，可能为， 在上，有2027个零点，要求的最大值， 则当为个和1014个时，取得最大值， 最大值为. 故答案为：. 四.解答题（共5小题，77分） 15. 已知函数 . （1）请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象； （2）求使此函数取得最大值，最小值的自变量的集合，并分列写出最大值、最小值. 【答案】（1）图象见解析 （2），此时；，此时 【解析】 【分析】（1）由周期计算公式，即可求出周期，把当作一个整体，求出五个关键点，即可求解； （2）把当作一个整体，利用的性质，即可求解. 【小问1详解】 函数 的周期为，列表 描点、连线得到图象如下， 【小问2详解】 易知，此时，解得， 所以取最大值时，的取值集合为， ，此时，解得， 所以取最小值时，的取值集合为. 16. 已知为锐角，. （1）求的值； （2）若，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的商数关系求解即可； （2）根据和正弦的两角差公式求解即可. 【小问1详解】 因为为锐角，，从而， 所以. 【小问2详解】 由及，，解得，， 又，所以， 所以， 所以 ， 因为，所以. 17. 已知为锐角，． （1）求证：； （2）的值． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）由两角和的正弦公式展开求解出，然后证明即可； （2）由（1）求出的值，然后利用平方和关系结合角的范围求解即可. 【小问1详解】 证明：因为， 所以，又， 所以， 所以，即 所以 【小问2详解】 ， 所以， 因为为锐角，所以，所以， 所以，所以. 18. 已知函数． （1）求单调递增区间； （2）求不等式的解集﹔ （3）若对任意的，恒成立，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先将函数化为，再根据正弦函数的单调性即可求解. （2）根据正弦函数值的分布性质直接求解即可. （3）先求出函数在区间上的值域，从而得到，则恒成立等价于，从而得解. 【小问1详解】 由题， 令，， 故函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 由（1）即， 所以， 故不等式的解集为. 【小问3详解】 由（1）， 因为，所以， 所以，故， 所以若对任意的，恒成立， 则，， 故m的取值范围为：. 19. “凸凹性”是函数的重要性质.若函数的图像在定义域区间上连续不断，且对任意，恒有，则称函数是区间上的上凸函数；若恒有，则称函数是区间上的下凸函数（也称凹函数）.将上述定义进行推广，即若是上凸函数，则对任意恒有，若是下凸函数，则对任意恒有，当且仅当时等号成立，这个不等式即为著名的琴生不等式. （1）判断是上凸还是下凸函数？（直接写出结论即可）； （2）判断在上是上凸还是下凸函数？并证明你的结论； （3）已知锐角满足，求的最大值. 【答案】（1）下凸函数 （2）上凸函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用下凸函数的定义判断即可； （2）利用上凸函数的定义判断； （3）利用（2）的结论，根据琴生不等式可得：，对原式进行化简，得到原式，结合基本不等式和琴生不等式得解. 【小问1详解】 是下凸函数. ， 故，所以函数是下凸函数. 【小问2详解】 在上是上凸函数，证明如下： ， 显然，则 因此， 函数在上是上凸函数. 【小问3详解】 由（2）知，在上是上凸函数， 根据琴生不等式：， ， 当且仅当即时取到最大值. 【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题有关的数学知识与方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 成都市石室成飞中学2024-2025学年下期高一三月月考数学 （满分150分，考试时间120分钟） 一.单项选择题（每题5分，共40分） 1. 已知的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. 0 B. C. D. 1 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数是奇函数，且在定义域内单调递增的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，平行四边形中，是边上的一点，则（ ） A. B. C. D. 6. 要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ） A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位 7. 若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 方程的根的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二．多项选择题（每题6分，共18分） 9. 下面的命题正确的有（ ） A. 方向相反的两个非零向量一定共线 B 单位向量都相等 C. 若，满足且与同向，则 D. “若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形” 10. 已知函数．下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于直线轴对称 B. 在区间内单调递增 C. 的图象关于点中心对称 D. 将图象上各点先横坐标扩大为原来的2倍，再向右平移个单位得到正弦曲线 11. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈.若规定：盛水筒对应的点从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系.设盛水筒从点运动到点时所经过的时间为（单位：），且此时点距离水面的高度为（单位：）（在水面下则为负数），则与的关系为.下列说法正确的是（ ） A. B. 点第一次到达最高点需要的时间为 C. 在转动的一个周期内，点在水中的时间是 D. 若在上的值域为，则的取值范围是 三.填空题（每题5分，共15分） 12. 若，则________． 13. 函数，则最小值为______． 14. 已知，，函数的图象如图所示，是的图象与相邻的三个交点，与轴交于相邻的两个交点为，若在区间上有2027个零点，则的最大值为_____. 四.解答题（共5小题，77分） 15. 已知函数 . （1）请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象； （2）求使此函数取得最大值，最小值的自变量的集合，并分列写出最大值、最小值. 16. 已知为锐角，. （1）求的值； （2）若，且，求的值. 17. 已知锐角，． （1）求证：； （2）的值． 18. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）求不等式的解集﹔ （3）若对任意的，恒成立，求m的取值范围． 19. “凸凹性”是函数的重要性质.若函数的图像在定义域区间上连续不断，且对任意，恒有，则称函数是区间上的上凸函数；若恒有，则称函数是区间上的下凸函数（也称凹函数）.将上述定义进行推广，即若是上凸函数，则对任意恒有，若是下凸函数，则对任意恒有，当且仅当时等号成立，这个不等式即为著名的琴生不等式. （1）判断上凸还是下凸函数？（直接写出结论即可）； （2）判断在上是上凸还是下凸函数？并证明你的结论； （3）已知锐角满足，求最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$