江西省南昌新民外语学校2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

新民学校2024—2025学年度第一学期期末考试 高二数学试卷 考试范围：选择性必修一；考试时间：120分钟；命题人：刘青华；审题：高二数学组 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1．某学校开设5门球类运动课程、6门田径类运动课程和3门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（    ） A．90种 B．30种 C．14种 D．11种 2．已知一系列样本点的一个经验回归方程为，若，则（    ） A．67 B．68 C． D． 3．抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．已知随机变量，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．9 6．某餐饮店在网络平台推出一些团购活动后，每天团购券的核销量（单位：张），则200天中团购券的核销量在84到132张的天数大约是（    ） （若随机变量，则，，） A．191 B．137 C．159 D．164 7．某单位计划安排“五一”假期间值班人员，若安排甲、乙、丙，丁四人值班5天，每天均有一人值班，每人至少值班一天，则不同值班的方法数为（    ） A．60 B．180 C．240 D．300 8．已知，直线与的交点在圆上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设离散型随机变量的分布列为： 0 1 2 3 0.4 0.3 0.2 若离散型随机变量满足，则（    ） A． B． C． D． 10．已知双曲线：，则下列说法中错误的是（   ） A．双曲线的焦距为 B．双曲线的实轴长为 C．双曲线的离心率为 D．双曲线的渐近线方程为 11．如图，在长方体中，，M，N分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（   ） A．平面 B．平面 C．异面直线和所成角的余弦值为 D．若为线段上的动点，则点到平面的距离不是定值 第II卷（非选择题） 三、填空题 12．展开式中的常数项为 ． 13．甲箱中有个白球，个黑球，乙箱中有个白球，个黑球，先从甲箱中任取一球放入乙箱中，再从乙箱中任取一球，从乙箱中取出白球的概率是 ． 14．已知点A，B，C是离心率为的双曲线上的三点，直线的斜率分别是，点D，E，F分别是线段的中点，为坐标原点，直线的斜率分别是，若，则 ． 四、解答题 15．已知两点，直线． （1）若直线经过点P，且，求直线的方程； （2）若圆C的圆心在直线l上，且P，Q两点在圆C上，求圆C的方程． 16．一个袋子中有6个大小相同的球，其中有2个黄球，4个白球，从中随地摸出3个球作为样本.用 表示样本中黄球的个数. （1）若不放回摸球，求的分布列； （2）若有放回摸球，求的分布列和均值. 17．为考察某种药物对预防疾病的效果，进行了动物（单位：只）试验，得到如下列联表： 药物 疾病 合计 未患病 患病 未服用 100 80 服用 150 70 220 合计 250 400 （1）求s,t； （2）记未服用药物的动物患疾病的概率为，给出的估计值； （3）根据小概率值的独立性检验，能否认为药物对预防疾病有效? 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 18．在荾形中，，，将菱形沿着翻折，得到三棱锥如图所示，此时． （1）求证：平面平面； （2）若点是的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 19．已知椭圆：（）的离心率，且椭圆过点. （1）求的方程： （2）过点直线与椭圆有两个交点，，已知轴上点，求证：. 《2024-2025学年度高二下学期数学期末考试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A B D D C D ABD BCD 题号 11 答案 ACD 1．C 【分析】根据分类加法计数原理求解即可. 【详解】根据分类加法计数原理，不同的选法共有种． 故选：C． 2．D 【分析】将代入回归方程可求得结果. 【详解】由题意得，得． 故选：D 3．A 【分析】利用抛物线的标准方程直接得到焦点坐标即可. 【详解】抛物线，即， 所以抛物线的焦点， 故选 ：A． 4．B 【分析】直接根据条件概率公式求解可得结果. 【详解】由， 故选：B 5．D 【分析】直接由二项分布的方差公式以及方差的性质即可求解. 【详解】因为随机变量，且，则. 故选：D. 6．D 【分析】根据正态分布，求在指定区间概率即可得解. 【详解】由题可知，， . 故200天内团购券的核销量在84到132张的天数大约是. 故选：D 7．C 【分析】由不平均分组法或者直接由分步乘法计数原理即可求解. 【详解】方法一（不平均分组）：由题意这五天中有一人值了两天班，即四人的值班天数为， 故所求为， 方法二：从五天中选两天分配给其中一人，再将剩下的三人、三天进行全排列， 故所求为. 故选：C. 8．D 【分析】根据直线过定点以及垂直关系确定点在以为直径的圆上，进而根据两圆的位置关系即可求解. 【详解】由直线，的方程知直线过定点，直线过定点， 又，所以，即，所以点在以为直径的圆上， 的中点,, 故在圆上，又在圆上，所以圆与圆有交点， 即，又，所以，即的取值范围是． 故选:D． 9．ABD 【分析】利用分布列的性质求得，从而利用期望与方差公式与性质即可得解. 【详解】由分布列的性质知，则， 故，故A正确； ，故C错误； 则，故B正确； 所以，故D正确． 故选：ABD． 10．BCD 【分析】根据双曲线标准方程以及双曲线的几何性质逐一判断选项可得结论. 【详解】双曲线：，则，，， 则双曲线的焦距长为，故A正确； 双曲线的实轴长为，故B错误； 双曲线的离心率为，故C错误； 双曲线的渐近线为，故D错误. 故选：BCD 11．ACD 【分析】根据线面平行、线面垂直、线线角、点面距以及空间向量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】连接，由于分别是的中点，所以， 根据长方体的性质可知，所以四边形是平行四边形， 所以，则，由于平面，平面， 所以平面，所以A选项正确. 以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， ， ， ，所以与不垂直，则与平面不垂直，B选项错误. ，设直线与所成角为， 则，C选项正确. ， 设平面的法向量为，则， 故可设，由于， 所以直线与平面不平行，所以点到平面的距离不是定值，D选项正确. 故选：ACD 【点睛】判断线面是否平行，可以用线面平行的判定定理来进行判断.要判断线面是否垂直，可以利用向量法来进行判断，要求异面直线所成角，可以考虑利用几何法或向量法来进行求解. 12．24 【详解】分析：由题意，求得二项式的展开式的通项为，即可求解答案. 详解：由题意，二项式的展开式的通项为， 令，则. 点睛：本题主要考查了二项式定理的应用，其中熟记二项展开式的通项公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 13．/ 【分析】根据全概率公式直接求解即可. 【详解】记事件为“从甲箱中取出一个白球放入乙箱”，事件为“从乙箱中取出白球”， 则，，，， . 故答案为：. 14．3 【分析】由题意首先得，进一步由点差法得，由同理思想即可得解. 【详解】因为双曲线的离心率为， 所以，不妨设， 因为点A，B在上，所以，两式相减，得， 因为点是的中点，所以，， 所以，即， 所以，同理，． 因为，所以．     故答案为：3. 【点睛】关键点点睛：关键是得到，由此即可顺利得解. 15．（1） （2） 【分析】（1）易知直线的斜率为2，再根据结合直线经过点求解； （2）方法一：求得的中垂线方程，再由圆心C在直线l上，由求得圆心即可；方法二：根据圆C的圆心在直线l上，可设圆心C的坐标为，半径为r，再由P，Q两点在圆C上，代入圆的方程求解. 【详解】（1）解：直线的斜率为2， 设直线的斜率为k，由，得，解得， 又直线经过点， 所以直线的方程为，即． （2）方法一：，所以的中垂线的斜率为， 又的中点为，所以的中垂线的方程为，即． 因为两点在圆C上，所以圆心C在的中垂线上， 又圆心C在直线l上，由得即圆心C的坐标为， 又圆C的半径， 所以圆C的方程为． 方法二：因为圆C的圆心在直线l上，所以可设圆心C的坐标为，半径为r， 所以圆C的方程为， 又P，Q两点在圆C上， 所以，解得 所以圆C的方程为． 16．（1）分布列见解析 （2）分布列见解析，均值为1 【分析】（1）先由条件判断服从超几何分布，由概率计算公式计算即得分布列 ； （2）由条件判断服从二项分布，运用概率计算公式计算即得分布列与均值. 【详解】（1）对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，服从超几何分布，的分布列为 0 1 2 （2）对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为，且各次试验之间的结果是独立的，因此. 的分布列为. 0 1 2 3 . 17．（1）， （2） （3）能认为药物对预防疾病有效 【分析】（1）根据列联表求和即可； （2）用频率估计概率，计算即可； （3）根据公式计算，然后根据临界值表分析判断即可. 【详解】（1）由列联表知，； （2）由列联表知，未服用药物的动物有（只）， 未服用药物且患疾病的动物有（只）， 所以未服用药物的动物患疾病的频率为， 所以未服用药物的动物患疾病的概率的估计值为； （3）零假设为：药物对预防疾病无效， 由列联表得到， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为药物对预防疾病有效，该推断犯错误的概率不超过， 所以根据小概率值的独立性检验，能认为药物对预防疾病有效. 18．（1）证明见解析 （2） 【分析】（1）取的中点，由已知得到和的长，由勾股定理的逆定理得到，再结合证明平面，由此证明平面平面； （2）以为原点建立空间直角坐标系，分别写出直线的方向向量和平面的法向量，利用空间坐标求出角的正弦值. 【详解】（1） 证明：因为四边形是菱形，， 所以与均为正三角形， 取的中点，连结，，则， 因为，所以， 因为，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面； （2）由（1）可知，，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 因为是的中点，所以， 所以，，， 设为平面的一个法向量， 则 令，得，，所以， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19．（1）； （2）证明见解析. 【分析】（1）利用给定的离心率及所过的点求出即得. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式计算得证. 【详解】（1）由椭圆：的离心率，得，则， 由椭圆过点，得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）依题意，直线的斜率存在，设直线的方程：， 由消去，得，设， 则，， 所以 . 学科网（北京）股份有限公司 $$