湖南省永州市第一中学2025届高三3月月考数学试题

学科网（北京）股份有限公 第 1页/共 7 页 司 1. A. 2. C.3. B 4. B. 5．D.6. A 永州一中 2025 届高三3月份月考数学试题参考答案 ． 7.A在区间 1 ,3 3      内,函数    f x g x mx  ，有三个不同的零点: ① 0m  ,设 1 1 3 x  ，可得 11 3 x   ，   1 12 2 lng x g x x        ，此时     22 ln , ' mxf x x mx f x x       ，一定有  ' 0f x  ，可得在 1 ,1 3      上  f x 为单调递减函数，若在 1 ,1 3      上有一个交点,则   1 0 3 1 0 f f           ，解得0 6ln3m  ，② 若  1,3x 时   lng x x ,可得    ln 0f x x mx x   ，   1' 1 mxmf x x x     ，若  ' 0f x  ，可得  1 ,x f x m  为减 函数，若  ' 0f x  ，可得  1 ,x f x m  为增函数，此时  g x 必须在 1,3 上有两个交点，     1 0 3 0 1 0 f m f f            ，解得 ln 3 1 3 m e   ， ① 综上①②可得 ln 3 1 3 m e   ；若 0m  ，对于  1,3x 时,   ln 0f x x mx   ，没有零点,不满足在区间 1 ,33      内, 函数    f x g x mx  ，有三个不同的零点，综上： ln 3 1 3 m e   ，故选 A. 8.D.如图，当点 P与 A，B两点不重合时，将线段 MP向两端延长，分别交 CD，CB的延长线于点 O，Q，连接 NO， NQ分别交 1DD ， 1BB 于 R，S两点，连接 RM，SP，MP此时截面为五边形 MPSNR，所以 A错误； 当点 P与点 A或点 B重合时，截面为四边形. 综上，平面 PMN截正方体所得的截面为四边形或五边形.不可能是三角形，所以 B不正确； 考虑 PMN ，当点 P与点 A重合时， 6MN  ， 1PM  ， 3PN  ， 此时因为 2 2 2MN PM PN  ，故 PMN 为钝角，所以 C错误； 如图， ,E F为 1,DD BC中点，连接 ,EN MF，则 / / / /AB MF EN ，且MN 面MFNE， 学科网（北京）股份有限公 第 2页/共 7 页 司 延长 ,EM NF 分别交 1 1,A A B B延长线于 ,I J，则 AI AM BJ BF   ， 若 ,G H 分别为 ,MI FJ中点，易知： ,AG BH 面MFNE，且 AG BH// ， AG BH ， 易证：面 AGHB 面MFNE，即 AB在面MFNE上的投影为GH ， 令 PK GH ，面MFNE面 AGHB  GH，则 PK 面MFNE，MN 面MFNE， 所以 PK MN ，若KL MN ，PK KL K  ，则MN 面 PKL， PL面 PKL， 所以MN PL ，即 PL为 P到直线 MN的距离， 如下图，随 P从 A到 B移动过程中，KL逐渐变大，而 PK不变，故 PL也在变大， 所以当 P与点 B重合时，点 P到直线 MN的距离取到最大值， MPN△ 的面积取到最大值，此时 6MN  ， 5BM BN  ， 则 MN边上的高为   2 2 6 145 2 2         ， △MBN 的面积为 1 14 216 2 2 2    ，即最大值为 21 2 ，D判断正确． 9.BD 10.BC 选项 A：当 1x  时，得 21 2 2y y   ，即 2 2 1 0y y   ，因 0y  ， 故  22 2 4 1 1 2 1 2 y          ，故 2 1y   或1 2 ，因 1 1 2   ，故点  1, 1 在曲线外部，故 A 错误；选项 B：将 x换成 x ，将 y换成 y ，方程 2 2: 2 2C x y x y   不变，故曲线关于原点对称，故 B正确； 选项 C：将将 x换成 x ，方程 2 2: 2 2C x y x y   不变，故曲线关于 y轴对称，设曲线在第一象限与坐标轴围 成的面积为S， 则曲线与坐标轴围成的面积为4S，当 0, 0x y  时，方程 2 2: 2 2C x y x y   ，即    2 21 1 2x y    ，其圆心坐标为  1, 1C  ，半径为 2r  ，如图， 学科网（北京）股份有限公 第 3页/共 7 页 司 当 0y  时，得 0x  或 2x  ，故弦长 2OA  ，由 2 2 2OC CA OA  ，故 π 2 OCA  ， 则 2 21 1 1π π 1 4 2 2 S r r    ，故 4 2π 4S   ，故 C正确；选项 D：由题意可知曲线的周长为 » 14 4 2π 2 2π 4 OA r    ，故 D错误，故选：BC 11 . BD     23 12 3 4 0f x ax ax ax x a      ，令   0f x  ，解得 0x  或 4x  ，当 0a  时， 当  4,x   时，�′ � < 0，  f x 单调递减，当  ,0x   时，�′ � < 0，  f x 单调递减，当  0,4x 时， �′ � > 0，  f x 单调递增，所以  0 1 0f  极小值 ，  4 64 96 1 1 32 0f a a a     极大值 ， 此时函数  f x 只有一个零点，不符合题意；当 0a  时， 当  4,x   时，�′ � > 0，  f x 单调递增，当  ,0x   时，�′ � > 0，  f x 单调递增， 当  0,4x 时，�′ � < 0，  f x 单调递减，  0 1 0f  极大值 ，要使  f x 有三个不同的零点，则  4 64 96 1 1 32 0f a a a      极小值 ，解得 1 32 a  ，即 a的取值范围是 1 , 32      ，故 A错误，B正确； 因为函数   3 26 1( 0)f x ax ax a    有且仅有三个不同的零点分别为 1 2 3, ,x x x ，则      1 2 3f x a x x x x x x       3 21 2 3 1 3 1 2 2 3 1 2 3ax a x x x x a x x x x x x x ax x x        3 26 1  ax ax ， 即有 1 2 3 1 ax x x ， 1 2 3 6x x x   ， 1 3 1 2 2 3 0  x x x x x x ，故 C错误，D正确.故选：BD. 12. 7 10 13.4 解：将函数    πcos 0 3 f x x        的图象向右平移 π 6 个单位长度得到， 函数   π πcos 6 3 g x x        ，因为  g x 是偶函数，所以 π π π, Z 6 3 k k    ，即 = 6 2, Zk k    ， 因为 0  ，所以 6 2 0k   ，则 1 3 k   ，因为  0, πx ，所以 π π π, π 3 3 3 x         ， 因为  f x 在  0, π 上恰有 4个零点，所以 7π π 9ππ 2 3 2    ，即 23 29 6 6   ，所以当 1k   时， 4ω= 14. 8 2 π 27 如图所示，圆柱ON的上底面内切于 DEF ， ,L G分别为 ,BC EF的中点， 则 , ,P G L三点共线， , ,P N O三点共线，因为三棱锥 P ABC 的所有棱长均为2 3， 学科网（北京）股份有限公 第 4页/共 7 页 司 所以 3BL CL  ， 2 2 3AL AB BL   ，又 O是 ABCV 的中心，故 2 12, 1 3 3 AO AL OL AL    ， 由勾股定理得 2 2 12 4 2 2OP AP AO     ，其中 PNG ∽ POL ，故 PN NG PO OL  ，设 ,PN h NG r  ，则 12 2 h r  ， 故 2 2 hr  ，其中 2 2ON OP PN h    ，所以圆柱ON的体积   2 2π π 2 2 8 hV r ON h    ，其中  0,2 2h ， 则     22 ππ 2 2 π 4 2 3 8 8 8 h h hV h h     ，令 0V   得 4 20 3 h  ，令 0V   得 4 2 2 2 3 h  ，故   2 π 2 2 8 hV h  在 4 20, 3        上单调递增，在 4 2 , 2 2 3        上单调递减，故当 4 2 3 h  时，圆柱ON的体积取得极大 值，也是最大值，最大值为 2 4 2 3 4 2 8 2π 2 2 π 8 3 27 V              . 15. 【小问 1详解】 的可能取值为 10、20、50，其中   3 110 6 2 P     ，   2 120 6 3 P     ，   150 6 P    . 故的分布列如下：  10 20 50 P 12 1 3 1 6 则数学期望为   1 1 110 20 50 20 2 3 6 E         . 【小问 2详解】采用有放回方式摸球，每次摸到 10元的概率为 1 1 2 p  ，每次摸到 20元的概率为 2 1 3 p  ，每次摸 到 50元的概率为 3 1 6 p  .事件 X包含 4种情况： 学科网（北京）股份有限公 第 5页/共 7 页 司 两次均摸到 20元；一次摸到 10元，一次摸到 50元；一次摸到 20元，一次摸到 50元；两次均摸到 50元. 故   2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 5C C C C 3 2 6 3 6 6 12 P X                      . 16. （1）由条件及正弦定理得 sin cos sin cos A A C C  ，所以 sin cos cos sin 0A C A C  ，即 sin( ) 0A C  ， 因为 π πA C    ，所以 0A C  ，即 A C ，所以 a c . （2）由（1）及条件知 2a c b  ，所以 2 2 2 2 2 2 2 4 4 1cos 2 4 4 a b c b b bC ab b        ，从而得 21 15sin 1 4 4 C        . 设 ( 0)CD x x  ，则 1 15 3 15 2 4 4ACD S bx   ，得 6bx  .①由余弦定理得 2 2 2 2 21 12 10 4 2 AD b x xb b x xb        ， 所以 2 2 13b x  ，②由①②，得 2( ) 25b x  ，所以 5b x  ，所以 ACD 的周长为 5 10b x AD    . 17. 证明：在梯形 ABCD中，连接交 BD于 CE一点， 因为 BE CD 且 BE CD∥ ，所以四边形 CDBE为平行四边形， 所以 BD与 CE的交点即为 CE中点 M.由已知可得， 2AB  ， 4AD ， 60BAD  ，由余弦定理得 2 3BD  , 所以三角形为直角三角形，所以 AB BD ，又 AB CD∥ ，PD CD ，所以 AB PD ,且BD PD D , 所以 AB 平面 PBD，又 PM 平面 PBD，所以 AB PM . 【小问 2详解】 由（1）知，CD 平面 PDM，如图，以 D为坐标原点，分别以 DB，DC为 x，y轴，垂直于底面 ABCD的直线 z轴，建立空间直角坐标系，则  2 3, 2,0A  ，  0,1,0C ， 设  , 0,P x z ，则 1, , 2 2 2 x zN      ， 52 3, , 2 2 2 x zAN        ， 平面 PDM的一个法向量为  0,1,0n   ，设直线 AN与平面 PDM所成角为 ， 学科网（北京）股份有限公 第 6页/共 7 页 司 则 2 2 5 152sin cos , 6252 3 2 4 2 n AN n AN AN n x z                          ，化简得  2 24 3 35x z   . 由 15PA  ，可得  2 22 3 11x z   ，求得 3x  ， 2 2z  .故 1 1 3 3 2 2 2 63 3ABCDV S h     . 18.（1）因为   exf x ax  ， 0x  ，所以   exf x a   ， 0x  .因为 0x  ，所以 e 1x  . 所以若 1a  ，则 e 0x a  即   0f x  在  0,  上恒成立，所以  f x 在  0,  为增函数； 若 1a  ，由   0f x   ex a  lnx a ；由   0f x   ex a  0 lnx a  . 所以函数  f x 在  0, ln a 上递减，在  ln ,a  上递增. 综上：当 1a  时，  f x 在  0,  为增函数；当 1a  时，  f x 在  0, ln a 上递减，在  ln ,a  上递增. （2）当 1a  时，   exf x x  ，   e 1xf x   ， 0x  .设   0 0,B x f x ，则   00 e 1xf x   . 假设存在   0 0,A x d f x d  ，   0 0,C x d f x d  （ 0d  ），使得直线 AC的斜率等于函数  f x 的图象在点 B处的 切线的斜率，即    0 0 00 0 e e e 1 2 x d x d xx d x d d          0 0 0e e 2 ex d x d xd   ，因为 0e 0x  ，所以 e e 2d d d  . 设   e e 2x xh x x   （ 0x  ），则   e e 2x xh x      2 e e 2x x  0 （当且仅当 0x  时取“ ”）. 但 0x  ，所以   0h x  在  0,  恒成立.所以  h x 在  0,  上单调递增，又  0 0h  .所以   0h x  在  0,  上恒成 立.即方程 e e 2d d d  在  0,  上无解.即满足条件的点 B不存在. 19. 【1】因 2 2 ce a   ， 2 2 2a b c  可得： 2 22a b ①，又椭圆 E过点  2, 2 ，可得 2 24 2 1a b  ②， 联立①，②，解得 2 2, 2a b  ，故椭圆 E的标准方程为 2 2 1 8 4 x y   ； 【2】① 当直线 1 2,l l 中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为 0时， 直线MN 与 x轴重合，不符合题意，故直线 1 2,l l 的斜率均存在且不为 0. 设直线 1l 的方程为 ( ), ( 0)ny k x p k   ， 1 1 2 2( , ), ( , ), ( , ), ( , ),M M N NA x y B x y M x y N x y 联立 2 2 2 2 12 ( )n x y b b y k x p        ，消去 y，整理得： 2 2 2 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0n nk x k p x k p b     ， 学科网（北京）股份有限公 第 7页/共 7 页 司 因直线 1l 交椭圆 E于 ,A B两点，则 0  ，且 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 4 1 2 2 2 1 2 n n k px x k k p bx x k         ，则 2 2 2 2 1 2 1 2 n M n M k px k kpy k         ， 因直线 2l 的方程为 1 ( ), ( 0)ny x p kk     ，同理可得： 2 2 2 2 2 12 2 2 21 1 2 21 n n N n n N p pkx k k p kpky k k              ， 因 , ,M N Q三点共线，则 / /QN MN   ，即 ( ) ( )( )N N M N M N ny x x y y x t    ， 易知 0N My y  ，则 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 2 1 2 3 2 1 2 n n n n M N N M n n n nN M k p kp p kp x y x y pk k k kt kp kpy y k k               ， 因 1 3n n p  ，则 1 2 3n n t  ； ② 结合 ①可知 1 1 1 2 1| | | | | | 3 3 3n n n n n n a PQ p t        ，则 11 3n na  ， 因 2 1 1 1 3 31 3 n n n n a a     ，则数列 1{ } na 是首项为 9，公比为 3的等比数列， 所以数列 1{ } na 的前 n项和为 9(1 3 ) 9 (3 1) 1 3 2 n n nS      . 永州一中2025届高三3月份月考 数学试题 本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. 0 B. C. 2 D. 3. 在递增的等比数列中，，，则数列的公比为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知非零向量，满足，若，则在方向上的投影向量坐标为（ ） A. B. C. D. 5．交流电的瞬时值随时间周期性变化，正负号表示电流方向的交替变化.电流强度（安）随时间（秒）变化的函数的图象如图所示，则当秒时，电流强度是（    ） A．安 B．5安 C．安 D．安 6. 若直线与曲线有公共点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7.已知函数满足，当时，.若函数在区间上有三个不同的零点，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 8．如图所示，已知正方体的棱长为分别是的中点，是线段上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．当点与两点不重合时，平面截正方体所得的截面是六边形 B．平面截正方体所得的截面可能是三角形 C．一定是锐角三角形 D．面积的最大值是 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是（ ） A. 数据的上四分位数为9 B. 若，，且，则相互独立 C. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若其中一个散点坐标为，则 D. 将两个具有相关关系的变量的一组数据，，…，调整为，，…，，决定系数不变 （附：，，） 10. 已知曲线，则以下说法正确的是（ ） A. 点在曲线内部 B. 曲线关于原点对称 C. 曲线与坐标轴围成的面积为 D. 曲线的周长是 11 . 已知函数有且仅有三个不同的零点分别为，则（ ） A. 的取值范围是 B. 的取值范围是 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某班从含有3名男生和2名女生的5名候选人中选出两名同学分别担任正、副班长，则至少选到1名女生的概率__________. 13.已知函数，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若是偶函数，在上恰有4个零点，则__________. 14. 三棱锥的所有棱长均为2，O是的中心，在三棱锥内放置一个以直线为轴的圆柱，则圆柱体积的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某公司在年终总结大会上开展了一次趣味抽奖活动.活动规则为：先在一个密闭不透光的箱子中装入6个标有一定金额的球（除标注金额不同外，其余均相同），其中标注金额为10元、20元、50元的球分别有3个、2个、1个.若员工甲每次从箱子中随机摸出1个球，记下摸出的球上的金额数，摸m次.规定：摸出的球上所标注的金额之和为其所获得的抽奖奖金总金额. （1）若，设员工甲获得的金额，求的分布列和数学期望； （2）若，采用有放回方式摸球，设事件“员工甲获得的总金额不低于40元”，求. 16. 在中，内角所对的边分别为，已知. (1)证明：； (2)若，点在边BC上，且的面积为，求的周长. 17. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，，，，，，E为AB的中点，M为CE的中点. （1）证明：； （2） 若，N为PC中点，且AN与平面PDM所成角的正弦值为，求四棱锥的体积. 18.已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若，问函数的图象上是否存在三个不同的点，，，使得它们的横坐标成等差数列，且直线的斜率等于函数的图象在点处的切线的斜率？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 已知椭圆的离心率. （1）若椭圆过点，求椭圆的标准方程. （2）若直线均过点且互相垂直，直线交椭圆于两点，直线交椭圆于两点，分别为弦和的中点，直线与轴交于点，设. ①求； ②记，求数列的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$