精品解析：吉林省吉林市第四高级中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷

吉林四中2024—2025学年度下学期3月份月考 高二年级数学学科试卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求 1. 一物体的运动方程是，则在 时的瞬时速度是（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 设函数在处存在导数为2，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 3. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 4. 现有3名老师、6名男同学和4名女同学共13人．若需1名老师和1名学生参加评选会议，则不同的选法种数为（ ） A. 30 B. 18 C. 12 D. 13 5. 过点作函数的切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，函数的图象在点处的切线是，则（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 7. 已知直线与曲线相切，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 8. 已知为函数的导函数，且．若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. 设函数的导函数为，且，则 C. 函数在处有极大值，则或6 D. 设，则“”是“”的充要条件 10. 若函数恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 2 11. 对于函数，下列结论正确的（ ） A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点 C. D. 若恒成立，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分， 12. 函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是__________． 13. 曲线在处切线的倾斜角是______. 14. 将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒，若要使方盒的容积V最大，则边长x为________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）； 16. 已知函数. （1）求函数的单调区间以及极值； （2）求函数在上的最小值. 17. 设函数和函数. （1）曲线在点处的切线与曲线相切于点， 求、的值； （2）若函数在区间内单调递增，求的取值范围. 18. 已知函数在时取得极值． （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最小值； （3）若有两个零点，求的值． 19. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线斜率为，求a的值； （2）讨论函数的单调性； （3）若，求证：对，且，都有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林四中2024—2025学年度下学期3月份月考 高二年级数学学科试卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求 1. 一物体的运动方程是，则在 时的瞬时速度是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】表示，计算，利用可计算出 时的瞬时速度. 【详解】∵， ∴， ∴在 时的瞬时速度为. 故选：B. 2. 设函数在处存在导数为2，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的定义即可得解. 【详解】由依题意，知, 则， 故选：A 3. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导并令解不等式可得单调递减区间. 【详解】易知函数定义域为， 可得，显然， 令，可得， 因此函数的单调递减区间是. 故选：A 4. 现有3名老师、6名男同学和4名女同学共13人．若需1名老师和1名学生参加评选会议，则不同的选法种数为（ ） A. 30 B. 18 C. 12 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】根据分步计数原理，结合题意，直接求解即可. 【详解】先从3名老师中任选1名，有3种选法，再从10名学生中任选1名，有10种选法； 由分步乘法计数原理知，不同的选法种数为3×10＝30． 故选：A. 5. 过点作函数的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设切点为，利用导数几何意义求切线方程，结合所过的点求参数，进而确定切线方程. 【详解】，， 设切点为，则， 切线方程为，又切线过点， ，整理得， 切线方程为，则. 故选：C. 6. 如图，函数的图象在点处的切线是，则（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象中的数据求出切线的方程，从而可求出点的纵坐标，则可得，求出直线的斜率可得的值，从而可得答案. 【详解】由图象可得切线过点，所以切线的方程为，即， 所以切线的斜率为，所以 因为点在切线上，所以，所以， 所以， 故选：C 7. 已知直线与曲线相切，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】设切点坐标为，根据切点在切线、曲线上及切线的斜率为建立方程组，求解即得结果. 【详解】设切点坐标为. ∵， ∴， 则， 由②得，，代入①得，， 整理得，解得，故. 故选：A. 8. 已知为函数的导函数，且．若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用导数的运算性质解出，所以，即，结合基本不等式求解即可. 【详解】由题意可得，所以，解得， 所以，即， 又，当且仅当，即时，等号成立， 所以，， 故选：D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. 设函数的导函数为，且，则 C. 函数在处有极大值，则或6 D. 设，则“”是“”的充要条件 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，根据常值函数的导数为0可判断；对于B，求导函数，将代入导函数，利用方程解出，即可判断；对于C，通过验证可知当时，在处有极小值，即可排除C，对于D，构造函数，利用导数判断单调性，结合，即可判断. 【详解】A选项：因为，所以，故A错误； B选项：因为，所以， 则，解得，故B正确； C选项：因为函数在处有极大值，所以， 又，则，解得或6. 若，则， 当时，，当时，， 此时在上单调递减，在上单调递增， 则在处有极小值，不符合题意，故C错误. D选项：设，. 则，因为恒成立，且不恒等于1， 所以恒成立，且不恒等于0，则在上单调递增. 又，所以当，即时，；当时，，即， 所以“”是“”的充要条件，故D正确. 故选：BD. 10. 若函数恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】BD 【解析】 【分析】将问题转化为导函数有两个零点问题，由判别式可解． 【详解】当时，，显然不满足题意； 当时，依题意知，有两个不相等的零点， 所以，解得且， 故选：BD． 11. 对于函数，下列结论正确的（ ） A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点 C. D. 若恒成立，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】求得，得到的单调区间，可判定A正确；根据的单调性，结合当时，，当时，，画出的图象，可判定B错误；根据的单调性，得到，结合，可判定C正确；转化为在恒成立，令，求得，得到函数的单调性与，可判定D正确. 【详解】由函数，可得， 令，解得， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，所以A正确； 当时，，当时，， 则函数的图象，如图所示， 所以函数有且仅有一个零点，所以B错误； 由函数的图象，可得， 因为，所以，所以C正确； 若在恒成立，则在恒成立， 令，可得， 当时，；当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以，所以，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分， 12. 函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求导数，根据导数求解实数a的取值范围. 【详解】，因为函数在区间上是增函数， 所以在区间上恒成立，即， 所以. 故答案为：. 13. 曲线在处切线的倾斜角是______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，求导得，再由导数的几何意义，即可得到结果. 【详解】设切线的倾斜角为， 因为，则， 且，则， 所以曲线在处切线的倾斜角是. 故答案为： 14. 将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒，若要使方盒的容积V最大，则边长x为________. 【答案】## 【解析】 【分析】依题意，可得，求导确定函数单调性即可求解. 【详解】依题意，折成无盖盒子的底面是边长为的正方形，高为，则， 由，得， 令，解得，令，解得， 故在单调递增，在单调递减，且在处取得最大值. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据求导公式与四则运算的求导法则求解； （2）根据求导公式与四则运算的求导法则求解； （3）利用复合函数的求导法则可求. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 令，则. 16. 已知函数. （1）求函数的单调区间以及极值； （2）求函数在上的最小值. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；极大值为，无极小值 （2）1 【解析】 【分析】(1)先求函数的定义域，然后对函数求导，利用导数的正负，求得函数的单调区间，从而可求得函数的极值; (2)根据第(1)小问的单调性，确定函数在区间上的单调性，从而函数的最小值是，比较和的大小，求得函数的最小值. 【小问1详解】 函数的定义域是. 又，令，得，令，得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以函数的极大值为，无极小值. 【小问2详解】 由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上的最小值为. 因为，所以， 所以函数在上的最小值为1. 17. 设函数和函数. （1）曲线在点处的切线与曲线相切于点， 求、的值； （2）若函数在区间内单调递增，求的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义可求出曲线在点处的切线方程为，利用导数的几何意义可得出，即可求得实数、的值； （2）分析可知，对任意的恒成立，设，可知对任意的恒成立，可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【小问1详解】 解：因为，则， 所以，，， 故曲线在点处的切线方程为， 又因为与曲线相切于点，且， 所以，，解得. 【小问2详解】 解：因为函数在区间内单调递增， 当时，恒成立， 因为，故当时，恒成立， 所以，，解得或. 而当或时，均不是常函数， 故若函数在区间内单调递增，则的取值范围为或. 18. 已知函数在时取得极值． （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最小值； （3）若有两个零点，求的值． 【答案】（1）递增区间是，递减区间是； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先求导，由可求出的值，进而确定导数，由导数正负即可得解. （2）由（1）可知函数单调性，根据单调性求出最低的端点值和极小值进行比较即可得解. （3）将函数零问题转化成图像交点问题结合函数单调性和极值情况即可求解. 【小问1详解】 由题得，且定义域为. 由函数在时取得极值，得，解得， 此时，显然是的变号零点，即是极值点， 因此， 所以当或时，，当时，， 所以函数的递增区间是，递减区间是. 【小问2详解】 由（1）知，函数， 且在上单调递增，在上单调递减， 又 所以函数在区间上的最小值是. 【小问3详解】 因为， 由（1）可知在上单调递增，在上单调递减， 所以有极小值为，极大值为， 由有两个零点得直线与函数的图像有两个交点， 故或，所以或. 19. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线斜率为，求a的值； （2）讨论函数的单调性； （3）若，求证：对，且，都有. 【答案】（1） （2） 当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 当时，时函数在上单调递增． 当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． （3） 不妨设，则，要证对，都有， 只需证，即需证． 构造函数，则要证，需证函数在上为增函数， 因为， 所以函数在上为增函数成立， 所以当时，对且，都有． 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义列方程，求值即可； （2），根据参数与1的大小关系分类讨论，利用导数的正负判断函数的单调性； （3）设，要证，即证，构造新函数，证明函数在上单调递增即可． 【小问1详解】 由题意，函数的定义域为，，. 因为曲线在点处的切线斜率为，所以， 则，解得. 【小问2详解】 由题意，函数的定义域为， ， ①当时，令，得或，令，得， 此时函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． ②当时，恒成立，此时函数在上单调递增． ③当时，令，得或，令，得， 此时函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $