精品解析：广东省汕头市龙湖实验中学2024--2025学年九年级数学第一阶段考试数学试卷

龙湖实验中学2024－2025学年下学期第1次阶段测评卷 初三数学 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 的倒数是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】乘积为1的两个数互为倒数． 【详解】解：的倒数是． 2. 预计到2025年底，中国5G用户将超过560000000户，将560000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：将560000000用科学记数法表示为， 故选：C． 3. 下面几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识．找到从上面看所得到的图形即可． 【详解】解：从上面可看到第一行有三个正方形， 第二行中间有1个正方形． 故选：B． 4. 在下列四个数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了无理数，锐角三角函数，根据无限不循环小数是无理数进行判断即可. 【详解】解：是分数，属于有理数； ，是分数，属于有理数； 是负整数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数， 故选：D 5. 已知直线ab，将等边三角形ABC按如图方式放置，点B在直线b上，若∠2＝132°，则∠1的度数为（ ） A. 10° B. 12° C. 18° D. 30° 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质结合已知条件，求得∠4＝48°，根据等边三角的性质，根据∠1＝60°﹣∠4即可求解． 【详解】解：如下图， ∵∠2＝132°，ab， ∴∠3＝∠2＝132°，∠3+∠4＝180°， ∴∠4＝180°﹣132°＝48°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°， ∴∠1＝60°﹣∠4＝60°﹣48°＝12°， 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键． 6. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，由此计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 7. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积之比为（ ） A. 1：2 B. 1：4 C. 1：9 D. 4：9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似的性质和相似三角形的性质，得到和的相似比是解题的关键． 根据位似的性质得到，相似比为,再根据相似三角形的性质得和的面积之比即为相似比的平方． 【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形，， ， ， 故选：C． 8. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围( ) A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能得出关于的不等式是解此题的关键．根据一元二次方程的定义和根的判别式得出且，求出即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得：1且， 故选：D． 9. 如图在4×1的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，就是一个格点三角形，现从格点、、、中选取一个格点与点、连接成格点三角形，能使该格点三角形与相似的格点是（ ） A. 点D B. 点E C. 点F D. 点G 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，根据三边对应成比例的三角形相似进行求解即可． 【详解】解：连接，如图， 网格的特点可知， ∴ ∴ 故选：C． 10. 如图，的直径垂直于弦，垂足为点，为上一动点，从在半圆上运动（点不与点重合），交所在的直线于点，已知，，记，为，则关于的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别连结OC、AC、CP、BP，依据∠AFE＝∠ABP＝∠ACP，∠CAP＝∠FAC，可得△ACP∽△FAC，进而得出AC2＝AP•AF，即xy＝80，依据y＝（0＜x≤10），即可得到函数图象为第一象限内的双曲线的一部分． 【详解】如图，分别连结OC、AC、CP、BP， 在Rt△OCE中，OC＝5，CE＝4， ∴OE＝3， 在Rt△ACE中，AE＝5＋3＝8，CE＝4， ∴AC＝， ∵∠AFE＝∠ABP＝∠ACP，∠CAP＝∠FAC， ∴△ACP∽△FAC， ∴AC2＝AP•AF，即xy＝80， ∴y＝（0＜x≤10）， ∴函数图象为第一象限内的双曲线的一部分， 故选：A． 【点睛】本题考查了动点函数的图象问题，解决本题的关键是进行分类讨论．函数图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键． 根据被开方数是非负数，可得答案． 【详解】解：由题意，得 ， 解得：． 故答案为：． 12. 在中，若，、都是锐角，则是________三角形． 【答案】等边##正 【解析】 【分析】此题考查了已知三角函数值求角，涉及了绝对值和平方的非负性，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 根据绝对值和平方的非负性可得，，求得，即可求解． 【详解】解：由可得 ， 即， 解得：，则， ∴为等边三角形， 故答案为：等边． 13. 分解因式：2x2﹣8=_______ 【答案】2（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提公因式，再运用平方差公式． 【详解】2x2﹣8， =2（x2﹣4）， =2（x+2）（x﹣2）． 【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键． 14. 如图，已知内接于，是的直径，若，则________． 【答案】29 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理．根据圆周角定理和三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， 故答案为：29． 15. 如图，在中，，棱长为的立方体展开图有两边分别在、上，有两个顶点在斜边上，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，根据正方形的特点，结合三角函数值，求出的长，进而求出的面积即可． 【详解】解：如图， 由题意，得：四边形为矩形，，， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为； 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．首先计算零指数幂、开平方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【详解】解： ． 17. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，利用整体代入法解答是解题的关键．先化简原式，再将变形为，最后将以整体的形式代入原式，即得答案． 【详解】解： ∵ ∴ ∴原式 18. 小翔、小宇一起研究一元二次方程的解法，他们在（A：配方法 B：公式法 C：因式分解法）中各自随机选择一种进行求解． （1）小宇选择方法B的概率是 ； （2）用画树状图或列表的方法求小翔、小宇选择同一种解法的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握利用树状图或列表法求解概率是解题的关键； （1）根据题意及概率公式可直接进行求解； （2）根据列表法可求解 【小问1详解】 解：由题意得：小宇选择方法B的概率是； 故答案为； 【小问2详解】 解：列表如下： 小翔 小宇 A B C A B C 由表格可知一共有9种等可能性的结果，其中小翔、小宇选择同一种解法的有3种， ∴P(小翔、小宇选择同一种解法)； 答：小翔、小宇选择同一种解法的概率为． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 《九章算术》中记载了这样一个问题：“假设头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题： （1）求每头牛、羊各值多少两银子？ （2）若某商人准备用两银子买牛和羊共只，要求羊的数目不超过牛的数目的两倍，且银两有剩余，请问商人有几种购买方法？列出所有可能的购买方案． 【答案】（1）每头牛值两银子，每只羊值两银子； （2）有商人种购买方案，①购买头牛，只羊；②购买头牛，只羊；③购买头牛，只羊． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用， （1）设每头牛值两银子，每只羊值两银子，根据头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买头牛，则购买 只羊，根据某商人准备用两银子买牛和羊共只，要求羊的数目不超过牛的数目的两倍，且银两有剩余，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题． 【小问1详解】 解：设每头牛值两银子，每只羊值两银子， 由题意得：， 解得：， 答：每头牛值两银子，每只羊值两银子； 【小问2详解】 设购买头牛，则购买 只羊， 依题意得：， 解得：， 为整数， ，，， 有商人种购买方案： ①购买头牛，只羊； ②购买头牛，只羊； ③购买头牛，只羊． 20. 如图，在中，是边上的点，以为直径的与、边分别交于点、，连接、、，满足． （1）求证：是的切线； （2）若，，求和的长． 【答案】（1） 证明：∵是的直径 ∴ ∴ ∵， ∴， ∴，即 又∵是半径， ∴是的切线； （2）， 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，得出，则，根据已知可得得，即可得证； （2）勾股定理求得，进而求得，在中，勾股定理求得；进而证明，根据相似三角形的性质得出，进而根据圆周角定理以及圆周角与弧的关系，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 在中， ∴ 在中， ∵，， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， 【点睛】本题考查圆周角定理、切线的判定定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 21. 【问题背景】在一次物理实验中，小聪同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图1），已知串联电路中，电流与电阻、之间的关系为，通过实验得出如下数据： … … … 4 … （1）由题意可得________； 【探索研究】 （2）根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图像与性质． ①平面直角坐标系中画出对应函数的图像（画图时，不写画法，保留画图痕迹，然后请用黑色水笔描黑）； ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是________； 【拓展提升】 （3）结合（2）中函数的图像，直接写出不等式的解集为________． 【答案】 （1）； （2）①函数的图像如下： ②不断减小；（3）． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，二次函数的图像，解题的关键是数形结合． （1）根据已知列方程求解； （2）①用描点法画出图像即可；②根据函数图像即可求解； （3）作函数的图像，根据图像即可求解． 【详解】（1）根据题意可得， 由表可得，当时，， ， 解得：， 故答案为：； （2）①略 ②由图像可知，随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是不断减小， 故答案为：不断减小； （3）如图， 由图像可知，不等式的解集为， 故答案为：． 解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分 22. 如图1，小明借助几何软件进行数学探究：中，，，是边的中点，是线段上的动点（不与点、点重合），边关于对称的线段为，连接． （1）当为等腰直角三角形时，的大小为______． （2）图2，延长，交射线于点． ①请问的大小是否变化？如果不变，请求出的大小；如果变化，请说明理由． ②若，则的面积最大为______，此时______． 【答案】（1） （2）①；②， 【解析】 【分析】（1）求出，由轴对称的性质得到，再由即可求得答案； （2）①设的大小为则由等腰三角形的性质即可得出答案； ②由题意可得点在以为弦，所对的圆周角为的圆弧上运动，过点作于，交优弧于点，连接，当时，即点位于点时，的面积最大，利用解直角三角形可得面积最大值；过点作于，则，，，，得出，再由，即可求得． 【小问1详解】 解：为等腰直角三角形， ， ， ， 边关于对称的线段为， ， ； 故答案为：； 【小问2详解】 的大小不变，始终为． 设的大小为则 关于的对称线段为， ， ＝＝ ， 是的外角， ； ②由①知：， ， 点在以为弦，所对的圆周角为的圆弧上运动，如图，过点作于，交优弧于点，连接， 当时，即点位于点时，的面积最大， 弦， ，即垂直平分， ，， ， ， ， ，， ， 面积最大值是； 此时，点的位置如图所示，过点作于， 则，，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，轴对称的性质，圆的性质，解直角三角形等，正确地作出辅助线是解题的关键． 23. 如图1，抛物线经过，两点，作轴于点．点是抛物线上一点． （1）求该抛物线的解析式； （2）连接，交直线于点，作轴，若，求点的坐标； （3）若点为抛物线上一点，且在第四象限内，已知直线，与轴分别交于、两点，当点运动时，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）是定值，该定值为 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的解析式为，设，根据建立方程，解方程，即可求解； （3）求出抛物线与x轴的交点为和，设点P的坐标是，则，再用待定系数法分别求出直线和的解析式，从而求出点与点的坐标，继而求出与，从而代入中化简即可得解． 【小问1详解】 解：抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴该抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：∵ 设直线的解析式为 ∴ 解得： ∴直线的解析式为 设 ∵ ∴ 解得：或（舍去） ∴ 【小问3详解】 是定值，该定值为，理由如下． 令， 解得，即抛物线与x轴的交点是：和， 设点P的坐标是，则， 设直线的解析式是：， 将点A、P代入得：， 解得：， ∴直线的解析式是：， 令， 解得：，即， ∴， 设直线的解析式是：， 将点B、P代入得：， 解得：， ∴直线的解析式是：， 令， 解得：，即， ∴，， ∴． ∴是定值，该定值为． 【点睛】本题考查二次函数的综合题，涉及待定系数法，二次函数与x轴的交点，二次函数与几何综合，勾股定理等知识，运算量较大，掌握待定系数法、联立方程组求函数交点的方法和数形结合思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙湖实验中学2024－2025学年下学期第1次阶段测评卷 初三数学 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 的倒数是（ ） A. 4 B. C. D. 2. 预计到2025年底，中国5G用户将超过560000000户，将560000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下面几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 4. 在下列四个数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线ab，将等边三角形ABC按如图方式放置，点B在直线b上，若∠2＝132°，则∠1的度数为（ ） A. 10° B. 12° C. 18° D. 30° 6. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积之比为（ ） A. 1：2 B. 1：4 C. 1：9 D. 4：9 8. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围( ) A. B. C. 且 D. 且 9. 如图在4×1的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，就是一个格点三角形，现从格点、、、中选取一个格点与点、连接成格点三角形，能使该格点三角形与相似的格点是（ ） A. 点D B. 点E C. 点F D. 点G 10. 如图，的直径垂直于弦，垂足为点，为上一动点，从在半圆上运动（点不与点重合），交所在的直线于点，已知，，记，为，则关于的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若有意义，则x的取值范围是________． 12. 在中，若，、都是锐角，则是________三角形． 13. 分解因式：2x2﹣8=_______ 14. 如图，已知内接于，是的直径，若，则________． 15. 如图，在中，，棱长为的立方体展开图有两边分别在、上，有两个顶点在斜边上，则的面积为________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 17. 已知，求代数式的值． 18. 小翔、小宇一起研究一元二次方程的解法，他们在（A：配方法 B：公式法 C：因式分解法）中各自随机选择一种进行求解． （1）小宇选择方法B的概率是 ； （2）用画树状图或列表的方法求小翔、小宇选择同一种解法的概率． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 《九章算术》中记载了这样一个问题：“假设头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题： （1）求每头牛、羊各值多少两银子？ （2）若某商人准备用两银子买牛和羊共只，要求羊的数目不超过牛的数目的两倍，且银两有剩余，请问商人有几种购买方法？列出所有可能的购买方案． 20. 如图，在中，是边上的点，以为直径的与、边分别交于点、，连接、、，满足． （1）求证：是的切线； （2）若，，求和的长． 21. 【问题背景】在一次物理实验中，小聪同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图1），已知串联电路中，电流与电阻、之间的关系为，通过实验得出如下数据： … … … 4 … （1）由题意可得________； 【探索研究】 （2）根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图像与性质． ①平面直角坐标系中画出对应函数的图像（画图时，不写画法，保留画图痕迹，然后请用黑色水笔描黑）； ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是________； 【拓展提升】 （3）结合（2）中函数的图像，直接写出不等式的解集为________． 解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分 22. 如图1，小明借助几何软件进行数学探究：中，，，是边的中点，是线段上的动点（不与点、点重合），边关于对称的线段为，连接． （1）当为等腰直角三角形时，的大小为______． （2）图2，延长，交射线于点． ①请问的大小是否变化？如果不变，请求出的大小；如果变化，请说明理由． ②若，则的面积最大为______，此时______． 23. 如图1，抛物线经过，两点，作轴于点．点是抛物线上一点． （1）求该抛物线的解析式； （2）连接，交直线于点，作轴，若，求点的坐标； （3）若点为抛物线上一点，且在第四象限内，已知直线，与轴分别交于、两点，当点运动时，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $