精品解析：吉林省吉林市第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷

24级高一下学期3月考试（数学）试卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求. 1. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】直接将代入计算即可. 【详解】因为， 所以， 故选：D 2. 已知向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示列方程求参数，结合充分、必要性定义即可得. 【详解】若，且，则，解得或， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 在中，，则下列结论一定正确的是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：直接利用正弦定理即可得结果. 详解：设对应边为， ， 由正弦定理得，， ，故选A. 点睛：本题主要考查三角形的性质以及正弦定理的应用，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，属于简单题. 4. 在△ABC中，点D在线段BC上，且，E是线段AB的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理及线性运算求解即可. 【详解】因为，所以， 则. 故选：A. 5. 在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形或等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】将已知结合二倍角公式，两角和的正弦公式，化简可得，从而可以判断三角形的形状. 【详解】，， ， 化简得，， ，即， 或， ，或，即或， 是直角三角形或等腰三角形. 故选：D. 6. 复数满足，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的几何意义，作图，利用点到直线距离公式，可得答案. 【详解】设复数在复平面上的对应点为， 则可表示为复平面上点到的距离， 可表示为复平面上点到的距离， 由题意可知：点在线段的中垂线上，如下图： 线段的中点为，直线的斜率， 则的轨迹方程为，整理可得， 由可表示为点到的距离， . 故选：A. 7. 某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为，，，，米，则该建筑的高度（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】设，由，结合余弦定理可得，求解即可. 【详解】设，则可得， 由，可得B是AC的中点，所以， 而，则， ，中，由余弦定理可得：， 解得：，所以该建筑的高度米. 故选：B. 8. 如图，在中，，，，边上的两条中线于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】观察图象知与的夹角的大小相等，结合向量夹角余弦公式可得结论. 【详解】因为，所以为直角三角形， 建立如图所示的平面直角坐标系， 则有，，， 又D，E分别为BC，AB中点， 所以，， 故，， 所以， 故选：D． 【点睛】 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数z满足，则（ ） A. 为纯虚数 B. 对应的点在第四象限 C. D. 和是方程的两个根 【答案】BC 【解析】 【分析】先化简，然后结合选项可得答案. 【详解】因为，所以， 对于A，显然不是纯虚数，A不正确； 对于B，，对应的点在第四象限，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，所以和不是方程的根, D不正确. 故选：BC 10. 在中，，，，若满足条件的三角形有两个，则的取值可能为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】BC 【解析】 【分析】利用正弦定理求得，再根据三角形有两解的条件可得，且，由此求出的范围即可得解. 【详解】在中，由正弦定理得， ， 因满足条件的三角形有两个，则必有，且， 即， 于是得，解得， 因为，所以的取值可能为8，9. 故选：BC. 11. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在向量上的投影向量为 C. 若P为ED的中点，则 D. 若P在线段BC上，且，则的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】以为轴，为轴建立平面直角坐标系，计算各点坐标，计算，可判断A；求得在向量上的投影向量判断B；由P为的中点，求出点P、向量、的坐标，结合，计算可判断C；计算，计算可判断D. 【详解】如图所示：以为轴，为轴建立直角坐标系， 设， 根据余弦定理可得，，整理得到， 设， ，设， 对选项A：，所以，故A错误； 对选项B：， ， 即在向量上的投影向量为，故B正确； 对选项C：因为P为的中点，所以，所以，， ，故C正确； 对选项D：， ， 所以，所以， 整理得到，由题意可知， 所以在上单调递增，当时，， 当时，，故，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则复数z的虚部为______. 【答案】 【解析】 【分析】先化简复数，再求解虚部. 【详解】因为，所以，所以虚部为. 故答案为： 13. 已知正三角形的边长为2，动点满足，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】易知点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，取的中点可得，易得，即可求得的最小值为. 【详解】因为动点满足，所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，如下图所示：    设为的中点， 则； 所以当取最小值时，取得最小值； ， 所以. 故答案为：. 14. 在中，角所对的边分别为，且，则的取值范围是___________. 【答案】（1，3） 【解析】 【分析】由三角形的内角范围可得0＜A，cosA＜1，运用正弦定理和三角函数的二倍角的正弦公式和余弦公式，结合余弦函数的单调性，可得所求范围． 【详解】由B＝3A，可得C＝π﹣A﹣B＝π﹣4A， 由0＜B＜π，0＜C＜π， 可得0＜A，则cosA＜1， ==2cos2A+cos2A＝4cos2A﹣1， 由cosA＜1，可得cos2A＜1， 即有1＜4cos2A﹣1＜3， 则的取值范围为（1，3）， 故答案为：（1，3） 【点睛】关键点点睛：关键是将利用正弦定理转化为角A的函数，注意角的范围 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知平面内两个不共线的向量，. （1）求； （2）求与的夹角. 【答案】（1）；（2）或. 【解析】 【分析】 （1）根据条件对的两边平方即可得出关于的方程，然后根据题意知，从而解出； （2）进行数量积的运算可求出和的值，然后即可求出的值，从而可求出和的夹角. 【详解】解：（1），，， ，且，解得； （2），， ，且， . 16. 如图，在中，内角，的对边分别为，，，，过点作，交线段于点，且，． （1）求的大小； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件进行边角互化，化简可求出的大小. （2）由第（1）问的结论，可求出，由边相等可求出，正弦定理可求出结果. 【小问1详解】 因为，所以由正弦定理得：， 因为，所以，所以，即， 又因为，所以． 【小问2详解】 因为，所以， 由（1）知，，所以， 又，所以， 在中，由正弦定理，得， 又因为， 所以， 即. 17. 在中，角的对边分别为，且． （1）求角； （2）若为边上一点，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，利用正弦定理和倍角公式化简，结合同角三角函数的商数关系或辅助角公式，求得或，可求角； （2）由已知可得为等边三角形，则，中由余弦定理求得的值． 【小问1详解】 依题意，，由正弦定理可得， 因为，所以，所以， 法一：即， 因为，所以， 所以，所以：， 所以，即． 法二：即， 所以，即， 因为，所以， 所以，即． 【小问2详解】 因为，又因为， 所以为等边三角形， 则， 由余弦定理得， 所以，解得或（舍去），故． 18. 某高中高一学生成立了课外实践数学小组，计划通过数学建模的方法来测量某人工圆形湖泊的直径，如图为该人工湖泊的大致俯视图，该小组成员首先在湖泊边缘处A点处固定一旗帜，然后从A点沿逆时针方向绕着湖泊边缘走到B点处固定一旗帜，并在红外线角度测量仪的帮助下从B点逆时针走至C点处，此时测得∠ABC=120°，且测得BC=20米，AB=10米． （1）求该人工圆形湖泊的直径； （2）若D为人工圆形湖泊优弧上一动点（异于A，C两点），求四边形ABCD面积的取值范围． 【答案】（1）该人工圆形湖泊的直径为米 （2）四边形ABCD面积的取值范围为（平方米） 【解析】 【分析】（1）在中，由余弦定理求得，利用正弦定理求得直径； （2）利用三角形面积公式求得，利用四点共圆性质及余弦定理，结合基本不等式求得的最大值(，)，进而得到的最大值，从而得到四边形ABCD面积的取值范围. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得， 即， 故米． 设该人工圆形湖泊的半径为R， 故， 所以该人工圆形湖泊的直径为米． （2）易得， 因为A，B，C，D四点共圆，所以， 设，，由余弦定理可得， 所以， 当且仅当时取等号， 故四边形ABCD面积的取值范围为（平方米）． 19. 锐角的内角的对边分别为.已知. （1）求； （2）若，求面积的最大值； （3）若，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由两角和的正切公式结合题目条件求出，即可得结果. （2）利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，由面积公式计算可得结果. （3）利用正弦定理得到，，把三角形周长转化为关于角的三角函数，结合角的范围计算可得结果. 【小问1详解】 ∵，∴， ∴， ∵，∴ ∵，∴. 【小问2详解】 由余弦定理得，， 当且仅当时，等号成立. ∵，∴， ∴的面积， ∴面积的最大值为. 【小问3详解】 由正弦定理得，， ∴，，则的周长为. ∵， ∴. ∵为锐角三角形，∴，解得， ∴，∴， ∴， ∴周长的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 24级高一下学期3月考试（数学）试卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求. 1. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 5 2. 已知向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 在中，，则下列结论一定正确的是 A. B. C. D. 4. 在△ABC中，点D在线段BC上，且，E是线段AB的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形或等腰三角形 6. 复数满足，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 7. 某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为，，，，米，则该建筑的高度（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 如图，在中，，，，边上的两条中线于点，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数z满足，则（ ） A. 为纯虚数 B. 对应的点在第四象限 C. D. 和是方程的两个根 10. 在中，，，，若满足条件的三角形有两个，则的取值可能为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 11. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在向量上的投影向量为 C. 若P为ED的中点，则 D. 若P在线段BC上，且，则的取值范围为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则复数z的虚部为______. 13. 已知正三角形的边长为2，动点满足，则的最小值为________． 14. 在中，角所对的边分别为，且，则的取值范围是___________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知平面内两个不共线的向量，. （1）求； （2）求与的夹角. 16. 如图，在中，内角，的对边分别为，，，，过点作，交线段于点，且，． （1）求的大小； （2）求的长． 17. 在中，角的对边分别为，且． （1）求角； （2）若为边上一点，且，求的值． 18. 某高中高一学生成立了课外实践数学小组，计划通过数学建模的方法来测量某人工圆形湖泊的直径，如图为该人工湖泊的大致俯视图，该小组成员首先在湖泊边缘处A点处固定一旗帜，然后从A点沿逆时针方向绕着湖泊边缘走到B点处固定一旗帜，并在红外线角度测量仪的帮助下从B点逆时针走至C点处，此时测得∠ABC=120°，且测得BC=20米，AB=10米． （1）求该人工圆形湖泊的直径； （2）若D为人工圆形湖泊优弧上一动点（异于A，C两点），求四边形ABCD面积的取值范围． 19. 锐角的内角的对边分别为.已知. （1）求； （2）若，求面积的最大值； （3）若，求周长的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $