精品解析：广东省佛山市南海区桂城中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试卷

桂城中学2024-2025学年度下学期高一级第一次段考 数学试卷 2025年3月 命题人：袁素群 审题人：孔小琼 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 复数，则z的虚部为（ ） A. B. C. 3 D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 4. 已知，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 1 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（ ） A. 先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） B. 先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） C. 先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） D. 先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） 8. 已知中，，则（ ） A. 1 B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点，下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 在中，角所对的边分别为，下列说法正确的是（    ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则是钝角三角形 11. 如图是函数的部分图象，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 是函数的一条对称轴 C. 将函数的图象向右平移个单位后，得到的函数为奇函数 D. 若函数在上有且仅有两个零点，则 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知，为锐角，则__________. 13. 已知向量的夹角为， 且，则 __________________ 14. 在中，，，则面积的最大值为______． 四、解答题 15. 在平面直角坐标系中，已知，. （1）若，求实数k的值； （2）若，求实数t的值. 16. 已知函数 （1）求函数的单调区间； （2）当时，求函数的值域. 17. 在中，角、、的对边分别为，，，已知. （1）若，求的面积； （2）设向量，，且，，求的值 18. 养殖户承包一片靠岸水域，如图所示，，为直线岸线，千米，千米，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点P按线段和修建养殖网箱，已知． （1）求岸线上点A与点B之间的直线距离； （2）如果线段上的网箱每千米可获得2万元的经济收益，线段上的网箱每千米可获得4万元的经济收益．记，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少万元？ 19. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数． （1）若为的相伴特征向量，求实数m的值； （2）记向量的相伴函数为，求当且时的值； （3）已知，，为（1）中函数，，请问在的图象上是否存在一点P，使得，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 桂城中学2024-2025学年度下学期高一级第一次段考 数学试卷 2025年3月 命题人：袁素群 审题人：孔小琼 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 复数，则z的虚部为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据虚部的定义即可判断. 【详解】因为，所以z的虚部为. 故选：D. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据二倍角的余弦公式计算可得； 【详解】解： 故选：D 3. 若，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用正切的两角差公式，即可求值. 【详解】由，可得：， 又因为， 所以， 即， 故选：C. 4. 已知，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量在向量上的投影公式进行计算即可. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为：， 故选：C. 5. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由得，结合，得，由此即可得解. 【详解】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二倍角的余弦公式求出、的值，代入计算即可得解. 【详解】因为，则， ， 因此，. 故选：B. 7. 要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（ ） A. 先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） B. 先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） C. 先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） D. 先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） 【答案】A 【解析】 【分析】利用两角和的余弦公式化简为，再由函数的图象变换规律得出结论． 【详解】， 将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度得到，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到， 故选：. 8. 已知中，，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以为基底，将用基底表示，根据向量数量积的运算律，即可求解. 【详解】, , . 故选:C. 【点睛】本题考查向量的线性运算以及向量的基本定理，考查向量数量积运算，属于中档题. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点，下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用三角函数定义计算可得A错误，将代入计算可判断BD正确，再由诱导公式化简计算即可得出C正确. 【详解】对于A，由三角函数定义可知，即A错误； 对于B，易知，所以，即B正确； 对于C，化简，即C正确； 对于D，将代入可得： 原式，可得D正确. 故选：BCD 10. 在中，角所对的边分别为，下列说法正确的是（    ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则是钝角三角形 【答案】CD 【解析】 【分析】A中，由三角形内角和定理及诱导公式，可判断；B中，由角的比值及三角形内角和定理，可得，再由正弦定理可判断；C中，由正弦定理及三角形中大边对大角的性质可判断；D中，由正弦定理及余弦定理可得角C为钝角，即可判断出三角形的形状. 【详解】A中，在三角形中，，所以A不正确； B中，，又因为，可得， 由正弦定理可得：，所以B不正确； C中，在三角形中，，由正弦定理可得，由大边对大角，可得，所以C正确； D中，因为， 由正弦定理可得，所以， 因为，所以C为钝角，即该三角形为钝角三角形，所以D正确. 故选：CD. 11. 如图是函数的部分图象，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 是函数的一条对称轴 C. 将函数的图象向右平移个单位后，得到的函数为奇函数 D. 若函数在上有且仅有两个零点，则 【答案】AD 【解析】 【分析】先根据图象可得，即可判断A；令解出即可判断B，接下来求得 ，即可得到的解析式，根据图象平移判断C；令，解出函数零点，然后根据在上有且仅有两个零点列出不等式解 即可判断D. 【详解】由图象可知， ， ，所以，即的最小正周期为，故A正确； ，此时， 又在图象上， ，解得， ， ，， ， 当是函数的一条对称轴时，此时不符合题意，故B错误； 将的图象向右平移个单位后得到的图象对应的解析式为： 不为奇函数，故C错误； 令 ，解得 ， 当 时， ，不合题意 时， ；时， ；时， ； 又因为函数在上有且仅有两个零点 ，解得 ，故D正确. 故选：AD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知，为锐角，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据角的象限，以及平方关系求得，再根据两角和的余弦公式求值即可. 【详解】因为，且为锐角，所以， 所以. 故答案为：. 13. 已知向量的夹角为， 且，则 __________________ 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用模长的计算公式，得到，利用数量积的定义，得到，从而可得，即可求解. 【详解】由，得到，又向量的夹角为，， 所以， 所以， 所以， 故答案为：. 14. 在中，，，则面积的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先把向量转化成三角形的有关性质，再求三角形面积的最大值. 【详解】如图：取、的中点、，连接、，交于点. 由，由. 又为的重心，所以. 设四边形的面积为，则. 设，则，所以当时，取得最大值1. 此时的面积也取得最大值：. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：该方法的关键在于根据向量运算的几何意义，把向量问题转化成三角形的边角关系. 四、解答题 15. 在平面直角坐标系中，已知，. （1）若，求实数k的值； （2）若，求实数t的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由向量的坐标运算公式得与坐标，再利用向量共线的坐标公式求解即可； （2）先由向量的坐标运算公式求，再利用向量垂直的坐标公式求解即可. 【小问1详解】 因为，， 所以，， 因为， 所以，解得. 【小问2详解】 ， 因为，所以， 解得. 16. 已知函数 （1）求函数的单调区间； （2）当时，求函数的值域. 【答案】（1）递增区间，递减区间； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简f(x)的解析式，然后利用正弦函数的性质即得： （2）结合条件利用正弦函数的性质，即求． 【小问1详解】 当时，f (x)单调递增 这时， 当时，f (x)单调递减 这时， ∴函数的单调递增区间是，单调递减区间是 【小问2详解】 当x∈，∈， ∴， 所以函数的值域为. 17. 在中，角、、的对边分别为，，，已知. （1）若，求的面积； （2）设向量，，且，，求的值 【答案】（1）3（2）. 【解析】 【分析】（1）由向量的数量积与三角形的面积公式即可求解。 （2）由共线向量的坐标运算及正弦定理即可求解。 【详解】（1）∵， ∴ ∴ ∵在中，且 ∴ ∴. （2）∵， 且 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵在中， ∴，则 ∵在中， ∴ 又∵且由正弦定理 ∴ ∴. 【点睛】本题考查向量的运算及解三角形，属于基础题。 18. 养殖户承包一片靠岸水域，如图所示，，为直线岸线，千米，千米，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点P按线段和修建养殖网箱，已知． （1）求岸线上点A与点B之间的直线距离； （2）如果线段上的网箱每千米可获得2万元的经济收益，线段上的网箱每千米可获得4万元的经济收益．记，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少万元？ 【答案】（1）千米 （2）万元 【解析】 【分析】（1）由余弦定理计算即可； （2）先由正弦定理计算出相关长度，再计算收益表达式，最后由辅助角公式求最值. 【小问1详解】 在中，由余弦定理，得 即岸线上点与点之间的直线距离为 千米． 【小问2详解】 在中， ， 则， 设两段网箱获得的经济总收益为 万元，则 因为，所以，所以 所以两段网箱获得的经济总收益最高接近万元． 19. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数． （1）若为的相伴特征向量，求实数m的值； （2）记向量的相伴函数为，求当且时的值； （3）已知，，为（1）中函数，，请问在的图象上是否存在一点P，使得，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）存在点，使得. 【解析】 【分析】（1）利用特征向量的定义即得； （2）根据题意可得相伴函数，再根据条件可得，由最终得到结果； （3）由题可得的解析式，设，根据条件列出方程式求出满足条件的点P坐标即可. 【小问1详解】 ∵， 又为的相伴特征向量， ∴； 【小问2详解】 ∵向量的相伴函数为， 又， . ，， ， ∴； 【小问3详解】 由题可知， ∴， 设，， ，， 又， ， ， 即， ， ，， ， 又， 当且仅当时，和同时等于， 在图像上存在点，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $