2025届上海浦东新区高三二模数学试卷

2025年上海浦东新区二模数学试卷 考生注意： 1、本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟； 2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分． 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1．已知，不等式的解为____________． 2．已知向量，，若，则____________． 3．设圆C方程为，则圆C的半径为____________． 4．若，则函数的最小正周期为____________． 5．若关于的方程的一个虚根的模为2，则实数的值为____________． 6．设数列为等差数列，其前项和为，已知，则____________． 7．的二项展开式中常数项为____________． 8．设为抛物线上任意一点，若的最小值为，则的值为____________． 9．李老师在整理建模小组10名学生的成绩时不小心遗失了一位学生的成绩，且剩余学生的成绩数据如下：5 6 6 7 7 7 8 9 9，但李老师记得这名学生的成绩恰好是本组学生成绩的第25百分位数，则这10名学生的成绩的方差为____________． 10．如图，某建筑物垂直于地面，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，已知相距100米，，则该建筑物高度约为__________米．（保留一位小数） 11．已知为空间中三个单位向量，且，若向量满足，，则向量与向量夹角的最小值为__________．（用反三角表示） 12．已知数列，，并且前项的和满足： ①存在小于1013的正整数，使得； ②对任意的正整数和，都有． 则满足以上条件的数列共有__________个． 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分． 13．已知集合，集合，全集为，则（ ） A． B． C． D． 14．“”是“”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 15．研究变量，得到一组成对数据，先进行一次线性回归分析，接着增加一个数据，其中，，再重新进行一次线性回归分析，则下列说法正确的是（ ） A．变量与变量的相关性变强 B．相关系数的绝对值变小 C．线性回归方程不变 D．拟合误差变大 16．已知圆锥曲线的对称中心为原点，若对于上的任意一点，均存在上两点，，使得原点到直线，和的距离都相等，则称曲线为“完美曲线”．现有如下两个命题： ①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”． 下列判断正确的是（ ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①②都是真命题 D．①②都是假命题 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤． 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 已知函数的表达式． （1）若函数是奇函数，求实数的值； （2）对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 如图，四边形为长方形，平面，，． （1）若分别是的中点，求证：∥平面； （2）边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的大小为？若存在，求长；若不存在，说明理由． 19．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分． 为测试A、B两款人工智能软件解答数学问题的能力，将道难度相当的数学试题从1到100编号后随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，并记录结果如下： 试题类别 A软件 B软件 测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量 几何试题 20 16 30 20 函数试题 30 24 20 18 （1）分别估计A软件、B软件能正确解答数学问题的概率； （2）小浦准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第12题（假设其难度和测试的100道题基本相同），但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是几何题的概率为，是函数题的概率为．将频率视为概率，试通过计算来说明小浦应该用哪款软件解决这道试题？ （3）小浦决定采用这两款软件解答6道类似试题，其中几何、函数各3道，每道试题只用其中一款软件解答一次．将频率视为概率，小浦比较了这两款软件在解答几何和函数题上的正确率，决定用表现较好的那款软件解决其擅长的题型．用 、分别表示这3道几何试题与3道函数试题被正确解答的个数，求随机变量的数学期望和方差． 高三数学试卷 第4页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 已知椭圆的方程为，右顶点为，上顶点为，椭圆的中心位于坐标原点，两个椭圆的离心率相等． （1）若椭圆的方程是，焦点在轴上，求的值； （2）设椭圆的焦点在轴上，直线与相交于点、，若，求的标准方程； （3）设椭圆的焦点在轴上，点在上，点在上．若存在是等腰 直角三角形，且，求的长轴的取值范围． 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 定义域为的可导函数满足，在曲线上存在三个不同的点，使得直线与曲线在点处的切线平行（或重合）．若成等差数列，则称为“等差函数”；若成等差数列且均为整数，则称为“整数等差函数”． （1）设，，分别判断和是否为“整数等差函数”，直接写出结论； （2）若为“整数等差函数”，求实数的最小值； （3）已知的导函数在上为增函数，且存在一个正常数， 使得对任意，成立，证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数． $$2025年上海浦东新区二模数学试卷 答案 1. 2. 3. 4. 5.4 6.17 7. 8. 9. 10. 66.4 11. 12. 选择题 D B C A 17. 解:(1)因为函数是奇函数, 的定义域关于原点对称,-1分 由, 则, -5分 所以 -7分 法二:因为函数是奇函数,定义域为R,-1分 所以 -4分 ,函数是奇函数。 所以 -7分 (2)方法一:判断函数的单调性: 对任意实数且 因为,所以,所以 所以函数在上是严格减函数;-10分 所以当时,函数的最大值为,-12分 所以 -14分 方法二: 对任意实数,不等式恒成立, 即 -9分 设, 对任意实数且 因为,所以,所以 所以函数在上是严格减函数; -12分 所以 -14分 方法三: 对任意实数,不等式恒成立, 即 -9分 , -12分 所以 -14分 (说明:函数单调性没有证明或没有利用不等式性质说明的,直接写出最值的,扣2分) 18. 解1: (1)证明: 取中点,连接、, ∵, ∴ …………1分 ∵, ∴ …………1分 ∴四边形为平行四边形 ∴ …………3分 ∵,在平面外 ∴平面 …………1分 (2)解:作,垂足为,连接 ∵ ∴ ∴ …………2分 ∴直线与平面所成的角为,…………2分 ∴, ∴ …………1分 ∴ …………2分 ∴边上存在点,使得直线与平面所成的角为, ……1分 解2: (1)证:如图建立空间直角坐标,则,,, ,,, ∴, …………2分 取平面的法向量 …………1分 ∵, …………2分 且在平面外 ∴平面 …………1分 (2)设,则, ∴, …………2分 取平面的法向量 …………1分 设与的夹角为, 则, …………2分 求得 …………2分 ∴边上存在点,使得直线与平面所成的角为,.……1分 19. 解:(1) 记、软件能正确解答数学问题的概率为和, 则 (4分) (2)记“软件能正确解答这道题”为事件,“软件能正确解答这道题”为事件,“该题为几何题”为事件.则 (6分) 同理可得 (7分) 因为,所以B软件能够正确解决这道试题的概率更大,小浦应该使用B软件来解决这道试题.(8分) (3)几何试题用软件解答,函数试题用软件解答. 因为 所以 . (10分) 于是 .(12分) 显然 相互独立, 所以 (14分) 20. (1)由题,椭圆的离心率为,椭圆的离心率为………………2分 解得;……………………………………………………4分 (2)由题,,,所以,直线的方程为…2分 设的方程为,, 联立直线与椭圆:,代入整理得……4分 故 即,解得. 所以的标准方程为.…………………………………………………………6分 (3)由题,设的方程为 由题意,且 任取上一点(不与点重合),则, 设,则………………………………………………2分 直线的方程为,故 代入得 因为,解得, 由对称性,不妨设,代回直线方程可解得……4分 而点位于上,所以 为上任一点,所以为定值,化简得……………………………………………………………………6分 设,为上任一点,即有解 整理得, 解得,所以 故的长轴长.…………………………………………………………8分 21. 解析:(1)假设成等差数列,得, 设公差为,则, 对于, 直线的斜率, 因为,所以曲线在点处的切线斜率为, 由题意,恒成立, 取,,则成等差数列且均为整数,故是“整数等差函数”. 对于, 直线的斜率, 因为,所以曲线在点处的切线斜率为, 由题意,, 若,则, 同时,由,得恒成立,故不是“整数等差函数”. (2)因为为“整数等差函数”,所以成等差数列且均为整数, 设公差为,则,且, 直线的斜率, 因为,所以曲线在点处的切线斜率为, 由题意,, 因为,, 所以 , 又的定义域为,有,则, 可取使等号成立,故的最小值为. (3)充分性,因为为常值函数,所以, 任意取等差数列,则直线的斜率, 曲线在点处的切线斜率为, 因为,所以为“等差函数”. 必要性,因为为“等差函数”,所以成等差数列, 设公差为,则, 直线的斜率, 曲线在点处的切线斜率为, 由题意, , 令, , 令, , 因为在上为增函数,所以,在上为增函数, 因为,所以,在上为增函数, 因为,所以在上恒成立, 又,由的单调性知, 故,, ,为常数, , , , 接下来,一方面,因为,且在上为增函数, 所以在上为增函数,故,, 由,可得, 另一方面,因为, 所以,可得, 以此类推,在上恒成立,即为常值函数. 命题得证! 学科网(北京)股份有限公司 $$