四川省雅安中学2024-2025学年高一下学期3月考试数学试题

试卷第 1页，共 10页 雅安中学 2024-2025 学年下期 3 月考试高一年级 数 学 试 题 本试卷分第 I 卷选择题和第Ⅱ卷非选择题，满分 150 分，考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡相应位置上。 2.第 I 卷的答案用 2B 铅笔填涂到答题卡上，第Ⅱ卷必须将答案填写在答题卡规定位置。回 答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束，将答题卡交回。 第 I 卷（选择题 共 58 分） 一、选择题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个 选项是符合题意的） 1． 1 sin 30 cos30 2   （ ） A． 1 8 B． 1 4 C． 3 8 D． 3 4 2．下列函数中是奇函数，且最小正周期为 π的函数是（ ） A． tan 2y x B． cosy x C． cos 2y x D． sin 2y x 3．把函数 sin 3y x 图象上的所有点（ ）可得到函数 πsin 3 4 y x     的图象. A．向左平移 π 4 个单位 B．向右平移 π 4 个单位 C．向左平移 π 12 个单位 D．向右平移 π 12 个单位 4．设 1e  、 2e  是不共线的两个向量，则下列四组向量不能作为基底的是（ ） A． 1e  和 1 2e e   B． 1 22e e   与 1 22e e    C． 1 2e e   与 1 2e e   D． 1 23e e   与 2 14e e   试卷第 2页，共 10页 5．设 a、 b  是任意两个非零向量，则“ 0a b   ”是“ a b  ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 6．若 π0, 4       ， π 4sin 4 5       ，则 cos （ ） A． 2 10 B． 2 10  C． 7 2 10 D． 7 2 10  7．已知 0w  ，函数   π3sin 2 4 f x wx       在区间 π , π 2      上单调递减，则w的取值范围是 （ ） A． 10, 2      B．  0,2 C． 1 3, 2 4      D． 1 5, 2 4      【答案】D 【解】由 π π 3π2 π 2 π , Z 2 4 2 k wx k k      ，得 2 π π 2 π 5π 4 4 k kx w w w w     ， Zk 即函数的单调递减区间为 2 π π 2 π 5π, , Z 4 4 k k k w w w w       ， 令 0k  ，则函数  f x 其中一个的单调递减区间为： π 5π, , 4 4w w      函数  f x 在区间 π , π 2      内单调递减， 则满足 5π π 4 π π 4 2 w w       ，得 1 2 4 5 w w       ，所以w的取值范围是 1 5, 2 4      . 8．在 ABC 中， cos : cos : cos 2 : 2 : 7A B C  ，则 cosC =（） A． 7 8 B． 7 10 C． 7 12 D． 7 16 【答案】A 试卷第 3页，共 10页 【解】记 , ,a b c分别为角 , ,A B C 的对边，根据题意， A B ， cos 2 cos 7 A C  ， 22 2 2 2cos cos cos( 2 ) cos 2 (2cos 1) 7 7 7 7 A C A A A        ， 24cos 7cos 2 0A A   ， 1cos 4 A  或 cos 2A   （舍去）， 7 7cos cos 2 8 C A   . 二、多选题（本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得 6分，部分选对得 3分，有选错的 0分） 9．下列命题正确的是（ ） A．零向量是唯一没有方向的向量 B．零向量的长度等于 0 C．若 a b   ，都为非零向量，则使 0 a b a b        成立的条件是 a  与b  反向共线 D．若 a b   ， c b   ，则 a c   【解】A.零向量是有方向的，其方向是任意的，故 A错误； B.由零向量的定义知，零向量的长度为 0，故 B正确； C.因为 a a   ， b b   都是单位向量，所以只有当 a a   与 b b   是相反向量，即a  与b  反向共线时才成立， 故 C正确； D.由向量相等的定义知 D正确； 故选：BCD. 10．已知函数 π( ) tan( ) 0, 2 f x A x           的部分图象如图所示（分隔直线 5π 8 x  右侧 函数的零点为 7π 8 ），则下列说法正确的是（ ） 试卷第 4页，共 10页 A．函数 ( )f x 的最小正周期为 π B． π 4   C． π 3 24 3 f       D．函数 ( )f x 在 5π 7π, 4 4       上单调递增 【解】对于 A，由图可知，函数 ( )f x 的最小正周期 7π 5π π2 8 8 2 T         ，故 A错误； 对于 B，由 π π 2π 2 T     ，所以 ( ) tan(2 )f x A x   ， 因为 7π 7πtan 0 8 4 f A              ，则  7π π Z 4 k k   ，则  7ππ Z 4 k k    ， 因为 π 2   ，则 π 4   ，故 B正确； 对于 C，   πtan 2 4 f x A x      ，又   πtan 10 4 Af   ，所以 1A  ， 所以   πtan 2 4 f x x      ， 所以 312 π π π π 3tan tan 2 64 4 f                 ，故 C正确； 对于 D，由 5π 7π 4 4 x  ，得 11π π 15π2 4 4 4 x   ， 而 π 7π2 4 2 x   ，即 13π 8 x  时， 13π 7πtan 8 2 f A           没有意义，故 D错误； 故选：BC. 11．已知函数 ( ) sin cos sin 2 cos2f x x x x x    ，则（ ） A． π是 ( )f x 的一个周期 B． ( )f x 是非奇非偶函数 C． ( )f x 的最小值为 2 2 D．关于 x的方程 ( ) (2 )f x f x 有无数个实数解 【解】对于 A，由          π sin π cos π sin 2 2π cos 2 2πf x x x x x          sin cos sin 2 cos 2x x x x f x      ，则 π不是函数  f x 的一个周期，故 A错误； 对于 B，由   sin cos sin 2 cos 2f x x x x x    ，则其定义域为  ， 因为          sin cos sin 2 cos 2f x x x x x         sin cos sin 2 cos2x x x x     ， 所以函数  f x 是非奇非偶函数，故 B正确； 试卷第 5页，共 10页 对于 C， πsin cos 2 sin 2 4 x x x         ，当且仅当 1 3π 2 π 4 x k   ， 1k Z ，等号成立； πsin 2 cos 2 2 sin 2 2 4 x x x         ，当且仅当 2 3π π 8 x k   ， 2k Z ，等号成立， 由 1 2 3π 3π2 π π 4 8 k k     ，则  min 2 2f x   ，故 C错误； 对于 D，由    2f x f x ， 则 sin cos sin 2 cos2 sin 2 cos2 sin 4 cos4x x x x x x x x       ， 可得 sin cos sin 4 cos 4x x x x   ，整理可得 π π2 sin 2 sin 4 4 4 x x             ， 解得 π π4 2 π 4 4 x x k    或 π ππ 4 2 π 4 4 x x k         ， Zk ， 化简可得 2 π 3 kx   或 π 2 π 10 5 k ， Zk ，故 D正确. 故选：BD. 第Ⅱ卷（非选择题 共 92分） 三、填空题 （共 3个小题.请将正确答案填写在答题卡相应位置） 12．若 2sin 3 x   ，则 cos2x  ． 【答案】 1 9 13．设 a，b  为单位向量， a  在 b  方向上的投影向量为 1 2 b  ，则 2a b   ． 【答案】 7 【解】由题意可知， 2 1 2 a b b      ，即 1 2 a b   rr ， 所以 2 22 4 4 1 4 2 7a b a b a b              . 14．如图，在 ABCV 中，已知 1 , 2 , 2 BD DC AE EC P      是线段 AD与 BE的交点，若 AP mAB nAC     ，则m n 的值为 . 试卷第 6页，共 10页 【答案】 6 7 【解】此题共有 3个方法，提供其一：设  0 1AP AD      ，由 1 2 BD DC   得 1 3 BD BC   ， 故    13 3AP AD AB BD AB BC AB AC AB                         2 3 3 AB AC     ， 由 2AE EC   得 2 3 AE AC   ， 故 2 3 2 AP AB AE      , 由于 , ,B P E三点共线，故 2 1 3 2     ，则 6 7   ， 又 AP mAB nAC     ，故 2 , 3 3 m n   ， 所以 2 6 3 3 7 m n      ， 故答案为： 6 7 四、解答题 （共 5个小题.请将正确答案填写在答题卡相应位置） 15．（13分）设 1e  ， 2e  是两个不共线的向量，如果 1 23 2AB e e     ， 1 24BC e e     ， 1 28 9CD e e     . (1)求证：A，B，D三点共线； (2)试确定 的值，使 1 22 e e    和 1 2e e   共线； 解（1）因为  1 2 1 2 1 2 1 24 8 9 12 8 4 3 2 4BD BC CD e e e e e e e e AB                       ， 所以 AB  与BD  共线. 因为 AB  与BD  有公共点 B， 所以 A，B，D三点共线. （2）因为 1 22 e e    和 1 2e e   共线， 所以存在实数  ，使  1 2 1 22 e e e e         . 因为 1e  ， 2e  是两个不共线的向量，所以 2 1       ， 所以 2 2    . 试卷第 7页，共 10页 16．（15分）已知函数    sinf x A x   （其中 0A  ， 0  ， π 2   ）的部分图像如图 所示， (1)求  f x 的解析式； (2) π 12 f      的值； (3)求函数  f x 的单调递增区间. 【解】（1）由图可知： 2A  ， T 7π π π 4 12 3 4    ， 所以 πT  ，所以 2π 2π 2 πT     ， 又图像过点 7 , 2 12 π       ，所以 7π2 2sin(2 ) 12     ， 即 7πsin(2 ) 1 12     ， 7π π2 2 π 12 2 k      kZ ， 所以 5π2 π 3 k    kZ ，又因为 π 2   ，所以 π 3   ， 所以 π( ) 2sin 2 3 f x x      . （2） π π π π2sin 2 2sin 2 12 12 3 2 f                      . （3） π π π2 π 2 2 π 2 3 2 k x k      kZ ，解得 5π ππ π 12 12 k x k     kZ ， 所以函数  f x 的单调递增区间为： 5π ππ , π 12 12 k k      kZ . 17．（15分）如图，在菱形 ABCD中， 1 , 2 2 BE BC CF FD      . (1)若EF xAB yAD     ，求3 4x y 的值； (2)若 3, 60AB BAD     ，求 AE EF   . 试卷第 8页，共 10页 【解】（1）因为在菱形 ABCD中， 1 , 2 2 BE BC CF FD      . 故 1 2 2 3 EF EC CF AD AB         ， 故 2 1, 3 2 x y   ，所以3 4 0x y  . （2）显然 1 2 AE AB AD     ， 所以 1 1 2 2 2 3 AE EF AB AD AD AB                     2 22 1 1 3 4 6 AB AD AB AD         ……① 因为菱形 ABCD，且 3, 60AB BAD     ，故 3, , 60AD AB AD      . 所以 93 3 cos60 2 AB AD        . 故①式 2 22 1 93 3 3 3 4 12         . 故 3AE EF     . 18．（17分）如图，某公园有一块扇形人工湖 OMN，其中圆心角 4 MON   ，半径为 1千 米，为了增加观赏性，公园在人工湖中划分出一片荷花池，荷花池的形状为矩形 ABCD (四 个顶点都落在扇形边界上)；再建造一个观景台，形状为 DAM△ ，记 .MOD   (1)当角 取何值时，荷花池的面积最大？并求出最大面积. (2)若在 OA的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米 8万元 (不计桥的宽度 )；且建造观景台的费用为每平方千米 16万元，求建造总费用的范围. 【解】（1）由题意可得 cos , sinOA AD   ，其中0 4   ， 在 Rt∆OCB 中， sinOB BC   ，则 cos sinAB OA OB      所以  cos sin sinABCDS CD AD     矩形 2cos sin sin    1 1 1 2 1sin 2 cos 2 sin 2 2 2 2 2 4 2             试卷第 9页，共 10页 因为0 4   ，所以 32 4 4 4      ， 所以当 2 4 2     ，即 8    时，矩形 ABCD的面积取最大值 2 1 2  ， 所以当 8    时，荷花池的面积最大，最大面积 2 1 2  (平方千米)； （2）由(1)可知 1 1 cosAM AB OB      ，则  1 1 1 cos sin 2 2DAM S AM AD     ， 设建造总费用为 y万元， 则    18cos 16 1 cos sin 8 sin cos 8sin cos 2 y              令 sin cos 2 sin 4 t           ， 因为0 4   ，所以 4 4 2      ，所以  1, 2t ， 则 2 1sin cos 2 t   ， 所以   2 218 8 4 8 4 8 2 4,8 2 ty t t t        所以建造总费用的范围为  8 2 4,8 万元． 19．（17分）三角代换是解决代数问题时的常用的重要手段之一．简单的三角代换通常是通 过将问题中给出的未知数设成某个角的正弦、余弦、正切、余切等形式，从而利用常用的三 角公式将题目中的条件进行化简如：可将 2 2 1y x  中的 x与 y分别设为 tanx   与 1 cos y   ．请使用适当的三角代换，完成如下两个问题： (1)已知非负实数 x，y，满足 2 2 1x y  ．证明：3 2 13x y  ． (2)设 a，b，c为正实数，且 abc a c b   ．求 2 2 2 3 3 4 1 1 1 p a b c       的最大值． 【解】（1）由 2 2 1x y  ，设 cos , sinx y   ， π0, 2      ， 则  3 2 3cos 2sin 13 sin ,x y         其中为锐角，且 3tan 2   ， 故当 π 2    时，3 2x y 取最大值 13， 故3 2 13x y  （2）由 abc a c b   可得 1 a cb ac    ， 试卷第 10页，共 10页 设 tan , tan , tan ,a b c     π, , 0, 2         ，且     ， 则   tan tantan 1 tan tan        ，满足abc a c b   则 2 2 2 2 2 2 2 3 3 4 3 33cos 3cos 4cos cos 2 cos 2 4cos 1 1 1 2 2 p a b c                       2 2 23sin sin 4cos 3sin sin 4cos 3sin 4 4sin                     ， 由于 2 2 3 73 733sin 4 4sin 4 sin 8 16 16              ， 当且仅当 3sin 8   且 π 2    时取到等号，故最大值为 73 16 ， 故答案为： 73 16 试卷第 1页，共 10页 雅安中学 2024-2025 学年下期 3 月考试高一年级 数 学 试 题 （命题人：黄潘 审题人：备课组） 本试卷分第 I 卷选择题和第Ⅱ卷非选择题，满分 150 分，考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡相应位置上。 2.第 I 卷的答案用 2B 铅笔填涂到答题卡上，第Ⅱ卷必须将答案填写在答题卡规定位置。回 答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束，将答题卡交回。 第 I 卷（选择题 共 58 分） 一、选择题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个 选项是符合题意的） 1． 1 sin 30 cos30 2   （ ） A． 1 8 B． 1 4 C． 3 8 D． 3 4 【答案】C 2．下列函数中是奇函数，且最小正周期为 π的函数是（ ） A． tan 2y x B． cosy x C． cos 2y x D． sin 2y x 【答案】D 3．把函数 sin 3y x 图象上的所有点（ ）可得到函数 πsin 3 4 y x      的图象. A．向左平移 π 4 个单位 B．向右平移 π 4 个单位 C．向左平移 π 12 个单位 D．向右平移 π 12 个单位 【答案】D 4．设 1e  、 2e  是不共线的两个向量，则下列四组向量不能作为基底的是（ ） A． 1e  和 1 2e e   B． 1 22e e   与 1 22e e    C． 1 2e e   与 1 2e e   D． 1 23e e   与 2 14e e   【答案】B 试卷第 2页，共 10页 5．设 a、 b  是任意两个非零向量，则“ 0a b   ”是“ a b  ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 6．若 π0, 4       ， π 4sin 4 5       ，则 cos （ ） A． 2 10 B． 2 10  C． 7 2 10 D． 7 2 10  【答案】C 【解】因为 π0, 4       ，则 π π π 4 4 2    ， 所以， 2 2π π 4 3cos 1 sin 1 4 4 5 5                         ， 因此， π π π π π πcos cos cos cos sin sin 4 4 4 4 4 4                             3 2 4 2 7 2 5 2 5 2 10      . 7．已知 0w  ，函数   π3sin 2 4 f x wx       在区间 π , π 2      上单调递减，则w的取值范围是 （ ） A． 10, 2      B．  0,2 C． 1 3, 2 4      D． 1 5, 2 4      【答案】D 【解】由 π π 3π2 π 2 π , Z 2 4 2 k wx k k      ，得 2 π π 2 π 5π 4 4 k kx w w w w     ， Zk 即函数的单调递减区间为 2 π π 2 π 5π, , Z 4 4 k k k w w w w       ， 令 0k  ，则函数  f x 其中一个的单调递减区间为： π 5π, , 4 4w w      函数  f x 在区间 π , π 2      内单调递减， 则满足 5π π 4 π π 4 2 w w       ，得 1 2 4 5 w w       ，所以w的取值范围是 1 5, 2 4      . 8．在 ABC 中， cos : cos : cos 2 : 2 : 7A B C  ，则 cosC =（） A． 7 8 B． 7 10 C． 7 12 D． 7 16 【答案】A 试卷第 3页，共 10页 【解】记 , ,a b c分别为角 , ,A B C 的对边，根据题意， A B ， cos 2 cos 7 A C  ， 22 2 2 2cos cos cos( 2 ) cos 2 (2cos 1) 7 7 7 7 A C A A A        ， 24cos 7cos 2 0A A   ， 1cos 4 A  或 cos 2A   （舍去）， 7 7cos cos 2 8 C A   . 二、多选题（本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得 6分，部分选对得 3分，有选错的 0分） 9．下列命题正确的是（ ） A．零向量是唯一没有方向的向量 B．零向量的长度等于 0 C．若 a b   ，都为非零向量，则使 0 a b a b        成立的条件是 a  与b  反向共线 D．若 a b   ， c b   ，则 a c   【解】A.零向量是有方向的，其方向是任意的，故 A错误； B.由零向量的定义知，零向量的长度为 0，故 B正确； C.因为 a a   ， b b   都是单位向量，所以只有当 a a   与 b b   是相反向量，即a  与b  反向共线时才成立， 故 C正确； D.由向量相等的定义知 D正确； 故选：BCD. 10．已知函数 π( ) tan( ) 0, 2 f x A x           的部分图象如图所示（分隔直线 5π 8 x  右侧 函数的零点为 7π 8 ），则下列说法正确的是（ ） 试卷第 4页，共 10页 A．函数 ( )f x 的最小正周期为 π B． π 4   C． π 3 24 3 f       D．函数 ( )f x 在 5π 7π, 4 4       上单调递增 【解】对于 A，由图可知，函数 ( )f x 的最小正周期 7π 5π π2 8 8 2 T         ，故 A错误； 对于 B，由 π π 2π 2 T     ，所以 ( ) tan(2 )f x A x   ， 因为 7π 7πtan 0 8 4 f A              ，则  7π π Z 4 k k   ，则  7ππ Z 4 k k    ， 因为 π 2   ，则 π 4   ，故 B正确； 对于 C，   πtan 2 4 f x A x      ，又   πtan 10 4 Af   ，所以 1A  ， 所以   πtan 2 4 f x x      ， 所以 312 π π π π 3tan tan 2 64 4 f                 ，故 C正确； 对于 D，由 5π 7π 4 4 x  ，得 11π π 15π2 4 4 4 x   ， 而 π 7π2 4 2 x   ，即 13π 8 x  时， 13π 7πtan 8 2 f A           没有意义，故 D错误； 故选：BC. 11．已知函数 ( ) sin cos sin 2 cos2f x x x x x    ，则（ ） A． π是 ( )f x 的一个周期 B． ( )f x 是非奇非偶函数 C． ( )f x 的最小值为 2 2 D．关于 x的方程 ( ) (2 )f x f x 有无数个实数解 【解】对于 A，由          π sin π cos π sin 2 2π cos 2 2πf x x x x x          sin cos sin 2 cos 2x x x x f x      ，则 π不是函数  f x 的一个周期，故 A错误； 对于 B，由   sin cos sin 2 cos 2f x x x x x    ，则其定义域为  ， 因为          sin cos sin 2 cos 2f x x x x x         sin cos sin 2 cos2x x x x     ， 所以函数  f x 是非奇非偶函数，故 B正确； 试卷第 5页，共 10页 对于 C， πsin cos 2 sin 2 4 x x x         ，当且仅当 1 3π 2 π 4 x k   ， 1k Z ，等号成立； πsin 2 cos 2 2 sin 2 2 4 x x x         ，当且仅当 2 3π π 8 x k   ， 2k Z ，等号成立， 由 1 2 3π 3π2 π π 4 8 k k     ，则  min 2 2f x   ，故 C错误； 对于 D，由    2f x f x ， 则 sin cos sin 2 cos2 sin 2 cos2 sin 4 cos4x x x x x x x x       ， 可得 sin cos sin 4 cos 4x x x x   ，整理可得 π π2 sin 2 sin 4 4 4 x x             ， 解得 π π4 2 π 4 4 x x k    或 π ππ 4 2 π 4 4 x x k         ， Zk ， 化简可得 2 π 3 kx   或 π 2 π 10 5 k ， Zk ，故 D正确. 故选：BD. 第Ⅱ卷（非选择题 共 92分） 三、填空题 （共 3个小题.请将正确答案填写在答题卡相应位置） 12．若 2sin 3 x   ，则 cos2x  ． 【答案】 1 9 13．设 a，b  为单位向量， a  在 b  方向上的投影向量为 1 2 b  ，则 2a b   ． 【答案】 7 【解】由题意可知， 2 1 2 a b b      ，即 1 2 a b   rr ， 所以 2 22 4 4 1 4 2 7a b a b a b              . 14．如图，在 ABCV 中，已知 1 , 2 , 2 BD DC AE EC P      是线段 AD与 BE的交点，若 AP mAB nAC     ，则m n 的值为 . 试卷第 6页，共 10页 【答案】 6 7 【解】此题共有 3个方法，提供其一：设  0 1AP AD      ，由 1 2 BD DC   得 1 3 BD BC   ， 故    13 3AP AD AB BD AB BC AB AC AB                         2 3 3 AB AC     ， 由 2AE EC   得 2 3 AE AC   ， 故 2 3 2 AP AB AE      , 由于 , ,B P E三点共线，故 2 1 3 2     ，则 6 7   ， 又 AP mAB nAC     ，故 2 , 3 3 m n   ， 所以 2 6 3 3 7 m n      ， 故答案为： 6 7 四、解答题 （共 5个小题.请将正确答案填写在答题卡相应位置） 15．（13分）设 1e  ， 2e  是两个不共线的向量，如果 1 23 2AB e e     ， 1 24BC e e     ， 1 28 9CD e e     . (1)求证：A，B，D三点共线； (2)试确定 的值，使 1 22 e e    和 1 2e e   共线； 解（1）因为  1 2 1 2 1 2 1 24 8 9 12 8 4 3 2 4BD BC CD e e e e e e e e AB                       ， 所以 AB  与BD  共线. 因为 AB  与BD  有公共点 B， 所以 A，B，D三点共线. （2）因为 1 22 e e    和 1 2e e   共线， 所以存在实数  ，使  1 2 1 22 e e e e         . 因为 1e  ， 2e  是两个不共线的向量，所以 2 1       ， 所以 2 2    . 试卷第 7页，共 10页 16．（15分）已知函数    sinf x A x   （其中 0A  ， 0  ， π 2   ）的部分图像如图 所示， (1)求  f x 的解析式； (2) π 12 f      的值； (3)求函数  f x 的单调递增区间. 【解】（1）由图可知： 2A  ， T 7π π π 4 12 3 4    ， 所以 πT  ，所以 2π 2π 2 πT     ， 又图像过点 7 , 2 12 π       ，所以 7π2 2sin(2 ) 12     ， 即 7πsin(2 ) 1 12     ， 7π π2 2 π 12 2 k      kZ ， 所以 5π2 π 3 k    kZ ，又因为 π 2   ，所以 π 3   ， 所以 π( ) 2sin 2 3 f x x      . （2） π π π π2sin 2 2sin 2 12 12 3 2 f                      . （3） π π π2 π 2 2 π 2 3 2 k x k      kZ ，解得 5π ππ π 12 12 k x k     kZ ， 所以函数  f x 的单调递增区间为： 5π ππ , π 12 12 k k      kZ . 17．（15分）如图，在菱形 ABCD中， 1 , 2 2 BE BC CF FD      . (1)若EF xAB yAD     ，求3 4x y 的值； (2)若 3, 60AB BAD     ，求 AE EF   . 试卷第 8页，共 10页 【解】（1）因为在菱形 ABCD中， 1 , 2 2 BE BC CF FD      . 故 1 2 2 3 EF EC CF AD AB         ， 故 2 1, 3 2 x y   ，所以3 4 0x y  . （2）显然 1 2 AE AB AD     ， 所以 1 1 2 2 2 3 AE EF AB AD AD AB                     2 22 1 1 3 4 6 AB AD AB AD         ……① 因为菱形 ABCD，且 3, 60AB BAD     ，故 3, , 60AD AB AD      . 所以 93 3 cos60 2 AB AD        . 故①式 2 22 1 93 3 3 3 4 12         . 故 3AE EF     . 18．（17分）如图，某公园有一块扇形人工湖 OMN，其中圆心角 4 MON   ，半径为 1千 米，为了增加观赏性，公园在人工湖中划分出一片荷花池，荷花池的形状为矩形 ABCD (四 个顶点都落在扇形边界上)；再建造一个观景台，形状为 DAM△ ，记 .MOD   (1)当角 取何值时，荷花池的面积最大？并求出最大面积. (2)若在 OA的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米 8万元 (不计桥的宽度 )；且建造观景台的费用为每平方千米 16万元，求建造总费用的范围. 【解】（1）由题意可得 cos , sinOA AD   ，其中0 4   ， 在 Rt∆OCB 中， sinOB BC   ，则 cos sinAB OA OB      所以  cos sin sinABCDS CD AD     矩形 2cos sin sin    1 1 1 2 1sin 2 cos 2 sin 2 2 2 2 2 4 2             试卷第 9页，共 10页 因为0 4   ，所以 32 4 4 4      ， 所以当 2 4 2     ，即 8    时，矩形 ABCD的面积取最大值 2 1 2  ， 所以当 8    时，荷花池的面积最大，最大面积 2 1 2  (平方千米)； （2）由(1)可知 1 1 cosAM AB OB      ，则  1 1 1 cos sin 2 2DAM S AM AD     ， 设建造总费用为 y万元， 则    18cos 16 1 cos sin 8 sin cos 8sin cos 2 y              令 sin cos 2 sin 4 t           ， 因为0 4   ，所以 4 4 2      ，所以  1, 2t ， 则 2 1sin cos 2 t   ， 所以   2 218 8 4 8 4 8 2 4,8 2 ty t t t        所以建造总费用的范围为  8 2 4,8 万元． 19．（17分）三角代换是解决代数问题时的常用的重要手段之一．简单的三角代换通常是通 过将问题中给出的未知数设成某个角的正弦、余弦、正切、余切等形式，从而利用常用的三 角公式将题目中的条件进行化简如：可将 2 2 1y x  中的 x与 y分别设为 tanx   与 1 cos y   ．请使用适当的三角代换，完成如下两个问题： (1)已知非负实数 x，y，满足 2 2 1x y  ．证明：3 2 13x y  ． (2)设 a，b，c为正实数，且 abc a c b   ．求 2 2 2 3 3 4 1 1 1 p a b c       的最大值． 【解】（1）由 2 2 1x y  ，设 cos , sinx y   ， π0, 2      ， 则  3 2 3cos 2sin 13 sin ,x y         其中为锐角，且 3tan 2   ， 故当 π 2    时，3 2x y 取最大值 13， 故3 2 13x y  （2）由 abc a c b   可得 1 a cb ac    ， 试卷第 10页，共 10页 设 tan , tan , tan ,a b c     π, , 0, 2         ，且     ， 则   tan tantan 1 tan tan        ，满足abc a c b   则 2 2 2 2 2 2 2 3 3 4 3 33cos 3cos 4cos cos 2 cos 2 4cos 1 1 1 2 2 p a b c                       2 2 23sin sin 4cos 3sin sin 4cos 3sin 4 4sin                     ， 由于 2 2 3 73 733sin 4 4sin 4 sin 8 16 16              ， 当且仅当 3sin 8   且 π 2    时取到等号，故最大值为 73 16 ， 故答案为： 73 16