精品解析：浙江省强基联盟2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

浙江强基联盟2025年3月高一联考 数学试题 浙江强基联盟研究院命制 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则的元素个数是（ ） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 2. （ ） A B. C. D. 3. 已知向量，，若，则实数（ ） A. 或 B. 1或 C. 或 D. 1或 4. 如图，在中，，点是的中点，设，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数一条对称轴为，则的最小值为（ ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 3 6. 已知函数在定义域上为增函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若正实数满足，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域均为，且，若为奇函数，则使成立的的最小值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列说法正确是（ ） A. 的虚部为 B. C. D. 是方程的根 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数为奇函数 B. 当时，函数为偶函数 C. 当时，函数的值域为 D. 当时，函数的图象关于点成中心对称 11. 如图，设轴和轴是平面内相交成角的两条数轴，其中分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在夹角为的坐标系中的坐标，记为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则在上的投影向量为 C. 若的最小值为，则 D. 若对任意的，恒有，则 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量满足，且的夹角为，则__________. 13. 若不等式对任意的恒成立，则实数的最大值是__________. 14. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，向量，，若点构成的四边形能够形成一个正方形，则__________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）若为锐角，,且满足，求. 16. 已知复数是虚数单位，，且为实数. （1）设复数，求； （2）设复数，且复数在复平面内所对应的点在第二象限，求实数的取值范围. 17. 如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为，高为，圆锥母线为. （1）计算该模型体积.（结果精确到） （2）现需使用油漆对500个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方米30元，总费用是多少？（结果精确到1元） 18. 已知四边形中，为中点，为与的交点，. （1）求的值； （2）若，求. 19. 在中，角的对边分别为，已知. （1）若，且边的中线长为，求的面积； （2）若是锐角三角形，求的范围. 20. 定义：如果函数在区间上有定义，且在区间内存在一点，使得，则称为函数的“偏移中值点”.已知函数. （1）当时，判断函数是否有“偏移中值点”？如果有，求出“偏移中值点”，如果没有，请说明理由； （2）若是函数“偏移中值点”，求的值； （3）若函数存在“偏移中值点”，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江强基联盟2025年3月高一联考 数学试题 浙江强基联盟研究院命制 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则的元素个数是（ ） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 【答案】A 【解析】 【分析】首先求集合，再求交集. 【详解】 ，所以的元素个数是4个. 故选： 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式化简得到一个锐角三角函数，最后得出结果。 【详解】. 故选：C. 3. 已知向量，，若，则实数（ ） A. 或 B. 1或 C. 或 D. 1或 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量线性运算的坐标表示，垂直关系的坐标表示列式求出值. 【详解】由，，得， 由，得，即，所以或. 故选：D 4. 如图，在中，，点是的中点，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算的几何意义，结合平面向量基本定理进行求解即可. 【详解】因为即，点为的中点， 所以， 所以. 故选：D. 5. 已知函数的一条对称轴为，则的最小值为（ ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦型函数的图象与性质，得到，求得，结合，，即可得到答案. 【详解】由函数的一条对称轴为， 可得，所以，解得， 因为，所以的最小值为. 故选：C. 6. 已知函数在定义域上为增函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数单调性的判定方法，结合指数函数与二次函数的图象与性质，列出满足条件的不等式组，即可求解. 【详解】由函数在定义域上为增函数， 则满足，解得，即实数的取值范围为. 故选：C. 7. 若正实数满足，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简再应用基本不等式计算求解. 【详解】由， 又因为，所以， 即得， 所以当且仅当时取等号， 所以，所以的最大值是 故选：B. 8. 已知函数的定义域均为，且，若为奇函数，则使成立的的最小值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的关系，利用赋值法，结合奇函数的定义，求出，进而求出即可判断得解. 【详解】由，得，又， 则，，又，而为奇函数， 即，因此，由， 得，而，于是， 则，所以使成立的的最小值是6. 故选：B 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. C. D. 是方程的根 【答案】BC 【解析】 【分析】根据虚部的定义即可求解A，根据模长的计算即可求解B，根据复数的乘法，计算即可求解CD. 【详解】的虚部为，A错误； ，B正确； ，C正确； 代入方程，故不是方程的根，D错误. 故选：BC. 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数为奇函数 B. 当时，函数为偶函数 C. 当时，函数的值域为 D. 当时，函数的图象关于点成中心对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据偶函数定义计算判断A，B，应用基本不等式计算结合对数函数单调性计算判断C，根据对称性定义计算判断D. 详解】当时，， 所以，且函数定义域关于原点对称，即函数为偶函数，A选项错误，B选项正确； 当时，， 因为，所以，所以C选项正确； 因为，所以， 因此函数的图象关于点成中心对称，D选项正确. 故选：BCD. 11. 如图，设轴和轴是平面内相交成角的两条数轴，其中分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在夹角为的坐标系中的坐标，记为，则下列结论正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则在上的投影向量为 C. 若的最小值为，则 D. 若对任意的，恒有，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据模长公式即可求解A,根据投影向量的计算公式即可求解B,根据模长公式，结合二次函数的性质即可求解CD. 【详解】由题意，所以，故A正确； 因为，所以在上的投影向量为，故B正确； ，即，所以或，故C错误； 由，两边平方得.即任意，，若，上式恒成立，即，若，所以，得，故D正确. 故选:ABD. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量满足，且的夹角为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据模长公式即可求解. 【详解】, 故答案为：. 13. 若不等式对任意的恒成立，则实数的最大值是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】讨论和两种情况讨论不等式恒成立问题，即可列式求解. 【详解】当时，，不对任意的恒成立，不符合； 当时，由题可知，且，解得，故实数的最大值是. 故答案为： 14. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，向量，，若点构成的四边形能够形成一个正方形，则__________. 【答案】1或3 【解析】 【分析】易得，，结合图象正方形的对角线只能是，则，进而可得出答案. 【详解】由，， 可得，， 则，， 因为，所以，即， 因为，所以， 因为点构成四边形能够形成一个正方形， 结合图形观察可得：正方形的对角线只能是， 则，即，解得或3， 当时，，， 此时线段互相垂直且平分，， 所以四边形时正方形； 当时，，， 此时线段互相垂直且平分，， 所以四边形时正方形， 所以或3. 故答案为：或. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）若为锐角，,且满足，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式以及辅助角化简，即可根据周期公式求解， （2）根据同角关系以及和差角公式即可求解. 【小问1详解】 . 所以函数的最小正周期. 【小问2详解】 因为，得， 又因为是锐角，所以， 因为，且，所以， 所以. 16. 已知复数是虚数单位，，且为实数. （1）设复数，求； （2）设复数，且复数在复平面内所对应的点在第二象限，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，化简，根据是实数，求得，得到，结合复数模的计算公式，即可求解； （2）根据复数的运算法则，化简得到，由在复平面内对应的点在第二象限，列出不等式，求得，即可得到实数的取值范. 【小问1详解】 解：由复数是虚数单位，，可得， 则， 因为是实数，所以，解得， 则，所以. 【小问2详解】 解：由， 因为复数在复平面内对应的点在第二象限，可得且， 解得，所以实数的取值范围为. 17. 如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为，高为，圆锥母线为. （1）计算该模型的体积.（结果精确到） （2）现需使用油漆对500个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方米30元，总费用是多少？（结果精确到1元） 【答案】（1） （2）（元） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解； （2）求出该模型的表面积，进而可得出答案. 【小问1详解】 设圆锥的高为， 由题意得圆锥母线10cm， 则， ； 【小问2详解】 圆柱的侧面积为，圆柱的上底面的面积为， 圆锥侧面积为. ， 故总费用为（元）. 18. 已知四边形中，为中点，为与的交点，. （1）求的值； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解. （2）根据模长公式可求解根据数量积的运算律可得，即可利用夹角公式求解. 【小问1详解】 因为为中点， 所以， 所以. 【小问2详解】 由（1）得 ， 因为，所以， ， 所以. 19. 在中，角的对边分别为，已知. （1）若，且边的中线长为，求的面积； （2）若是锐角三角形，求的范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理得，求得，再由，联立方程组，求得，因为为边中线，得到，列出方程，求得，结合三角形的面积公式，即可求解； （2）由正弦定理，化简得到，再由是锐角三角形，求得，结合正切函数的性质，进而求得的取值范围. 【小问1详解】 解：在中，因为， 由余弦定理可得，即， 整理得，所以， 因为，所以， 又因为， 联立方程组，解得，所以， 因为为边中线，则， 所以， 可得，解得或（舍去）， 所以的面积为. 【小问2详解】 解：由正弦定理，可得 . 因为是锐角三角形，则，可得，所以， 因为，所以，则， 所以，所以. 20. 定义：如果函数在区间上有定义，且在区间内存在一点，使得，则称为函数的“偏移中值点”.已知函数. （1）当时，判断函数是否有“偏移中值点”？如果有，求出“偏移中值点”，如果没有，请说明理由； （2）若是函数的“偏移中值点”，求的值； （3）若函数存在“偏移中值点”，求的取值范围. 【答案】（1）函数没有“偏移中值点”，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当时，得到，假设函数有“偏移中值点”，得出方程，求得的值，即可得到答案； （2）由是的“偏移中值点”，列出方程求得，得，进而求得的值，得到答案； （3）设的“偏移中值点”为，方程在上有解， 解法1：令，转化为在上有零点，分，，和且且，四种情况讨论，结合二次函数的性质，求得的范围，进而得到的取值范围； 解法2：转化为方程在上有解，令，化简得到，结合的单调性，求得，求得的范围，进而得到的取值范围. 【小问1详解】 解：当时，函数， 假设函数有“偏移中值点”，则，即， 解得，所以函数没有“偏移中值点”. 【小问2详解】 解：因为是函数的“偏移中值点”，则满足， 即，解得，所以， 又由，所以. 【小问3详解】 解：设函数的“偏移中值点”为，则， 即方程在上有解， 解法1：由方程，可得， 即方程在上有解， 令，转化为函数在上有零点， ①当时，由，可得，不符合题意； ②当时，可得，于是由， 解得或，此时，有一个零点，符合题意； ③当时，可得，由，解得或， 此时函数在上无零点，不符合题意； ④当且且时， （i）若函数在上只有一个零点， 则满足或，解得； （ii）若函数在上有两个零点， 则满足且且且，解得， 综合①②③④可知，实数的取值范围是， 所以， 故的取值范围为. 解法2：由方程，可得， 即方程在上有解， 当时，方程无解，只需方程在上有解， 令，于是， 因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 设，因此，即， 于是，可得， 因此， 故取值范围为. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $