8.6.2直线与平面垂直的判定课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.6.2直线与平面垂直的判定 第一课时 直观想象：通过直观感知，操作确认，能通过动态几何软件观察线面垂直的动态形成过程。 数学抽象：能从生活实例中抽象出数学模型，并用数学符号表示，借助对图片，实例的观察，理解线面垂直的定义，归纳线面垂直的判定定理。 逻辑推理：探索并证明线面垂直的判定定理，培养逻辑严谨性。 教学目标 回顾旧知 情景引入 新知探究 例题练习 重点 难点 掌握线面垂直的定义及判定定理。 发现并验证直线与平面垂直的判定定理。 回顾旧知 情景引入 新知探索 例题练习 归纳总结 空间中直线与平面有几种位置关系？ 1.直线在平面内 2.直线与平面平行 3.直线与平面相交 α l α l P l α 3种 回顾旧知 情景引入 新知探索 例题练习 归纳总结 问题：直线和平面呈现了什么样的位置关系？ 垂直！ 那怎样用数学语言刻画直线与平面垂直呢？ 回顾旧知 情景引入 新知探索 例题练习 归纳总结 如图是在太阳照射下的旗杆及其影子。随着时间的变化，影子的位置也在不断变化。 问题1：旗杆所在直线AB与它的影子所在直线BC始终保持什么位置关系？ A C B 直线AB与平面内任意一条过点B的直线都垂直 B’ C’ 追问：对于地面上不过点B的任意直线B’C’，AB与B’C’还垂直吗？ 直线AB与平面内任意一条直线都垂直 回顾旧知 情景引入 新知探索 例题练习 归纳总结 直线与平面垂直的定义： 文字语言：一般地，如果直线 l 和平面α内的任意一条直线都垂直，则称直线 l 和平面α垂直.记作l⊥α 图形语言： 平面 的垂线 直线 l 的垂面 垂足 平面内任意一条直线 符号语言： ⊂α，l⊥ ⇒ l⊥α 这里的“任意”可以改为“无数”吗？ 回顾旧知 情景引入 新知探索 例题练习 归纳总结 随堂演练 判断下列说法的正误： （1）若直线与平面 内的一条直线垂直，则； （ ❌️） （2）若直线与平面 内的无数条直线垂直，则； （ ❌ ） （3）若直线不垂直于平面 ，则 内没有与 垂直的直线； （ ❌ ） （4）若直线不垂直于平面 ，则 内也可以有无数条直线与 垂直. （√） 回顾旧知 情景引入 新知探索 例题练习 归纳总结 问题：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行。将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条? l P α P l 结论：过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条 回顾旧知 情景引入 新知探索 例题练习 归纳总结 α 过一点作垂直于已知平面的直线，有且只有一条。则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离 P l O 在锥体的体积公式中，锥体的高度就是锥体的顶点到底面的距离 回顾旧知 情景引入 新知探索 例题练习 归纳总结 类比研究直线与平面平行的思路，有没有判定线面垂直的简单的方法？ 探究直线与平面垂直判定定理 无限证明 有限证明 α l 一条 P α l 两条平行直线 P α l P 两条相交直线 思考：一条直线最少和平面内的几条直线垂直才能保证线面垂直？ 猜想①： 猜想②： 猜想③： 回顾旧知 情景引入 新知探索 例题练习 归纳总结 实验演示 回顾旧知 情景引入 新知探索 例题练习 归纳总结 思考：一条直线最少和平面内的几条直线垂直才能保证线面垂直？ 猜想①垂直于一条直线 猜想②垂直于两条平行直线 回顾旧知 情景引入 新知探索 例题练习 归纳总结 实验探究 准备一块三角形的纸片ABC，过△ABC的顶点B翻折纸片得到折痕BD，将翻折后的纸片张开一定角度放置在桌面上(AD, DC与桌面接触). 观察： (1) 折痕BD与桌面垂直吗？ (2) 如何翻折才能使折痕BD与桌面垂直？为什么？ A 猜想：如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则该直线与平面垂直． 回顾旧知 情景引入 新知探索 例题练习 归纳总结 实验演示 回顾旧知 情景引入 新知探索 例题练习 归纳总结 问题：为什么一条直线与平面内两条相交直线都垂直时，这条直线就和这个平面垂直呢？ 由基本事实的推论2和平面向量基本定理可知，平面α可以看作是由两条相交直线AD，CD所唯一确定的，并且这两条相交直线可以表示平面内的所有直线。 B D C A m n P 回顾旧知 情景引入 新知探索 例题练习 归纳总结 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 图形语言   直线与平面垂直的判定定理 m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α 线线垂直 　线面垂直 相互转化 回顾旧知 情景引入 新知探索 例题练习 归纳总结 例1 求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面 证明：在平面α内任取两条相交直线m，n． ∴ b⊥α． 又m⊂α，n⊂α，m，n是两条相交直线， ∴ b⊥m， b⊥n． ∵ a//b， ∴ a⊥m， a⊥n， ∵ a⊥α， 如图,已知 a//b，a⊥α，求证: b⊥α． 你还有不同的证明方法？ 回顾旧知 情景引入 新知探索 例题练习 归纳总结 例2 如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，求证： AC⊥平面SDB． 证明：∵SD⊥平面ABCD ∵底面ABCD是正方形 ∴ BD⊥AC ∴ AC⊥平面SDB． ∵BD⊂面SDB，SD⊂面SDB，BD∩SD=D ∴SD⊥AC 回顾旧知 情景引入 新知探索 例题练习 归纳总结 变式 如图，正方体ABCD-A'B'C'D'中，求证:AC⊥平面DBB'D'. 回顾旧知 情景引入 新知探索 例题练习 归纳总结 直线与 平面垂直 定义 判定定理 和内的任意一条直线都垂直，则 数学思想方法 类比、转化、猜想． 回顾旧知 情景引入 新知探索 例题练习 归纳总结 直线与平面所成的角 垂足 斜线 斜线在平面上的射影 斜足 O l A θ ⌒ 斜线：一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直 斜足：斜线和平面的交点 射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做直线和平面所成的角． 0°≤θ≤90° 回顾旧知 情景引入 新知探索 例题练习 归纳总结 求直线与平面所成角的方法 ①构造：作垂线→找射影→确定直线与平面所成的角 ②证明：某平面角就是斜线与平面所成角（关键证垂直） ③计算：求所成角，通常在垂线段、斜线和射影所构成的直角三角形中计算 α l P θ ⌒ A O 回顾旧知 情景引入 新知探索 例题练习 归纳总结 例2 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1DCB1所成的角． A B C D A1 B1 C1 D1 O 在Rt△A1BO中，A1B＝ ，BO＝ ， ∴BO＝ A1B． ∴ ∠BA1O＝30°． ∴ A1B和平面A1DCB1所成的角为30°． Lavf59.14.100 $