四川省仁寿第一中学校（北校区）2025-2026学年高一下学期6月月考数学试题

**基本信息** 聚焦高一下学期核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，考查向量、三角、立体几何等模块，渗透数学抽象、空间观念与逻辑推理素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量共线、复数运算、三角函数图像变换|基础题为主，直接考查概念应用| |多选题|3/18|三角恒等变换、向量数量积|选项分层，考查辨析与推理能力| |填空题|3/15|纯虚数概念、圆周运动函数模型、直三棱柱外接球体积|结合实际情境，体现模型意识| |解答题|5/77|向量运算、立体几何证明（线面/面面平行）、三角函数图像与性质、解三角形|综合性强，如正四面体异面直线成角考查空间想象，解三角形取值范围考查逻辑推理|

仁寿一中北校区高2025级高一下学期6月月考数学试题答案解析 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每个小题只有一个选项符合题目要求． 1. 已知平面向量，，若，则（ ） A. -9 B. -4 C. 4 D. 9 【答案】B【详解】，，解得.故选：B. 2. 在复平面内，i为虚数单位，若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C【详解】依题意，.故选：C 3. 要得到函数的图象，只需将函数的图象上的所有点（ ） A. 向上平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向下平移个单位 D. 向左平移个单位 【答案】B【详解】要得到函数的图象，只需将函数的图象上的所有点向右平移个单位.故选：B 4. 已知一个圆锥的母线长为3，表面积为，则该圆锥的底面半径为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 5 【答案】A 【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为，因为圆锥的表面积为，母线长为， 所以，即 ，解得 或 （舍去）故选：A 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D【详解】由，， 所以.故选：D 6. 如图，在棱长为2的正四面体中，点D为边的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A【详解】在正四面体中，取中点，连接， 由是的中点，得，则是异面直线与所成的角或其补角， ，则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 7. 已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【详解】， 即，故， ， 因为，所以，故，因为，所以， 故为等腰直角三角形.故选：D 8. 已知底面是正方形的直四棱柱的外接球的表面积为，且，则与底面所成角的正切值为（  ） A. B. C. D. 【答案】C【详解】设四棱柱的高为h，则，解得h=6，则AC1与底面ABCD所成角的正切值为 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确.故选：AD 10. 下列说法正确的是（ ） A. ， B. C. 若，，则的最小值为1 D. 若是关于x的方程的根，则 【答案】ACD【详解】对于A，，设复数，则，， 故，A正确；对于B，由于，故，B错误；对于C，，设，由于，则， 故， 由，得，则，故当时，的最小值为1，C正确； 对于D，是关于x的方程的根， 故，即， 故，D正确，故选：ACD 11. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数单调递减 D. 该图象向右平移个单位可得的图象 【答案】BD 【详解】由图象得，，解得，所以的最小正周期为，故A错； ，则，将代入中得， 则，，解得，， 因为，所以，，， 所以是的对称轴，故B正确； 当时，，因为在上不单调， 所以在上不单调，故C错； 该图象向右平移个单位可得，故D正确.故选：BD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．将答案直接填在答题卷相应的横线上． 12. 已知，若复数是纯虚数，则________． 【答案】3【详解】由是纯虚数，得，解得，， 所以.故答案为：3 13. 如图，在平面直角坐标系中，点M在半径为2圆心为O的圆周上，它从初始位置开始，按逆时针方向以角速度匀速转动，则点M的纵坐标y关于时间t的函数关系式为________． 【答案】 【详解】依题意，以射线为终边的角，时刻点M所在射线为终边的角为， 由三角函数定义得.故答案为：. 14. 已知在直三棱柱中，，，，则该三棱柱外接球的体积为______. 【答案】【详解】设底面三角形外接圆圆心，则，即， 设该三棱柱外接球球心为，则且， 由底面，且底面，故， 即，则该三棱柱外接球的体积为. 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，． （1）若，求的值； （2）设函数，求函数在R上的单调递增区间． 【答案】（1） （2） 【小问1详解】因为，所以，又，， 所以，所以， 所以，所以； 【小问2详解】因为，， 所以 由，得， 所以函数在R上的单调递增区间为． 16. 已知向量，满足：，，. （1）求与的夹角的余弦值； （2）若，求实数的值. 【答案】（1） （2）或 【小问1详解】由题可得， 因为，，代入可得， ，所以与的夹角的余弦值. 【小问2详解】因为，所以， 化简可得， 将，，代入可得，解得或. 17．如图，P为正方形所在平面外一点，E，F，G分别为，，的中点． 求证：（1）平面； （2）平面平面． 17．【详解】（1）证明：如图所示： 取中点，分别连接，，，，分别为，，的中点， ，，为平行四边形．． 又平面，平面，平面． （2），分别为，的中点，．又平面，平面， 平面．由（1）知平面，．∴平面平面． 18. 已知函数在一个周期内的图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）求函数在区间上的最值及对应的的取值； （3）当时，写出函数的单调递增区间. 【答案】（1） （2）的最大值为，此时，的小值为，此时 （3） 【分析】（1）借助图象，利用最值可得，利用周期可得，再借助点可得； （2）由，则，再结合正弦函数图象计算即可得； （3）当时，有，再结合正弦函数单调性计算即可得. 【小问1详解】由图可知或，， 又、，则，， 则有，解得， 又，则，故； 【小问2详解】当时，， 则，故，即函数在区间上的最大值为， 此时有，即；函数在区间上的最小值为， 此时有，即； 【小问3详解】当时，， 则当，即时，单调递增， 即当时，函数的单调递增区间为. 19． 在锐角中，角的对边分别为，已知， 且． （1）求角A的大小； （2）若，求的面积； （3）求的取值范围． 19．（1） （2） （3） 【详解】（1）因为 ， 且，则，可得，整理得，所以． （2）由余弦定理，即， 解得或（舍去）， 所以的面积． （3）由正弦定理，可得，， 则 ， 因为为锐角三角形，且，则，解得， 则，可得， 则，所以的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 仁寿一中北校区高2025级高一下学期6月月考数学试题 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每个小题只有一个选项符合题目要求． 1. 已知平面向量，，若，则（ ） A. -9 B.-4 C. 4 D. 9 2. 在复平面内，i为虚数单位，若复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 要得到函数的图象，只需将函数的图象上的所有点（ ） A. 向上平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向下平移个单位 D. 向左平移个单位 4. 已知一个圆锥的母线长为3，表面积为，则该圆锥的底面半径为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 5 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在棱长为2的正四面体中，点D为边的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 8. 已知底面是正方形的直四棱柱的外接球的表面积为，且，则与底面所成角的正切值为（  ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. ， B. C. 若，，则的最小值为1 D. 若是关于x的方程的根，则 11. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数单调递减 D. 该图象向右平移个单位可得的图象 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．将答案直接填在答题卷相应的横线上． 12. 已知，若复数是纯虚数，则________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点M在半径为2圆心为O的圆周上，它从初始位置开始，按逆时针方向以角速度匀速转动，则点M的纵坐标y关于时间t的函数关系式为________． 14. 已知在直三棱柱中，，，，则该三棱柱外接球的体积为________． 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，． （1）若，求的值；（2）设函数，求函数在R上的单调递增区间． 16. 已知向量满足：，，. （1）求与的夹角的余弦值； （2）若，求实数的值. 17．如图，P为正方形所在平面外一点，E，F，G分别为，，的中点． 求证：（1）平面； （2）平面平面． 18. 已知函数在一个周期内的图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）求函数在区间上的最值及对应的的取值； （3）当时，写出函数的单调递增区间. 19． 在锐角中，角的对边分别为，已知， 且． （1）求角A的大小； （2）若，求的面积； （3）求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $