精品解析：湖南省岳阳市弘毅新华中学2024—2025学年下学期八年级数学入学考试卷

2025年弘毅新华中学八年级（下）数学入学考试试卷 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（共10小题，每题3分，共计30分） 1. 在式子 、 、 、 中，分式的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【详解】 、的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式． ，的分母中含有字母，因此是分式． 故选B． 2. 若，且是任意实数，则下列不等式总成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质进行计算，逐一判断即可解答．熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：A、∵， ∴当时，， 故A不符合题意； B、∵， ∴当时，， 故B不符合题意； C、∵， ∴， 故C符合题意； D、∵， ∴当时，， 故D不符合题意； 故选：C． 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的加减运算、二次根式的性质、二次根式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用二次根式的加减运算法则、二次根式的性质、二次根式的除法运算法则分别化简，进而判断得出答案． 【详解】A.与不是同类二次根式，不能合并，故本选项不正确； B.，故本选项不正确； C.，故本选项正确； D.，故本选项不正确； 故选：C 4. 下列长度的三条线段，能首尾相接构成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. C. 2，2，4 D. 2，3，6 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，算术平方根，关键是掌握在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 利用三角形的三边关系定理进行分析即可． 详解】解：A、，不能构成三角形，不符合题意； B、，能构成三角形，符合题意； C、，不能构成三角形，不符合题意； D、，不能构成三角形，不符合题意． 故选：B． 5. 如果二次根式有意义，那么的取值范围是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解一元一次不等式，根据题意得出且，求解即可． 【详解】由题意得，且， 解得， 故选：A． 6. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集表达，熟悉掌握运算法则是解题的关键．解出不等式组后画图即可． 【详解】解： 由①可得：， 由②可得：， ∴在数轴上表示为：， 故选：B． 7. 下列命题是真命题的是（　　） A. 相等的角是对顶角 B. 三角形的一个外角大于这个三角形的任何一个内角 C. 三角形任意两边之和大于第三边 D. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大． 利用对顶角的定义、三角形的外角的性质、三角形的三边关系及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、三角形的一个外角大于不相邻的任何一个内角，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C、三角形的任意两边之和大于第三边，正确，是真命题，符合题意； D、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意． 故选：C． 8. 关于x的方程＝2+有增根，则k的值为（　　） A. ±3 B. 3 C. ﹣3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据增根的定义可求出x的值，把方程去分母后，再把求得的x的值代入计算即可. 【详解】解：∵原方程有增根， ∴最简公分母x﹣3＝0， 解得x＝3， 方程两边都乘（x﹣3）， 得：x﹣1＝2（x﹣3）+k， 当x＝3时，k＝2，符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查的是分式方程的增根，在分式方程变形的过程中，产生的不适合原方程的根叫做分式方程的增根.增根使最简公分母等于0，不适合原分式方程，但是适合去分母后的整式方程． 9. 如图，在中，于点，交于点，，以点为圆心长为半径作弧，交于点，连结交于点．若，则长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，灵活运用等腰、等边三角形性质求解是解题的关键． 连接，根据线段垂直平分线的性质可得，结合题意证是等边三角形，根据等边三角形“三线合一”可得，在中三角形内角和定理求出，得出． 详解】解：连接，如图． ， ， 由题意可知， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ∵， ， ∴， 故选：B． 10. 如图，O为内的一点，D为AB边上的一点，，，，连接CD．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】由题意易证，然后可判断①②，根据全等三角形的性质及三角形外角的性质可判断③，过点D作于E，过点B作交的延长线于点F，证明，根据全等三角形的性质可得，利用三角形的面积公式可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，，，故①正确； ∵，， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； 过点D作于E，过点B作交的延长线于点F，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故④正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质是解题的关键． 二、填空题（共8小题，每题3分，共计24分） 11. 立方根是___． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解答问题的关键． 如果一个数的立方等于a，这个数叫做a的立方根，根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：立方根是， 故答案为：． 12. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁牧的一首诗《苔》．苔花的花粉直径约为0.0000084m，用科学记数法表示0.0000084为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值小于1的数， 将小数写成的形式，其中，n为负整数． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 若的整数部分为，小数部分为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的估算的运算，掌握无理数是无限不循环小数，包括整数部分和小数部分并理解其表示形式是解题的关键．无理数是无限不循环小数，包括整数部分和小数部分，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即 ∴, ∴， 故答案为：． 14. 如图,中,，点E为的中点，点D在上，且、相交于点F，若，则等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，解题的关键是熟练运用“直角三角形斜边中点到三顶点距离相等”得出等腰三角形，再结合等腰三角形底角相等和三角形外角等于不相邻两内角和推导角度． 由且E为中点，得，故；由得，再利用三角形外角性质得，，计算得角度． 【详解】解：由条件可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D，再分别以A，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线交于点E，交于点F，则的长为 ____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作垂线和线段，勾股定理，相似三角形的判定和性质，根据勾股定理求出的长，再证明，得出，即可推出结果． 【详解】解：在中，由勾股定理得， ， 由作图可知，，垂直平分， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，有少数同学为了避开拐角走“捷径”，在长方形的绿化草坪中走出了一条“路”，其实他们仅仅少走了___米． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用；由勾股定理求出“路”长，再用两直角边和减去“路”长即可． 【详解】解：由题意知，“路”长（米）， 则少走了：（米）； 故答案为：4． 17. 如图，在中，平分，，且的面积为，则的面积为_______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了角平分线性质、全等三角形的判定和性质，延长交于点，证明，得到，继而得到即可得到的面积．熟练掌握以上知识点是关键． 【详解】解：如图，延长交于点， 平分， ， ， ， ， ， ，， ， 的面积为， ． 故答案为：20． 18. 如图，在直角中，，，，，D、E、F分别是边上的动点，则的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称路径最短问题，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．，推出，可得、、共线，由，，可知、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题理解转化思想是解题的关键． 【详解】解：如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． ∴ ，，， ， 、、共线， ， ， 当、、、共线时，且时，的值最小，最小值， ， ， ∴的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共计66分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键． （1）根据实数的混合运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 20. 解不等式组：，并求出它的所有整数解的和． 【答案】不等式组的解集是-2≤x＜4，和为3 【解析】 【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出范围内的整数． 【详解】解：， 解不等式①得，x≥-2， 解不等式②得，x＜4， 所以，不等式组的解集是-2≤x＜4， 所以，它的所有整数解的和是-2-1+0+1+2+3=3． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 21. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值；先对括号内进行通分运算，同时对分子、分母进行因式分解，再将除转化为乘，进行约分，结果化为最简分式或整式，然后代值计算，即可求解；掌握分式化简的步骤是解题的关键． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式 ． 22. 如图，在中，于点D，E上一点，连结交于点F，且，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是掌握全等三角形的判定方法． （1）根据，得出，再根据证明，即可推出结论； （2）根据，得出，由，利用勾股定理即可求出，进而得到，由即可得到结果． 小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 23. 哈尔滨市道路改造工程中，有一段6000米的道路由甲、乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队每天完成工作量的2倍，且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用30天． （1）求甲、乙两工程队每天各完成多少米； （2）如果甲工程队每天需付工程费1000元，乙工程队每天需付工程费600元，若甲、乙两工程队共同完成此项任务，支付工程队总费用低于33800元，则甲工程队最少施工多少天？（注：天数取整数） 【答案】（1）甲工程队每天完成200米，乙工程队每天完成100米；（2）甲工程队最少施工12天 【解析】 【分析】（1）设乙工程队每天完成x米，根据时间关系列方程解答即可； （2）设甲工程队施工a天，根据题意列不等式解答. 【详解】解：（1）设乙工程队每天完成x米，则甲工程队每天完成2x米， 根据题意得：， 解得x＝100， 经检验：x＝100是原方程的解， 则2x＝2×100＝200（米）， 答：甲工程队每天完成200米，乙工程队每天完成100米； （2）设甲工程队施工a天， 根据题意得：1000a+600×＜33800， 解得：a＞11， ∵a是整数， ∴a的最小值为12， 答：甲工程队最少施工12天． 【点睛】此题考查分式方程的实际应用，利用不等式解决实际问题的能力，正确理解题意是解题的关键. 24. 如图，直角三角形中，为上一点，作，垂足为，同时恰好垂直平分． （1）求证：平分； （2）如果是中点，，求长度． 【答案】（1）见解析 （2）1 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理、全等三角形判定和性质、直角三角形的性质等知识． （1）证明，则，即可得到结论； （2）由全等得到，利用勾股定理求出解得，则，设，则，则，得到，解方程即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴ ∵恰好垂直平分． ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分； 【小问2详解】 ∵ ∴， ∵， ∴， ∵F是的中点， ∴， 又， ∴， ∴， 解得， ∴ 设， 则， ∵， ∴， ∴， 解得 即长度为1． 25. 如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”． 如分式，，，则与互为“和整分式”，“和整值”． （1）已知分式，互为“和整分式”，则其“和整值”的值为_________； （2）已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整值”，若为正整数，分式的值为正整数． ①求所代表的代数式；②求的值； （3）在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于的方程无解，求实数的值． 【答案】（1） （2）①；②的值为1 （3）的值为：1或 【解析】 【分析】本题考查是新定义运算的理解，分式的加减运算，分式方程的解法，分式方程无解问题，理解题意是解本题的关键．(1)根据定义求解即可；（2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式D的值为正整数t且x为正整数，可得或，从而可得答案；（3）由题意可得：，可得，整理得：，由方程无解，可得或方程有增根，再分两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：分式，互为“和整分式”， ， 其“和整值”的值为2； 【小问2详解】 ①，， ， 与互为“和整分式”，且“和整值”， ， ； ②，且分式的值为正整数且为正整数， 或， 或 ， 为正整数， （舍去），则的值为1 ； 【小问3详解】 由题意可得：， ， ， ，整理得：， 当，解得：，方程无解， 当，方程无解，则有增根， 将代入得，，解得：， 综上：的值为：1或． 26. 构造模型问题： 问题背景：如图1，是等边外一点，，则． 小明为了证明这个结论，将绕点逆时针旋转，请根据此思路完成这个证明： 迁移应用： （1）如图2，是等边内一点，且；求的度数； 拓展提升： （2）如图3，在等腰直角中，，，点在外部，且，若，则的面积是_______（不必证明）． 【答案】（1） （2）18 【解析】 【分析】（1）如图2，将绕点B逆时针旋转得到，连结；再证明是等边三角形可得，再根据可得，即，最后根据角的和差和等量代换即可解答； （2）如图3:过B作交的延长线于点M，连接，则,易得为等腰直角三角形，进而说明；再证可得，然后证明，最后运用三角形的面积公式即可解答． 【小问1详解】 证明：如图2，将绕点B逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可得：，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴是直角三角形，即， ∴， ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图3：过B作交的延长线于点M，连接，则, ∵，、 ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 故答案为18． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理逆定理等知识点，正确作出辅助线、构造等边三角形和全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年弘毅新华中学八年级（下）数学入学考试试卷 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（共10小题，每题3分，共计30分） 1. 在式子 、 、 、 中，分式的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 若，且是任意实数，则下列不等式总成立是（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列长度的三条线段，能首尾相接构成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. C. 2，2，4 D. 2，3，6 5. 如果二次根式有意义，那么取值范围是（   ） A. B. C. D. 6. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题是真命题的是（　　） A. 相等的角是对顶角 B. 三角形的一个外角大于这个三角形的任何一个内角 C. 三角形任意两边之和大于第三边 D. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 8. 关于x的方程＝2+有增根，则k的值为（　　） A. ±3 B. 3 C. ﹣3 D. 2 9. 如图，在中，于点，交于点，，以点为圆心长为半径作弧，交于点，连结交于点．若，则长为（ ） A 2 B. 4 C. D. 10. 如图，O为内的一点，D为AB边上的一点，，，，连接CD．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（共8小题，每题3分，共计24分） 11. 立方根是___． 12. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁牧的一首诗《苔》．苔花的花粉直径约为0.0000084m，用科学记数法表示0.0000084为_________． 13. 若的整数部分为，小数部分为，则的值为______． 14. 如图,中,，点E为的中点，点D在上，且、相交于点F，若，则等于__________． 15. 如图，在中，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D，再分别以A，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线交于点E，交于点F，则的长为 ____． 16. 如图，有少数同学为了避开拐角走“捷径”，在长方形的绿化草坪中走出了一条“路”，其实他们仅仅少走了___米． 17. 如图，在中，平分，，且的面积为，则的面积为_______． 18. 如图，在直角中，，，，，D、E、F分别是边上的动点，则的最小值是_____． 三、解答题（共8小题，共计66分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解不等式组：，并求出它的所有整数解的和． 21. 先化简，再求值：，其中 22. 如图，在中，于点D，E为上一点，连结交于点F，且，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 23. 哈尔滨市道路改造工程中，有一段6000米的道路由甲、乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队每天完成工作量的2倍，且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用30天． （1）求甲、乙两工程队每天各完成多少米； （2）如果甲工程队每天需付工程费1000元，乙工程队每天需付工程费600元，若甲、乙两工程队共同完成此项任务，支付工程队总费用低于33800元，则甲工程队最少施工多少天？（注：天数取整数） 24. 如图，直角三角形中，为上一点，作，垂足为，同时恰好垂直平分． （1）求证：平分； （2）如果是中点，，求长度． 25. 如果两个分式与和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”． 如分式，，，则与互为“和整分式”，“和整值”． （1）已知分式，互为“和整分式”，则其“和整值”的值为_________； （2）已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整值”，若为正整数，分式的值为正整数． ①求所代表的代数式；②求的值； （3）在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于的方程无解，求实数的值． 26. 构造模型问题： 问题背景：如图1，等边外一点，，则． 小明为了证明这个结论，将绕点逆时针旋转，请根据此思路完成这个证明： 迁移应用： （1）如图2，是等边内一点，且；求的度数； 拓展提升： （2）如图3，在等腰直角中，，，点在外部，且，若，则的面积是_______（不必证明）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $