第8章 实数单元总复习（5大压轴题型+提高训练）-2024-2025学年七年级下册数学【人教2024版】-原卷+解析版

第8章 实数单元总复习（5大压轴题型） 【选填压轴1大题型+解答题压轴4大题型】 1．（2025七年级·全国·专题练习）阅读理解：“∵，∴，∴的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．即：的小数部分为，类似的：∵，∴的小数部分就是． 解决问题： (1)初步运用：的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)综合拓展：如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 【答案】(1)5，(2)1 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是5，小数部分是， 故答案为：5，； （2）∵， ∴， ∴的整数部分是11，小数部分为， 即， ∵， ∴， ∴的整数部分是6， 即， ∴． 2．（24-25七年级·重庆九龙坡·阶段练习）阅读材料： 材料一：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是明明用来表示的小数部分，你同意明明的表示方法吗？事实上，明明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是2，用减去其整数部分，差就是小数部分． 由此可得：如果，其中是整数，且，那么，， 其中就是的整数部分，就是的小数部分． 材料二：已知是有理数，且满足等式，则可求出的值． 求解过程如下： ∵， ∴ ∵m，n是有理数， ∴，， 解得：，． 根据以上材料，解答下列问题： (1)如果，其中是整数，且，那么______， ______； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知是有理数，且满足等式，求的值． 【答案】(1)(2)(3)或 【详解】（1）解：， ，， 故答案为：； （2）解：的小数部分为，的整数部分为，， ，， ； （3）解：是有理数，且满足等式， ，， ， ， 或， 当时，； 当，时，， 综上所述，的值为或． 3．（24-25七年级·福建福州·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如： ∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请回答： (1)的整数部分是______，小数部分是______． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)，；(2)；(3)． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分是，小数部分是， 故答案为：，； （2）解：∵，即， ∴的小数部分为， ∵，即， ∴的整数部分为， ∴ ； （3）解：， ∴的整数部分为，小数部分是， ∴， ∵，x是整数，且， ∴，， ∴， ∴， ∴的相反数为． 4．（24-25七年级·湖北黄冈·阶段练习）【阅读与思考】我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，而因为，所以，即，于是的整数部分是2，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分． 结合以上材料，回答下列问题： (1)的整数部分是 ；的小数部分是 ； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 【答案】(1)2，(2)4 【详解】（1）解：， 故的整数部分是； 故的小数部分是； 故答案为：，； （2）解：， 的整数部分是2， 的小数部分是， 即， ， ， 的整数部分为6， 即， ． 5．（24-25七年级·安徽淮南·阶段练习）实数由整数部分和小数部分组成，若一个实数是一个开不尽方的正数的算术平方根，其整数部分和小数部分可根据算术平方根的相邻的两个正整数确定． 例如：因为，即，所以的整数部分为3，小数部分为． (1)的整数部分是______； (2)若的小数部分是，的小数部分是，且，请求出满足条件的的值． 【答案】(1)8；(2)或． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是； （2）解：因为， 所以， 所以， 所以的小数部分． 因为， 所以的小数部分， 所以，即， 因为1的平方根是1和， 所以或， 故可得或． 6．（24-25七年级·浙江金华·期末）定义：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为；的整数部分为1，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中是整数，且，那么，． 根据以上材料，回答下列问题： (1)若，其中是整数，且，则__________； __________ (2)若，其中是整数，且，求的值． (3)若，其中是整数，且，求的值． 【答案】(1)2，(2)(3) 【详解】（1）解：即， 则，； （2）解：， ， 是整数，， ，， ． （3）解：， 根据题意得：，， ． 7．（24-25七年级·全国·单元测试）阅读《无理数》课堂实录，解决问题： 数学课上，老师带着大家学习无理数． 老师：大家知道无理数是无限不循环小数，因此一个无理数的小数部分，我们是不可能完全地写出来，那么，有什么方法表示出无理数的小数部分呢？例如：． 聪聪：我们可以用来表示的小数部分． 老师：为什么？ 聪聪：因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 老师：聪聪真聪明，那么你知道含有无理数的两个数字之和的小数部分怎么表示吗？例如． 聪聪：这个还真是不清楚了． (1)请同学们帮聪聪表示一下，的小数部分； (2)若为的小数部分，为的小数部分，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的平方根． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：， ， ， 的小数部分为； （2）解：， ，， ，， ； （3）解： ， ∴， ∴， 又∵，其中是整数，且， ∴， ∴， ∴的平方根是． 8．（24-25七年级·浙江宁波·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，得到的差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如： ，即， 的整数部分是2，小数部分为． （参考性质：①不等式的两边都加上同一个数，所得的不等式仍成立； ②不等式的两边都乘同一个正数，所得的不等式仍成立） 根据上述材料，回答下列问题： (1)的整数部分是_____，小数部分是_____； (2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的值． 【答案】(1)，(2)(3) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分是， 故答案为：4；； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分：， ∵， ∴小数部分：， ∴． 9．（24-25七年级·陕西咸阳·期中）阅读材料：我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而因为，即，于是的整数部分是2，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分． 请你结合以上材料，解答下列问题： (1)的小数部分是______，的整数部分是______； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，请求出的算术平方根． 【答案】(1)，11(2)(3)5 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为5，则小数部分为， ∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为11， 故答案为：，11； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分为4，则小数部分为，即， ∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为10，即， ∴； （3）解：∵， ∴的整数部分为7，小数部分为， ∴的整数部分为，小数部分为， ∵是整数，且， ∴，， ∴， ∴其算术平方根为5． 1．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期末）【阅读理解】若，规定符号表示a，b两个数中较大的一个．规定符号表示a，b两个数中较小的一个． 例如，． 【尝试应用】（1）_______；________． 【拓展探究】（2）若，求x的值． 【拓广探索】（3）．求代数式的值． 【答案】（1）2；；（2）；（3）8 【详解】解：（1）；； （2）， ， ， ， ∵， ∴， 解得：； （3）， ， ， ， ∵， ∴， 整理得：， 即， ∴ ． 2．（24-25七年级·甘肃平凉·阶段练习）三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：这三个数，，，，其结果4，6，12都是整数，所以这三个数称为“完美组合数”． (1)这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由； (2)若三个数是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为20，求的值． 【答案】(1)这三个数是“完美组合数”，理由见解析； (2)． 【详解】（1）解：这三个数是“完美组合数”，理由如下： ，，， ∵都是整数， ∴这三个数是“完美组合数”； （2）解：∵， ①若这两个数的乘积的算术平方根为，则： ， 解得：， 此时，，，， ∴三个数是“完美组合数”， ②若这两个数乘积的算术平方根为，则： ， 解得：，不合题意， 综上所述，． 3．（24-25七年级·湖南衡阳·期中）阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么形如（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部． 它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算： ；． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭；如的共轭复数为． (1)填空： ①______； ②______； (2)若是的共轭复数，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)①10；②(2)(3) 【详解】（1）解：（1）①； ②； 故答案为：①10；②； （2）解：， 又是的共轭复数， ，， ； （3）解：， ，即， ，， ，， ， ∵， ， ． 4．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： (1)的“共同体区间”为__________； (2)若无理数的“共同体区间”为，求的“共同体区间”； (3)若x，y满足关系式：，则的“共同体区间”为__________． 【答案】(1)；(2)的“共同体区间”为；(3)． 【详解】（1）解： 的“共同体区间”是， 故答案为：； （2）解：∵无理数的“共同体区间”为， 即 的“共同体区间”为； （3）解：∵ ，， ∴， ∴， ， 解得：， 当时， 的“共同体区间”为， 故答案为：． 5．（24-25七年级·浙江杭州·期中）定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： (1)的“共同体区间”为________； (2)若无理数的“共同体区间”为，求的“共同体区间”； (3)若整数，满足关系式：，求的“共同体区间”． 【答案】(1)(2)(3)或 【详解】（1）解：∵， ∴的“共同体区间”是， 故答案为：； （2）解：∵无理数的“共同体区间”为， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴的“共同体区间”为； （3）解：∵整数，满足关系式：， ∴或， 解得或或， 分以下三种情况： 当，时，， ∵， ∴的“共同体区间”为； 当，时，， ∵， ∴的“共同体区间”为； 当，时，， ∵， ∴的“共同体区间”为； 综上，的“共同体区间”为或． 6．（24-25七年级·四川成都·期中）对于、，定义了一种新运算“”为：如：，． (1)计算：①_____；②_____． (2)若，，当时，的值与字母的取值无关，求，的值． (3)在（2）的条件下，求的值． 【答案】(1)，(2)(3) 【详解】（1）解：根据题意得，；； 故答案为：，； （2）解：∵， ∴ ， ∵的值与字母的取值无关， ∴， 解得，； （3）解： ， 当时，原式． 7．（24-25七年级·河南周口·阶段练习）阅读材料：如果，那么称b为n的劳格数，记为．由定义可知：与所表示的是b，n两个数之间的关系． (1)根据劳格数的定义，填空：______，______，______． (2)劳格数有如下性质：若m、n为正数，则；． 根据运算性质计算： ①（a为正数）； ②若，求的值．（用含a，c的式子表示） 【答案】(1)1；2；； (2)①3；② 【详解】（1）解：∵， ∴，，， 故答案为：1；2；； （2）解：① ； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（23-24七年级·重庆荣昌·期末）阅读材料：对于一个三位正整数m，如果m满足：百位数字，十位数字与个位数字之和等于15，那称这个数为“月圆数”，例如，；∴843是“月圆数”；，，∴133不是“月圆数”． (1)请判断数345和825是否是“月圆数”，并说明理由； (2)若p、q都是“月圆数”，，（a，b，c均为的整数），规定，若s是p去掉百位数字后剩余部分组成的一个两位数，t是q去掉其百位数字后剩余部分组成的一个两位数，若s与t的和能被11整除，求的值． 【答案】(1)345不是，825是，理由见解析(2) 【详解】（1）∵， ∴345不是“月亮数”； ∵， ∴825是“月亮数”. （2）∵p，q都是“月亮数”， ∴， 即，. ∵s是p去掉百位数字后剩余部分组成的一个两位数，t是q去掉其百位数字后剩余部分组成的一个两位数， ∴， ∴． ∵两个数的和能被11整除， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴． 9．（24-25七年级·重庆沙坪坝·期中）阅读材料，回答问题： 任意一个四位数 n 可以看作由前两位数字和后两位数字组成，交换这两个两位数得到一个新的四位数 m ，记，若的值为非正整数，则称 n 为“凤中数”．如 ，则，，因为为负整数，所以 1234 是“凤中数”． (1)请判断：1111、5025 是否为“凤中数 ”，并说明理由； (2)若，（，，a、b 均为整数），当是一个完全平方数时（完全平方数：能表示为某个整数的平方的数称为完全平方数）， 求满足条件 s 的最大值，并直接判断 s 最大时是否为“凤中数”． 【答案】(1)1111是，5025 否，理由见详解 (2)s的最大值，是“凤中数” 【详解】（1）解：，因为0为非正整数，所以1111是“凤中数” ，因为25为正整数，所以 5025不是“凤中数” （2）解： =， ∵，，a、b均为整数，且是一个完全平方数， 当为平方数，则可能为， 当为平方数，则可能为， 当为平方数，则可能为1，4，9，16， 当为平方数，则可能为1，4，9， 当； 满足条件s的最大值只要最大即可， ∴， 满足条件s的最大值． ， 因为为非正整数，所以1235是“凤中数”． 1．（24-25七年级·安徽淮北·阶段练习）观察下列等式，归纳等式规律，解决下列问题： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ．．．．．． (1)根据上述等式规律，直接写出第5个等式：___________； (2)用含的式子表示出第个等式：___________； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ∴第5个等式为：， 故答案为：； （2）解：由上规律可得，第个等式为：， 故答案为：； （3）解：原式 ． 2．（24-25七年级·湖南长沙·阶段练习）阅读下列材料，解决问题： 材料一：设表示不大于x的最大整数，如，． 材料二：求的值：∵，∴，∴，∴． 材料三：2025数字构成的巧合：；． 2025年是仅有的平方年、立方年，不能不珍惜这神奇的一年． (1) ； ； ． (2)已知n为整数，化简：（结果用含n的代数式表示）． (3)已知，，令，求． 【答案】(1)，6，2 (2)当时，，当时，， (3) 【详解】（1）解：∵，∴ ∵，即：，∴； ∵，，∴． 故答案为：，6，2 （2）∵n为整数，， ∴， 当时，， 当时，， （3）由（2）得 ， ， ∴ ∴． 3．（24-25七年级·安徽亳州·阶段练习）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③ (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想_______ (2)请按照上面各等式反映的规律，试写第n个等式：_______ (3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如， 计算： 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：根据题意：； （2）解：； （3）解：原式 ． 4．（24-25七年级·河南平顶山·期中）观察下列各式： 第1个等式：    第2个等式： 第3个等式：    第4个等式： …… 根据以上规律，解决下列问题： (1)直接写出第5个等式：______． (2)按照上面每个等式反映的规律，第个等式为______． (3)利用上述规律化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：由前几个等式的规律得到第5个等式是：， 故答案为：； （2）解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ， ∴第n个等式是：， 故答案为：； （3）解： ． 5．（24-25七年级·湖南衡阳·阶段练习）先观察等式，再解答问题： ①；②； ③． (1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想______； (2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含的式子表示的等式：____（为正整数）； (3)应用上述结论，请计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：的结果为； 故答案为：； （2）解：∵①； ②； ③， ∴， 故答案为：； （3）解：∵， ， ， ， ， ∴ ． 6．（2024·安徽合肥·三模）如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中★的个数为，第2幅图中★的个数为，第3幅图中★的个数为，…，以此类推，第n幅图中★的个数为．则： (1)　　　　，　　　　　； (2)求的值． 【答案】(1)2， (2) 【详解】（1）解：第1幅图中★的个数为， 第2幅图中★的个数为， 第3幅图中★的个数为， ， 以此类推，第n幅图中★的个数为； （2）解：由（1）知，第n幅图中★的个数为， ， ， ， ， 以此类推，可知， ∴ ． 7．（23-24七年级·山东济宁·期中）阅读下列材料： 小高在学习中遇到一个有趣的问题：如何比较与的大小 请你先阅读下面的内容，然后帮助解决此问题 (1) 由此可归纳出结论： _________． (2)根据上面的结论计算： 类似的： __________； (3)类比应用：__________； (4)请你根据以上总结的结论，比较与的大小． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解： 以此类推可得， ， 故答案为：． （2）解： ， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， 故答案为：； （4）解：∵， ， ∴， ， ∵， ∴． 8．（24-25七年级·四川成都·期末）“杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，如图1． (1)求图1中第8行第5个数是__________； (2)求图1中前100行所有的数字之和； (3)“杨辉三角”的应用很广泛，例如“堆垛术”，图2中的立体图形是由若干形状、大小相同的圆球摆放而成，从上至下每层小球的个数依次为：1，3，6，10…，记第n层的圆球数记，求的值． 【答案】(1)35(2)(3) 【详解】（1）解：根据规律知第8行第5个数为； 故答案为：35； （2）由题知，第1行数字之和1， 第2行数字之和， 第3行数字之和， 第4行数字之和， 第100行中所有数字之和为， 所有数字之和， 记，， ； 前100行的数字之和为． （3）由题意可得：，，…… ， ， ． 1．（24-25七年级·重庆·期末）有个依次排列的整式：第项是，用第项减去得到，将乘以得到第项，再将第项减去得到，将乘以得到第项，…，以此类推，下面四个结论中正确的个数为（   ） 方程的实数解为；；第项；若为整数，且值为整数，则的取值个数为个． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可知：， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 当， 即， 解得：或，故错误； ，故正确； ，故正确； ， 为整数，且值为整数， 的值为，，，，，，，， 的取值为，，，，，，，， 整数的取值为，，，，的取值个数为个，故正确； 综上，正确的有，共个， 故选：B． 2．（24-25七年级·浙江温州·期末）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意可得，则表示的数为， ， 表示的数为， ， 同理可得; ； ； ； ； ， 故选：A． 3．（24-25七年级·重庆綦江·期末）在学习二次根式过程中，对代数式M定义新运算：，在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”，不能改变式子中字母和数字顺序，每次操作只能加一次新运算．实数，在数轴上的位置如图所示．例如：，．下列说法： ①； ②不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式相等； ③不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0； ④所有可能的“新运算操作”共有7种不同运算结果． 其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴，故说法①正确； ∵， ∴，故说法②错误； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴存在“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0，说法③错误； 可能的“新运算操作”有， ， ， ， ， ， ， ∴所有可能的“新运算操作”共有6种不同运算结果，说法④错误． 故选：D． 4．（24-25七年级下·重庆巴南·阶段练习）从a，b，c三个数中任意取两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择得到三个结果，称为一次操作．下列说法： ①若，则三个数中最大的数是5； ②若，中的最小值为1，则x的值为1或4； ③给定a，b，c三个数，将第一个操作的三个结果按上述方法再进行一次操作，得到三个结果，以此类推，第2024次操作的结果是，则．其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【详解】解：①∵， ∴，，， ∴三个数中最大的数是5，故①正确； ②∵， ∴，，， ∴中的最小值为或， ∴或， 解得：或，故②错误； ∵给定a，b，c三个数， ∴． ∵将第一个操作的三个结果按上述方法再进行一次操作，得到三个结果， ∴， …… ∴， ∴，故③错误． 综上可知正确的有1个． 故选B． 5．（23-24七年级·重庆·阶段练习）定义：对于确定顺序的三个数a，b，c，计算，将这三个计算结果的最大值称为a，b，c的“极数”，例如：1，，1，因为，，所以1，，1的“极数”为，则下列说法中，正确的个数为（    ） ①3，1，的“极数”是36； ②若x，y，0的“极数”为0，则x和y中至少有1个数是负数； ③存在2个数m，使得m，，2的极数为； ④调整，，1这三个数的位置，一共能得到5种不同的极数． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：根据定义计算，，结合， 故①正确； 根据定义计算， 结合x，y，0的“极数”为0，必须是负数， 则或， 故x和y中至少有1个数是负数， 故②正确； 根据m，，2，计算得，，结合极数为， 则或， 解得或（舍去）， 故③错误； 当，，1时，，极数为6； 当，1，时；，极数为2； 当，，1时，，极数为4； 当，1，时；，极数为； 当1，，时，，极数为4； 当1，，时， ，极数为6； 有4种不同的结果， 故④错误． 故选B． 6．（24-25七年级·重庆渝中·期末）对于任意实数x，其整数部分记为，小数部分记为，即：，其中表示不超过x的最大整数．如，；，．下列结论正确的个数是（   ） ①； ②若（n是整数），则； ③若，，，则所有可能的值为，，； ④方程的解为或． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【详解】①，， ，故①错误； ②， ， 则或，故②错误； ③，， 则所有可能的值为，，，故③正确； ④， ， 即， ， ， ，故④错误； 综上所述；只有一个正确， 故选：A 7．（24-25七年级·重庆丰都·期末）对实数定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：．若，，则下列结论正确的个数为（    ） （）； （）若，则； （）若，则有且仅有组正整数解； （）如果，那么或； A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴， 解得，故（）正确； ∴， 若， 则， ∴， ∴， ∴，故（）正确； 若， 则， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴或或，即或或， 此时或或， ∴有且仅有组正整数解，故（）正确； 如果， 则， ∴， ∴， ∴或， 即或，故（）正确； 综上，结论正确的个数有个， 故选：． 8．（23-24七年级·江苏苏州·阶段练习）定义一种对正整数的“F”运算，①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取，如图所示，若，则第201次“F”的运算的结果是（    ） A．1 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】解：第一次：， 第二次：，，即， 第三次：， 第四次：，即，计算结果为1， 第五次：， 第六次：，，即，计算结果为1， 此后计算结果为8和1循环， ∵201是奇数， ∴第201次运算结果是8． 故选：D． 9．（24-25七年级·重庆九龙坡·阶段练习）对于四个代数式，角任意两个代数式之差的绝对值，与剩余两个代数式之差的绝对值作差，并化简，这样的运算称为对四个代数式进行“双差绝对值运算”．例如：代数式，，，的“双差绝对值运算”；，，，给出下列说法：代数式，，，的“双差绝对值运算”的结果只有种；当时，代数式，，，的“双差绝对值运算”的某种结果为，则；当时，代数式，，，的“双差绝对值运算”结果不可能为．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：代数式，，，的“双差绝对值运算”的结果有： ； ； ； ； ∴运算结果只有种：，，，故正确； ∵当时，代数式，，，的“双差绝对值运算”的某种结果为， ∴， ∴， 解得，（不合，舍去）， ∴，故错误； 当时，代数式，，，的“双差绝对值运算”结果不可能为，比如： ， 故正确； ∴正确的个数有个， 故选：． 1．（24-25七年级·云南普洱·期末）阅读材料：求的值． 解：设①，将等式①的两边同乘以2， 得②， 用②－①得，即． 即． 请仿照此法计算： (1)请直接填写的值为 ； (2)求值； (3)请计算出的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）根据题意，得， 当时， ， 故答案为：15． （2）设①， 把等式①两边同时乘以5，得：② 由，得：， ， ． （3）设①， 把等式①两边同时乘以10， 得：② 由得：， 故． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）【阅读材料】如何化简整式呢？数学教材第76页提示，可以把看成一个整体，进而．“看成一个整体”在数学中称为“整体思想”，它往往能把复杂问题简单化，在数学问题的解决中应用广泛．请参考阅读材料，解决以下问题： (1)填空：已知，，则______； 【拓展探究】 (2)若关于的一元一次方程的解是，求关于的方程的解是多少； 【答案】(1)3(2) 【详解】（1）解：∵， ∴，即， 又∵， ∴ ， 故答案为：； （2）解：设， 则方程可转化为：， 即， ∵关于的一元一次方程的解是， ∴关于的一元一次方程的解是， ∴， 即， ∴， 即关于的方程的解是． 3．（24-25七年级·广东肇庆·期中）阅读下列材料： 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证： 小聪：，而，，所以，即． 小明：，，这就说明与都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以． 回答以下问题： (1)结合材料猜想，当，时，和之间存在怎样的关系？请直接写出； (2)运用以上结论，计算：①；②； (3)解决实际问题：已知一个长方形的宽为，长为，求这个长方形的面积． 【答案】(1)(2)；(3)16 【详解】（1）解：当，时，； （2）解：； ， （3）解：根据题意得：长方形的面积为． 4．（2024·山西长治·三模）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 商品条形码的“秘密” 商品条形码在生活中随处可见，它是商品的身份证．商品条形码是由13位数字组成，每位数字都是不小于0且不大于9的整数，前12位数字分别表示“国家码、生产商编码和产品码”的相关信息，第13位数字表示“校验码”，如图1所示693代表国家码，49170代表生产商编码，0940代表产品码，2代表校验码．其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确．                  性，它的编制是按照特定算法得来的，具体算法如下（以图1为例）： 例：条形码（X为校验码）． 步骤1：自左向右编号． 位置序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 代码 6 9 3 4 9 1 7 0 0 9 4 0 X 步骤2：求前12位数字中偶数位上的数字之和s， ． 步骤3：求前12位数字中奇数位上的数字之和t， ． 步骤4：求与t的和m， ． 步骤5：取不小于m且为10的整数倍的最小值n， ． 步骤6：求n与m的差就是校验码X． ，即校验码X的值为2． 任务： (1)若某商品的条形码为，求校验码Y的值 ． (2)如图2，某商品条形码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为a，则根据材料中的步骤4得出m的值为 ．（用含a的代数式表示） (3)如图3，某商品条形码中的两位数字被墨水污染了，若这两位数字相同，则这位数字是 ． 【答案】(1)0(2)(3)5 【详解】（1）解：步骤1：自左向右编号为： 位置序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 代码 6 9 2 0 1 5 2 4 6 1 0 2 Y 步骤2：求前12位数字中偶数位上的数字之和s， ． 步骤3：求前12位数字中奇数位上的数字之和t， ． 步骤4：求与t的和m， ． 步骤5：取不小于m且为10的整数倍的最小值n， ． 步骤6：求n与m的差就是校验码Y． ，即校验码Y的值为0， 故答案为：0； （2）∵ ∴ 故答案为：； （3）解：设这个数字为x， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：5． 5．（2024·河南郑州·二模）阅读材料：小学阶段我们学习过被3整除的数的规律，初中阶段可以论证结论的正确性．以三位数为例，设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除．论证过程如下：，显然99a+9b能被3整除，因此，如果可以被3整除，那么就能被3整除． 应用材料解答下列问题： (1)设是一个三位数，直接写出满足什么条件时，它可以被5整除； (2)设是一个四位数，猜想满足什么条件时，它可以被4整除，并说明理由． 【答案】(1)或5时，能被5整除 (2)当能被4整除时，能被4整除 【详解】（1）解：依题意， 能被5整除， 当能被5整除时，即或5时，能被5整除； （2）解：依题意，， 能被4整除， 当能被4整除时，能被4整除． 6．（24-25七年级·北京·期中）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ 按照下面的方法试一试： (1)①由，可以确定是__________位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是__________； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是__________，由此求得__________． (2)按照上述方法，直接写出389017的立方根__________． 【答案】(1)①两；②9；③3；39(2)73 【详解】（1）解：①∵，，， ∴， ∴可以确定是两位数， 故答案为：两； ②由的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是9， 故答案为：9； ③∵，，， ∴， ∴可以确定的十位上的数是3， ∴求得 故答案为：3；39． （2）解：∵，， ∴， ∴可以确定是两位数， ∵389017的个位数字是7， ∴可以确定的个位数字是3， ∵， ∴， ∴可以确定的十位上的数是7， ∴求得 故答案为：73． 7．（24-25七年级·山东临沂·期中）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： (1)由，，你是怎样确定是几位数的？ (2)由59319的个位上的数是9，你是怎样确定的个位上的数是几的？ (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此你又是怎样确定的十位上的数是几的？ (4)已知6859，19683，110592都是整数的立方，按照上述方法，请你确定它们的立方根（直接写出结果）． 【答案】(1)59319的立方根为两位数 (2)个位数字为9，见解析 (3)十位上的数字为3，见解析 (4)19，27，48 【详解】（1）解：∵，，且， ∴， ∴59319的立方根为两位数； （2）解：∵，，，，，，，，，根据个位数字出现的规律， 由59319的个位上的数是9，因此的个位数字为9； （3）解：划去59319后面的三位319得到数59， ∵，， ∴， ∴的十位上的数字为3； （4）解：∵，，且， ∴是两位数， ∵6859个位数字为9， ∴个位数字为9， ∵，，且， ∴6859十位数字为1， ∴； 同理可得：；1． 8．（24-25七年级·辽宁沈阳·期末）阅读材料：求的值． 解：设，将等式①的两边同乘以2， 得， 用得，， 即． 即． 请仿照此法计算： (1)请直接填写的值为 ； (2)求值； (3)求的值． 【答案】(1)15(2)(3) 【详解】（1）解： ； 故答案为：15； （2）解：设①，把等式①两边同时乘以5，得 ②， 由，得：， ∴， ∴； （3）解：设①， 把等式①乘以10，得： ②， 把，得：， ∴， ∴ 9．（24-25七年级·河北邢台·期中）如何快速求解四位数的算术平方根呢？已知1764的算术平方根是一个整数，下面是嘉嘉同学求解的探究过程： ①由，，可以确定是一个_________位数； ②由1764的个位上的数是4，可以确定的个位上的数是_________或_________； ③如果划去1764后面的两位64得到数17，而，，可以确定的十位上的数是4，因为，而，所以选择较小的个位数字，则_________． (1)补全上述探究过程． (2)已知3249的算术平方根也是一个整数，仿照上述探究方法计算． (3)我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，参照求解算术平方根的过程，计算59319的立方根为_________． 【答案】(1)两；2；8；42(2)(3)39 【详解】（1）解：①由，，可以确定是一个两位数； ②由1764的个位上的数是4，可以确定的个位上的数是2或8； ③如果划去1764后面的两位64得到数17，而，，可以确定的十位上的数是4，因为，而，所以选择较小的个位数字，则． 故答案为：两；2；8；42． （2）①由，，可以确定是一个两位数； ②由3249的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是3或7； ③如果划去3249后面的两位49得到数32，而，，可以确定的十位上的数是5，因为，而，所以选择较大的个位数字，则． 综上所述，． （3）①由，，可以确定是一个两位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是9； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，可以确定的十位上的数是3，则． 故答案为：39． 1．（24-25七年级·重庆沙坪坝·阶段练习）对于一个四位自然数，它的各个位置上的数字不同且都不为0．若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称为“凤鸣数”．如：四位数8642，，，是“凤鸣数”．若四位自然数是“凤鸣数”，则这个数是 ；一个“凤鸣数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，．若能被3整除，则满足条件的的最大的数是 ． 【答案】 7421 9863 【详解】解：根据题意，若四位自然数是“凤鸣数”, 则， ， ∴这个数是7421； 根据题意，，，， 则， 即， ， ， ， 若M最大，只需千位数字a取最大，即， ∴， ∵能被3整除， ∴b最大为8， 又， ，， ∴满足条件的M的最大值为9863． 故答案为：7421，9863． 2．（24-25七年级·重庆九龙坡·期末）各数位都不为的四位正整数，若它的千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个四位数是“间和数”．将的首位数字放在末尾得到一个新数记为，再将的首位数字放在末尾得到，以此类推得到，记，则的值为 ．已知为“间和数”，其中，均为整数，，，，若 能被整除且（为正整数），则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，，， ∴； ∵， ∴的千位上的数字是，百位上的数字是，十位上的数字是，个位上的数字是， ∵为“间和数”， ∴， ∴， ∴， ∵能被整除， ∴， ∴为整数， ∵，，均为整数， ∴为， ∴， ∴， ， ， ∴ ， ∵， ∴， 整理得，， ∵，为整数，为正整数， ∴， ∴， 故答案为：，． 3．（24-25七年级·浙江嘉兴·阶段练习）规定：对于任意两个实数，代入代数式进行计算，计算的结果称为的“自胜数”，这种计算称为“自胜计算”． (1)若实数满足，求实数的“自胜数”． (2)已知实数在数轴上对应的点如图所示，则从这四个数中任选两个进行“自胜计算”，得到的“自胜数”最大值和最小值分别是多少？ (3)一组数：，，，，，，，，，，以两个数为一组，将这4050个数任意分成2025组进行“自胜计算”，并将这2025个“自胜数”相加，和为，求的最大值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【详解】（1）解：由题意得：，， 解得：， 所以， 所以， 所以的“自胜数”为； （2）解：由题意知，当时，的“自胜数”为，当时，的“自胜数”为， 因为，， 所以，， ， 所以， 所以从这四个结果中任选两个进行“自胜计算”得到的结果的最大值为，最小值为； （3）解：由（2）可知，任意两个组合，尽可能将大数都作为“自胜数”，那么这些“自胜数”的和就最大， 所以①， ②， 得到． 4．（24-25七年级·湖南长沙·阶段练习）如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒，且、满足．（友情提醒：钟表指针走动的方向为顺时针方向） (1)______，______； (2)若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直． (3)若射线绕点顺时针先转动18秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线到达之前，问射线再转动多少秒时，射线、射线互相平行？ 【答案】(1)6，1(2)秒(3)秒或秒 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：6，1． （2）解：设至少旋转秒时，射线、射线互相垂直，设射线、射线互相垂直于点， 如图，过点作， 由题意得：，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得， 答：至少旋转秒时，射线、射线互相垂直． （3）解：设射线再转动秒时，射线、射线互相平行， ∵，， ∴， ∴射线到达所需时间为（秒）， ∵， ∴， 如图，射线绕点顺时针先转动18秒后，射线旋转至的位置，则， ∴，， ∴射线旋转至所需时间为（秒），旋转至所需时间为（秒），旋转至所需时间为（秒）， 则分以下两种情况： ①如图，当时，射线从的位置转动至，射线转动至， 则，，， ∴， ∴，即， 解得，符合题设； ②如图，当时，射线从的位置先转动至，再从转动至，射线转动至， 则，，， ∴， ∴，即， 解得，符合题设； 综上，射线再转动秒或秒时，射线、射线互相平行． 5．（24-25七年级·浙江湖州·期中）我们知道表示与之差的绝对值，实际上也可以理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索： (1)填空：_______．若，则________． (2)填空：使得成立的的值是________． (3)由以上探索：猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值，如果没有，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)有最小值，最小值为 【详解】（1）解：， 若，则与的距离等于， ∴或， 当时，， ∴； 当时，，不合题意； 故答案为：，； （2）解：∵， ∴式子可理解为到与到的距离之和， ∵， ∴不在和之间， 当在左边时，， 解得； 当在右边时，， 解得； 故答案为：或； （3）解：有最小值，最小值为，理由如下： ∵， ∴式子理解为到与到的距离之和， 根据两点之间线段最短，可知当时，的值最小，最小值为． 6．（24-25七年级·河南·开学考试）如果一个四位数满足千位数字和十位数字的和为9，百位数字与个位数字的差为2，那么称M为“跳跃数”．若一个四位“跳跃数”M的千位数字与个位数字的2倍的和记作，百位数字与十位数字的和记作，那么为整数时，则称M为“跳跃整数”． 例如：8614满足，且，即不是整数，故不是“跳跃整数”． 又如：9503满足，且，即是整数，故9503是“跳跃整数”． (1)判断： “跳跃整数”， “跳跃整数”；（填“是”或“不是”）； (2)证明：任意一个四位“跳跃数”与其百位数字的2倍之差能被11整除； (3)若（其中且均为整数）是“跳跃整数”，请直接写出满足条件的所有M的值． 【答案】(1)不是，是(2)见解析 (3)9503或5341或3765 【详解】（1）解：满足，且，， 即，不是整数， 不是“跳跃整数”； 满足，且，， 即， 是“跳跃整数”； （2）证明：设任意一个四位“跳跃数”的千位上的数字为a，百位上的数字为b，则十位上的数字为，个位上的数字为， ， ，b均为整数， 也为整数， 能被11整除， 任意一个四位“跳跃数”与其百位数字的 2 倍之差能被 11 整除； （3）解：是“跳跃整数”， 且是整数， 把代入，得 ， ， ，c均为整数， 是偶数， 是偶数， ， 当时， 是整数， ，b为整数， 当时，是整数， 故此时，，则， ； 当时， 是整数， ，b为整数， 无满足条件的数； 当时， 是整数， ，b为整数， 当时，是整数， 故此时，，则， ； 当时， 是整数， ，b为整数， 当时，是整数， 故此时，，则， ； 当时， 是整数， ，b为整数， 无满足条件的数； 综上，满足条件的所有M的值为9503或5341或3765． 7．（24-25七年级·云南昭通·期末）规定：对任意的非负实数n，用表示不大于n的最大整数，称为n的整数部分，用表示的值，称为n的小数部分.例如：，，，；请回答下列问题： (1)当时，以下五个命题中为真命题的是 （填序号） ①；②；③；④；⑤若（a为整数），则 (2)当时，解关于x的方程 【答案】(1)①②④⑤ (2)或 【详解】（1）解： ，故①正确； ，由于，，故②正确； 表示的小数部分，，故③错误； 表示的整数部分，，故④正确； 为整数），，故⑤正确， 故五个命题中为真命题的是①②④⑤， 故答案为：①②④⑤； （2）解：， ， ， ， 是的小数部分， 当时，； 当时，， ， 可得， ， 综上可得或． 8．（24-25七年级·全国·假期作业）阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．举例：数轴上表示数a和的两点A和B之间的距离是．问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． （1）①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ． （2）若数轴上表示数a的点位于与5之间，求的值是 ； （3）当取最小值时，相应的数a的取值范围是 ； （4）求的最小值是 ． 实际应用： （5）问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P，点P选在 ，才能使这2023户居民到点P的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升： （6）若数a，b满足，求的最小值为 ． 【答案】（1），（2）（3）（4）（5）（6） 【详解】解：（1）①数轴上表示2与5两点之间的距离为； 故答案为：3； ②数轴上表示和的两点和之间的距离是， 故答案为：； （2）， ； （3）表示数的点与表示数1和2的点的距离之和， 当位于1与2之间时，其距离之和最小， 取最小值时，相应的数的取值范围是， 故答案为：； （4）当时，取最小值为：， 故答案为：2； （5）点选在居民家．才能使这2023户居民到点的距离总和最小； 故答案为：； （6）， 当，时，， ， 若数，满足，的最小值为， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8章 实数单元总复习（5大压轴题型） 【选填压轴1大题型+解答题压轴4大题型】 1．（2025七年级·全国·专题练习）阅读理解：“∵，∴，∴的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．即：的小数部分为，类似的：∵，∴的小数部分就是． 解决问题： (1)初步运用：的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)综合拓展：如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 2．（24-25七年级·重庆九龙坡·阶段练习）阅读材料： 材料一：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是明明用来表示的小数部分，你同意明明的表示方法吗？事实上，明明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是2，用减去其整数部分，差就是小数部分． 由此可得：如果，其中是整数，且，那么，， 其中就是的整数部分，就是的小数部分． 材料二：已知是有理数，且满足等式，则可求出的值． 求解过程如下： ∵， ∴ ∵m，n是有理数， ∴，， 解得：，． 根据以上材料，解答下列问题： (1)如果，其中是整数，且，那么______， ______； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知是有理数，且满足等式，求的值． 3．（24-25七年级·福建福州·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如： ∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请回答： (1)的整数部分是______，小数部分是______． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数，且，求的相反数． 4．（24-25七年级·湖北黄冈·阶段练习）【阅读与思考】我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，而因为，所以，即，于是的整数部分是2，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分． 结合以上材料，回答下列问题： (1)的整数部分是 ；的小数部分是 ； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 5．（24-25七年级·安徽淮南·阶段练习）实数由整数部分和小数部分组成，若一个实数是一个开不尽方的正数的算术平方根，其整数部分和小数部分可根据算术平方根的相邻的两个正整数确定． 例如：因为，即，所以的整数部分为3，小数部分为． (1)的整数部分是______； (2)若的小数部分是，的小数部分是，且，请求出满足条件的的值． 6．（24-25七年级·浙江金华·期末）定义：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为；的整数部分为1，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中是整数，且，那么，． 根据以上材料，回答下列问题： (1)若，其中是整数，且，则__________； __________ (2)若，其中是整数，且，求的值． (3)若，其中是整数，且，求的值． 7．（24-25七年级·全国·单元测试）阅读《无理数》课堂实录，解决问题： 数学课上，老师带着大家学习无理数． 老师：大家知道无理数是无限不循环小数，因此一个无理数的小数部分，我们是不可能完全地写出来，那么，有什么方法表示出无理数的小数部分呢？例如：． 聪聪：我们可以用来表示的小数部分． 老师：为什么？ 聪聪：因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 老师：聪聪真聪明，那么你知道含有无理数的两个数字之和的小数部分怎么表示吗？例如． 聪聪：这个还真是不清楚了． (1)请同学们帮聪聪表示一下，的小数部分； (2)若为的小数部分，为的小数部分，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的平方根． 8．（24-25七年级·浙江宁波·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，得到的差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如： ，即， 的整数部分是2，小数部分为． （参考性质：①不等式的两边都加上同一个数，所得的不等式仍成立； ②不等式的两边都乘同一个正数，所得的不等式仍成立） 根据上述材料，回答下列问题： (1)的整数部分是_____，小数部分是_____； (2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的值． 9．（24-25七年级·陕西咸阳·期中）阅读材料：我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而因为，即，于是的整数部分是2，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分． 请你结合以上材料，解答下列问题： (1)的小数部分是______，的整数部分是______； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，请求出的算术平方根． 1．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期末）【阅读理解】若，规定符号表示a，b两个数中较大的一个．规定符号表示a，b两个数中较小的一个． 例如，． 【尝试应用】（1）_______；________． 【拓展探究】（2）若，求x的值． 【拓广探索】（3）．求代数式的值． 2．（24-25七年级·甘肃平凉·阶段练习）三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：这三个数，，，，其结果4，6，12都是整数，所以这三个数称为“完美组合数”． (1)这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由； (2)若三个数是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为20，求的值． 3．（24-25七年级·湖南衡阳·期中）阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么形如（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部． 它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算： ；． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭；如的共轭复数为． (1)填空： ①______； ②______； (2)若是的共轭复数，求的值； (3)已知，求的值． 4．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： (1)的“共同体区间”为__________； (2)若无理数的“共同体区间”为，求的“共同体区间”； (3)若x，y满足关系式：，则的“共同体区间”为__________． 5．（24-25七年级·浙江杭州·期中）定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： (1)的“共同体区间”为________； (2)若无理数的“共同体区间”为，求的“共同体区间”； (3)若整数，满足关系式：，求的“共同体区间”． 6．（24-25七年级·四川成都·期中）对于、，定义了一种新运算“”为：如：，． (1)计算：①_____；②_____． (2)若，，当时，的值与字母的取值无关，求，的值． (3)在（2）的条件下，求的值． 7．（24-25七年级·河南周口·阶段练习）阅读材料：如果，那么称b为n的劳格数，记为．由定义可知：与所表示的是b，n两个数之间的关系． (1)根据劳格数的定义，填空：______，______，______． (2)劳格数有如下性质：若m、n为正数，则；． 根据运算性质计算： ①（a为正数）； ②若，求的值．（用含a，c的式子表示） 8．（23-24七年级·重庆荣昌·期末）阅读材料：对于一个三位正整数m，如果m满足：百位数字，十位数字与个位数字之和等于15，那称这个数为“月圆数”，例如，；∴843是“月圆数”；，，∴133不是“月圆数”． (1)请判断数345和825是否是“月圆数”，并说明理由； (2)若p、q都是“月圆数”，，（a，b，c均为的整数），规定，若s是p去掉百位数字后剩余部分组成的一个两位数，t是q去掉其百位数字后剩余部分组成的一个两位数，若s与t的和能被11整除，求的值． 9．（24-25七年级·重庆沙坪坝·期中）阅读材料，回答问题： 任意一个四位数 n 可以看作由前两位数字和后两位数字组成，交换这两个两位数得到一个新的四位数 m ，记，若的值为非正整数，则称 n 为“凤中数”．如 ，则，，因为为负整数，所以 1234 是“凤中数”． (1)请判断：1111、5025 是否为“凤中数 ”，并说明理由； (2)若，（，，a、b 均为整数），当是一个完全平方数时（完全平方数：能表示为某个整数的平方的数称为完全平方数）， 求满足条件 s 的最大值，并直接判断 s 最大时是否为“凤中数”． 1．（24-25七年级·安徽淮北·阶段练习）观察下列等式，归纳等式规律，解决下列问题： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ．．．．．． (1)根据上述等式规律，直接写出第5个等式：___________； (2)用含的式子表示出第个等式：___________； (3)计算：． 2．（24-25七年级·湖南长沙·阶段练习）阅读下列材料，解决问题： 材料一：设表示不大于x的最大整数，如，． 材料二：求的值：∵，∴，∴，∴． 材料三：2025数字构成的巧合：；． 2025年是仅有的平方年、立方年，不能不珍惜这神奇的一年． (1) ； ； ． (2)已知n为整数，化简：（结果用含n的代数式表示）． (3)已知，，令，求． 3．（24-25七年级·安徽亳州·阶段练习）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③ (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想_______ (2)请按照上面各等式反映的规律，试写第n个等式：_______ (3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如， 计算： 4．（24-25七年级·河南平顶山·期中）观察下列各式： 第1个等式：    第2个等式： 第3个等式：    第4个等式： …… 根据以上规律，解决下列问题： (1)直接写出第5个等式：______． (2)按照上面每个等式反映的规律，第个等式为______． (3)利用上述规律化简：． 5．（24-25七年级·湖南衡阳·阶段练习）先观察等式，再解答问题： ①；②； ③． (1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想______； (2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含的式子表示的等式：____（为正整数）； (3)应用上述结论，请计算的值． 6．（2024·安徽合肥·三模）如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中★的个数为，第2幅图中★的个数为，第3幅图中★的个数为，…，以此类推，第n幅图中★的个数为．则： (1)　　　　，　　　　　； (2)求的值． 7．（23-24七年级·山东济宁·期中）阅读下列材料： 小高在学习中遇到一个有趣的问题：如何比较与的大小 请你先阅读下面的内容，然后帮助解决此问题 (1) 由此可归纳出结论： _________． (2)根据上面的结论计算： 类似的： __________； (3)类比应用：__________； (4)请你根据以上总结的结论，比较与的大小． 8．（24-25七年级·四川成都·期末）“杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，如图1． (1)求图1中第8行第5个数是__________； (2)求图1中前100行所有的数字之和； (3)“杨辉三角”的应用很广泛，例如“堆垛术”，图2中的立体图形是由若干形状、大小相同的圆球摆放而成，从上至下每层小球的个数依次为：1，3，6，10…，记第n层的圆球数记，求的值． 1．（24-25七年级·重庆·期末）有个依次排列的整式：第项是，用第项减去得到，将乘以得到第项，再将第项减去得到，将乘以得到第项，…，以此类推，下面四个结论中正确的个数为（   ） 方程的实数解为；；第项；若为整数，且值为整数，则的取值个数为个． A． B． C． D． 2．（24-25七年级·浙江温州·期末）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级·重庆綦江·期末）在学习二次根式过程中，对代数式M定义新运算：，在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”，不能改变式子中字母和数字顺序，每次操作只能加一次新运算．实数，在数轴上的位置如图所示．例如：，．下列说法： ①； ②不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式相等； ③不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0； ④所有可能的“新运算操作”共有7种不同运算结果． 其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．（24-25七年级下·重庆巴南·阶段练习）从a，b，c三个数中任意取两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择得到三个结果，称为一次操作．下列说法： ①若，则三个数中最大的数是5； ②若，中的最小值为1，则x的值为1或4； ③给定a，b，c三个数，将第一个操作的三个结果按上述方法再进行一次操作，得到三个结果，以此类推，第2024次操作的结果是，则．其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（23-24七年级·重庆·阶段练习）定义：对于确定顺序的三个数a，b，c，计算，将这三个计算结果的最大值称为a，b，c的“极数”，例如：1，，1，因为，，所以1，，1的“极数”为，则下列说法中，正确的个数为（    ） ①3，1，的“极数”是36； ②若x，y，0的“极数”为0，则x和y中至少有1个数是负数； ③存在2个数m，使得m，，2的极数为； ④调整，，1这三个数的位置，一共能得到5种不同的极数． A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25七年级·重庆渝中·期末）对于任意实数x，其整数部分记为，小数部分记为，即：，其中表示不超过x的最大整数．如，；，．下列结论正确的个数是（   ） ①； ②若（n是整数），则； ③若，，，则所有可能的值为，，； ④方程的解为或． A．个 B．个 C．个 D．个 7．（24-25七年级·重庆丰都·期末）对实数定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：．若，，则下列结论正确的个数为（    ） （）； （）若，则； （）若，则有且仅有组正整数解； （）如果，那么或； A．个 B．个 C．个 D．个 8．（23-24七年级·江苏苏州·阶段练习）定义一种对正整数的“F”运算，①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取，如图所示，若，则第201次“F”的运算的结果是（    ） A．1 B．4 C．6 D．8 9．（24-25七年级·重庆九龙坡·阶段练习）对于四个代数式，角任意两个代数式之差的绝对值，与剩余两个代数式之差的绝对值作差，并化简，这样的运算称为对四个代数式进行“双差绝对值运算”．例如：代数式，，，的“双差绝对值运算”；，，，给出下列说法：代数式，，，的“双差绝对值运算”的结果只有种；当时，代数式，，，的“双差绝对值运算”的某种结果为，则；当时，代数式，，，的“双差绝对值运算”结果不可能为．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级·云南普洱·期末）阅读材料：求的值． 解：设①，将等式①的两边同乘以2， 得②， 用②－①得，即． 即． 请仿照此法计算： (1)请直接填写的值为 ； (2)求值； (3)请计算出的值． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）【阅读材料】如何化简整式呢？数学教材第76页提示，可以把看成一个整体，进而．“看成一个整体”在数学中称为“整体思想”，它往往能把复杂问题简单化，在数学问题的解决中应用广泛．请参考阅读材料，解决以下问题： (1)填空：已知，，则______； 【拓展探究】 (2)若关于的一元一次方程的解是，求关于的方程的解是多少； 3．（24-25七年级·广东肇庆·期中）阅读下列材料： 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证： 小聪：，而，，所以，即． 小明：，，这就说明与都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以． 回答以下问题： (1)结合材料猜想，当，时，和之间存在怎样的关系？请直接写出； (2)运用以上结论，计算：①；②； (3)解决实际问题：已知一个长方形的宽为，长为，求这个长方形的面积． 4．（2024·山西长治·三模）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 商品条形码的“秘密” 商品条形码在生活中随处可见，它是商品的身份证．商品条形码是由13位数字组成，每位数字都是不小于0且不大于9的整数，前12位数字分别表示“国家码、生产商编码和产品码”的相关信息，第13位数字表示“校验码”，如图1所示693代表国家码，49170代表生产商编码，0940代表产品码，2代表校验码．其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确．                  性，它的编制是按照特定算法得来的，具体算法如下（以图1为例）： 例：条形码（X为校验码）． 步骤1：自左向右编号． 位置序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 代码 6 9 3 4 9 1 7 0 0 9 4 0 X 步骤2：求前12位数字中偶数位上的数字之和s， ． 步骤3：求前12位数字中奇数位上的数字之和t， ． 步骤4：求与t的和m， ． 步骤5：取不小于m且为10的整数倍的最小值n， ． 步骤6：求n与m的差就是校验码X． ，即校验码X的值为2． 任务： (1)若某商品的条形码为，求校验码Y的值 ． (2)如图2，某商品条形码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为a，则根据材料中的步骤4得出m的值为 ．（用含a的代数式表示） (3)如图3，某商品条形码中的两位数字被墨水污染了，若这两位数字相同，则这位数字是 ． 5．（2024·河南郑州·二模）阅读材料：小学阶段我们学习过被3整除的数的规律，初中阶段可以论证结论的正确性．以三位数为例，设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除．论证过程如下：，显然99a+9b能被3整除，因此，如果可以被3整除，那么就能被3整除． 应用材料解答下列问题： (1)设是一个三位数，直接写出满足什么条件时，它可以被5整除； (2)设是一个四位数，猜想满足什么条件时，它可以被4整除，并说明理由． 6．（24-25七年级·北京·期中）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ 按照下面的方法试一试： (1)①由，可以确定是__________位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是__________； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是__________，由此求得__________． (2)按照上述方法，直接写出389017的立方根__________． 7．（24-25七年级·山东临沂·期中）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： (1)由，，你是怎样确定是几位数的？ (2)由59319的个位上的数是9，你是怎样确定的个位上的数是几的？ (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此你又是怎样确定的十位上的数是几的？ (4)已知6859，19683，110592都是整数的立方，按照上述方法，请你确定它们的立方根（直接写出结果）． 8．（24-25七年级·辽宁沈阳·期末）阅读材料：求的值． 解：设，将等式①的两边同乘以2， 得， 用得，， 即． 即． 请仿照此法计算： (1)请直接填写的值为 ； (2)求值； (3)求的值． 9．（24-25七年级·河北邢台·期中）如何快速求解四位数的算术平方根呢？已知1764的算术平方根是一个整数，下面是嘉嘉同学求解的探究过程： ①由，，可以确定是一个_________位数； ②由1764的个位上的数是4，可以确定的个位上的数是_________或_________； ③如果划去1764后面的两位64得到数17，而，，可以确定的十位上的数是4，因为，而，所以选择较小的个位数字，则_________． (1)补全上述探究过程． (2)已知3249的算术平方根也是一个整数，仿照上述探究方法计算． (3)我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，参照求解算术平方根的过程，计算59319的立方根为_________． 1．（24-25七年级·重庆沙坪坝·阶段练习）对于一个四位自然数，它的各个位置上的数字不同且都不为0．若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称为“凤鸣数”．如：四位数8642，，，是“凤鸣数”．若四位自然数是“凤鸣数”，则这个数是 ；一个“凤鸣数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，．若能被3整除，则满足条件的的最大的数是 ． 2．（24-25七年级·重庆九龙坡·期末）各数位都不为的四位正整数，若它的千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个四位数是“间和数”．将的首位数字放在末尾得到一个新数记为，再将的首位数字放在末尾得到，以此类推得到，记，则的值为 ．已知为“间和数”，其中，均为整数，，，，若 能被整除且（为正整数），则的值为 ． 3．（24-25七年级·浙江嘉兴·阶段练习）规定：对于任意两个实数，代入代数式进行计算，计算的结果称为的“自胜数”，这种计算称为“自胜计算”． (1)若实数满足，求实数的“自胜数”． (2)已知实数在数轴上对应的点如图所示，则从这四个数中任选两个进行“自胜计算”，得到的“自胜数”最大值和最小值分别是多少？ (3)一组数：，，，，，，，，，，以两个数为一组，将这4050个数任意分成2025组进行“自胜计算”，并将这2025个“自胜数”相加，和为，求的最大值． 4．（24-25七年级·湖南长沙·阶段练习）如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒，且、满足．（友情提醒：钟表指针走动的方向为顺时针方向） (1)______，______； (2)若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直． (3)若射线绕点顺时针先转动18秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线到达之前，问射线再转动多少秒时，射线、射线互相平行？ 5．（24-25七年级·浙江湖州·期中）我们知道表示与之差的绝对值，实际上也可以理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索： (1)填空：_______．若，则________． (2)填空：使得成立的的值是________． (3)由以上探索：猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值，如果没有，请说明理由． 6．（24-25七年级·河南·开学考试）如果一个四位数满足千位数字和十位数字的和为9，百位数字与个位数字的差为2，那么称M为“跳跃数”．若一个四位“跳跃数”M的千位数字与个位数字的2倍的和记作，百位数字与十位数字的和记作，那么为整数时，则称M为“跳跃整数”． 例如：8614满足，且，即不是整数，故不是“跳跃整数”． 又如：9503满足，且，即是整数，故9503是“跳跃整数”． (1)判断： “跳跃整数”， “跳跃整数”；（填“是”或“不是”）； (2)证明：任意一个四位“跳跃数”与其百位数字的2倍之差能被11整除； (3)若（其中且均为整数）是“跳跃整数”，请直接写出满足条件的所有M的值． 7．（24-25七年级·云南昭通·期末）规定：对任意的非负实数n，用表示不大于n的最大整数，称为n的整数部分，用表示的值，称为n的小数部分.例如：，，，；请回答下列问题： (1)当时，以下五个命题中为真命题的是 （填序号） ①；②；③；④；⑤若（a为整数），则 (2)当时，解关于x的方程 8．（24-25七年级·全国·假期作业）阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．举例：数轴上表示数a和的两点A和B之间的距离是．问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． （1）①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ． （2）若数轴上表示数a的点位于与5之间，求的值是 ； （3）当取最小值时，相应的数a的取值范围是 ； （4）求的最小值是 ． 实际应用： （5）问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P，点P选在 ，才能使这2023户居民到点P的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升： （6）若数a，b满足，求的最小值为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$