精品解析：2025年山东省泰安市泰山区博文中学中考数学调研试卷（3月份 )

2025年山东省泰安市泰山区博文中学中考数学调研试卷（3月份） 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2023年5月28日，我国自主研发的国产大飞机商业首航取得圆满成功．一架飞机最大储油量超过千克．将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：B． 2. 窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的概念是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．该图是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．该图既是中心对称图形也是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 3. 已知实数a，b满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解答本题的关键．通过举例子可判断A和B，根据不等式的性质可判断C和D． 【详解】解：A．当，满足，但，故A不正确； B．当，满足，但，故B不正确； C．∵，∴，∴，故C正确； D ∵，∴，∴，故D不正确． 故选C． 4. 生活中常见一种折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中，垂足为A，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过B作，然后根据平行线的性质和垂线的定义即可得解 ． 【详解】解：如图，过B作， ∵， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查平行线的综合应用，熟练掌握平行线的性质和垂线的定义是解题关键． 5. 我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多边形外角和定理，由多边形的外角和定理直接可求出结论，掌握正八边形的外角和为是解此题的关键． 【详解】解：正八边形的外角和为， 每一个外角为， 故选：B． 6. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a，c的值可以是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．根据a，c的值，判断出判别式的符号，可得结论． 【详解】解：A、当，时，方程是一元一次方程，本选项不符合题意； B、当，时，，方程没有实数根，本选项不符合题意； C、当，时，，方程没有实数根，本选项不符合题意； D、当，时，，，方程有两个不相等实数根，本选项符合题意； 故选：D． 7. 不透明的袋子中装有四个小球，上面分别写有数字“1”，“2”，“3”，“4”，除数字外这些小球无其他差别．从袋中随机同时摸出两个小球，那么这两个小球上的数字之和是5的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了树状图法求概率，先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的卡片的数字之和等于5的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：根据题意画树状图如图：     共有12种情况，两次摸出的卡片的数字之和等于5的有4种， ∴两次摸出的卡片的数字之和等于5的概率为， 故选：B． 8. 反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，由于反比例函数，可知函数位于一、三象限，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出与的大小． 【详解】解：根据反比例函数，可知函数图象位于一、三象限，且在每个象限中，y都是随着x的增大而减小， 反比例函数的图象上有，两点， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 故选：A． 9. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：． 10. 小敏所在的小区有如图1所示的护栏宣传版面，其形状是扇形的一部分，图2是其平面示意图，和都是半径的一部分，小敏测得，，，则这块宣传版面的周长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长交的延长线于点，把扇形补充完整，根据题意得出扇形的圆心角度数以及半径，根据弧长公式得出的长度即可得出答案． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点， ， ， ， ， ， ， ∴这块宣传版面的周长为： ， 故选：A． 【点睛】本题考查的是弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】分解因式时先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【详解】 ． 12. 在平面直角坐标系xOy中，若函数的图象经过点和，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即．据此求解即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点和， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图，是的直径，是弦（点C不与点A，点B重合，且点C与点D位于直径AB两侧），若，则等于______． 【答案】##35度 【解析】 【分析】首先可求得的度数，再根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握和运用圆周角定理是解决本题的关键． 14. 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为___． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据题中信息：每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱，列出方程，即可得到答案． 【详解】解：设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为： ， 故答案是：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：合理设未知数，理解题意列出方程． 15. 在 中，，平分 ，是上一动点，取中点，连接、，若 ，则周长的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．延长交于点，连接，构造，得到周长的最小值是，即可得到答案． 【详解】解：延长交于点，连接， 平分 ， ，， 在和中， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为中点， ， 周长的最小值是， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：． （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1）；（2）3 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，含特殊角的三角函数值的混合运算，解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．也考查了实数的运算． （1）先根据绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的意义计算，然后合并即可； （2）先化简分式，再进行同分母的加法运算得结果为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：（1） ； （2） ， ， ， 原式． 17. 为了增强学生体质，某校九年级举办了小型运动会．其中男子立定跳远项目初赛成绩前名的学生直接进入决赛．现将进入决赛的名学生的立定跳远成绩（单位：厘米），数据整理如下： a．名学生立定跳远成绩： b．名学生立定跳远成绩的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 m n （1）写出表中m，n的值； （2）现有甲、乙、丙三名未进入决赛的学生，要通过复活赛进入决赛．在复活赛中每人要进行5次测试，每人的5次测试成绩同时满足以下两个条件方可进入决赛： i．平均成绩高于已进入决赛的名学生中一半学生的成绩； ii．成绩最稳定． ①若甲学生前4次复活赛测试成绩为，要满足条件i，则第5次测试成绩至少为______（结果取整数）； ②若甲、乙、丙三名学生的5次复活赛测试成绩如下表： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 乙 丙 则可以进入决赛的学生为______（填“甲”“乙”或“丙”） ． 【答案】（1）， （2）①；②丙 【解析】 【分析】（1）将成绩从小到大依次排序，然后根据中位数，众数的定义求解作答即可； （2）①设第5次测试成绩为，依题意得，，计算求解然后作答即可；②由题意知，，，，由，可知乙、丙的成绩更高，由题意知，乙的成绩分布为，丙的成绩分布为，可得丙的数据波动较小，具有更好的稳定性，然后作答即可． 【小问1详解】 解：将成绩从小到大依次排序为， ∴中位数为第5、6位数的平均数为， 众数为， ∴，； 【小问2详解】 ①解：设第5次测试成绩为， 依题意得，， 解得，， ∴第5次测试成绩至少为， 故答案为：； ②解：由题意知，，，， ∵， ∴乙、丙的成绩更高， 由题意知，乙的成绩分布为，丙的成绩分布为， ∴丙的数据波动较小，具有更好的稳定性， 故答案为：，丙． 【点睛】本题考查了中位数，众数，一元一次不等式的应用，算术平均数等知识．熟练掌握中位数，众数，一元一次不等式的应用，算术平均数是解题的关键． 18. 【阅读理解】小宁学习三角函数时，遇到一个这样的问题：在中，，，求的值． 【解题思路】小宁先画出了几何图形（如图1），他觉得虽然不是特殊角，但是的一半，于是他尝试着在上截取，再连接，构造出等腰（如图2）． 　 　 【解题过程】在上截取，再连接， 可证为等腰三角形，设，则． 【尝试应用】（1）如图3，求的值； 【拓展应用】（2）如图4，某同学站在离纪念碑底距离5米的处，测得纪念碑顶点的仰角为，该同学的眼睛点离地面的距离为米，请帮助他求出纪念碑的高度（结果保留整数，参考数据：）． 　 【答案】（1）；（2）20米 【解析】 【分析】（1）先作出的中垂线，得出，进而求出，再同材料的解题思路即可求出答案； （2）过点作于，则四边形是矩形，进而得出米，米，进而求出，即可求出答案． 【详解】解：（1）如图3， 作的中垂线交于，连接， 则， ， ， 设， 在中，，， ， ， ； （2）由题意得，则四边形是矩形， 米，米， 在中，， ， ， ， （米）， 答：纪念碑的高度为20米． 【点睛】此题主要考查了阅读材料的能力，解直角三角形，模仿求的方法求出是解本题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，顶点D在直线y＝x位于第一象限的图象上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D，交BC于点E，AB＝4． （1）如果BC＝6，求点E的坐标； （2）连接DE，当DE⊥OD时，求点D的坐标． 【答案】（1）E（8，3） （2）D 【解析】 【分析】（1）根据矩形中AB、BC长度，求出点D坐标，再将点D坐标代入反比例函数表达式求出k值，进而求解； （2）先证△OAD∽△ECD，由相似三角形对应边长成比例求出CE长度和点E坐标，将点D、点E坐标代入反比例函数表达式，即可求解． 【小问1详解】 解： BC＝6，则AD＝BC＝6， 当y＝6时，y＝＝6，解得：x＝4，故点D（4，6）， 将点D的坐标代入反比例函数表达式得：k＝4×6＝24， 故反比例函数表达式为：y＝， ∵OB＝OA+AB＝8，即点E的横坐标为8，则y＝＝3， 故点E（8，3）； 【小问2详解】 解：设点D（2a，3a）（a≠0）， ∵四边形ABCD为矩形，故∠DAO＝∠ADC＝90°， ∵DE⊥OD，∠ODA＝∠EDC， 又∵∠OAD＝∠EDC＝90°， ∴△OAD∽△ECD， ∴，即，解得：CE＝， 故点E（2a+4，3a﹣）， ∵点D、E都在反比例函数图象上， ∴2a•3a＝（2a+4）（3a﹣），解得：a＝， 故点D． 【点睛】本题主要考查了综合考查了矩形性质、反比例函数与一次函数交点、三角形相似等知识点，综合性较强，根据相似三角形性质求出CE长度是解答小问2的关键． 20. 如图，在中，，延长至，使得，过点，分别作，，与交于点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，得出从而证出四边形是矩形，即可证明结论； （2）通过，设，，在中用勾股定理列式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵在中，，， ∴设，， ∴， ∴， 在中，，， ∵， ∴， 解得，， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等，解题的关键是掌握平行四边形和矩形的判定方法． 21. 如图，四边形是的内接四边形，是直径，C是的中点，过点C作的切线交的延长线于点E． （1）求证：； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接， ∵为的切线， ∴． ∴． ∵C是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由切线的性质推出，由圆周角定理得到，由等腰三角形的性质推出，得到，推出，即可证明； （2）由圆周角定理得到，由勾股定理求出，证明可求出，证明四边形是矩形得，，从而，然后利用平行线分线段成比例定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵为直径， ∴． ∵，， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴四边形是矩形． ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，关键是掌握圆周角定理． 22. 在中，，，点D是中点，点E是线段上一点，以点A为中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，当点E与点D重合时，线段，交于点G，求证：点G是的中点； （2）如图2，当点E在线段上时（不与点B，D重合），若点H是的中点，作射线交于点M，补全图形，直接写出的大小，并证明． 【答案】（1） 证明：∵，点D是中点， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴点G是的中点． （2） 依题意补全图形． ． 证明：连接，截取，连接交于N． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴于N． ∵点D是中点， ∴， ∴． ∵点H是的中点， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）依题意补全图形．连接，截取，连接交于N．根据证明得，，证明得，由三角形中位线可证，进而可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质和相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 23. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质， （1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可； （3）分为，时，时，建立方程解题即可． 【小问1详解】 解：设二次函数的解析式为，把代入得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：点B平移后的点的坐标为， 则，解得或（舍）， ∴m的值为； 【小问3详解】 解：当时， ∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去； 当时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意； 当时， 最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意； 综上所述，n的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年山东省泰安市泰山区博文中学中考数学调研试卷（3月份） 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2023年5月28日，我国自主研发的国产大飞机商业首航取得圆满成功．一架飞机最大储油量超过千克．将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知实数a，b满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 生活中常见一种折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中，垂足为A，，则（ ） A. B. C. D. 5. 我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a，c的值可以是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 不透明的袋子中装有四个小球，上面分别写有数字“1”，“2”，“3”，“4”，除数字外这些小球无其他差别．从袋中随机同时摸出两个小球，那么这两个小球上的数字之和是5的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 9. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 小敏所在的小区有如图1所示的护栏宣传版面，其形状是扇形的一部分，图2是其平面示意图，和都是半径的一部分，小敏测得，，，则这块宣传版面的周长为（　　） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 分解因式：______． 12. 在平面直角坐标系xOy中，若函数的图象经过点和，则m的值为______． 13. 如图，是的直径，是弦（点C不与点A，点B重合，且点C与点D位于直径AB两侧），若，则等于______． 14. 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为___． 15. 在 中，，平分 ，是上一动点，取中点，连接、，若 ，则周长的最小值是______． 三、解答题：本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：． （2）已知，求代数式的值． 17. 为了增强学生体质，某校九年级举办了小型运动会．其中男子立定跳远项目初赛成绩前名的学生直接进入决赛．现将进入决赛的名学生的立定跳远成绩（单位：厘米），数据整理如下： a．名学生立定跳远成绩： b．名学生立定跳远成绩的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 m n （1）写出表中m，n的值； （2）现有甲、乙、丙三名未进入决赛的学生，要通过复活赛进入决赛．在复活赛中每人要进行5次测试，每人的5次测试成绩同时满足以下两个条件方可进入决赛： i．平均成绩高于已进入决赛的名学生中一半学生的成绩； ii．成绩最稳定． ①若甲学生前4次复活赛测试成绩为，要满足条件i，则第5次测试成绩至少为______（结果取整数）； ②若甲、乙、丙三名学生的5次复活赛测试成绩如下表： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 乙 丙 则可以进入决赛的学生为______（填“甲”“乙”或“丙”） ． 18. 【阅读理解】小宁学习三角函数时，遇到一个这样的问题：在中，，，求的值． 【解题思路】小宁先画出了几何图形（如图1），他觉得虽然不是特殊角，但是的一半，于是他尝试着在上截取，再连接，构造出等腰（如图2）． 　 　 【解题过程】在上截取，再连接， 可证为等腰三角形，设，则． 【尝试应用】（1）如图3，求的值； 【拓展应用】（2）如图4，某同学站在离纪念碑底距离5米的处，测得纪念碑顶点的仰角为，该同学的眼睛点离地面的距离为米，请帮助他求出纪念碑的高度（结果保留整数，参考数据：）． 　 19. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，顶点D在直线y＝x位于第一象限的图象上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D，交BC于点E，AB＝4． （1）如果BC＝6，求点E的坐标； （2）连接DE，当DE⊥OD时，求点D的坐标． 20. 如图，在中，，延长至，使得，过点，分别作，，与交于点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 21. 如图，四边形是的内接四边形，是直径，C是的中点，过点C作的切线交的延长线于点E． （1）求证：； （2）连接，若，，求的长． 22. 在中，，，点D是中点，点E是线段上一点，以点A为中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，当点E与点D重合时，线段，交于点G，求证：点G是的中点； （2）如图2，当点E在线段上时（不与点B，D重合），若点H是的中点，作射线交于点M，补全图形，直接写出的大小，并证明． 23. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $