清单05 立体几何初步（考点清单，知识导图+8个考点清单+题型解读）高一数学下学期湘教版

清单05 立体几何初步 （16个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】棱柱的结构特征 1、定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．在棱柱中，两个相互平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点．棱柱中不在同一平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线．过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面． 2、棱柱的分类：底面是三角形、四边形、五边形、……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 3、棱柱的表示方法： ①用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如下图，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分别表示为、、； ②用棱柱的对角线表示棱柱，如上图，四棱柱可以表示为棱柱或棱柱等；五棱柱可表示为棱柱、棱柱等；六棱柱可表示为棱柱、棱柱、棱柱等． 4、棱柱的性质：棱柱的侧棱相互平行． 【清单02】棱锥的结构特征 1、定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥的底面．有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面．各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱； 2、棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥 ……；S S D D C C B B A A E C B A S 3、棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的字母表示，如四棱锥． 【清单03】圆柱的结构特征 1、定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴．垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面．平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线． 2、圆柱的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆柱 【清单04】圆锥的结构特征 1、定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．旋转轴叫做圆锥的轴． 垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面．不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线． 2、圆锥的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆锥． 【清单05】棱台和圆台的结构特征 １、定义：用一个平行于棱锥（圆锥）底面的平面去截棱锥（圆锥），底面和截面之间的部分叫做棱台（圆台）；原棱锥（圆锥）的底面和截面分别叫做棱台（圆台）的下底面和上底面；原棱锥（圆锥）的侧面被截去后剩余的曲面叫做棱台（圆台）的侧面；原棱锥的侧棱被平面截去后剩余的部分叫做棱台的侧棱；原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分叫做圆台的母线；棱台的侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点；圆台可以看做由直角梯形绕直角边旋转而成，因此旋转的轴叫做圆台的轴． 2、棱台的表示方法：用各顶点表示，如四棱台； 3、圆台的表示方法：用表示轴的字母表示，如圆台； 【清单06】球的结构特征 1、定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球．半圆的半径叫做球的半径．半圆的圆心叫做球心．半圆的直径叫做球的直径． 2、球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O． （1）用一个平面去截一个球，截面是一个圆面．如果截面经过球心，则截面圆的半径等于球的半径；如果截面不经过球心，则截面圆的半径小于球的半径． （2）若半径为的球的一个截面圆半径为，球心与截面圆的圆心的距离为，则有． 【清单07】特殊的棱柱、棱锥、棱台 特殊的棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱；垂直于底面的棱柱称为直棱柱；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱；底面是矩形的直棱柱叫做长方体；棱长都相等的长方体叫做正方体； 特殊的棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形，那么这样的棱锥称为正棱锥；侧棱长等于底面边长的正三棱锥又称为正四面体； 特殊的棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台； 【清单08】简单组合体的结构特征 1、组合体的基本形式：①由简单几何体拼接而成的简单组合体；②由简单几何体截去或挖去一部分而成的几何体； 2、常见的组合体有三种：①多面体与多面体的组合；②多面体与旋转体的组合；③旋转体与旋转体的组合． ①多面体与多面体的组合体 由两个或两个以上的多面体组成的几何体称为多面体与多面体的组合体．如下图（1）是一个四棱柱与一个三棱柱的组合体；如图（2）是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体；如图（3）是一个三棱柱与一个三棱台的组合体． ②多面体与旋转体的组合体 由一个多面体与一个旋转体组合而成的几何体称为多面体与旋转体的组合体如图（1）是一个三棱柱与一个圆柱组合而成的；如图（2）是一个圆锥与一个四棱柱组合而成的；而图（3）是一个球与一个三棱锥组合而成的． ③旋转体与旋转体的组合体 由两个或两个以上的旋转体组合而成的几何体称为旋转体与旋转体的组合体．如图（1）是由一个球体和一个圆柱体组合而成的；如图（2）是由一个圆台和两个圆柱组合而成的；如图（3）是由一个圆台、一个圆柱和一个圆锥组合而成的． 【清单09】几何体中的计算问题 几何体的有关计算中要注意下列方法与技巧： （1）在正棱锥中，要掌握正棱锥的高、侧面、等腰三角形中的斜高及高与侧棱所构成的两个直角三角形，有关证明及运算往往与两者相关． （2）正四棱台中要掌握其对角面与侧面两个等腰梯形中关于上、下底及梯形高的计算，有关问题往往要转化到这两个等腰梯形中．另外要能够将正四棱台、正三棱台中的高与其斜高、侧棱在合适的平面图形中联系起来． （3）研究圆柱、圆锥、圆台等问题的主要方法是研究它们的轴截面，这是因为在轴截面中，易找到所需有关元素之间的位置、数量关系． （4）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开是把立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段之一． （5）圆台问题有时需要还原为圆锥问题来解决． （6）关于球的问题中的计算，常作球的一个大圆，化“球”为“圆”，应用平面几何的有关知识解决；关于球与多面体的切接问题，要恰当地选取截面，化“空间”为平面． 【清单10】斜二测画法保留了原图形中的三个性质 ①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变． 【清单11】圆台的表面积 （1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r＇、r，母线长为，那么这个扇形的面积为，即圆台的侧面积为S圆台侧=． （2）圆台的表面积：． 【清单12】柱体、锥体、台体的体积 1、柱体的体积公式 棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S和高h的乘积，即V棱柱=Sh． 圆柱的体积：底面半径是r，高是h的圆柱的体积是V圆柱=Sh=πr2h．综上，柱体的体积公式为V=Sh． 2、锥体的体积公式 棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积． 圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S，高是h，那么它的体积；如果底面积半径是r，用πr2表示S，则． 综上，锥体的体积公式为． 3、台体的体积公式 棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S＇、S，高是h，那么它的体积是． 圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r＇、r，高是h，那么它的体积是 ． 综上，台体的体积公式为． 【清单13】球的表面积和体积 1、球的表面积 （1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积． （2）球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积公式S球=4πR2．即球面面积等于它的大圆面积的四倍． 2、球的体积 设球的半径为R，它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数．球的体积公式为． 【清单14】异面直线 1、定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． 2、画法： 3、两异面直线所成角的常用方法 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 【清单15】空间平行关系的注意事项 直线与平面平行，平面与平面平行的判定定理、性质定理，揭示了线线平行、线面平行、面面平行之间的转化关系，具体转化过程如图所示． 【清单16】有关垂直（1）判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视． （2）要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要． 相关的重要结论 ①过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条． ②如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直． ③如果两个平行平面中的一个与一条直线垂直，那么另一个也与这条直线垂直． 【考点题型一】简单几何体的结构特征 技巧：有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形，这些面围成的几何体不一定是棱柱． 如下图所示的几何体满足“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这一条件，但它不是棱柱． 判定一个几何体是否是棱柱时，除了看它是否满足：“有两个面互相平行， 其余各个面都是平行四边形”这两个条件外，还要看其余平行四边形中“每两个 相邻的四边形的公共边都互相平行”即“侧棱互相平行”这一条件，不具备这一条件的几何体不是棱柱． 圆锥：（1）用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面是一个比底面小的圆面． （2）经过圆锥的轴的截面是一个等腰三角形，其底边是圆锥底面的直径，两腰是圆锥侧面的两条母线． （3）圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线都是圆锥侧面的母线． 【例1】下列说法中正确的是（   ） A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B．长方体是直四棱柱 C．用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台； D．球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面． 【答案】BD 【分析】根据正棱锥的概念判断A；根据直四棱柱的概念判断B；根据圆台的概念判断C；根据球的概念判断D. 【详解】对于A，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，所以A错误； 对于B，易知长方体的侧棱和底面垂直，所以是直四棱柱，故B正确； 对于C，根据圆台的定义，用一个平行于底面的平面去截圆锥， 圆锥底面和截面之间的部分为圆台，故C错误； 对于D，球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，故D正确． 故选：BD 【变式1-1】在以为顶点的三棱锥中，过的三条棱两两的交角都是，在一条侧棱上有，两点，，，以，为端点的一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周（绳和侧面无摩擦），则此绳在，之间的最短绳长为 . 【答案】5 【分析】作出三棱锥的侧面展开图，进行求解即可． 【详解】解：作出三棱锥的侧面展开图，如图， 则A、B两点间的最短绳长就是线段AB的长度. 在中，， 由，得 即此绳在A、B之间的最短绳长为5． 故答案为：5 【变式1-2】下列命题中，正确的有（    ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 D．有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 【答案】BC 【分析】根据简单几何体的结构特征，逐项判断，即可得出结果. 【详解】 如图所示，上下底面平行，各个面都是平行四边形，此几何体不是棱柱，故A错误； 棱锥侧面全为三角形，有一个面是平行四边形，则此面为底面，所以该棱锥为四棱锥， 故B正确；由平行六面体的概念和性质可知： 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故C正确； 根据棱台的特征可知：棱台是棱锥截得的，侧棱的延长线要交于同一点。 有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体， 不能保证侧棱的延长线交于同一点，因此该多面体不一定是棱台，故D错误. 故选：BC. 【变式1-3】[多选]下列说法正确的是（   ） A．圆柱的侧面展开图是一个矩形 B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形 C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 D．圆台平行于底面的截面是圆面 【答案】ABD 【分析】根据空间几何体的结构特征判断即可. 【详解】圆柱的侧面展开图是一个矩形，A正确； 因为母线长相等，得到圆锥的轴截面是一个等腰三角形，B正确； 圆台平行于底面的截面是圆面，D正确； 直角三角形绕它的斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体是两个圆锥的组合体， C不正确， 故选：ABD. 【变式1-4】下列结论正确的是（   ） A．侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 B．六条棱长均相等的四面体是正四面体 C．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台 【答案】B 【分析】根据三棱锥、棱柱、圆台，正四面体的定义逐一判断即可. 【详解】底面是等边三角形，且各侧面三角形全等，这样的三棱锥才是正三棱锥，A错误； 斜四棱柱也可能有两个侧面是矩形，C错误； 六条棱长均相等的四面体是正四面体，B正确； 截面平行于底面时，底面与截面之间的部分才叫圆台，D错误． 故选：B. 【考点题型二】简单几何体的组合体 技巧：解决简单几何体的判定问题，需要对简单几何体的有关结构特征熟练掌握， 如侧棱与底面的关系，底面、侧面的形状、截面形状等， 同时还要会计算棱柱、棱锥、棱台的顶点数、棱数及面数． 【例2】图1为一个正方体的侧面展开图，在外表面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.若将这样三个相同的正方体叠放于地面上，如图2，则能看见的13个正方形面上的数字和的最小值为 .    【答案】41 【分析】根据正方体的表面展开图，有数字1的正方形与有数字6的正方形相对，有数字2的正方形与有数字4的正方形相对，有数字5的正方形与有数字3的正方形相对，由最大可得答案． 【详解】根据正方体的表面展开图，有数字1的正方形与有数字6的正方形相对， 有数字2的正方形与有数字4的正方形相对，有数字5的正方形与有数字3的正方形相对， 可得，， 要使能看见的13个正方形面上的数字和的最小， 最上面的一个正方体的有数字6的正方形面朝下，与中间的正方体面接触， 中间的正方体有数字5的正方形与有数字3的正方形面朝上下，与上下正方体接触， 最下面的正方体有数字5的正方形与有数字3的正方形面朝上下，与上面正方体和地面接触， 所以能看见的13个正方形面上的数字和的最小值为. 故答案为：41. 【变式2-1】图中平面图形从上往下依次由等腰三角形、圆、半圆、矩形、等腰梯形拼接形成，若将它绕直线l旋转形成一个组合体，试分析该组合体由哪些简单几何体构成． 【答案】组合体从上到下依次为圆锥、球、半球、圆柱、圆台 【分析】根据旋转体的定义判断即可. 【详解】因为平面图形从上往下依次由等腰三角形、圆、半圆、矩形、等腰梯形拼接形成， 若将它绕直线l旋转形成一个组合体从上到下依次为圆锥、球、半球、圆柱、圆台. 【变式2-2】指出下面两图中的几何体是由哪些简单几何体构成的．     ①            ② 【答案】①由2个四棱锥构成；②由1个三棱柱和1个四棱柱构成 【分析】由组合体结合简单几何体判断． 【详解】由组合体结合简单几何体知道①由2个四棱锥构成；②由1个三棱柱和1个四棱柱构成. 【变式2-3】中国古代雕刻艺术中“鬼工球”工艺精妙绝伦，其层层嵌套的结构展现了极高的技艺水准.在现代数学与雕刻艺术的融合探索中，有雕刻师以棱长为6的正方体玉石为材料进行创意雕刻.在正方体内部雕琢出一个可以任意转动的球，在该球内部又套雕出一个正四面体（所有棱长均相等的三棱锥）.假设雕刻过程不计各层厚度与材料损失，那么最内层正四面体的棱长最长为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求正方体的内切球半径，易知该球为所求正四面体的外接球，根据正四面体的性质，可求得棱长． 【详解】由题意，球是正方体的内切球，且该球为正四面体的外接球时，四面体的棱长最大， 则该球半径，如图所示： 设为正四面体的外接球球心，则， 平面，为底面等边的中心， 设正四面体的棱长为，则， ， 在中，， 即， 解得，即. 故选：A. 【变式2-4】美味的火锅中也充满了有趣的数学知识，如图将火锅抽象为乙图的两个同心圆柱，大、小圆柱的半径分别为25cm与5cm，汤料只放在两圆柱之间，将汤勺视为一条线段，若将汤锅装满，将汤勺置于两圆柱之间无论如何放置汤料都不会将汤勺淹没，则汤勺长度最短为：（     ）cm. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将投影至底面为，是底面大圆的一条弦且与小圆相切（切点为）时最长，求出弦长后由勾股定理求得 【详解】将投影至底面为，是底面大圆的一条弦且与小圆相切（切点为）时最长， 所以， 所以， 故选：C. 【考点题型三】与直观图还原有关的计算问题 技巧：由于斜二测画法中平行于x轴的线段的长度在直观图中长度不变，而平行于y轴的线段在直观图中长度要减半，同时要倾斜45°，因此平面多边形的直观图中的计算需注意两点． （1）直观图中任何一点距x′轴的距离都为原图形中相应点距x轴距离的sin45°＝倍． （2）S直观图＝S原图． 由直观图计算原图形中的量时，注意上述两个结论的转换． 【例3】已知等边的平面直观图的面积为，则等边的面积是 . 【答案】/ 【详解】利用斜二测画法得到的平面直观图的面积等于原图形面积乘以，结合已知即可求解. 【解答】由于原图和直观图面积之间的关系，可得， 所以原的面积. 故答案为：. 【变式3-1】如图是三角形用斜二测画法得到的水平直观图三角形，其中轴，轴，若三角形的面积是．则三角形的面积是 ． 【答案】 【分析】利用结论平面图形的直观图面积与原图面积之比为，结合三角形的面积是求结论. 【详解】因为平面图形的直观图面积与原图面积之比为， 所以，又， 所以. 故三角形的面积是． 故答案为：. 【变式3-2】如图，是水平放置的的直观图，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据斜二测画法得到三角形为直角三角形，，边长，，然后即可求三角形的周长． 【详解】 根据斜二测画法得到三角形为直角三角形，， 底边长，高， 所以， 直角三角形的周长为． 故选：A． 【变式3-3】如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，那么的面积为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】求出矩形的面积，再利用斜二测画法中直观图面积与原图形面积的关系求得答案. 【详解】依题意，矩形的面积， 而斜二测画法中直观图面积与原图形面积的， 所以的面积为. 故选：D 【变式3-4】如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，其中，，，，则平面图形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据斜二测画法将直观图还原为平面图即可. 【详解】 由题意，在直角梯形中，，则， 故直角梯形的面积为， 故答案为：． 【考点题型四】棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积 技巧：1、多面体的表面积转化为各面面积之和． 2、解决有关棱台的问题时，常用两种解题思路： 一是把基本量转化到梯形中去解决；二是把棱台还原成棱锥，利用棱锥的有关知识来解决． 3、常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面， 只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． 4、求几何体体积时需注意的问题 柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、 轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算． 【例4】在直三棱柱中，，，若该棱柱外接球的表面积为，则侧面绕直线旋转一周所得到的旋转体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据外接球表面积公式求出外接球半径，再结合三棱柱的几何特征求出棱柱的高，最后根据旋转体的性质确定旋转后几何体的形状并计算其体积. 【详解】由题可知三棱柱两个底面三角形的外接圆的圆心分别为，的中点，． 设外接球的半径为R，则，，所以， 解得．侧面旋转后得到的几何体是底面半径为，高为2的圆柱，其体积为． 故选：B. 【变式4-1】如图，在棱长为1的正方体内部，有8个以正方体顶点为球心且半径相等的部分球体，有1个以正方体体心为球心的球体与均相切，则该9部分的体积和的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据几何体的特征，再应用二次函数值域结合球的体积公式计算求解. 【详解】设球体的半径为半径为，所以，即得， 又，所以开口向下，对称轴为， 所以， 该9部分的体积和为 . 故选：C. 【变式4-2】三棱锥中，平面，为以为直径的半圆圆周上的动点（不同于、的点）.若，，则该三棱锥体积的最大值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由线面垂直得到线线垂直，再由线线垂直的证明线面垂直，再由线面垂直的性质得到，由勾股定理求得.设设，，由勾股定理得，然后由基本不等式求得的面积的最大值，从而求得三棱锥体积的最大值. 【详解】平面，平面，， 以为直径的半圆圆周上动点（不同于，的点），所以，，平面，平面， 平面， 平面，∴， 在中，，，则， 平面，平面，， 在中，设，，（，）， 则由，得， ， 当且仅当，且，即时，等号成立， ， 该三棱锥体积的最大值为4. 故选：A. 【变式4-3】圆柱内有一个棱长为2的正方体，正方体的各个顶点在圆柱的上、下底面圆周上，则（    ） A．圆柱的轴截面为正方形 B．过正方体中心的平面将圆柱分成体积相等的两部分 C．圆柱的表面积为 D．若圆柱的上下底面是一个球的两个平行截面，则该球的体积是 【答案】BCD 【分析】对于A：根据题意求轴截面的边长即可；对于B：根据对称性分析判断；对于C：求圆柱的底面半径和母线长，进而可得表面积；对于D：可知该球的球心为，进而求球的半径和体积. 【详解】如图所示，对于正方体和圆柱，正方体的中心为， 对于选项A：由题意可知：， 所以圆柱的轴截面不为正方形，故A错误； 对于选项B：因为正方体的中心也为圆柱的中心， 根据对称性可知过正方体中心的平面将圆柱分成体积相等的两部分，故B正确； 对于选项C：可知圆柱的底面半径为，母线长为2， 所以圆柱的表面积为，故C正确； 对于选项D：可知该球的球心为， 则，即球的半径为， 所以该球的体积是，故D正确； 故选：BCD. 【变式4-4】某同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为2的正方形，，，，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直，则该包装盒的容积为（    ） A． B． C． D．20 【答案】C 【分析】将几何体补全为长方体，包装盒的容积为，进而可得. 【详解】 如图，把几何体补全为长方体，则， ， 所以该包装盒的容积为， 故选：C 【考点题型五】圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积 技巧：（求旋转体表面积注意事项） 旋转体中，求面积应注意侧面展开图，上下面圆的周长是展开图的弧长．圆台通常还要还原为圆锥． （求几何体积的常用方法） （1）公式法：直接代入公式求解． （2）等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的几何体即可． （3）补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等． （4）分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． 【例5】将两个小球放入一个底面圆直径和母线长都是的有盖圆锥容器内，则这两个球体的表面积之和的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】应用圆锥的轴截面，再根据圆锥的球心及半径，结合余弦定理得，最后计算表面积和的最小值即可. 【详解】由题意可知，圆锥的轴截面是边长为的正三角形． 两个球的球心分别为，球，的半径分别为，，在的内角平分线上，延长交于的内心，也即中心. 设圆锥的轴截面的中心为，,. 则，，． 在中，由余弦定理，得， 整理得，即， 所以，解得． 又因为，所以，所以． 所以． 所以两个球的表面积之和， 当且仅当，时等号成立．所以这两个球体的表面积之和的最大值为． 故答案为： 【变式5-1】已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为4π，则圆台上下底面面积之差的绝对值为（    ） A．π B．2π C．4π D．8π 【答案】B 【分析】由侧面面积公式建立等式，然后分别写出上下底面面积，作差后代入即可得到结果. 【详解】如图： 设展开图小圆半径和大圆半径分别为，则圆台侧面积，即， 上底面半径，下底面半径， 圆台上下底面面积之差的绝对值为. 故选：B. 【变式5-2】已知圆台的上，下底面的直径分别为2和6，母线与下底面所成角为，则圆台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据题干条件求出圆台的母线和高，再分类讨论外接球的球心位于下底面之下还是上下底面之间，算出外接球的半径即可得圆台外接球的表面积. 【详解】如图，设圆台的上下底面的圆心分别为，半径分别为， 母线为，高为，由题干知，， 因为，所以母线长为，高， 设圆台外接球的半径为，球心到下底面的距离为， 若球心位于下底面的下面，则有，解得（舍去）， 若球心位于上下底面之间，则有，解得， 所以圆台的外接球的表面积为. 故选：B. 【变式5-3】已知圆柱和圆台的高和体积都相等，若圆柱的底面圆半径为，圆台的上、下底面圆半径分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆台和圆柱的体积公式得出，然后利用作差法判断出，结合基本不等式判断，即可得出答案. 【详解】设圆台和圆柱的高为，则，所以． 因为 ， 所以B正确，A错误； 又，所以，所以CD错误， 故选：B． 【变式5-4】祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R的圆柱与半径为R的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个底面半径为R，高为R的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用垂直于半径的平面去截半径为R的半球，且球心到平面的距离为，则平面所截得的较小部分（阴影所示称之为“球冠”）的几何体的体积是 ． 【答案】 【分析】根据圆柱与圆锥的体积公式，结合题意，可得答案. 【详解】∵，，， ∴， ∴． 故答案为：. 【考点题型六】球的表面积与体积 技巧：1、正方体的内切球 球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝，过在一个平面上的四个切点作截面 2、球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2＝， 3、长方体的外接球 长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3＝， 4、正方体的外接球正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R＝a． 5、正四面体的外接球正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：2R＝a． 6、有关球的截面问题常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决． 【例6】在棱长为1的正四面体中，分别是的中点，则（    ） A． B．在正四面体中，两相邻表面的夹角都等于 C．以为直径的球被正四面体的各表面所在平面截得所有截面的面积之和为 D．将正四面体以为轴旋转得到新正四面体，两正四面体公共部分几何体的体积等于 【答案】AD 【分析】将正四面体放入正方体中分析，直接观察即可判断A；利用定义找出平面与平面夹角的平面角，可以判断B；根据题意找出截面为四个圆，根据半径求出面积之和可判断C；作图找出公共部分为两个全等的正四棱锥组成的八面体，求出体积即可判断D. 【详解】将正四面体置于正方体中，如图1. 对于选项A，在正方体中，直观得到，故A正确； 对于选项B，如图2，连接，易证，所以是平面与平面的夹角，在中，，所以，故B错误； 图1                      图2                          图3 对于选项C，如图3，分别取的中点,，连接,，则，且两两互相垂直，过点作平面于（图略），则是的中心，连接（图略）.于是平面截以为直径的球的截面为以为圆心，为半径的圆，此圆的面积为，根据图形的对称性，正四面体四个表面截球所得截面面积之和为，故C错误； 对于选项D，作出两个正四面体相交面的交线，得其公共部分是正八面体，如图3，该正八面体可分割为两个全等的正四棱锥，正四棱锥底面是边长为的正方形，高为，所以所求公共部分的体积，故D正确. 故选：AD. 【变式6-1】已知正三棱柱的所有棱长相等，且六个顶点都在球的球面上，记正三棱柱的体积为，球的体积为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据球的体积公式，三棱柱的体积公式，即可求解. 【详解】解：设正三棱柱的所有棱长均为2， 由正弦定理可知底面三角形外接圆半径为：， 则正三棱柱的外接球的半径为， ∴球的体积为， 又正三棱柱的体积为， ∴. 故选：A. 【变式6-2】已知圆台下底面的正底面在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为1，则圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到上底面面积和下底面面积，然后由圆台体积公式求得结果. 【详解】由题意可知圆台下底面面积，上底面面积， 如图：由题意可知，则， ∴圆台体积. 故选：C. 【变式6-3】半径为3的球上相异三点，，构成边长为3的等边三角形，点为球上一动点，则当三棱锥的体积最大时（    ） A．三棱锥的体积为 B．三棱锥的内切球半径为 C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球半径为3 【答案】BCD 【分析】由正弦定理和勾股定理得到棱锥的高，再由体积公式可得A错误；由等体积法可得B正确；由棱锥的体积公式可得C正确；由题意可得D正确. 【详解】对于A，设的中心为， 由正弦定理可得， 由球的截面性质可得平面， 所以， 所以三棱锥的体积为，故A错误； 对于B，设三棱锥的内切球半径为， 由等体积法可得，解得，故B正确； 对于C，当点到平面的距离最大时，三棱锥的体积最大， 此时棱锥的高为， 所以三棱锥的体积为，故C正确； 对于D，三棱锥的外接球即为球，所以半径为3，故D正确. 故选：BCD 【变式6-4】已知四面体满足动点在四面体的外接球的球面上，且则点的轨迹的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将该四面体放置在一个长方体中，通过题意可得到点的轨迹为一个圆，设其半径为利用勾股定理求解半径，即可求解． 【详解】解：如图，将该四面体放置在一个长方体中， 由题可知长方体的长、宽、高分别为 体对角线长为 其外接球半径 因为所以点的轨迹为一个圆，设其半径为 则即解得 或即此时无解， 故所求长度为． 故选：C． 【考点题型七】截面问题 技巧：截面问题：以点为主，各向延申，出现截面，方便求算 【例7】如图，在正三棱柱中，，过中点的截面，将正三棱柱分成上下两部分，设下半部分几何体的体积为，则下列四个体积是的几何体中，能放在半径为3的球体内的是（    ）（参考数据：）    A．正方体 B．正四面体 C．高是4的圆柱 D．高是5的圆锥 【答案】AC 【分析】分析几何特征，计算下半部分几何体的体积，分析各选项中几何体外接球半径，与比大小即可确定答案. 【详解】由题意得，正三棱柱由截面分成的上部分为正三棱柱，下部分为直四棱柱，高度相等，    如图，在等边三角形中，分别为的中点， 由相似得与的面积比为， 故正三棱柱上、下两部分的底面积比为，即正三棱上、下两部分的体积比为， ∴. A.设正方体的棱长为，则，得， ∴正方体体对角线为，正方体的外接球半径为， 能放在半径为3的球体内，A正确. B. 如图，在正方体中，由各面对角线相等可得三棱锥为正四面体，    正四面体的外接球与正方体的外接球相同，由选项A可知体积为的正方体恰好能放在半径为3的球体内， 当正四面体的体积为，正方体的体积大于， 此时正方体外接球半径大于，故不能放在半径为3的球体内，B错误. C.如图，设圆柱的底面圆半径为，外接球半径为，外接球球心为，则为圆柱上下底面圆心连线的中点.    由题意得，，∴， ∴，故此圆柱能放在半径为3的球体，C正确. D. 如图，设圆锥的底面圆半径为，外接球半径为，外接球球心为，则点在圆锥的高上.    由题意得，，∴， 由得，，故此圆锥不能放在半径为3的球体，D错误. 故选：AC 【变式7-1】朱世杰是元代著名的数学家，有“中世纪世界最伟大的数学家”之誉.其著作《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，受到数学史研究者的高度评价.《四元玉鉴》下卷“杂范类会”中第一问为：“今有沈香立圆球一只，径十寸，今从顶截周八寸四分，问厚几何?”大意为现有一个直径为的球，从上面截一小部分，截面圆周长为，问被截取部分几何体的高为多少.已知朱世杰是以圆周率为来计算，则《四元玉鉴》中此题答案为（注：） （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆的周长公式计算出截面的半径，再根据勾股定理可得出被截取部分几何体的高的方程，解之即可. 【详解】设截面圆的半径为，被截取部分几何体的高为， 若以作为圆周率，则，由勾股定理可得， 故. 故选：B. 【变式7-2】如图，正方体的棱长为分别为棱的中点.请在正方体的表面完整作出过点的截面，并写出作图过程；（不用证明） 【答案】作图见解析 【分析】利用平面的基本性质作出截面图形即可. 【详解】连接并延长交延长线于点， 连接并延长交于点，交延长线于点， 连接交于点，则截面即为所求. 【变式7-3】（多选）下列说法正确的是（   ） A．以直角三角形的一条边所在的直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥 B．以等腰三角形底边上的中线所在的直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥 C．经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形 D．圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径 【答案】BCD 【分析】根据圆锥的定义及性质直接判断. 【详解】A不正确，直角三角形绕斜边所在直线旋转得到的旋转体不是圆锥； B正确，以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥； C正确，因为圆锥的母线长都相等，所以经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形； D正确，如图所示，当圆锥的母线圆锥的高夹角小于时，，即， 所以圆锥侧面的母线长l有可能大于圆锥底面圆半径r的2倍（即直径）； 故选：BCD． 【变式7-4】在棱长为2正方体中，、分别为棱、的中点，过直线的平面截该正方体外接球所得的截面面积为.下列选项正确的是（   ） A．与所成的角为 B．的最大值为 C．当取最大值时，该截面与正方体表面的交线是一个正六边形 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】根据异面直线夹角的求法可得A错误，易知当截面过球心时，截面圆半径最大，求得其半径可判断B正确，作出截面形状可得C正确，求得球心到截面的距离最大值，可判断D正确. 【详解】对于A，连接，如下图所示： 由于、分别为棱、的中点，所以， 所以与所成的角与与所成的角相等，即为（或其补角）； 易知为正三角形，所以， 因此与所成的角为，可得A错误； 对于B，设正方体外接球的半径为，则， 解得, 因此当截面过球心时，截面圆半径最大，为球的半径, 此时的最大值为，即B正确； 对于C，由选项B可知当取最大值时，该截面与正方体表面的交线是一个正六边形，如下图所示： 图中六边形均为所在棱的中点，因此C正确； 对于D，当球心到截面的距离最大时，截面面积最小， 设正方体外接球的球心为，如下图： 显然为边长为的正三角形，所以到的距离为， 即可知当球心到截面的距离为时，截面半径为， 此时的最小值为，即D正确. 故选：BCD 【考点题型八】异面直线所成的角 技巧：（两异面直线所成角的常用方法） 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归 为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时， 应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 【例8】《九章算术》中将正四棱台称为方婷，如图，在方婷中，，其体积为，E，F分别为AB，BC的中点，则异面直线所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据异面直线夹角的定义，在图中明确夹角，根据正四棱台的几何性质以及体积公式，求得夹角所在的直角三角形的边长，结合锐角三角函数的定义，可得答案. 【详解】连接，过作平面，其中垂足为，连接，如下图：    在正四棱台中，易知，， 则，所以， 因为平面，平面，所以，， 易知，所以， 因为，，所以，则， 故， 因为分别为的中点，所以， 则异面直线与的夹角为， 因为平面，平面，所以， 在正方形中，，同理可得， 在等腰梯形中，易知， 在正四棱台中，上下底面面积分别为，， 正四棱台的体积， 则，解得 在中，，. 故选：D. 【变式8-1】如图，正方体中，是侧面上的动点，且平面，为的中点．记与平面所成角为，与所成角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，，连接，根据已知得到点是线段上的动点，构造出，分别求出，比较后可得结论. 【详解】设平面与直线交于点，连接，易知为的中点， 分别取的中点，，连接， ∵平面平面， ∴平面．同理可得平面， ∵平面， ∴平面平面，结合平面， 可得直线平面，即点是线段上的动点． 由直线与平面所成角为，运动点并加以观察， 可得当与（或重合时，与平面所成角等于， 此时所成角达到最小值，满足； 当与中点重合时，与平面所成角达到最大值， 满足，所以与平面所成角的正切取值范围是． 由直线与所成的角为，因为， 所以与所成的角即为与所成的角，运动点并加以观察， 可得当与（或）重合时，与所成的角等于， 此时所成角达到最小值， 满足，可得，所以， 当与中点重合时，与所成的角达到最大值，满足， 因为，，又，所以． 故选：D． 【变式8-2】已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，.则（    ） A．球的表面积为 B．异面直线与所成角的正切值为 C．平面截球所得截面的面积为 D．点到平面的距离为 【答案】AD 【分析】将三棱锥放入长方体中，即可根据长方体的体对角线求解球半径，即可求解A，根据垂直即可求解B，根据余弦定理以及正弦定理求解外接圆半径即可求解C，利用等体积法即可求解D. 【详解】因为，，所以的外接圆的半径， 又平面，， 将三棱锥放入长方体中，    对于A，长方体的体对角线长为， 故外接球的半径为，故表面积为，A正确， 对于B，或其补角为异面直线与所成角， 由于平面，平面，故，故，故B错误， 对于C，，， ， 故的外接圆半径为， 故的外接圆的面积为，故C错误， 对于D，设点到平面的距离为， 则 ，故D正确 故选：AD. 【变式8-3】如图，在正方体中，为四边形内（含边界）的一个动点，且，则（ ） A．与一定是异面直线 B．三棱锥的体积为定值 C．平面 D．异面直线与所成角的范围为 【答案】BCD 【分析】证明出平面，可知点的轨迹为线段，当点与点重合时，推导出，可判断A选项；利用锥体的体积公式可判断B选项；推导出平面平面，利用面面平行的性质可判断C选项；利用异面直线所成角的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，连接、、、， 因为四边形为正方形，则， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以，同理可证， 因为，、平面，所以平面， 因为为四边形内（含边界）的一个动点， 故当时，平面，则，故点的轨迹为线段， 当点与点重合时，因为且，则四边形为平行四边形， 此时，A错； 对于B选项，连接、、、， 在正方体中，平面平面， 因为平面，所以，点到平面的距离为定值， 又因为的面积为定值，故三棱锥的体积为定值， 即三棱锥的体积为定值，B对； 对于C选项，连接， 因为且，故四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面， 因为，、平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面，C对； 对于D选项，因为，所以异面直线与所成角等于直线与所成的角， 易知为等边三角形，如下图所示： 当点为的中点时，，此时，直线与所成的角取最大值， 当点与点或点重合时，直线与所成的角取最小值， 因此，异面直线与所成角的范围为，D正确. 故选：BCD. 【变式8-4】如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．点到平面的距离为定值 B．直线与所成角的取值范围为 C．的最小值为 D．若为线段上的动点，且平面，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】选项A：由，从而平面判断；选项B：由直线与所成的角即直线与所成的角，由为的中点和与（或）重合角最大和最小判断；选项C：将沿直线翻折，使其与平面共面，连接，再在中，利用余弦定理求解判断；选项D：过作于点，连接，则，从而平面，再由平面，得到平面平面，从而平面求解. 【详解】选项A：如图1，由题易知，因为平面，平面， 所以平面， 所以动点到平面的距离等于点到平面的距离，为定值，A正确. 选项B：直线与所成的角即直线与所成的角， 当为的中点时，所成的角最大，为， 当与（或）重合时，所成的角最小，为， 所以与所成角的取值范围为，B正确. 选项C：将沿直线翻折，使其与平面共面， 记翻折后点对应的点为，连接，如图2， 则，在中，由余弦定理可得： ， 即的最小值为，C错误. 选项D：如图3，过作于点，连接， 则，平面，平面，所以平面， 又平面，，，平面， 所以平面平面，则平面， 又平面，平面平面，所以. 设，则，，且， 所以， 当且仅当时等号成立，D正确. 故选；ABD 【考点题型九】空间直线、平面的平行 技巧：（证明两直线平行的常用方法） （1）利用平面几何的结论，如平行四边形的对边，三角形的中位线与底边； （2）定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点； （3）利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行． 直线与平面平行的判定（判定定理应用的注意事项） （1）欲证线面平行可转化为线线平行解决． （2）判断定理中有三个条件，缺一不可，注意平行关系的寻求． 常常利用平行四边形、三角形中位线、等比例线段、相似三角形． 【例9】设是三条直线，是三个平面，若，则下列命题中为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，，则异面 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】根据线线，线面，面面的位置关系，即可判断选项. 【详解】对于选项A，若，，则与平行、相交或异面，所以A错误； 对于选项B，若，，，则与可能相交，平行，异面，所以B错误； 对于选项C，因为，，，所以且，所以，所以C正确； 对于选项D，若，，则与可能相交，如三棱柱的三个侧面，所以D错误． 故选：C． 【变式9-1】已知m，n是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】根据空间中线、面关系的判定和性质逐一判断即可. 【详解】对A：平行于同一个平面的两条直线的位置关系不确定，故A错误； 对B：若，，则或，故B错误； 对C：根据线面垂直的定义可知，C正确； 对D：若，，则直线与平面的位置关系不确定，故D错误. 故选：C 【变式9-2】如图，在多面体中，四边形与均为直角梯形，平面平面，，，，，，且. (1)已知点为上一点，且，证明：平面； (2)若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点，取中点为，易证四边形为平行四边形，从而为中点，为中位线，，由平行关系的传递性得到且，从而四边形为平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理证明； （2）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，，分别求得平面的一个法向量为，平面的法向量为，根据平面与平面所成锐二面角的余弦值为，由求得a，再由点C到平面的距离求解. 【详解】（1）证明：如图， 连接交于点，取中点为，连接，，， 在四边形中，，， 故四边形为平行四边形. 故为中点，所以在中，为中位线， 则且，又且， 故且，即四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 平面，即平面. （2）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面， 以点为坐标原点，分别以，，为，，轴正方向建立空间直角坐标系， 设，则，，，，， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，取， ，， 设平面的法向量为， ，取 由平面与平面所成锐二面角的余弦值为， 可得， 解得或（舍去） 故，又， 所以点到平面的距离. 【变式9-3】已知正方体中，，点分别是线段的中点.    (1)求证直线平面； (2)求三棱锥的高； (3)求证直线三线共点. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据中位线以及平行线的传递性，即可利用线面平行的判定求解， （2）利用等体积法即可求解， （3）根据三角形中位线的性质即可求解. 【详解】（1）连接, 由于分别是线段的中点，所以， 又正方体中，,故,平面,平面, 故直线平面    （2）设三棱锥的高为， 由可得, 所以 （3）由于且，故直线相交，设交于， 则, 同理可得直线 相交于点,则， 故与重合，故直线三线相交于点， 故直线三线交于一点.    【变式9-4】如图①，平面四边形中，，，，将沿BC边折起如图②，使__________，点，分别为AC，AD中点.在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此题.①；②AC为四面体外接球的直径；③平面. (1)证明：直线平面； (2)判断直线MN与平面的位置关系，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)平面，理由见解析 【分析】（1）运用中位线性质，结合线面平行判定定理证明即可； （2）结合条件及线面垂直的判定定理，可得平面，进而证得平面. 【详解】（1）分别为中点，. 又平面，平面，直线平面. （2）直线平面，理由如下： 选①，，在中，，，则， 又，，则， 又，，平面， 平面，， 又，，平面， 平面，又分别为的中点， ，则平面. 选②，为四面体外接球的直径， 则，，又，， 平面，平面， 分别为AC，AD的中点， ，则平面. 选③，平面，平面，， 又，，平面，平面， 分别为的中点，，则平面. 【考点题型十】空间直线、平面的垂直 技巧：（证明两条直线平行的常见方法） （1）公理4：平行于同一条直线的两条直线平行； （2）线面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么经过 这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行； （3）面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行； （4）线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行． 【例10】如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，．    (1)求证：平面； (2)求平面的一个法向量． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，根据法向量的求法即可得答案. 【详解】（1）因为底面为正方形，故； 平面，平面，故， 平面， 故平面； （2）以D为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，    设，则， 故， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则， 故平面的一个法向量为. 【变式10-1】如图，在四棱锥中，底面是菱形，，是边长为2的等边三角形，    (1)求证： (2)若，求直线与平面所成角的正弦值 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线线垂直可得平面，即可根据线面垂直的性质求解， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可利用向量的夹角公式求解. 【详解】（1）证明：取的中点，连接． ∵四边形为菱形，且，则， 又∵为等边三角形，∴， 而，平面，∴平面． 又∵平面，∴．    （2）若，由可知，， 而，故平面，而．以点为原点，，，分别为轴、轴、轴的正方向建系． 则，，，，． 故，， 设平面的法向量 ∴∴即 令，则，，所以，平面的法向量． 设直线与平面所成角为， ∴ 所以直线与平面所成角的正弦值为．    【变式10-2】如图，在四面体中，平面平面，，，．求四面体的体积． 【答案】 【分析】在平面内过点作，垂足为，由平面平面，由面面垂直的性质，可得DF是四面体的面上的高．设为边CD的中点，连接，可得，计算可得与的长，进而可得，由棱锥体积公式，计算可得答案； 【详解】如图所示，在平面内过点作，垂足为， 故由平面平面，AC为交线，平面， 知平面，即DF是四面体的面上的高． 设为边CD的中点，连接AG，则由， 知，从而． 由，得． 在中，，． 故四面体的体积． 【变式10-3】已知平面平面，平面，于点． (1)判断与的关系； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）应用面面垂直的性质定理即可得到；（2）应用线面垂直的性质和判定定理即可得证． 【详解】（1），理由如下： 平面平面，于点， 平面平面，平面， 平面．又平面，． （2）证明：平面，平面， ．，，平面, 平面．又平面，． 【变式10-4】如图，在直四棱柱中，底面是正方形，E，F，G分别是棱，，DA的中点．求证： (1)平面平面； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质及线面平行的判定定理得平面，又平面，最后利用面面平行的判定定理证明即可； （2）先根据线面垂直的判定定理得平面，再根据线面垂直的性质定理证明即可. 【详解】（1），F分别是和的中点，且． 四边形是平行四边形，． 又平面，平面，平面． 是的中位线，． 又平面，平面，平面． 又，平面平面． （2）连接BD，，底面是正方形，． ，，平面． 平面，． 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单05 立体几何初步 （16个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】棱柱的结构特征 1、定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．在棱柱中，两个相互平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点．棱柱中不在同一平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线．过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面． 2、棱柱的分类：底面是三角形、四边形、五边形、……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 3、棱柱的表示方法： ①用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如下图，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分别表示为、、； ②用棱柱的对角线表示棱柱，如上图，四棱柱可以表示为棱柱或棱柱等；五棱柱可表示为棱柱、棱柱等；六棱柱可表示为棱柱、棱柱、棱柱等． 4、棱柱的性质：棱柱的侧棱相互平行． 【清单02】棱锥的结构特征 1、定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥的底面．有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面．各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱； 2、棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥 ……；S S D D C C B B A A E C B A S 3、棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的字母表示，如四棱锥． 【清单03】圆柱的结构特征 1、定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴．垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面．平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线． 2、圆柱的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆柱 【清单04】圆锥的结构特征 1、定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．旋转轴叫做圆锥的轴． 垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面．不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线． 2、圆锥的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆锥． 【清单05】棱台和圆台的结构特征 １、定义：用一个平行于棱锥（圆锥）底面的平面去截棱锥（圆锥），底面和截面之间的部分叫做棱台（圆台）；原棱锥（圆锥）的底面和截面分别叫做棱台（圆台）的下底面和上底面；原棱锥（圆锥）的侧面被截去后剩余的曲面叫做棱台（圆台）的侧面；原棱锥的侧棱被平面截去后剩余的部分叫做棱台的侧棱；原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分叫做圆台的母线；棱台的侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点；圆台可以看做由直角梯形绕直角边旋转而成，因此旋转的轴叫做圆台的轴． 2、棱台的表示方法：用各顶点表示，如四棱台； 3、圆台的表示方法：用表示轴的字母表示，如圆台； 【清单06】球的结构特征 1、定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球．半圆的半径叫做球的半径．半圆的圆心叫做球心．半圆的直径叫做球的直径． 2、球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O． （1）用一个平面去截一个球，截面是一个圆面．如果截面经过球心，则截面圆的半径等于球的半径；如果截面不经过球心，则截面圆的半径小于球的半径． （2）若半径为的球的一个截面圆半径为，球心与截面圆的圆心的距离为，则有． 【清单07】特殊的棱柱、棱锥、棱台 特殊的棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱；垂直于底面的棱柱称为直棱柱；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱；底面是矩形的直棱柱叫做长方体；棱长都相等的长方体叫做正方体； 特殊的棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形，那么这样的棱锥称为正棱锥；侧棱长等于底面边长的正三棱锥又称为正四面体； 特殊的棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台； 【清单08】简单组合体的结构特征 1、组合体的基本形式：①由简单几何体拼接而成的简单组合体；②由简单几何体截去或挖去一部分而成的几何体； 2、常见的组合体有三种：①多面体与多面体的组合；②多面体与旋转体的组合；③旋转体与旋转体的组合． ①多面体与多面体的组合体 由两个或两个以上的多面体组成的几何体称为多面体与多面体的组合体．如下图（1）是一个四棱柱与一个三棱柱的组合体；如图（2）是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体；如图（3）是一个三棱柱与一个三棱台的组合体． ②多面体与旋转体的组合体 由一个多面体与一个旋转体组合而成的几何体称为多面体与旋转体的组合体如图（1）是一个三棱柱与一个圆柱组合而成的；如图（2）是一个圆锥与一个四棱柱组合而成的；而图（3）是一个球与一个三棱锥组合而成的． ③旋转体与旋转体的组合体 由两个或两个以上的旋转体组合而成的几何体称为旋转体与旋转体的组合体．如图（1）是由一个球体和一个圆柱体组合而成的；如图（2）是由一个圆台和两个圆柱组合而成的；如图（3）是由一个圆台、一个圆柱和一个圆锥组合而成的． 【清单09】几何体中的计算问题 几何体的有关计算中要注意下列方法与技巧： （1）在正棱锥中，要掌握正棱锥的高、侧面、等腰三角形中的斜高及高与侧棱所构成的两个直角三角形，有关证明及运算往往与两者相关． （2）正四棱台中要掌握其对角面与侧面两个等腰梯形中关于上、下底及梯形高的计算，有关问题往往要转化到这两个等腰梯形中．另外要能够将正四棱台、正三棱台中的高与其斜高、侧棱在合适的平面图形中联系起来． （3）研究圆柱、圆锥、圆台等问题的主要方法是研究它们的轴截面，这是因为在轴截面中，易找到所需有关元素之间的位置、数量关系． （4）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开是把立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段之一． （5）圆台问题有时需要还原为圆锥问题来解决． （6）关于球的问题中的计算，常作球的一个大圆，化“球”为“圆”，应用平面几何的有关知识解决；关于球与多面体的切接问题，要恰当地选取截面，化“空间”为平面． 【清单10】斜二测画法保留了原图形中的三个性质 ①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变． 【清单11】圆台的表面积 （1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r＇、r，母线长为，那么这个扇形的面积为，即圆台的侧面积为S圆台侧=． （2）圆台的表面积：． 【清单12】柱体、锥体、台体的体积 1、柱体的体积公式 棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S和高h的乘积，即V棱柱=Sh． 圆柱的体积：底面半径是r，高是h的圆柱的体积是V圆柱=Sh=πr2h．综上，柱体的体积公式为V=Sh． 2、锥体的体积公式 棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积． 圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S，高是h，那么它的体积；如果底面积半径是r，用πr2表示S，则． 综上，锥体的体积公式为． 3、台体的体积公式 棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S＇、S，高是h，那么它的体积是． 圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r＇、r，高是h，那么它的体积是 ． 综上，台体的体积公式为． 【清单13】球的表面积和体积 1、球的表面积 （1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积． （2）球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积公式S球=4πR2．即球面面积等于它的大圆面积的四倍． 2、球的体积 设球的半径为R，它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数．球的体积公式为． 【清单14】异面直线 1、定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． 2、画法： 3、两异面直线所成角的常用方法 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 【清单15】空间平行关系的注意事项 直线与平面平行，平面与平面平行的判定定理、性质定理，揭示了线线平行、线面平行、面面平行之间的转化关系，具体转化过程如图所示． 【清单16】有关垂直（1）判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视． （2）要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要． 相关的重要结论 ①过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条． ②如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直． ③如果两个平行平面中的一个与一条直线垂直，那么另一个也与这条直线垂直． 【考点题型一】简单几何体的结构特征 技巧：有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形，这些面围成的几何体不一定是棱柱． 如下图所示的几何体满足“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这一条件，但它不是棱柱． 判定一个几何体是否是棱柱时，除了看它是否满足：“有两个面互相平行， 其余各个面都是平行四边形”这两个条件外，还要看其余平行四边形中“每两个 相邻的四边形的公共边都互相平行”即“侧棱互相平行”这一条件，不具备这一条件的几何体不是棱柱． 圆锥：（1）用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面是一个比底面小的圆面． （2）经过圆锥的轴的截面是一个等腰三角形，其底边是圆锥底面的直径，两腰是圆锥侧面的两条母线． （3）圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线都是圆锥侧面的母线． 【例1】下列说法中正确的是（   ） A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B．长方体是直四棱柱 C．用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台； D．球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面． 【变式1-1】在以为顶点的三棱锥中，过的三条棱两两的交角都是，在一条侧棱上有，两点，，，以，为端点的一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周（绳和侧面无摩擦），则此绳在，之间的最短绳长为 . 【变式1-2】下列命题中，正确的有（    ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 D．有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 【变式1-3】[多选]下列说法正确的是（   ） A．圆柱的侧面展开图是一个矩形 B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形 C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 D．圆台平行于底面的截面是圆面 【变式1-4】下列结论正确的是（   ） A．侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 B．六条棱长均相等的四面体是正四面体 C．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台 【考点题型二】简单几何体的组合体 技巧：解决简单几何体的判定问题，需要对简单几何体的有关结构特征熟练掌握， 如侧棱与底面的关系，底面、侧面的形状、截面形状等， 同时还要会计算棱柱、棱锥、棱台的顶点数、棱数及面数． 【例2】图1为一个正方体的侧面展开图，在外表面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.若将这样三个相同的正方体叠放于地面上，如图2，则能看见的13个正方形面上的数字和的最小值为 .    【变式2-1】图中平面图形从上往下依次由等腰三角形、圆、半圆、矩形、等腰梯形拼接形成，若将它绕直线l旋转形成一个组合体，试分析该组合体由哪些简单几何体构成． 【变式2-2】指出下面两图中的几何体是由哪些简单几何体构成的．     ①            ② 【变式2-3】中国古代雕刻艺术中“鬼工球”工艺精妙绝伦，其层层嵌套的结构展现了极高的技艺水准.在现代数学与雕刻艺术的融合探索中，有雕刻师以棱长为6的正方体玉石为材料进行创意雕刻.在正方体内部雕琢出一个可以任意转动的球，在该球内部又套雕出一个正四面体（所有棱长均相等的三棱锥）.假设雕刻过程不计各层厚度与材料损失，那么最内层正四面体的棱长最长为（    ） A． B．4 C． D． 【变式2-4】美味的火锅中也充满了有趣的数学知识，如图将火锅抽象为乙图的两个同心圆柱，大、小圆柱的半径分别为25cm与5cm，汤料只放在两圆柱之间，将汤勺视为一条线段，若将汤锅装满，将汤勺置于两圆柱之间无论如何放置汤料都不会将汤勺淹没，则汤勺长度最短为：（     ）cm. A． B． C． D． 【考点题型三】与直观图还原有关的计算问题 技巧：由于斜二测画法中平行于x轴的线段的长度在直观图中长度不变，而平行于y轴的线段在直观图中长度要减半，同时要倾斜45°，因此平面多边形的直观图中的计算需注意两点． （1）直观图中任何一点距x′轴的距离都为原图形中相应点距x轴距离的sin45°＝倍． （2）S直观图＝S原图． 由直观图计算原图形中的量时，注意上述两个结论的转换． 【例3】已知等边的平面直观图的面积为，则等边的面积是 . 【变式3-1】如图是三角形用斜二测画法得到的水平直观图三角形，其中轴，轴，若三角形的面积是．则三角形的面积是 ． 【变式3-2】如图，是水平放置的的直观图，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，那么的面积为（    ） A．4 B． C．8 D． 【变式3-4】如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，其中，，，，则平面图形的面积为 ． 【考点题型四】棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积 技巧：1、多面体的表面积转化为各面面积之和． 2、解决有关棱台的问题时，常用两种解题思路： 一是把基本量转化到梯形中去解决；二是把棱台还原成棱锥，利用棱锥的有关知识来解决． 3、常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面， 只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． 4、求几何体体积时需注意的问题 柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、 轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算． 【例4】在直三棱柱中，，，若该棱柱外接球的表面积为，则侧面绕直线旋转一周所得到的旋转体的体积为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，在棱长为1的正方体内部，有8个以正方体顶点为球心且半径相等的部分球体，有1个以正方体体心为球心的球体与均相切，则该9部分的体积和的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】三棱锥中，平面，为以为直径的半圆圆周上的动点（不同于、的点）.若，，则该三棱锥体积的最大值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【变式4-3】圆柱内有一个棱长为2的正方体，正方体的各个顶点在圆柱的上、下底面圆周上，则（    ） A．圆柱的轴截面为正方形 B．过正方体中心的平面将圆柱分成体积相等的两部分 C．圆柱的表面积为 D．若圆柱的上下底面是一个球的两个平行截面，则该球的体积是 【变式4-4】某同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为2的正方形，，，，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直，则该包装盒的容积为（    ） A． B． C． D．20 【考点题型五】圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积 技巧：（求旋转体表面积注意事项） 旋转体中，求面积应注意侧面展开图，上下面圆的周长是展开图的弧长．圆台通常还要还原为圆锥． （求几何体积的常用方法） （1）公式法：直接代入公式求解． （2）等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的几何体即可． （3）补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等． （4）分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． 【例5】将两个小球放入一个底面圆直径和母线长都是的有盖圆锥容器内，则这两个球体的表面积之和的最大值为 ． 【变式5-1】已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为4π，则圆台上下底面面积之差的绝对值为（    ） A．π B．2π C．4π D．8π 【变式5-2】已知圆台的上，下底面的直径分别为2和6，母线与下底面所成角为，则圆台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知圆柱和圆台的高和体积都相等，若圆柱的底面圆半径为，圆台的上、下底面圆半径分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-4】祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R的圆柱与半径为R的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个底面半径为R，高为R的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用垂直于半径的平面去截半径为R的半球，且球心到平面的距离为，则平面所截得的较小部分（阴影所示称之为“球冠”）的几何体的体积是 ． 【考点题型六】球的表面积与体积 技巧：1、正方体的内切球 球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝，过在一个平面上的四个切点作截面 2、球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2＝， 3、长方体的外接球 长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3＝， 4、正方体的外接球正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R＝a． 5、正四面体的外接球正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：2R＝a． 6、有关球的截面问题常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决． 【例6】在棱长为1的正四面体中，分别是的中点，则（    ） A． B．在正四面体中，两相邻表面的夹角都等于 C．以为直径的球被正四面体的各表面所在平面截得所有截面的面积之和为 D．将正四面体以为轴旋转得到新正四面体，两正四面体公共部分几何体的体积等于 【变式6-1】已知正三棱柱的所有棱长相等，且六个顶点都在球的球面上，记正三棱柱的体积为，球的体积为，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知圆台下底面的正底面在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为1，则圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】半径为3的球上相异三点，，构成边长为3的等边三角形，点为球上一动点，则当三棱锥的体积最大时（    ） A．三棱锥的体积为 B．三棱锥的内切球半径为 C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球半径为3 【变式6-4】已知四面体满足动点在四面体的外接球的球面上，且则点的轨迹的长度为（    ） A． B． C． D． 【考点题型七】截面问题 技巧：截面问题：以点为主，各向延申，出现截面，方便求算 【例7】如图，在正三棱柱中，，过中点的截面，将正三棱柱分成上下两部分，设下半部分几何体的体积为，则下列四个体积是的几何体中，能放在半径为3的球体内的是（    ）（参考数据：）    A．正方体 B．正四面体 C．高是4的圆柱 D．高是5的圆锥 【变式7-1】朱世杰是元代著名的数学家，有“中世纪世界最伟大的数学家”之誉.其著作《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，受到数学史研究者的高度评价.《四元玉鉴》下卷“杂范类会”中第一问为：“今有沈香立圆球一只，径十寸，今从顶截周八寸四分，问厚几何?”大意为现有一个直径为的球，从上面截一小部分，截面圆周长为，问被截取部分几何体的高为多少.已知朱世杰是以圆周率为来计算，则《四元玉鉴》中此题答案为（注：） （   ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，正方体的棱长为分别为棱的中点.请在正方体的表面完整作出过点的截面，并写出作图过程；（不用证明） 【变式7-3】（多选）下列说法正确的是（   ） A．以直角三角形的一条边所在的直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥 B．以等腰三角形底边上的中线所在的直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥 C．经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形 D．圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径 【变式7-4】在棱长为2正方体中，、分别为棱、的中点，过直线的平面截该正方体外接球所得的截面面积为.下列选项正确的是（   ） A．与所成的角为 B．的最大值为 C．当取最大值时，该截面与正方体表面的交线是一个正六边形 D．的最小值为 【考点题型八】异面直线所成的角 技巧：（两异面直线所成角的常用方法） 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归 为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时， 应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 【例8】《九章算术》中将正四棱台称为方婷，如图，在方婷中，，其体积为，E，F分别为AB，BC的中点，则异面直线所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【变式8-1】如图，正方体中，是侧面上的动点，且平面，为的中点．记与平面所成角为，与所成角为，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，.则（    ） A．球的表面积为 B．异面直线与所成角的正切值为 C．平面截球所得截面的面积为 D．点到平面的距离为 【变式8-3】如图，在正方体中，为四边形内（含边界）的一个动点，且，则（ ） A．与一定是异面直线 B．三棱锥的体积为定值 C．平面 D．异面直线与所成角的范围为 【变式8-4】如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．点到平面的距离为定值 B．直线与所成角的取值范围为 C．的最小值为 D．若为线段上的动点，且平面，则的最小值为 【考点题型九】空间直线、平面的平行 技巧：（证明两直线平行的常用方法） （1）利用平面几何的结论，如平行四边形的对边，三角形的中位线与底边； （2）定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点； （3）利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行． 直线与平面平行的判定（判定定理应用的注意事项） （1）欲证线面平行可转化为线线平行解决． （2）判断定理中有三个条件，缺一不可，注意平行关系的寻求． 常常利用平行四边形、三角形中位线、等比例线段、相似三角形． 【例9】设是三条直线，是三个平面，若，则下列命题中为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，，则异面 C．若，，，则 D．若，，则 【变式9-1】已知m，n是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【变式9-2】如图，在多面体中，四边形与均为直角梯形，平面平面，，，，，，且. (1)已知点为上一点，且，证明：平面； (2)若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求点到平面的距离. 【变式9-3】已知正方体中，，点分别是线段的中点.    (1)求证直线平面； (2)求三棱锥的高； (3)求证直线三线共点. 【变式9-4】如图①，平面四边形中，，，，将沿BC边折起如图②，使__________，点，分别为AC，AD中点.在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此题.①；②AC为四面体外接球的直径；③平面. (1)证明：直线平面； (2)判断直线MN与平面的位置关系，并说明理由. 【考点题型十】空间直线、平面的垂直 技巧：（证明两条直线平行的常见方法） （1）公理4：平行于同一条直线的两条直线平行； （2）线面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么经过 这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行； （3）面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行； （4）线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行． 【例10】如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，．    (1)求证：平面； (2)求平面的一个法向量． 【变式10-1】如图，在四棱锥中，底面是菱形，，是边长为2的等边三角形，    (1)求证： (2)若，求直线与平面所成角的正弦值 【变式10-2】如图，在四面体中，平面平面，，，．求四面体的体积． 【变式10-3】已知平面平面，平面，于点． (1)判断与的关系； (2)求证：． 【变式10-4】如图，在直四棱柱中，底面是正方形，E，F，G分别是棱，，DA的中点．求证： (1)平面平面； (2)． 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$