精品解析：安徽省示范高中皖北协作区2025届高三下学期第27届联考（一模）数学试题

安徽省示范高中皖北协作区2025届高三下学期第27届联考（一模）数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 我国文化体育事业蓬勃发展，正从体育大国向体育强国的目标持续迈进.中国代表队在历届夏季奥运会获得的金牌数依次为15，5，16，16，28，32，48，39，26，38，40，则这11届夏季奥运会中国代表队获得的金牌数的第40百分位数为（ ） A. 16 B. 26 C. 28 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】由百分位数的计算公式即可求解. 【详解】将这组数据按照从小到大的顺序排列为5，15，16，16，26，28，32，38，39，40，48. 因为， 所以这11届夏季奥运会中国代表队获得的金牌数的第40百分位数是第五个数26. 故选：B 2. 若集合，，则中元素的个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】先解一元二次不等式，再应用交集定义计算即可. 【详解】由题意可得，则， 故中元素的个数为6. 故选：C. 3. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 内切 B. 外离 C. 外切 D. 内含 【答案】A 【解析】 【分析】先写出圆的圆心及半径，再根据圆心间距离和半径的关系判断圆与圆的位置关系. 【详解】圆O与圆M的半径分别为1，4，圆心坐标分别为， 则，故圆O与圆M的位置关系是内切. 故选：A. 4. 在正四棱柱中，，分别为侧棱上一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】将正四棱柱的侧面展开，由直线段最短求解. 【详解】如图所示： ， 将正四棱柱（图1）的侧面展开，得到展开图（图2）， 当五点共线时，取得最小值， 且最小值为. 故选：A 5. 如图，这是一朵美丽的几何花，且这八片花瓣的顶端恰好可以围成一个正八边形，设，则（ ） A. -3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件，解三角形求，，再结合两角和正切公式求结论. 【详解】连接， 设线段与的交点为，线段与线段的交点为， 因为，所以，又， 所以， 设，则， 所以， 所以， 所以，， 所以. 故选：D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合函数的单调性比较对数值的大小 【详解】，A，B均错误. ，C正确，D错误. 故选：C 7. 同时抛掷三枚质地均匀骰子，得到向上的点数分别为，则是直角三角形的三个内角的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用古典概型及排列数计算求解. 【详解】若是直角三角形的三个内角，则，即. 因为，所以这三个数只能是2，3，6或2，4，4， 所以是直角三角形的三个内角的概率为=. 故选：B. 8. 已知两个非零向量的夹角为，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先应用平面向量的数量积公式及运算律化简，再设，再分类讨论计算求解. 【详解】. 由，得， 即. 设，则关于的方程有正实根. 当时，不符合条件； 当时，符合条件； 当时，或，解得. 综上可得. 故选：C 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 若为纯虚数，则复数可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】设，利用复数的运算化简可得出的表达式，即可得出合适的选项. 【详解】设，则， 所以. 对于A选项，由，可得，解得，合乎题意； 对于B选项，由，可得，此时不存在，不合乎题意； 对于C选项，由，可得，此时不存在，不合乎题意； 对于D选项，由，可得，解得，合乎题意. 故选：AD. 10. 已知函数，则（ ） A. 与的奇偶性相同 B. 曲线关于直线对称 C. 最小正周期是最小正周期的2倍 D. 在上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用奇偶函数的定义可以判断出其奇偶性可判断A，利用抽象函数的对称性区证明即可判断B选项，求出的最小正周期再去验证是否满足即可判断, 【详解】因为，， 所以与均为偶函数，A正确. 因为，所以曲线关于直线对称，B正确. 因为，所以的最小正周期为， 又，所以的最小正周期不是，C错误 由，得， 所以在上单调递增，则在上单调递减，D正确. 故选： 11. 曲线的形状类似希腊字母“”，其方程为.若点在曲线上，，则（ ） A. 当在第一象限时， B. 当在第四象限时， C. 直线与曲线的所有交点的横坐标之和大于6 D. 直线与曲线恰有4个公共点 【答案】BC 【解析】 【分析】去绝对值，结合椭圆、双曲线的性质、直线与椭圆、双曲线的位置关系，逐项判断即可. 【详解】当时，可化为，为椭圆的两个焦点，则，A错误. 当时，可化为，为双曲线的两个焦点，则，B正确. 当时，可化为，所以点不可能在第三象限. 当时，可化为，所以曲线由三段曲线组成，其图形如图所示， 因为双曲线的渐近线方程为， 所以直线与曲线无公共点. 将代入，得， 由图可知直线与曲线有2个交点，则这2个交点的横坐标之和为，其中1个交点为. 将代入，得，由图可知直线与曲线有2个交点，则这2个交点的横坐标之和为，其中1个交点为， 所以直线+4与曲线的所有交点的横坐标之和为，C正确. 结合双曲线与的渐近线的斜率， 由图可知直线与曲线有2个公共点， 与曲线只有1个公共点， 与曲线没有公共点， 所以直线与曲线恰有3个公共点，D错误. 故选：BC 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的值域为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数的单调性即可求解. 【详解】因为与在上均为减函数， 且当时，，所以， 故的值域为. 故答案为： 13. 已知顶点为的圆锥的外接球为球为底面圆的一条直径，是母线的中点，为底面圆的中心，为线段的中点，若是边长为2的正三角形，则球的表面积为____________，与该圆锥底面所成角的正切值为____________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】取的中点，连接，取的中点，连接，，，根据已知得，进而求出外接球的半径，即可得球的表面积，应用几何法求线面角的正切值. 【详解】取的中点，连接，取的中点，连接，，. 因为是边长为2的正三角形，所以， 所以 设球的半径为，由，得， 故球的表面积为. 易知圆锥底面，则是与该圆锥底面所成的角， 所以与该圆锥底面所成角的正切值为. 故答案为：， 14. 设表示有限集合中元素的个数，已知函数，若，其中为常数，且，则的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数研究的单调性，进而求出极值，再作出函数图象，最后把给定条件转化为和，共有两个交点，再求解参数范围即可. 【详解】由题意得的定义域为， 因为，所以， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故的极小值为，而当时，，且， 令，则， 当时，， 则在上的图象越来越陡峭，我们作出和的图象， 结合图象可得与在上只有一个交点， 令，则，解得，而， 得到与的图象在上的交点的横坐标， 因为， 所以和，共有两个交点， 此时的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）证明：“在上单调递增”是“在上单调递增”的充要条件. 【答案】（1） （2） 若在上单调递增，则对恒成立， 则对恒成立，又函数是增函数，所以， 若在上单调递增，则对恒成立， 则对恒成立，又函数是增函数，所以， 所以“在上单调递增”是“在上单调递增”的充要条件. 【解析】 【分析】（1）根据函数在某点处的导数的几何意义求斜率，进而得切线方程； （2）将函数的单调性转化为关于导函数的恒成立问题，再参变分离求最值即可. 【小问1详解】 因为，所以，得， 由，得， 则，， 所以曲线在点处的切线方程为，化简得. 【小问2详解】 略 16. 在中，角的对边分别为，已知. （1）若，求； （2）若依次成等差数列，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）先应用正弦定理得出，再根据余弦定理计算求解； （2）先应用等差数列得出，再结合余弦定理应用基本不等式计算得出，最后应用面积公式计算求解最值. 【小问1详解】 由及正弦定理，得， 因为，所以 ， 由余弦定理得，代入得， 解得或（舍） 【小问2详解】 因为依次成等差数列，所以 ， 由余弦定理得，因为， 所以， 所以，且， 所以的面积， 当且仅当时，等号成立，所以面积的最大值为. 17. 已知抛物线的准线方程为，直线与交于两点. （1）求的标准方程. （2）若，为坐标原点，证明：. （3）若为的焦点，且的周长为，求的值. 【答案】（1） （2） 将代入，得， 设，则， ， 所以， 所以，即； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出即可得解； （2）将代入，设，利用韦达定理求出，证明即可； （3）设，联立方程，利用韦达定理求出，利用抛物线焦半径公式和弦长公式求出的周长，进而可得出答案. 【小问1详解】 的标准方程为， 由的准线方程为，得， 故的标准方程为； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 联立，得， 设， 则，所以， 所以， ， 所以的周长为， 因为函数为增函数，且， 所以方程的解为， 所以. 18. 如图，在五面体中，菱形的边长为，，. （1）证明：且. （2）求五面体体积的最大值. （3）当五面体的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）在菱形中，，因为平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面平面， 所以.         取的中点，的中点，连接，，， 则， 所以，故，，，四点共面，                          因为，，所以，，即， 因为四边形为梯形， 所以与相交，所以平面，                          又平面，所以，而， 所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知证得平面，即可证得；取的中点，的中点，连接，，，可得，进而得平面，则，即可证得； （2）分别作，，垂足分别为，，连接，，，，由已知和（1）中结论，可得，设，可得五面体的体积为，利用导数求出其最大值即可； （3）（方法一）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算分别求出平面和平面的一个法向量，利用公式即可求得两个平面夹角的余弦值. （方法二）过点作于，过点作于，连接， 可得平面，则，可得平面，则， 则为平面与平面的夹角，在中，由三角函数定义求出，进而求得其余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 分别作，，垂足分别为，，连接，，，， 由（1）知，则， 又，，平面， 所以平面，同理平面. 因为菱形的边长为，， 为的中点，为的中点，， 则，，又， 所以四边形是等腰梯形，由对称性可知 设，则，， 所以， 所以，， 所以五面体的体积为 ， ， 则当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故当时，五面体体的最大，最大值为. 【小问3详解】 当五面体的体积最大时， ，， （方法一）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，， ，，，. 设平面的一个法向量为， 则，取，得， ，. 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 所以， 故平面与平面夹角的余弦值为. （方法二）过点作于，过点作于，连接， 由（2）知平面，则 又，平面， 所以平面， 又平面，则，， 因为，平面， 所以平面，又平面，则， 所以为平面与平面的夹角， 又，， 由（2）及已知，， 所以，，则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 19. 已知是各项均为正数的数列，事件“”发生的概率为，事件“”发生的概率为. （1）若随机变量的期望不小于，求的取值范围； （2）已知，若依次成等比数列的概率为，比较与的大小； （3）若（为大于的常数，且为偶数），证明在得到的次递推过程中，事件“”发生的次数为奇数，并求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 记为Ⅰ，为Ⅱ. 设次递推的过程中有次为Ⅱ，于是这次递推过程被Ⅱ分成段， 各段中递推Ⅰ的次数分别为（若最后一次用Ⅱ，则；若第一次用Ⅱ，则），则 若为偶数，则， 因为为偶数，所以为奇数，则为奇数， 因为为偶数， 所以为奇数， 所以，，不可能成立 若为奇数，则， 因为为偶数，所以为奇数，则为偶数，同理可得也为偶数， 所以可能成立，所以事件“”发生的次数为奇数， 的最大值为. 【解析】 【分析】j（1）列出所有的可能取值，再去求其概率，利用随机变量的期望列出不等关系，求出的取值范围； （2）依次成等比的情况只有两种，分别求其满足等比的概率，再利用分组求和在比较大小即可； （3） 结合，对次递推的过程分段进行处理，在分情况进行讨论，利用反证法得出事件“”发生的次数为偶数次时不成立，再结合分段去表示出，并对其放缩，得到的最大值. 小问1详解】 随机变量的分布列为 所以. 因为，所以或，即的取值范围是. 【小问2详解】 根据题意可得依次成等比数列的情况有两种，第一种是公比为，第二种是公比为， .. 所以， 所以， 因，所以. 【小问3详解】 则，则， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为. 故的最大值为，得的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省示范高中皖北协作区2025届高三下学期第27届联考（一模）数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 我国文化体育事业蓬勃发展，正从体育大国向体育强国的目标持续迈进.中国代表队在历届夏季奥运会获得的金牌数依次为15，5，16，16，28，32，48，39，26，38，40，则这11届夏季奥运会中国代表队获得的金牌数的第40百分位数为（ ） A. 16 B. 26 C. 28 D. 32 2. 若集合，，则中元素的个数为（ ） A 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 圆与圆的位置关系是（ ） A 内切 B. 外离 C. 外切 D. 内含 4. 在正四棱柱中，，分别为侧棱上一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 14 5. 如图，这是一朵美丽的几何花，且这八片花瓣的顶端恰好可以围成一个正八边形，设，则（ ） A. -3 B. C. D. 6 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 同时抛掷三枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为，则是直角三角形的三个内角的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知两个非零向量的夹角为，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 若为纯虚数，则复数可以为（ ） A. B. C. D. 10 已知函数，则（ ） A. 与的奇偶性相同 B. 曲线关于直线对称 C. 的最小正周期是最小正周期的2倍 D. 在上单调递减 11. 曲线形状类似希腊字母“”，其方程为.若点在曲线上，，则（ ） A. 当在第一象限时， B. 当在第四象限时， C. 直线与曲线的所有交点的横坐标之和大于6 D. 直线与曲线恰有4个公共点 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的值域为____________. 13. 已知顶点为的圆锥的外接球为球为底面圆的一条直径，是母线的中点，为底面圆的中心，为线段的中点，若是边长为2的正三角形，则球的表面积为____________，与该圆锥底面所成角的正切值为____________. 14. 设表示有限集合中元素的个数，已知函数，若，其中为常数，且，则的取值范围为____________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）证明：“在上单调递增”是“在上单调递增”的充要条件. 16. 在中，角的对边分别为，已知. （1）若，求； （2）若依次成等差数列，求面积的最大值. 17. 已知抛物线的准线方程为，直线与交于两点. （1）求的标准方程. （2）若，为坐标原点，证明：. （3）若为的焦点，且的周长为，求的值. 18. 如图，在五面体中，菱形的边长为，，. （1）证明：且. （2）求五面体体积的最大值. （3）当五面体的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知是各项均为正数的数列，事件“”发生的概率为，事件“”发生的概率为. （1）若随机变量的期望不小于，求的取值范围； （2）已知，若依次成等比数列的概率为，比较与的大小； （3）若（为大于的常数，且为偶数），证明在得到的次递推过程中，事件“”发生的次数为奇数，并求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $