精品解析：福建省南平市顺昌县2024-2025学年下学期第一次阶段练习九年级数学试题

2024-2025学年第二学期阶段练习（一） 九年级数学 （考试时间：120分钟；满分：150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 若收入100元记作元，则支出60元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正数、负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：由于正数、负数表示一对具有相反意义的量， 如果收入100元，记作元，那么支出60元，记作元． 故选：D． 2. 如图所示的几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据左视图是从左面看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从左边看，看到的图形是三角形，即看到的图形如下： 故选：B． 3. 福建舰是我国首艘完全自主设计建造的电磁弹射型航空母舰，满载排水量8万余吨，数据80000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：数据80000用科学记数法表示为． 故选：B． 4. 下列式子运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂除法，解题关键在于运用相关法则来逐一分析选项． 【详解】解：A、根据合并同类项法则，系数相加减，字母和指数不变，而不是，所以该选项错误． B、同样依据合并同类项法则，，并非，该选项错误． C、按照幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，，此选项正确． D、根据同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减，，不是，该选项错误． 故选：C． 5. 如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，熟练掌握知识点，是解题的关键． 根据得到，再由平角即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 6. 某班有5位学生参加志愿服务次数为：7，7，8，10，13．则这5位学生志愿服务次数的中位数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中位数的含义，掌握“把一组数据按照从小到大或从大到小先排序，如果这组数据有奇数个，则正中间的数即为中位数，如果数据是偶数个则最中间两位数的平均数为中位数”是解本题的关键． 【详解】解：在这组数据中位于中间的数据为8， ∴中位数为8， 故选B． 7. 我国古代数学著作《孙子算经》中有“雉兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”其大意是：鸡兔同笼，共有35个头，94条腿，问鸡兔各多少只？设鸡有只，兔有只，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系是解题关键．设鸡有只，兔有只，根据“鸡兔同笼，共有35个头，94条腿”列二元一次方程组即可． 【详解】解：设鸡有只，兔有只， 由题意得：， 故选：D． 8. 如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（ ） A. 点在上 B. 点在内 C. 点在外 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，锐角三角函数，掌握圆的相关性质是解题关键．由垂径定理可得，由圆周角定理可得，再结合特殊角的正弦值，求出的半径，即可得到答案． 【详解】解：如图，令与的交点为， 为半径，为弦，且， ， ， 在中，，，， ， ，即的半径为4， ， 点在外， 故选：C． 9. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作轴于C，过B作轴于D，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， 故选：A． 10. 已知二次函数，其中，点，是二次函数图像上两点，若，，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图像与性质，由图像性质可得，再结合因式分解可得答案． 【详解】解：∵点，是二次函数图像上两点， ∴，， ∴ ， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故选A 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分. 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据二次根式有意义的条件得：， 解得． 12. 关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，在数轴上表示不等式组的解集，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：由数轴可知，两个不等式的解集分别为，， ∴不等式组的解集为， 故答案为：． 13. 如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，难度不大，认真分析题意即可． 根据一次函数与轴交点坐标可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴当时，，即时，， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 14. 现实生活中二维码随处可见，其中码眼用于帮助识别二维码的方向和位置．如图所示的二维码中有三个码眼，某小组同学为了解该二维码中码眼面积在二维码面积中的占比，利用计算机编程做了随机点生成实验，实验数据如下表所示，则估计“一个点生成在码眼区域”的概率是_____（精确到0.01）． 在二维码内生成的点数 100 200 300 500 700 800 900 1000 在码眼区域内生成的点数 16 15 52 85 120 136 153 170 （结果保留小数点后三位） 0.160 0.175 0.173 0.170 0.171 0.170 0.170 0.170 【答案】0.17 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：观察表格发现：随着实验次数的增多，“一个点生成在码眼区域”的频率逐渐稳定到0.17附近， ∴估计“一个点生成在码眼区域”的概率为0.17， 故答案为：0.17． 15. 如图，D，E分别是边，的中点，连接，．若，则的长为__________ 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查三角形中位线定理和等腰三角形的判定，由三角形中位线定理得得出得出 【详解】解：∵D，E分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：4 16. 我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证．观察图1，．接下来，观察图2，通过类比思考，因式分解________=________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】把图2可有两种计算方法：①三个长方体相加；②大正方体减去小正方体，按要求列出式子，即可解答． 【详解】解：将图2看作三个长方体相加时，可得式子： ； 原式两边提取，可得原式． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了整式的乘法，因式分解，观察图形的体积如何计算是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及零指数幂，化简二次根式，特殊角的三角函数值，熟练掌握知识点，正确计算是解题的关键． 分别计算零指数幂，化简二次根式和代入特殊角的三角函数值进行乘法计算，再进行加减计算． 【详解】解： 原式= ． 18. 已知：如图，E，F为□ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//DC，AB=DC， ∴∠BAE=∠DCF， 在△AEB和△CFD中， ， ∴△AEB≌△CFD（SAS）， ∴BE=DF． 【解析】 【分析】利用SAS证明△AEB≌△CFD，再根据全等三角形的对应边相等即可得． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键． 19. 解方程：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查解分式方程,掌握解分式方程的步骤和方法，将分式方程化为整式方程求解，即可解题． 【详解】解：， 方程两边都乘，得． 去括号得：， 解得． 经检验，是原方程的根． 20. 某校开展科学活动．为了解学生对活动项目的喜爱情况，随机抽取部分学生进行问卷调查．调查问卷和统计结果描述如下： 科学活动喜爱项目调查问卷 以下问题均为单选题，请根据实际情况填写． 问题1：在以下四类科学“嘉年华”项目中，你最喜爱的是（ ） （A）科普讲座 （B）科幻电影 （C）AI应用 （D）科学魔术 如果问题1选择C．请继续回答问题2． 问题2：你更关注的应用是（ ） （E）辅助学习 （F）虚拟体验 （G）智能生活 （H）其他 根据以上信息．解答下列问题： （1）本次调查中最喜爱“应用”的学生中更关注“辅助学习”有多少人？ （2）学校共有1200名学生，根据统计信息，估计该校最喜爱“科普讲座”的学生人数． 【答案】（1）32 （2）324 【解析】 【分析】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，利用样本估计总体，从图中获取相关联的信息是解本题的关键． （1）用本次调查中最喜爱“AI应用”的学生人数乘以更关注“辅助学习”的人数所占的百分比即可求解； （2）用1200乘以样本中该校最喜爱“科普讲座”的学生人数所占的百分比即可求解． 【小问1详解】 （人） ∴本次调查中最喜爱“AI应用”的学生中更关注“辅助学习”有32人； 【小问2详解】 （人） ∴估计该校最喜爱“科普讲座”的学生人数有324人． 21. 中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长8尺．在夏至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在冬至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，，求春分和秋分时日影长度．（结果精确到0.1尺；参考数据：，，，，，） 【答案】9.2尺 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形和求平均数，利用正切分别求得和，结合题意利用平均数即可求得春分和秋分时日影长度． 【详解】解：∵，杆子垂直于地面，长8尺． ∴，即， ∵， ∴，即， ∵春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数． ∴春分和秋分时日影长度为． 答：春分和秋分时日影长度9.2尺． 22. 若实数a、b满足． （1）求的值； （2）求证：． 【答案】（1）； （2）由①得，（a+b）（a-b）=2ab， ∴a2-b2=2ab， 又由题意得，b≠0， ∴两边同除以b2得， ， ∴， ∴，即． 【解析】 【分析】（1）将适当变形即可得到，从而可得结果； （2）由得到（a+b）（a-b）=2ab，两边同除以b2，再利用完全平方公式可得结论． 【详解】解：（1）由得：，① ∴，即； （2） 略 【点睛】本题考查了分式的加减运算，平方差公式与完全平方公式，解题的关键是要对条件式进行适当的变形，结合等式的基本性质运算． 23. 如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、． （1）求b、c的值； （2）求的面积的最大值． 【答案】（1） （2）最大值为8 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合，一次函数的性质，用割补法得出△PAB的面积是关键． （1）先求出A，B的坐标，再用待定系数法求出b，c； （2）由（1）可得：，设，作交于E，则，则，得出面积，即可解答． 【小问1详解】 解：当时，；当时，， 则，， 则， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）可得：，设，作交于E， 则，则， ∴， 当时，最大值为8． 24. 如图，是的直径，点E、F在圆上，且，连接． （1）尺规作图，保留作图痕迹：过点B作的切线，分别与的延长线交于点C、D； （2）若，求的半径． 【答案】（1） 解：如图所示，直线即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）延长，以点为圆心，适当长为半径画弧，交直线于点，再以点为圆心，大于为半径画弧，交点P，连接直线分别交的延长线于点C，交的延长线于点D，即可得出结论； （2）连接，如图，先根据切线的性质得到，则可判断，利用相似比求出，判断，然后利用相似比可计算出的长，根据勾股定理即可得出结论． 本题考查作图—复杂作图，切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，掌握相关性质定理推理论证是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：取的中点，连接、， ， ， ， ， ， 连接， 为的切线， ， ， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ，即， 解得， ， 的半径为． 25. 综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． （1）操作判断 用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有________（填序号）． （2）性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图2，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． ①写出图中相等的角，并说明理由； ②若，，，求的长（用含m，n，的式子表示）． （3）拓展应用 如图3，在中，，，，分别在边，上取点M，N，使四边形是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长． 【答案】（1）②④ （2）①． 理由： 延长至点E，使，连接， ∵四边形是邻等对补四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； ② （3）或 【解析】 【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义判断即可； （2）①延长至点E，使，连接，根据邻等对补四边形定义、补角的性质可得出，证明，得出，，根据等边对等角得出，即可得出结论； ②过A作于F，根据三线合一性质可求出，由①可得，在中，根据余弦的定义求解即可； （3）分，，，四种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：观察图知，图①和图③中不存在对角互补，图2和图4中存在对角互补且邻边相等， 故图②和图④中四边形是邻等对补四边形， 故答案为：②④； 【小问2详解】 解：①略 ②过A作于F， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； 【小问3详解】 解：∵，，， ∴， ∵四边形是邻等对补四边形， ∴， ∴， 当时，如图，连接，过N作于H， ∴， 在中， 在中， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴； 当时，如图，连接， ∵， ∴， ∴，故不符合题意，舍去； 当时，连接，过N作于H， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴； 当时，如图，连接， ∵， ∴， ∴，故不符合题意，舍去； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，明确题意，理解新定义，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期阶段练习（一） 九年级数学 （考试时间：120分钟；满分：150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 若收入100元记作元，则支出60元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 如图所示的几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 3. 福建舰是我国首艘完全自主设计建造的电磁弹射型航空母舰，满载排水量8万余吨，数据80000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列式子运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 某班有5位学生参加志愿服务次数为：7，7，8，10，13．则这5位学生志愿服务次数的中位数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 7. 我国古代数学著作《孙子算经》中有“雉兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”其大意是：鸡兔同笼，共有35个头，94条腿，问鸡兔各多少只？设鸡有只，兔有只，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（ ） A. 点在上 B. 点在内 C. 点在外 D. 无法确定 9. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数，其中，点，是二次函数图像上两点，若，，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分. 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 12. 关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是______． 13. 如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为_____． 14. 现实生活中二维码随处可见，其中码眼用于帮助识别二维码的方向和位置．如图所示的二维码中有三个码眼，某小组同学为了解该二维码中码眼面积在二维码面积中的占比，利用计算机编程做了随机点生成实验，实验数据如下表所示，则估计“一个点生成在码眼区域”的概率是_____（精确到0.01）． 在二维码内生成的点数 100 200 300 500 700 800 900 1000 在码眼区域内生成的点数 16 15 52 85 120 136 153 170 （结果保留小数点后三位） 0.160 0.175 0.173 0.170 0.171 0.170 0.170 0.170 15. 如图，D，E分别是边，的中点，连接，．若，则的长为__________ 16. 我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证．观察图1，．接下来，观察图2，通过类比思考，因式分解________=________． 三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 计算： 18. 已知：如图，E，F为□ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF． 19. 解方程：． 20. 某校开展科学活动．为了解学生对活动项目的喜爱情况，随机抽取部分学生进行问卷调查．调查问卷和统计结果描述如下： 科学活动喜爱项目调查问卷 以下问题均为单选题，请根据实际情况填写． 问题1：在以下四类科学“嘉年华”项目中，你最喜爱的是（ ） （A）科普讲座 （B）科幻电影 （C）AI应用 （D）科学魔术 如果问题1选择C．请继续回答问题2． 问题2：你更关注的应用是（ ） （E）辅助学习 （F）虚拟体验 （G）智能生活 （H）其他 根据以上信息．解答下列问题： （1）本次调查中最喜爱“应用”的学生中更关注“辅助学习”有多少人？ （2）学校共有1200名学生，根据统计信息，估计该校最喜爱“科普讲座”的学生人数． 21. 中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长8尺．在夏至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在冬至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，，求春分和秋分时日影长度．（结果精确到0.1尺；参考数据：，，，，，） 22. 若实数a、b满足． （1）求的值； （2）求证：． 23. 如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、． （1）求b、c的值； （2）求的面积的最大值． 24. 如图，是的直径，点E、F在圆上，且，连接． （1）尺规作图，保留作图痕迹：过点B作的切线，分别与的延长线交于点C、D； （2）若，求的半径． 25. 综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． （1）操作判断 用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有________（填序号）． （2）性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图2，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． ①写出图中相等的角，并说明理由； ②若，，，求的长（用含m，n，的式子表示）． （3）拓展应用 如图3，在中，，，，分别在边，上取点M，N，使四边形是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $