8.5空间直线、平面的平行课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.5 空间直线、平面的平行 8.5.1 直线与直线平行 如图，长方体ABCD-A'B'C'D'中，BB'//AA',DD'//AA',那么BB'与DD'平行吗？ 平行 观察 在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线相互平行．在空间中，如果两条直线都与第三条直线平行，是否也有类似的规律？ 思考 观察 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边 a, b, c, d, e, … 之间有何关系？ a b c e d 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 ———平行线的传递性 在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行。 基本事实４： 推广： 例1：如图 ，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形。 B C A D E F H G 所以EH//BD,且 证明：连接BD， 因为 EH是 的中位线， 同理FG//BD,且 所以 EH//FG，且EH=FG 所以，四边形EFGH是平行四边形。 在例2中，如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形？ 四边形EFGH是菱形 探究 B C A D E F H G P90【训练1】　如图，E，F分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点.求证：四边形B1EDF为平行四边形. A O B C P D E F Q 在平面上，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补. 思考 空间中，该结论是否仍然成立？ 在长方体 中， ， 的两对边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？ D1 C1 B1 A1 C A B D 答:从图中可看出, ∠ADC=∠A1D1C1, ∠ADC +∠A1B1C1=180 O 空间中如果有两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 定理 ------- 等角定理 注意： （1）定理中的“方向相同”若改成“方向相反”，则这两个角也相等。 （2）若改成“一边方向相同，而另一边方向相反”，则这两个角互补。 P91【训练2】　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点. 8.5.2 直线与平面平行 8.5.2.1 直线与平面平行的判定 问题提出 1.直线与平面的位置关系有几种？ 2.在直线与平面的位置关系中，平行是 一种非常重要的关系，它是空间线面位 置关系的基本形态，那么怎样判定直线 与平面平行呢？ 平行、相交、在平面内. 16 怎样判定直线与平面平行呢？ 问题探究: 根据定义，判定直线与平面是否平行，只需判定直线与平面有没有公共点．但是，直线无限延长，平面无限延展，如何保证直线与平面没有公共点呢？ a 17 实例感受 在生活中，注意到门扇的两边是平行的．当门扇绕着一边转动时，另一边始终与门框所在的平面没有公共点，此时门扇转动的一边与门框所在的平面给人以平行的印象． 18 实例感受 将一本书平放在桌面上，翻动书的硬皮封面，封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？ 如果平面 内有直线 与直线 平行，那么直线 与平面 的位置关系如何？ 是否可以保证直线 与平面 平行？ 观察 20 平面 外有直线 平行于平面 内的直线 ． （1）这两条直线共面吗？ （2）直线 与平面 相交吗？ 探究 共面 不可能相交 21 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行． 说明:(1)证明直线与平面平行，三个条件必须 具备，才能得到线面平行的结论． 直线与平面平行判定定理 (2)简述:线线平行 线面平行. (3)思想:空间问题转化为平面问题. 22 . . 例2.求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面． 已知：空间四边形ABCD中，E，F 分别AB，AD的中点． 求证：EF//平面BCD． 证明：连接BD. 因为 AE=EB,AF=FD, 所以 EF//BD（三角形中位线的性质） 由直线与平面平行的判断定理得: EF//平面BCD. 例题讲练 因为 解后反思：通过本题的解答，你可以总结出什么解题思想和方法？ 23 反思1：要证明直线与平面平行可以运用判定定理； 线线平行 线面平行 反思2：能够运用定理的条件是要满足六个字： 反思3：运用定理的关键是找平行线；找平行线又经常 会用到三角形中位线定理、平行四边形法， 成比例线段法。 “面外、面内、平行” P93中位线型 【例4】　如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC的中点，连接AD，DC1，A1B，AC1.求证A1B∥平面ADC1. 证明　如图所示，连接A1C，设A1C∩AC1＝O，连接OD. 由题意知四边形A1ACC1是平行四边形， 所以O是A1C的中点. 又D是BC的中点， 所以OD是△A1CB的中位线，即OD∥A1B. 又A1B⊄平面ADC1，OD⊂平面ADC1， 所以A1B∥平面ADC1. P93平行四边形型 【训练3】　如图，O是长方体ABCD－A1B1C1D1底面对角线AC与BD的交点，求证：B1O∥平面A1C1D. 证明　如图，连接B1D1交A1C1于点O1，连接DO1， ∵B1B∥D1D，B1B＝D1D， ∴四边形B1BDD1为平行四边形， ∴O1B1∥DO，O1B1＝DO， ∴四边形O1B1OD为平行四边形， ∴B1O∥O1D， ∵B1O⊄平面A1C1D，O1D⊂平面A1C1D， ∴B1O∥平面A1C1D. 求证：MN∥平面SBC. 证明　连接AN并延长交BC于P，连接SP. 又MN⊄平面SBC，SP⊂平面SBC， 所以MN∥平面SBC. P93综合型 【例3】　在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是棱BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论. 解　存在.证明如下： 如图，取线段AB的中点为M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点. 由已知得，O为AC1的中点，连接MD，OE，OM， 则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线， 因此MD∥OE且MD＝OE， 从而四边形MDEO为平行四边形，则DE∥MO. 因为直线DE⊄平面A1MC，MO⊂平面A1MC， 所以直线DE∥平面A1MC. 即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE∥平面A1MC. 1．如图，长方体 中， （1）与AB平行的平面是 ； （2）与 平行的平面是 ； （3）与AD平行的平面是 ； 平面 平面 平面 平面 平面 平面 随堂练习课本P138 29 2.如图，正方体 中，E为 的中点，试判断 与平面AEC的位置关系，并说明理由． 证明：连接BD交AC于点O, 连接OE, 在 中，E，O分别是 的中点． 随堂练习课本P138 30 8.5.2.2 直线与平面平行的性质 1.命题“若直线a平行于平面α，则直线a平行于平面α内的一切直线．”对吗？ a b c 那么直线a会与平面α内的哪些直线平行呢? 探究 2.直线l∥平面α,α内一定有直线与l平行。你能快速地找出一条，且有理由保证它与l平行吗？ ∵ 直线a与平面 α内任何直线都没有公共点， ∴过直线a 的某一个平面 ，若与平面α 　相交，则这一条交线b就平行于直线a． b a 探究 证明： b ∵ ∩ =b，∴ b在 内。 结论：直线和平面平行的性质定理 　　如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的任意平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。 注意： 1、定理三个条件缺一不可。 2、简记:线面平行,则线线平行。 b , , a a b a b a　b // Ì Ç　= 巩固练习： 以下命题（其中a，b表示直线，表示平面） ①若a∥b，b，则a∥ . ( ) ②若a∥，b∥，则a∥b . ( ) ③若a∥b，b∥，则a∥ . ( ) ④若a∥，b，则a∥b . ( ) 例3：有一块木料如图，已知棱BC平行于面A′C′． （1）要经过木料表面A′B′C′D′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？ （2）所画的线和面AC有什么关系？ 例题讲练 解：（１）如图，在平面　　内，过点Ｐ作直线ＥＦ，使　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　ＥＦ//　　，并分别交棱　　，　　于点Ｅ，Ｆ．连接　　　　　　　　　　 　　ＢＥ，ＣＦ．则ＥＦ，ＢＥ，ＣＦ就是应画的线． ＥＦ//ＢＣ ＥＦ不在平面ＡＣ内 ＢＣ在平面ＡＣ内 // 平面ＡＣ ∴ＢＥ，ＣＦ显然都与平面ＡＣ相交． （２）因为棱ＢＣ平行于平面　　，平面　　与平面　　 交于　　，所以，ＢＣ//　　．由（１）知，ＥＦ// 　　， 所以ＥＦ//ＢＣ，因此 P95题型一　利用线面平行性质定理进行有关的证明 【例1】　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH. 证明　连接MO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点. 又∵M是PC的中点， ∴AP∥OM. 又∵AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM， ∴AP∥平面BDM. 又∵AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH， ∴AP∥GH. 【训练1】　如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形. 证明　因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN， 且AB⊂平面ABC， 所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN. 同理AB∥PQ， 所以MN∥PQ. 同理可得MQ∥NP. 所以截面MNPQ是平行四边形. P96题型二　与线面平行性质定理有关的计算 【例2】　如图，直线a∥平面α，点A在α另一侧，点B，C，D∈a.线段AB，AC，AD分别交α于点E，F，G.若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝________. 解析　A∉a，则点A与直线a确定一个平面， 即平面ABD. 因为a∥α，且α∩平面ABD＝EG， 所以a∥EG， 即BD∥EG， 【训练2】　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，求线段EF的长度. 解　∵EF∥平面AB1C， 又平面ADC∩平面AB1C＝AC，EF⊂平面ADC， ∴EF∥AC， ∵E是AD的中点， 8.5.3 平面与平面平行 8.5.3.1 平面与平面平行的判定 （1）平行 （2）相交 α∥β 复习回顾：  平面与平面有几种位置关系？ (1)课本的一条边所在直线与桌面平行，这个课本所在平面与桌面平行吗？ (2)课本的两条边所在直线分别与桌面平行，情况又如何呢？ 观察： （１）平面内有一条直线与平面平行，，平行吗？ （２）平面内有两条直线与平面平行，，平行吗？ 探究： 直线的条数不是关键 直线相交才是关键 如果一个平面内有两条相交直线都平行 于另一个平面，那么这两个平面平行 两个平面平行的判定定理： 线不在多，重在相交 符号表示：　 ａ，ｂ，ａｂ＝Ｐ，ａ，ｂ 图形表示： a b P P98题型一　面面平行判定定理的理解 【例1】　α，β是两个不重合的平面，在下列条件下，可判定α∥β的是(　　) A.α，β都平行于直线l，m B.α内有三个不共线的点到β的距离相等 C.l，m是α内的两条直线且l∥β，m∥β D.l，m是异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β 解析　对A，当α∩β＝a，l∥m∥a时，不能推出α∥β； 对B，当α∩β＝a，且在平面α内同侧有两点，另一侧有一个点，三点到平面β的距离相等时，不能推出α∥β； 例1：已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证：平面AB1D1//平面C1BD 证明：因为ABCD－A1B1C1D1为正方体， 所以　D1C1∥A1B1，D1C1＝A1B1 又AB∥A1B1，AB＝A1B1， ∴D1C1∥AB，D1C1＝AB， ∴D1C1BA是平行四边形， ∴D1A∥C1B， 又D1A 平面C1BD, CB 平面C1BD. 由直线与平面平行的判定,可知 同理  AB1∥平面C1BD,又 D1A∩AB1=A, 所以，平面AB1D1∥平面C1BD。 D1A∥平面C1BD， 第一步：在一个平面内找出两条相交直线； 第二步：证明两条相交直线分别平行于另一个平面。 第三步：利用判定定理得出结论。 证明两个平面平行的一般步骤： 线面平行 面面平行 线线平行 变式:课本P142 T3 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若 M、N、E、F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，求证：平面AMN//平面EFDB。 A B C A1 B1 C1 D1 D M N E F P98题型二　平面与平面平行的证明 【例2】　如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是平行四边形，点G和点H分别是CE和CF的中点.证明：平面BDGH∥平面AEF. 证明　在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点， 所以GH∥EF， 又因为GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF， 所以GH∥平面AEF. 设AC∩BD＝O， 连接OH，在△ACF中， 因为OA＝OC，CH＝HF， 所以OH∥AF， 又因为OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF， 所以OH∥平面AEF. 又因为OH∩GH＝H，OH，GH⊂平面BDGH， 所以平面BDGH∥平面AEF. P98题型三　线面平行与面面平行的综合应用 角度1　面面平行中点的位置的确定 【例3】　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为BD的中点，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO? 解　当Q为C1C的中点时，平面D1BQ∥平面PAO. 证明如下： 在△DBD1中，P是DD1中点，O为DB中点， ∴PO∥D1B， 又∵PO⊂平面PAO，D1B⊄平面PAO， ∴D1B∥平面PAO. 在正方体中，BQ∥AP，BQ⊄平面PAO，PA⊂平面PAO， ∴BQ∥平面PAO， 又∵D1B∩BQ＝B，D1B，BQ⊂平面D1BQ， ∴平面D1BQ∥平面PAO， 即当点Q为C1C的中点时，平面D1BQ∥平面PAO. P99角度2　平行关系的探究 【例4】　已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA＝SB＝SC，SG为△SAB中边AB上的高，D，E，F分别是AC，BC，SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明. 8.5.3.2 平面与平面平行的性质 两平面平行的判定定理解决了两平面 平行的条件；反之，在两平面平行的 条件下，会得到什么结论？ 思考： 问题讨论 1、若 则 的位置关系如何？ β α 平行 你能否用语言表述吗？ 性质1、若两个平面互相平行，则其中一个平面中的直线必平行于另一个平面； 符号语言： 面面平行 线面平行 面面平行 线面平行 线线平行 直线与直线，直线与平面平行的解题思路。 线面平行的性质定理 面面平行的性质 面面平行的判定定理 线面平行的判定定理 ？ 2.思考：若 的位置关系如何？ 则直线a、b的位置关系如何？为什么？ β α γ a 相交 b 证明 如图，已知平面 ，满足 且 求证： 证明 所以a,b没有公共点 b a 定理：两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. 符号语言： b a 简记:面面平行，则线线平行 P101题型二　利用面面平行的性质定理证明线线平行 【例2】　如图所示，平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形A′B′C′D′外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行，求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明　∵四边形A′B′C′D′是平行四边形，∴A′D′∥B′C′. ∵A′D′⊄平面BB′C′C，B′C′⊂平面BB′C′C， ∴A′D′∥平面BB′C′C.同理AA′∥平面BB′C′C. ∵A′D′⊂平面AA′D′D，AA′⊂平面AA′D′D，且A′D′∩AA′＝A′， ∴平面AA′D′D∥平面BB′C′C. 又∵平面ABCD∩平面AA′D′D＝AD，平面ABCD∩平面BB′C′C＝BC，∴AD∥BC. 同理可证AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形. 性质2、平行于同一平面的两平面平行； 性质3、过平面外一点有且只有一个平面与这个平面平行； 性质4、夹在两平行平面间的平行线段相等。 面面平行的其它一些性质 这里就对性质4做出相应证明 已知: 求证: AB＝CD 求证：夹在两个平行平面间的两条平行线段相等． B A C D 证明： 已知: 求证: AB＝CD B A C D AC BD AC//BD P100题型一　利用面面平行的性质定理求线段长 【例1】　如图，平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS＝3，BS＝9，CD＝34，求CS的长. 解　设AB，CD共面γ，因为γ∩α＝AC，γ∩β＝BD，且α∥β， 所以AC∥BD，所以△SAC∽△SBD， 所以SC＝17. 面面平行判定定理: 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 推论： 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行 面面平行性质定理: 若两个平面互相平行，则其中一个平面中的直线必平行于另一个平面；如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 线面平行 面面平行 面面平行 线面平行/线线平行 反思领悟 P101题型三　平行关系的综合应用 【例3】　如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点. (1)求证：PQ∥平面DCC1D1； (2)求PQ的长； (3)求证：EF∥平面BB1D1D. 空间线面间平行关系转化示意图 线线平行 面面平行 线面平行 判定 判定 判定 性质 性质 性质 求证：(1)EF//E1F1且EF=E1F1； (2)∠EA1F＝∠E1CF1. P93成比例线段型 【例2】如图，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点， 且eq \f(AM,SM)＝eq \f(DN,NB). 所以MD∥AC且MD＝eq \f(1,2)AC，OE∥AC且OE＝eq \f(1,2)AC， 所以eq \f(AF,AC)＝eq \f(AE,AB).又eq \f(EG,BD)＝eq \f(AE,AB)， $$